UNIDAD I. TÉCNICAS DE CONTEO

A) CONCEPTO. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos. B) PRINCIPIO MULTIPLICATIVO. Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

C) PRINCIPIO ADITIVO. Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas

D) PERMUTACIONES.

Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento. COMBINACIÓN Y PERMUTACION. COMBINACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. PERMUTACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

E) PERMUTACIONES CON REPETICION. En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los

elementos utilizados para hacer los arreglos son diferentes. A continuación

se obtendrá una fórmula que nos permite obtener las permutaciones de n

objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales.

F) PRUEBAS ORDENADAS. Se le llama prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre n objetos contenidos en una urna uno tras otro. Una prueba ordenada puede ser llevada a efecto de dos maneras:

1) Con sustitución (con reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto de entre los n que hay, se observa de qué tipo es y se procede a regresarlo a la urna, luego se selecciona el siguiente objeto, lo anterior se repite hasta que se han extraído los r objetos de la prueba, por tanto el número de pruebas ordenadas de con sustitución se obtiene: Número total de pruebas ordenadas con sustitución = n x n x n x .........x n = nr Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, dado que se ha regresado a la urna el primer objeto, también se tendrán n objetos y así sucesivamente.

2) Sin sustitución (sin reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el

primer objeto, el cual no es regresado a la urna, luego se selecciona el segundo objeto, lo anterior se repite hasta completar los r objetos de la prueba, por lo que el número total de pruebas ordenadas sin sustitución se obtiene: Número total de pruebas ordenadas sin sustitución = n(n-1)(n-2).........(n-r +1) = nPr

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, hay n –1 maneras, dado que el primer objeto no se regresa a la urna, luego cuando se extrae el r-ésimo objeto, hay (n –r +1) de que sea seleccionado. G) COMBINACIONES. Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos Donde se observa que,

H) PARTICIONES ORDENADAS. Se le llama partición ordenada al hecho de repartir n objetos en células de una cantidad de x1 objetos, x2 objetos,......y xk objetos. I. DIAGRAMA DE ARBOL. Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

UNIDAD II. PROBABILIDAD En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestión, pero ¿es posible tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad que se desea realizar?, es muy difícil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por más simple que este sea, éste está sujeto a una gran diversidad de factores que afectan su ocurrencia, ¿entonces que es lo más aconsejable para predecir su ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basándose en estadísticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por consiguiente tomar una buena decisión basados en esta información. A) CONCEPTO. La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplos: -Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas -Competencias deportivas -Juegos de azar, etc., etc.

B) AXIOMAS Y TEOREMAS. Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran. 1)La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno. 0 £ p(A) ³ 1 2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1. p(d) = 1 3)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AÈB) = p(A) + p(B)

C) ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD. Sea d el espacio muestral, que contiene n elementos {a1, a2, a3,.....,an}, si a cada uno de los elementos de d le asignamos una probabilidad pi ³ 0,

entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito de probabilidad; el que debe cumplir con las siguientes características:

1) Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de d deben ser mayores o iguales a cero, pi³0.

2) La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de d debe de ser igual a 1. Spi = 1 En caso de que no se cumpla con las características antes mencionadas, entonces no se trata de un espacio finito de probabilidad.

D) ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES. Sea d un espacio muestral que contiene n elementos, d = {a1, a2, a3,....,an}, si a cada uno de los elementos de d le asignamos una probabilidad igual de ocurrencia, pi = 1/n por tener n elementos d, entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito equiprobable, el que debe cumplir con las siguientes condiciones:

1. Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del espacio muestral deben ser mayores o iguales a cero, pi ³ 0.

2. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada elemento del espacio muestral debe de ser igual a 1. Spi = 1 En caso de que no se cumpla con las condiciones anteriores, entonces no se trata de un espacio finito equiprobable.

E) PROBABILIDAD CONDICIONAL Sea d un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;

d

Donde: p(A½E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió p(AÇE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo p(E) = probabilidad de que ocurra E Luego;

Por tanto:

Donde: ½AÇE½= número de elementos comunes a los eventos A y E ½E½= número de elementos del evento E Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.

F) TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA PROBABILIDAD CONDICIONAL.

Tomando como referencia la fórmula de probabilidad condicional,

despejando,

p(AÇE) = p(E)p(A½E) Teorema de la multiplicación para probabilidad condicional

donde:

p(AÇE) = probabilidad de que ocurran A y E

p(E) = probabilidad de que ocurra E

p(A½E) = probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento E ya ocurrió

G) PROCESOS ESTOCASTICOS.

Un proceso estocástico es aquel en el que se representan todos y cada uno de los pasos necesarios para realizar una actividad, además de las formas o maneras en que cada uno de los pasos puede ser llevado a efecto y sus respectivas probabilidades, dicho de otra manera, cualquier proceso en el que se involucren probabilidades es un proceso estocástico.

H) TEOREMA DE BAYES

Sea d un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2,

A3,.....,An mutuamente excluyentes, luego,

d = A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn

Luego si ocurre un evento B definido en d, observamos que;

B = dÇB = (A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn)ÇB = (A1ÇB)È(A2ÇB)È(A3ÇB)È.....È(AnÇB)

Donde cada uno de los eventos AiÇB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que

p(B) = p(A1ÇB) + p(A2ÇB) + p(A3ÇB) +......+ p(AnÇB)

y como la p(AiÇB) = p(Ai)p(B½Ai) , o sea que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación para probabilidad condicional, luego;

p(B) = p(A1)p(B½A1) + p(A2)p(B½A2) + p(A3)p(B½A3) + p(An)p(B½An)

Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento Ai dado que B ya ocurrió, entonces;

La expresión anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.

I) INDEPENDENCIA

Se dice que un evento B es independiente de un evento A, si p(B½A) = p(B), esto quiere decir que la probabilidad de que ocurra B no es afectada por la ocurrencia del evento A, la expresión anterior se puede sustituir en el teorema de la multiplicación para probabilidad condicional,

p(AÇB) = p(A)p(B½A) = p(A)p(B)

Luego,

p(AÇB) = p(A)p(B) Concepto de independencia

Si la expresión anterior se cumple, podemos decir que los eventos A y B son independientes.

UNIDAD III. ESTADISTICA DESCRIPTIVA.

a) CONCEPTO.

¿Qué es la estadística descriptiva o para qué nos sirve?

Cuando necesitamos analizar un proceso cualquiera, es necesario tomar una muestra de datos del proceso en cuestión y a partir de los mismos obtener sus características tales como la media, la mediana, la moda, la desviación estándar, el rango, etc., también es necesario saber el tipo de distribución de probabilidad que tiene, así como también es necesario visualizar de forma objetiva el comportamiento de los datos al ser graficados de diversas formas, todo lo anterior es posible gracias a la estadística descriptiva. ¿Qué es una muestra? Es una parte de los datos del proceso que se desea analizar, la cuál debe de ser representativa del proceso en cuanto al número de elementos que contiene y en cuanto a lo que está ocurriendo en el proceso, esto último se logra tomando cada uno de los elementos de la muestra de forma aleatoria o totalmente al azar; para determinar el número de elementos idóneo en la muestra se hace uso de la inferencia estadística, por el momento no nos ocuparemos de ello debido a que esto se ve con detalle en cursos más avanzados de estadística.

b) TRATAMIENTO PARA DATOS NO AGRUPADOS.

¿A qué se refiere esto? Cuando la muestra que se ha tomado de la población

o proceso que se desea analizar, es decir, tenemos menos de 20 elementos

en la muestra, entonces estos datos son analizados sin necesidad de formar

clases con ellos y a esto es a lo que se le llama tratamiento de datos no

agrupados.

b1. Medidas de tendencia central. Se les llama medidas de tendencia central

a la media aritmética, la mediana, la media geométrica, la moda, etc. debido a

que al observar la distribución de los datos, estas tienden a estar localizadas

generalmente en su parte central. A continuación definiremos algunas

medidas de tendencia central y la forma de calcular su valor.

1) Media aritmética (`x ). También se le conoce como promedio ya que es el

promedio de las lecturas o mediciones individuales que se tienen en la

muestra, se determina con la fórmula siguiente:

donde:

`x = media aritmética

xi = dato i

n = número de datos en la muestra

C) TRATAMIENTO PARA DATOS AGRUPADOS.

Cuando la muestra consta de 30 o más datos, lo aconsejable es agrupar los

datos en clases y a partir de estas determinar las características de la

muestra y por consiguiente las de la población de donde fue tomada.

Antes de pasar a definir cuál es la manera de determinar las características

de interés (media, mediana, moda, etc.) cuando se han agrupado en clases

los datos de la muestra, es necesario que sepamos como se agrupan los

datos.

Pasos para agrupar datos.

a. Determinar el rango o recorrido de los datos.

Rango = Valor mayor – Valor menor

b. Establecer el número de clases (k)en que se van a agrupar los datos tomando como base para esto la siguiente tabla.

Tamaño de muestra o No. De

datos

Número de

clases

Menos de 50 5 a 7

50 a 99 6 a 10

100 a 250 7 a 12

250 en adelante 10 a 20

El uso de esta tabla es uno de los criterios que se puede tomar en cuenta

para establecer el número de clases en las que se van a agrupar los datos,

existen otros para hacerlo.

c. Determinar la amplitud de clase para agrupar (C).

d. Formar clases y agrupar datos. Para formar la primera clase, se pone como límite inferior de la primera clase

un valor un poco menor que el dato menor encontrado en la muestra y

posteriormente se suma a este valor C, obteniendo de esta manera el límite

superior de la primera clase, luego se procede a obtener los límites de la

clase siguiente y así sucesivamente.

D) DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x,

la que puede ser de dos tipos:

1. Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar

diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y

discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de

ellos.

UNIDAD IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS.

1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Las características de esta distribución son:

a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

2. DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL.

Características:

a) Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.

d) El número de repeticiones del experimento, n es constante.

Al igual que hicimos con la distribución binomial, en este caso partiremos de un ejemplo para obtener la fórmula general para resolver problemas que tengan este tipo de distribución.

3) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes

características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos

tipos de resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son

constantes.

c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los

demás.

d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

4) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA GENERALIZADA. Características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tipos de resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes.

c) Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre sí.

d) El número de repeticiones del experimento n, es constante. Entonces en este caso se tienen más de dos tipos de objetos, por lo que la fórmula a utilizar sería:

donde: N = x + y + z = total de objetos a = total de objetos del primer tipo b = total de objetos del segundo tipo c = N-a-b = total de objetos del tercer tipo n = objetos seleccionados en la muestra x = objetos del primer tipo en la muestra y = objetos del segundo tipo en la muestra z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la muestra

5) DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por

unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:

- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.

- # de bacterias por cm2 de cultivo

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de

tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

donde:

p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de

ocurrencia de ellos es l

l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e = 2.718

x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que

ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que

cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como

cada área es independiente de otra área dada y cada producto es

independiente de otro producto dado.

6. APROXIMACIÓN DE POISSON A LA BINOMIAL.

En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomiales,

pero que dadas sus características, es posible aproximarlas con la

distribución de Poisson, estas características son, n ¥® ( n es muy grande) y

p®0 (p es muy pequeña), por lo que:

La expresión anterior solo se cumple cuando n ®¥ y p®0, solo en este caso,

si esto no se cumple, la aproximación no se puede llevar a efecto, por lo que

la fórmula a utilizar en este caso sería:

Donde:

l =m= np = número esperado de éxitos = tasa promedio de éxitos

n = número de repeticiones del experimento

p = probabilidad de éxito = p(éxito)

7. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.

Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que

ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del

experimento, para obtener la fórmula de esta distribución, haremos uso de

un ejemplo.

Ejemplo:

Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la

probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad

de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el

último lanzamiento aparezca una águila.

Solución:

Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8

lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol

que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por

último una águila; como se muestra a continuación:

S S S S S S S A

Sí denotamos;

x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra

un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos

p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3

q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3

Entonces la probabilidad buscada sería;

P(aparezca una águila en el último

lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =

=q*q*q*q*q*q*q*p =

Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta

distribución sería;

Donde:

p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única

vez

p = probabilidad de éxito

q = probabilidad de fracaso

Resolviendo el problema de ejemplo;

x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila

p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila

q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello

p(x=8) =

7. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA. Esta también es un caso especial de la distribución Binomial, ya que en este caso se trata de que al llevar a efecto varias veces un experimento binomial, se desea determinar la probabilidad de que ocurran r éxitos, solo que el último de ellos debe ocurrir en el k-ésimo ensayo o repetición del experimento que es el último.

UNIDAD V. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

1. DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Características:

a) Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x;

-¥< x < ¥

b) La función que nos define esta distribución es:

-¥< x < ¥

Al dar a la función los valores de m , s2 y valores a x, obtendremos

la distribución en cuestión, la que tiene forma de campana, por lo que

también se le conoce como campana de Gauss. Hay un número infinito de

funciones de densidad Normal, una para cada combinación de m y s. La

media m mide la ubicación de la distribución y la desviación estándar s mide

su dispersión.

c) Es simétrica con respecto a su eje vertical.

d) Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que

jamás va a tocar el eje de las equis.

e) El área total bajo la curva es 1.

f) Sí sumamos a m ± s, se observará que aproximadamente el 68.26% de

los datos se encuentran bajo la curva, si sumamos a m ±2s, el 95.44% de

los datos estará entre esos límites y si sumamos a m ± 3s, entonces el

99.74% de los datos caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la

vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan

tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con esta

distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de

no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un

análisis de los datos con la distribución Normal, serían erróneas.

¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal?

De acuerdo a como se trataron las distribuciones de probabilidad continuas

en la unidad III, lo más lógico es que la función f(x, m, s2), se integre entre los

límites de la variable x; esto es,

La integral anterior nos daría el área bajo la curva de la función, desde a

hasta b, que corresponde o es igual a la probabilidad buscada.

Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez

que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x, esto

es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera:

Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este

valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad

requerida. La tabla que es usada para calcular las probabilidades es la que

nos dá el área que se muestra a continuación:

2 APROXIMACIÓN DE LA NORMAL A LA BINOMIAL.

En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos

Binomiales de una forma muy aproximada con la distribución Normal, esto

puede llevarse a cabo si n¥® y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o

cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto es,

Donde:

x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros

m = np = media de la distribución Binomial

s = = desviación estándar de la distribución Binomial

3. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.

A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos

problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que

requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la

exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., de

momento solo trataremos sobre el uso de la exponencial.

Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma,

ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones

exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas

como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las

instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas

eléctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. La

relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma

se utilice en tipos similares de problemas.

La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro b,

si su función de densidad es:

, x > 0 ; f(x) = 0 en cualquier otro caso

donde b > 0

La media y la variancia de la distribución exponencial son:

m = b y s2 = b2