Ing. Greiza LucenaPROBABILIDADESUNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGAS DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES Y ESTADSTICACATEDRA ESTADSTICA I BARQUISIMETO

TEORA DE PROBABILIDADLa teora de la probabilidad es un modelamiento matemtico del fenmeno del azar o aleatoriedad. Entre los conceptos bsicos se tienen:

Experimento:Es toda accin o proceso que produce resultados bien definidos.Ejemplos:Experimento Resultado: Lanzar una moneda Cara o Sello; Seleccionar una parte para inspeccionar la Defectuosa o no defectuosa; Lanzar un dado1, 2, 3, 4, 5, 6; Jugar un partido de ftbol Ganar, perder, empatar

Experimentos aleatorios:Son aquellos experimentos en los cuales los resultados no son esencialmente los mismos a pesar de que las condiciones sean aproximadamente idnticas. Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

- Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones.Se conocen todos los posibles resultados antes de realizar el experimento.Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener.Se genera una funcin que indica el comportamiento de la variable en el experimento.

TEORA DE PROBABILIDADEspacio muestral:Es aquel conjunto que contiene a todos los resultados de un experimento aleatorio. Se denota por la letra S, E o la letra griega . De acuerdo a la cantidad de elementos que posee el espacio muestral, se puede clasificar en: finito o infinito: Finito oInfinito: Numerable (discreto) y No Numerable (continuo).

Punto muestral:Es cada uno de los elementos del espacio muestral (S).

Suceso o evento: Es cualquier subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral.

Ejemplo: Si se lanza una moneda al aire 2 veces, el hecho de que slo resulte cara es un suceso del espacio muestral.

TEORA DE PROBABILIDADTipos de sucesos:Suceso cierto o seguro: es aquel que siempre ocurre.Suceso imposible: es aquel que no puede ocurrir.Sucesos mutuamente excluyentes: son aquellos que no pueden ocurrir simultneamente, por lo que no tienen elementos comunes. Ejemplo: lanzar una moneda al aire, el obtener cara o sello es un suceso mutuamente excluyente.

Sucesos independientes: son aquellos donde la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.

TEORA DE PROBABILIDADSucesos complementarios: dos sucesos son complementarios si la no aparicin de uno de ellos obliga a que ocurra el otro.Ejemplo: Si A es el suceso de sacar un nmero par con un dado, el complemento es sacar un nmero impar.Sucesos colectivamente exhaustivos: los eventos A1, A2, ..., An son colectivamente exhaustivos si la unin de ellos da el espacio muestral.Evento elemental o simple: es un evento formado por un solo punto del espacio muestral.Eventos solapados: se dice que dos eventos A y B son solapados si tienen uno o varios puntos en comn.

TEORA DE CONJUNTOSUnin: se llama unin o reunin de dos conjuntos A y B, al conjunto C formado por los elementos que pertenezcan a A o a B.Notacin simblica: AB = {x | x A o x B}

Interseccin: se llama interseccin de dos conjuntos A y B, al conjunto C formado por los elementos comunes a A y a B.Notacin simblica: AB = {x | x e A y x e B}

Diferencia: se llama diferencia de dos conjuntos A y B, en este orden, al conjunto C formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B.Notacin simblica: A - B = {x | x e A y x B}

TEORA DE CONJUNTOSComplemento de un conjunto: el complemento de un conjunto A, se denota por AC o A y es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto universal pero que no pertenecen a A.Nota: se supone que todos los conjuntos bajo investigacin en cualquier aplicacin de una teora de conjuntos estn contenidos en algn conjunto grande fijo denominado conjunto universal.Notacin simblica: Ac = {x | x e U y x A}

NOTA: Un evento no es otra cosa que un CONJUNTO. Por lo tanto, los conceptos de teora de conjuntos se emplearn construir nuevos eventos a partir de eventos dados.

MTODOS DE CONTEOREGLA DE LA MULTIPLICACIN:Si una operacin se puede llevar a cabo en n1 formas, y si para cada una de stas se puede realizar una segunda operacin en n2 formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar de n1n2 formas. Esto es, si A y B son conjuntos finitos, entonces, el nmero de elementos del producto cartesiano A x B est dado por:n1(A) x n2(B)La extensin de la regla de la multiplicacin con k experimentos se puede expresar en trminos de conjuntos como sigue:Si A1,A2,..,Ak son k conjuntos finitos, entonces, el nmero de elementos del producto cartesiano A1 x A2 xAk es igual a:n1(A1) x n2(A2 )x x nk(Ak )

MTODOS DE CONTEO PERMUTACIN:Es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos. El nmero de permutaciones de n objetos diferentes es n!=1*2* . .*n Como la primera casilla se puede llenar de cualquiera de las n maneras, la segunda de cualquiera de las (n-1) maneras,, y la ltima casilla de slo una manera. Entonces aplicando la regla de la multiplicacin, se tiene que la caja se puede llenar de n(n-1)(n-2)...1 maneras.As, el nmero de permutaciones de n objetos diferentes est dado por nPn = n!

MTODOS DE CONTEOVariacin sin repeticin (importa el orden de colocacin de los objetos):Si se consideran n objetos diferentes y se escogen r de estos objetos, con 0 r n y permutamos el r elegido. Entonces se tendr: n(n-1)(n-2)...(n-(r-1)) maneras de arreglar los objetos seleccionados. As, el nmero de maneras de elegir r objetos entre n objetos diferentes viene dado por

nPr =

MTODOS DE CONTEO Permutaciones cunado no todos los objetos son diferentes:El nmero de formas de partir o permutar un conjunto de n objetos en r celdas con n1 elementos en la primera celda, n2 elementos en la segunda, y as sucesivamente, es

donde, n1 + n2 ++ nr = n

MTODOS DE CONTEOCOMBINACIONES sin repeticiones:Consideremos nuevamente n objetos diferentes. Esta vez interesa contar el nmero de combinaciones en que podemos escoger r de esos n objetos sin considerar el orden.

TEORA DE PROBABILIDADProbabilidad:Es la medida de la oportunidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra, asignando un nmero entre 0 y 1 a dicha medida.Tipos de enfoques:Enfoque clsico o a priori de la probabilidad: este enfoque se aplica cuando se usa la hiptesis de resultados igualmente probables como la base para asignar probabilidades. Si un suceso puede ocurrir en h maneras diferentes de un nmero total de n maneras posibles (todos igualmente factibles), entonces la probabilidad del suceso es:Enfoque de frecuencia relativa: en este enfoque se utilizan datos pasados obtenidos en observaciones empricas, tenindose en cuenta la frecuencia con que ha ocurrido un suceso en el pasado y se estima la probabilidad de que vuelva a ocurrir a partir de estos datos histricos.

Un problema al aplicar este enfoque es el de hacer estimaciones con un nmero insuficiente de observaciones. - Enfoque subjetivo: es aquel que se utiliza para asignar una probabilidad a un suceso que no ha ocurrido nunca, segn nuestro mejor criterio. Por ejemplo, la probabilidad de que una mujer sea elegida presidente de Venezuela; como no hay datos histricos en que apoyarse, debemos recurrir a nuestra opinin y creencias para hacer una estimacin subjetiva.

Definicin axiomtica o matemtica de la probabilidad:El tratamiento moderno de la teora de probabilidad es axiomtico en el uso de la teora de conjuntos.

En un experimento aleatorio con un espacio muestral , se asigna a cada suceso A de este espacio muestral un nmero P(A) que se llama probabilidad de A, el cual satisface los siguientes axiomas:Axioma 1: La probabilidad de todo suceso debe ser no negativa,

Axioma 2:

Axioma 3: Para cualquier sucesin infinita de sucesos disjuntos A1, A2, ..

Propiedades adicionales de la probabilidad:1.

2.

3. Si A es un subconjunto de B entonces

4. Si A y B son sucesos no mutuamente excluyentes, entonces:

Regla de Adicin.

Regla de la Adicin

Esta regla afirma que el valor de la unin de un nmero finito arbitrario de sucesos se puede obtener de la siguiente forma:

El objetivo principal de esta regla es calcular probabilidades que pueden expresarse en la forma

Probabilidad condicionalSupngase que se realiza un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es , se quiere estudiar ahora la forma en que cambia la probabilidad de un suceso A cuando se sabe que otro suceso B ha ocurrido. Interesa evaluar la probabilidad de que A ocurra, sabiendo que el conjunto de resultados incluidos en B, tambin implican la OCURRENCIA de A.

Si A y B son dos sucesos cualesquiera tales que P(B)>0, entonces

Eventos independientes Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de un suceso no afecta la ocurrencia del otro suceso. Si A y B son sucesos independientes es natural pensar que la probabilidad de que A y B sucedan es igual al producto de sus probabilidades individuales.A y B son independientes, si slo si y

De otra forma A y B son dependientes.

REGLA DE LA MULTIPLICACINEn un experimento que involucra dos sucesos A y B que no son independientes, a menudo es conveniente calcular la probabilidad de que ambos sucesos ocurran utilizando una de las dos ecuaciones siguientes:

Si A y B son independientes:

PROBABILIDAD TOTAL O REGLA DE ELIMINACINSi los eventos B1,B2,,Bk constituyen una particin del espacio muestral tal que para i = 1,2,,k, entonces para cualquier evento A de ,

TEOREMA DE BAYESi los eventos B1,B2,,Bk constituyen una particin del espacio muestral tal que para i = 1,2,,k, entonces para cualquier evento A en tal que ,

EJERCICIOSUna mezcla de dulces contiene 6 mentas, 4 chicles y 3 chocolates. Si una persona realiza una selecciona al azar de uno de ellos, encuentre la probabilidad de obtener:Una menta.Un chicle o un chocolate.La probabilidad que Paula apruebe Estadstica es 2/3 y la probabilidad de que apruebe Matemticas es 4/9. Si la probabilidad de aprobar ambas asignaturas es de , cul es la probabilidad de que Paula apruebe al menos una de las dos asignaturas?Se carga un dado de tal manera que un nmero par tiene el doble de oportunidad de salir que un nmero impar. Si A es el evento en el que se da un nmero menor que cuatro en un solo lanzamiento encuentre P(A).Si las probabilidades de que un mecnico automotriz repare 3,4,5,6,7,8 o mas vehculos en un da hbil cualquiera de la semana son:0.12, 0.19, 0.28, 0.24, 0.10 y 0.07. Cul es la probabilidad de que le d servicio al menos a 5 carros el siguiente da de trabajo?Supongamos que de todos los individuos que compran cierta computadora, el 60% incluye un programa procesador de texto en su compra, 40% incluye un programa de hoja de clculo y 30% incluye ambos tipos de programas. Si se selecciona al azar un computador, encuentre la probabilidad de que el computador tenga un procesador de texto dado que tiene instalado el de hoja de clculo.

EJERCICIOSLa probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es 0.82; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avin:Llegue a tiempo, dado que sali a tiempo.Sali a tiempo, dado que lleg a tiempo.Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de las cuales cinco estn defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se separan de la caja uno despus del otro sin reemplazar el primero, cul es la probabilidad de que ambos fusibles estn defectuosos?Una poblacin de hombres presenta tres caractersticas ser casado (A), tener un grado de educacin Superior (B) y ser originario de un estado especfico (C). Se sabe que el 5% de ellos tienen las tres caractersticas, 15% tienen un grado de educacin superior pero no estn casados ni son originarios de ese estado especfico, el 25% son solos casados, 50% son originarios de ese estado especfico, 40% tiene un grado de educacin superior, 15% estn casados y son originarios de ese estado especfico; 10% tienen solamente un grado de educacin superior y son del estado especfico. Determinar:Encuentre la probabilidad de que este casado dado a que tiene un grado de educacin superior.La probabilidad que no tiene un gado educacin superior dado a que esta casado o es originario de un estado especfico. b

EJERCICIOSUna bolsa contiene cuatro bolas blancas y tres negras, y una segunda bolsa contiene tres blancas y cinco negras. Se saca una bola de la primera bolsa y se coloca sin verla en la segunda. Cul es la probabilidad de que ahora se saque una bola negra de la segunda bolsa?Se carga una moneda de modo que la cara tiene una posibilidad de ocurrir dos veces mayor que el sello. Si se lanza tres veces la moneda, cul es la probabilidad de obtener dos sellos y una cara?

EJERCICIOSUna compaa tiene el siguiente sistema para aceptar una produccin de artculos: de una caja de 25 artculos para embarcar se prueba una muestra de tres, si encuentra dos defectuoso se regresa la caja y se revisa el lote completo, sino se embarca; determinar:- La probabilidad que una caja que tiene 5 defectuosos se embarque.- La probabilidad que una caja que tiene 3 defectuoso se regrese.

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