Liceo Industrial A-129 Liceo Industrial A-129

Miguel Aylwin Miguel Aylwin GajardoGajardo

ProbabilidadesProbabilidades

Luciano Morales Figueroa - 2012

Aprendizaje Esperado• Utilizar la ley de Laplace para el cálculo de

probabilidades de sucesos equiprobables

Sucesos o Eventos Equiprobables: Tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Pierre Simon Laplace dio la definición clásica de probabilidad la que se aplica exclusivamente cuando los sucesos son equiprobables.

La ley de Laplace asegura que la probabilidad de un evento A (se escribe P(A), se calcula como el cuociente entre el número de casos favorables al evento A y el número de casos posibles.

Casos posibles

Casos favorablesP(A) =

Pierre Simon Laplace

(1749 – 1827)

En las probabilidades , se da la “medida” de la ocurrencia de un evento que es incierto , y ésta se expresa mediante un número entre 0 y 1, o en porcentaje.

Sea A, el evento o suceso:A: que salga un número primo, entonces se tiene que:

Ejemplo1:

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número primo?

Solución:

El Espacio Muestral E, está dado por:

E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir, 6 casos posibles.

Entonces:

Casos favorables = 3

Casos posibles= 6

Por lo tanto:

Casos posibles

Casos favorablesP(A) =

A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casos favorables.

3 1( ) 0,5 50%

6 2P A

Ejemplo2:

Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean caras?

Casos posibles: 4

Casos favorables (2 caras):

Entonces:

P(2 caras) = 1

4

E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

Solución:

Casos posibles

Casos favorablesP(A) =

1

La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o “probabilidad de un suceso contrario”, se obtiene a través de:

P(A) = 1 - P(A)

A

E

A

3. Tipos de sucesosTipos de sucesos

3.1 Probabilidad de un suceso contrario:Probabilidad de un suceso contrario:

Ejemplo:

Si La probabilidad de que llueva es , ¿cuál es la probabilidad de que NO llueva?

2

5

Solución:

P(no llueva) = 1 - P(llueva)

P(no llueva) = 1 - 2

53

5P(no llueva) =

Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá:

P(A) = 1

Ejemplo:

La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común es 1 (6 de 6).

6 6

P(natural) = = 1

Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)

Casos favorables: 6 (1,2,3,4,5,6)

3.2 Probabilidad de un suceso seguro:Probabilidad de un suceso seguro:

Ejemplo:

La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado común es 0 (0 de 6).

P(A) = 0

Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)

Casos favorables: 0

0

6P(mayor que 6) = = 0

3.3 Probabilidad de un suceso imposibleProbabilidad de un suceso imposible:

Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá:

Ejercicios Resueltos

1. Si lanzamos un solo dado

a) ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar?

Solución: El espacio muestral es

E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, casos posibles=6.

los sucesos favorables son solo {1,3,5} = 3

Casos posibles

Casos favorablesP(A) =

P(Impar) = 3

6

1

2= = 50%

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y mayor que 3?

Solución: Espacio muestral {1,2,3,4,5,6} los casos

favorables son dos {4,6}, calculamos P = 2/6 = 1/3 = 0,3333…= 33,33…%

c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par ó mayor que 3?

Solución: Espacio muestral {1,2,3,4,5,6} los casos

favorables son cuatro {2,4,5,6} calculamos P = 4/6 = 2/3 = 0,6666…= 66,66…%

d) La probabilidad de obtener un número múltiplo de 7, no hay ningún caso favorable, por lo tanto

¡SUCESO

IMPOSIBLE!

e) La probabilidad de obtener un número entre el 0 y el 7, todos (los seis) son casos favorables, por lo tanto

¡SUCESO

SEGURO!

Ahora podrás realizar actividades interactivas relacionadas con probabilidad en

06

0)7( múltiploP

16

6P

3. Al lanzar simultáneamente 2 dados, el espacio muestral tiene 36 resultados, entonces a) ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus puntuaciones sea 7? Solución: Los casos favorables son solo seis (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) por tanto la probabilidad de que

obtengas esa suma es

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea divisible por tres?

Solución: Los casos favorables son doce (1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4)(6,3),(6,6) por lo cual la probabilidad es:

...%66,16...166,06

1

36

6)7( sumanP

...%33,33...333,03

1

36

12P

4. Si se lanzan 3 monedas al aire, el espacio muestral tiene 23=8 resultados, son {ccc,ccs,csc,css,sss,ssc,scs,scc}

a)¿cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos y 1 cara?

Sol: Los casos favorables son tres {css, ssc, scs} por lo tanto la

probabilidad es P = 3/8b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo

caras?Sol: P = 1/8

6. ¿En cuál de estas cajas hay más probabilidad de sacar, sin mirar, una bolita negra?

Solución:

En la caja A, la probabilidad es P = ¼=0,25

En la caja B, la probabilidad es P = 2/5=0,4

En la caja C, la probabilidad es P = ¾=0,75En la caja D, la probabilidad es P = 3/5=0,6

7. Juan participa en una rifa de 150 números. Si se venden todos los números y Juan tiene una probabilidad de 1/15 (0,06…=6,66…%) de ganar, ¿cuántos números compró?

Solución: Si amplificamos por 10, se tiene

P = 1/15 = 1•10/15●10=10/150

Por lo tanto Juan compró 10 números