PROBABILIDADES

por Marco Alfaro

V.3.0

Febrero, 2008

I. Introduccin.

Con el propsito de hacer ms fcil la comprensin de los mtodos y

modelos probabilsticos, elabor un gran nmero de programas

computacionales, en el lenguaje Visual Basic 6.0 de Microsoft. Lo anterior

corresponde a varios aos de trabajo.

La frmula principal que he utilizado para calcular aproximadamente las

probabilidades es la frmula frecuencial. Supongamos que hemos definido un

suceso A (por ejemplo A = al tirar un dado sale impar). Se repite n de veces

el experimento (en este caso tirar un dado).

Sea nA el nmero de veces que ocurre el suceso A en las n repeticiones. La

probabilidad del suceso A es:

( ) lim An

nP An

=

La mayora de los programas simula problemas de la Teora de las

Probabilidades, repitiendo el experimento un numero grande de veces (del

orden de 1000 o ms) calculando cada vez la razn nA / n.

Los programas tienen grficos para ver la evolucin de las probabilidades a

medida que aumenta el numero n de repeticiones del experimento particular.

Figura 1: Pantalla de un programa particular

Se recomienda al lector, en algunos programas, cambiar los parmetros,

para entender mejor los conceptos

En algunos problemas se proporciona la solucin exacta.

Si se analizan los 28 programas se llega a la conclusin de que es mucho

ms simple simular los problemas, que resolverlos de manera analtica, es

decir usando la frmula:

( )

nmero de casos favorables al suceso AP Anmero de casos totales

=

lo que sin duda no agrada al matemtico pero si deja conforme al ingeniero

porque la aproximacin obtenida es aceptable (evitando razonamientos

complicados de combinatoria, de probabilidades condicionales, integrales,

derivadas, etc.).

La nica dificultad al resolver un problema de probabilidades por simulacin

es que, si se tiene la solucin analtica, y los resultados de la simulacin no

concuerdan con esta solucin, entonces tenemos una incertidumbre: el

programa no es correcto o bien la solucin analtica no es correcta...

II. Elementos de Programacin.

Para una mejor comprensin de los tpicos que analizaremos se recomienda

leer un manual del lenguaje Basic y mi libro sobre Estadstica.

Los puntos ms importantes del lenguaje Visual Basic son los siguientes:

II.1 La funcin RND.

El Basic contiene una funcin para generar nmeros aleatorios

independientes entre s, los cuales son uniformes en el intervalo [0,1), estos

nmeros tienen 7 decimales, luego, si:

x = RND

entonces el mnimo valor que se puede obtener es 0.0000000 y el mximo es

0.9999999.

Ejemplo: Programa para obtener 5 nmeros al azar en [0,1):

For i = 1 to 5

x = RND

PRINT x

Next i

Si se ejecuta este programa, se obtiene el resultado siguiente:

.7055475

.533424

.5795186

.2895625

.301948

Si se ejecuta nuevamente el programa, se obtiene exactamente el mismo

resultado. Para evitar este problema hay que utilizar la instruccin

RANDOMIZE, en el comienzo del programa. El programa queda entonces:

RANDOMIZE 3141

For i = 1 to 5

x = RND

PRINT x

Next i

El nmero 3141 es la semilla de los nmeros aleatorios. Al ejecutar este

programa se obtiene:

0.6583368

0.8313061

0.2171224

0.7830012

0.6028818

Luego, cada vez que se introduce una semilla distinta, se obtiene una

sucesin de nmeros aleatorios diferente. Sin embargo hay que definir cada

vez una semilla. Para evitar lo anterior es mejor utilizar la instruccin

siguiente:

RANDOMIZE TIMER

TIMER es una funcin que entrega el nmero de segundos transcurridos

desde medianoche. Con esto se evita tener que teclear cada vez la semilla

que inicializa los nmeros aleatorios.

II.2 Ejemplos.

a) Para obtener un nmero entero al azar uniforme entre a y b (a

El programa siguiente simula tirar 10 veces una moneda:

RANDOMIZE TIMER

For i = 1 TO 10

x = RND

IF x < 0.5 then

PRINT Cara

ELSE

PRINT Sello

END IF

NEXT i

El programa siguiente simula n = 100 nmeros gaussianos

con media 0 y varianza 1:

RANDOMIZE TIMER

n = 100

FOR k = 1 TO n

s = 0

FOR i = 1 to 12

s = s + RND

NEXT i

s = s 6

PRINT s

NEXT k

(Se ha aplicado el Teorema del Lmite Central que expresa que la suma

de n variables independienetes sigue una ley normal o ley de gauss. En

este caso la aproximacin es buena con n = 12)

b) Muestreo con reemplazamiento. Se tiene una serie de nmeros x(1), x(2), ..., x(n) y se desea tomar al azar k de ellos (k < n). El programa

siguiente resuelve el problema:

RANDOMIZE TIMER

n = 5

k = 2

DIM x(n)

Vector de datos

x(1) = 1

x(2) = 2

x(3) = 3

x(4) = 4

x(5) = 5

Eleccin al azar

FOR i = 1 TO k

posicion = numero entre 1 y n

posicion = INT(n * RND) + 1

valor = x(posicion)

PRINT valor

NEXT i

Observar que los valores se pueden repetir en el muestreo.

c) Muestreo sin reemplazamiento: las condiciones son las mismas que en el programa anterior pero los valores no se pueden repetir en la muestra

de k componentes. El programa siguiente resuelve el problema:

RANDOMIZE TIMER

n = 5

k = 2

DIM x(n)

Vector de datos

x(1) = 1

x(2) = 2

x(3) = 3

x(4) = 4

x(5) = 5

Eleccin al azar

FOR i = 1 TO k

numero entre i y n

posicion = INT((n i + 1) * RND) + i

SWAP x(posicion) , x(i)

NEXT i

FOR i = 1 TO k

Print x(i)

Next i

(la funcin SWAP a , b intercambia los valores de a y de b).

Estos son los elementos en que estn basados los programas de

probabilidades. Con los programas anteriores se pueden simular juegos de

cartas, de dados, fechas de eventos, muestreos, etc.

III. Descripcin de los programas. Alfil: Un programa de ajedrez: al poner al azar, en un tablero de ajedrez un alfil y otra pieza, cul es la probabilidad de que queden en jaque?

Esta probabilidad puede servir para definir la potencia del alfil.

Area: Clculo del rea de una zona s al tirar al azar n puntos en un rectngulo y contar los puntos ns que caen en la zona s. Si s es el rea de

la zona y S es el rea del rectngulo, entonces la probabilidad de

impactar en s, calculada aproximadamente por ns / n, es p = s / S. Al

igualar se obtiene: s = (S ns) / n.

Figura 2: Zona a estimar (verde). n = 20, ns = 8

Banach: Un problema clsico del profesor Banach. Banach llevaba siempre en su bolsillo dos cajas de fosforos. Cada vez que necesitaba un

fosforo tomaba al azar una de las cajas. Al cabo de cierto tiempo una de

las cajas esta vacia. En ese momento la otra caja contiene r = 0, 1, 2, ...

fosforos. Determinar la probabilidad de que en la otra caja queden

exactamente r fosforos.

Comprobar que, por ejemplo, con 60 fsforos, la probabilidad es casi la

misma con r = 0, 1, 2, 3.

Barajar: Se muestra un algoritmo computacional para sacar al azar k nmeros entre n nmeros (k < n).

Bayes1: Un ejemplo del teorema del reverendo Toms Bayes. Bayes2: Un ejemplo de aplicacin del teorema de la probabilidad total, muy relacionado con el teorema de Bayes.

Bayes3: Una aplicacin del teorema de Bayes al caso de dos estaciones meteorolgicas.

Binomial: La ley binomial de probabilidades. Por ejemplo tiro al azar n monedas cargadas (con p = probabilidad de obtener cara). Cul es la

probabilidad de obtener k caras? Evidentemente que los valores de k son

0, 1, 2, , n. Se recomienda cambiar los parmetros y comprobar que si

p es arbitrario y n es grande, la forma de la curva es gaussiana.

El programa escribe tambin la esperanza matemtica E(X) = np y la

varianza V(X) = np(1 - p).

Ejemplos de variables que son binomiales: Nmero de hijos hombres en

una familia de n hijos. Nmero de camiones operativos de una flota de n

camiones.

Binomial negativa: Por ejemplo, tiro una moneda cargada (con p = probabilidad de cara) hasta que aparezcan las primeras k caras. Sea X el

nmero de repeticiones necesarias. Si k = 1 se llama ley de probabilidad

o distribucin geomtrica. Comprobar que si k es grande, se tiene la

campana de gauss.

Bridge: Cuatro jugadores reciben al azar 13 cartas. Cul es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos obtenga escalera real, es

decir las 13 cartas de la misma pinta. Este suceso tiene una probabilidad

muy pequea y el programa puede estar horas y horas corriendo

(simulando millones de partidas) y nunca ocurre el suceso.

Para mayor velocidad el programa no se puede parar.

Buffon: Problema clsico de probabilidades geomtricas. Se tira una aguja de largo 2l en un conjunto de rectas paralelas a la distancia 2a (l <

a). Se puede demostrar que esta probabilidad depende del nmero :

p = (2 l) / ( a). Entonces se puede calcular por simulacin:

2lpa

=

Caballo: Simulacin de ajedrez, similar al alfil. Cul es la potencia del caballo?

Cauchy: Simulacin de la ley de Cauchy, con densidad:

2

1( )(1 )

f xx= +

Esta ley de probabilidad no tiene esperanza matemtica ni varianza.

Correr varias veces el programa y ver que no hay convergencia.

ChiCuadrado: Calculo de P(a < X < b) para una ley de chi-cuadrado con n grados de libertad. Calcula adems la esperanza matemtica y la

varianza. Comprobar que si n es grande, hay una convergencia a la ley

normal.

Cumpleaos: El clsico problema de los cumpleaos. En una habitacin hay n personas. Cul es la probabilidad de que por lo menos dos de

ellas tengan cumpleaos el mismo da?

En este problema la intuicin engaa. La intuicin dice que esta

probabilidad es muy pequea si n es del orden de 40 Cunto vale en

este caso?.

Hallar por tanteos a partir de cul n la probabilidad es mayor que 0.5.

Cupones: Se tiene una produccin de cajas de detergentes. En cada caja se pone un cupn al azar. Existen n cupones diferentes. Si completa

todos los cupones tiene un premio. Sea X el nmero de cajas de

detergentes compradas hasta completar la coleccin de cupones y ganar

un premio. Encontrar E(X). Se supone que todos los cupones tienen la

misma probabilidad de ir a una caja (lo cual no es muy cierto en los

concursos reales).

Este problema es muy difcil de resolver por mtodos analticos.

DeMere: El caballero De Mer plante a Blas Pascal el problema siguiente: Qu es ms probable: Obtener al menos un seis en 4 tiradas

de un dado u obtener al menos un doble 6 en 24 tiradas de 2 dados? La

intuicin dice que es ms probable obtener al menos un par de 6 con 24

tiradas de 2 dados. Comprobarlo con el programa.

Figura 3: El caballero De Mer

Exponencial: Clculo de P(A < X < b) para la ley exponencial de parmetro , es decir la ley con densidad (definida para x > 0):

( ) xf x e =

Galton: Simulacin de la plancha de Galton (o quincunx). Las bolitas, al depositarse es los compartimientos inferiores, generan la ley de Gauss.

Figura 4: La plancha de Galton.

Comprobar que en el intervalo (m - 2s, m + 2s) cae, aproximadamente, el

95% de las bolitas (s es la desviacin estndar).

Gamma: Calculo de P(a < X < b) para una ley gamma de parmetros y t, es decir la variable aleatoria con densidad:

1

( )( )

t xtx ef xt

=

Comprobar que para t grande hay convergencia hacia la ley normal.

Gauss: Este programa sirve para calcular P(a > X < b) en la ley normal o de Gauss (con parmetros m y ). Comprobar que cualquiera que sean m

y se tiene:

P(m < X < m + ) = 0.68

P(m 2 < X < m +2 ) = 0.95

P(m 3 < X < m + 3) = 0.997

Generador: Explica cmo se calculan los nmeros pseudo-aleatorios al utilizar el mtodo de las congruencias.

Hipergeomtrica: Clculo de probabilidades asociadas a la ley hipergeomtrica, por ejemplo: En un estanque hay N peces, n1 peces son

rojos y N n1 peces son negros. Se sacan simultneamente r peces, sin

devolucin. Sea X el nmero de peces rojos entre los r peces.

Esta ley de probabilidad es la que siguen algunos juegos de azar, por

ejemplo el Loto y el Quino (en el Loto hay 6 premios entre 36 nmeros y

se apuesta a 6 nmeros: la probabilidad de acertar los 6 nmeros es:

0.00000051).

La ley hipergeomtrica converge a la binomial cuando N es grande. Por

ejemplo comparar la binomial con n = 4, p = 0.5 con la hipergeomtrica

de N = 1000, r = 4, n1 = 500. Ahora, si aumentamos r (por ejemplo a 40),

se obtiene la ley normal.

Las cartas: Problema clsico de las probabilidades: Una secretaria escribi n cartas con sus respectivos sobres. Si pone las cartas al azar en

los sobres, cul es la probabilidad pn de que por lo menos una carta

est en el sobre que le corresponde?

Correr el programa con n = 1, 2, 3, 4, 100, 1000. Se observa que a partir

de n = 4, la probabilidad es prcticamente independiente de n. Se

demuestra que converge a

1lim 1 0.6321nn p e= =

Es decir tambin se puede calcular el nmero e por simulacin.

Poisson: Clculo de probabilidades en le ley de Poisson de parmetro . Comprobar que cuando es grande (probar con nmax = 50, lambda =

20), la ley de Poisson converge a la ley de Gauss.

Por otra parte, la binomial tiende a la Poisson cuando n es grande y p es

pequeo (cuando = np es fijo). Correr binomial con n = 50, p = 0.02,

con Poisoon de parmetro = 50 x 0.02 = 1 y comparar.

La reina: Lo mismo que el alfil pero aplicado a la reina. Cul es la potencia de la reina?

El rey: Simulacin de posiciones en el ajedrez, similar al anterior. Cul es ms potente el rey o el caballo?

La torre: Similar a los anteriores. La torre es una pieza con gran potencia. Referencias.

Marco Alfaro Estadstica. Tecniterrae, 1998.