principios de programación lógica 1) objetos,...

Principios de Programación Lógica

Ingeniería Informática

Departamento de Lenguajes yCiencias de la Computación

Universidad de Málaga

Principios de Programación Lógica 2

Contenido

1) Objetos, Relaciones y Objetivos2) Datos: Objetos y Términos3) Procedimientos: Hechos y Reglas4) Programa Principal: Objetivos5) Semántica Operacional de Prolog6) Prolog = Programación Lógica

Objetos, Relaciones y Objetivos


Programas lógicos y cómputos

Programa lógico (o relacional): conjunto de relaciones entre objetos

Cómputo: deducción controlada y constructiva de que un objetivoOOOO es consecuencia lógica de las relaciones definidas en un programa lógico PPPP

P P P P OOOO


Objetos, relaciones y objetivos

Objetos:se corresponden con los datosse representan mediante términos

Relaciones:se corresponden con los procedimientosse definen mediante hechos y reglas

Objetivos:se corresponden con el programa principalse definen mediante consultas


¿Cómo se escribe un programa lógico?

Para escribir un programa lógico debemos identificar:

qué objetos intervienen en el problema,cuáles son las relaciones entre éstos, yqué objetivos queremos alcanzar

Una vez identificados los elementos anteriores debemos:

representar los objetos mediante términosdefinir las relaciones mediante hechos y reglasdefinir los objetivos mediante consultas

Ilustraremos la metodología anterior mediante un ejemplo

Problema: escribir un programa lógico que defina relaciones de parentesco y deduzca qué personas están emparentadas


La familia a considerar

Antonio María

Carlos EvaElena David

Fernando Silvia Emilio


Identificando objetos y relaciones

Antonio María



objetos

relaciones


Representando objetos mediante términos

Objetos:

son las personas que forman la familia

representados por términos (sus nombres en minúscula)

Ejemplos:

Antonio antonio

María maría


Definiendo relaciones mediante hechos

Relaciones:

son las relaciones de paternidad y maternidad

definidas mediante hechos (relaciones incondicionales)

Ejemplos:

Antonio es padre de Carlos padre(antonio,carlos).

María es madre de Carlos madre(maría,carlos).


La familia completa definida en Prolog

padre(antonio,carlos).

padre(antonio,eva).

padre(carlos,fernando).

padre(carlos,silvia).

padre(david,emilio).

madre(maría,carlos).

madre(maría,eva).

madre(elena,fernando).

madre(elena,silvia).

madre(eva,emilio).


Deduciendo objetivos

Objetivos:

son preguntas sobre el parentesco

definidas mediante consultas

Ejemplos:

¿es David padre de Emilio? :- padre(david,emilio).

¿quiénes son los hijos de Eva? :- madre(eva,X).

¿quién es el padre de Silvia? :- padre(P,silvia).


Identificando relaciones implícitas

Antonio María



abuelo

primoshermanos


Una mala idea...

Definimos las relaciones extra mediante hechos:

hermanos(carlos,eva).

hermanos(fernando,silvia).

Inconvenientes:

tamaño excesivopropenso a erroresmantenimiento (nacimientos, etc.)adaptabilidad a otras situaciones (familias)

Sería preferible definir esta relación de forma genérica, identificando las condiciones bajo las cuales dos personas “A” y “B” son hermanos


Definiendo relaciones mediante reglas

¿Cómo podemos definir la relación “hermanos”?

“A y B son hermanos si comparten los padres”

Definiremos la relación condicional anterior mediante la regla:

hermanos(A,B) :-

padre(P,A),

madre(M,A),

padre(P,B),

madre(M,B),

A \== B.


Ejercicios

Define las siguientes relaciones de parentesco:

1. abuelo(A,B) – A es abuelo de B2. tio(A,B) – A es tío de B3. primos(A,B) – A y B son primos4. procrearon(A,B) – A y B tienen algún hijo en común


Reglas para identificar objetos y relaciones

Objetos: nombres propios y comunes, en singular o plural

Relaciones: verbos y formas verbales

A veces es posible más de una formalización, y la diferencia entre objeto y relación no está clara...

Una relación determina un conjunto de objetos: aquéllos que la satisfacen. Por tanto, una relación puede emplearse para referirnos a estos objetos.

Ejemplo: “Los hijos de Antonio” padre(antonio,H)

Datos: Objetos y Términos


Datos: objetos y términos

Los objetos (datos) se representan mediante términos:

término

constanteátomo

númeroentero

real

variable

estructura

Los términos son adecuados para el procesamiento simbólico


Átomos

Uso: representan objetos concretos mediante un nombre; es decir, denominan a un objeto en particular

Sintaxis:

secuencias de letras, dígitos y _ comenzando por minúsculaejemplos: antonio, x, lista_vacía, nil, x25

secuencias de caracteres entre apóstrofosejemplos: ‘antonio garcía’, ‘Antonio’

secuencias de símbolos especialesejemplos: +, -, =, ===, ::=, :=, <->, :^:


Números

Uso: representan números enteros y reales

Sintaxis:

enteros: 2, 34, -56

reales: -0.0092, 4.5e-5

Se aplican las restricciones típicas de rango (enteros y reales) y precisión (reales)


Variables

Uso: representan objetos por determinar. Las variables son semejantes a incógnitas: no se les puede asignar valores a voluntad.

Sintaxis:

Secuencia de letras, dígitos y _ comenzando por mayúscula o _

Ejemplos:X1

Padre

_X

Num_Telef

ListaClientes


Estructuras (I)

Uso: representan objetos compuestos que pueden ser concretos (no contienen variables) o por determinar (contienen variables)

Sintaxis:

átomo(término1,...,términon)

nombre aridad

Ejemplos:

fecha(17,agosto,2004) % fecha/3

cita(miguel,fecha(Día,enero,2006)) % cita/2

Al par nombre/aridad se le denomina functor de la estructura

sin espacios


Estructuras (II)

Los functores no se declaran.

Puede emplearse el mismo nombre con diferentes aridades: se trata de functores distintos

Ejemplo:fecha(17,agosto,2004) % fecha/3

fecha(14,abril) % fecha/2


Sintaxis (simplificada) de los términos

término ::= átomo

| número

| variable

| estructura

estructura ::= átomo(argumentos)

argumentos ::= término

| término , argumentos

Más adelante extenderemos esta sintaxis con operadores ylistas


Prolog comprueba la sintaxis de los términos...

Prolog detecta y señala los siguientes errores sintácticos

2pi

fecha(12,,2001)

fecha()

cita(fernando,fecha(2,diciembre,2001)

lista (a,b,c)

F(X,Y)


Pero la intención es lo que cuenta...

La intención es representar las fechas por términos de la forma:

fecha(día,mes,año)

donde día ∈∈∈∈ 1,...,31

mes ∈∈∈∈ enero,...,diciembre

año ∈∈∈∈ 2000,...

Pero Prolog no puede detectar usos inadecuados:

fecha(enro,2,2001)

La sintaxis es correcta, pero el orden de los argumentos no es el esperado y enro no es un mes válido

Prolog no conoce las intenciones del programador: no hay declaraciones de tipo


Representación física vs. sintáctica

términosconstantes

functores

punterosarrays

...registros

...

programador imperativo programador lógico

objeto arepresentar


¿Cómo se representa un objeto en Prolog?

El programador lógico debe decidir una sintaxis adecuada para cada tipo de dato:

Constantes:qué nombre o número resulta apropiado

Variables:se emplean para objetos por determinar (plantillas)

Estructuras:functororden y sintaxis de los argumentos, recursión.

Sin embargo, no hay forma de comunicar a Prolog esta intención:no hay declaraciones de tipo


Ejemplo: representación de pilas (I)

Para representar el TAD pila, el programador debe elegir una sintaxis adecuada

Sintaxis:

tad_pila ::= pila_vacía

| pila(cima,tad_pila)

cima::= término

Pero no es posible comunicar a Prolog esta sintaxis...


Ejemplo: representación de pilas (II)

Ejemplos de pilas bien formadas:

pila(a,pila(b,pila(c,pila_vacía)))

pila(a,pila(fecha(2,enero,2001),pila_vacía))

pila(pila_vacía,pila_vacía)

Ejemplos de términos Prolog que no son pilas bien formadas:

pila(pila_vacía)

pila(a,pila(b))


Ejemplo: representación de pilas (III)

Las estructuras que contienen variables son plantillas:

Ejemplos:pilas con 2 elementos y a en la cima

pila(a,pila(X,pila_vacía))

pilas de 3 elementos cualesquierapila(X,pila(Y,pila(Z,pila_vacía)))

pilas de al menos un elementopila(X,Y)

pilas que tienen una b como segundo elementopila(X,pila(b,Y))

Las dos últimas plantillas suponen que Y es una pila


Ejemplo: circuitos digitales (I)

xy

z

Objetos:

variables de entrada (a,b,c,...,x,y,z)puertas lógicas (or, and, nand, not)


Ejemplo: circuitos digitales (II)

Representación:entradas -> átomospuertas -> estructuras or/2,and/2,nand/2,not/1

Sintaxis:circuito::= entrada

| or(circuito, circuito)

| and(circuito, circuito)

| nand(circuito, circuito)

| not(circuito)

entrada ::= átomo


Ejemplo: circuitos digitales (III)

xy

z

El circuito digital:

se representa por el término:

or(and(x,y),z)


Representando términos mediante árboles

Un término Prolog puede representarse como un árbol:

constantes y variables hojasestructuras n-arias nodos n-arios

Ejemplo: cita(silvia,fecha(Día,diciembre,2005))

cita

silvia fecha

Día diciembre 2004

Procedimientos: Hechos y Reglas


Procedimientos: relaciones entre objetos (I)

Los procedimientos en programación lógica se denominan relaciones o predicados

Cada procedimiento tiene un functor (nombre/aridad) que lo identifica de manera unívoca

“X es padre de Y” padre(X,Y) padre/2

“la pila P es vacía” es_vacía(P) es_vacía/1


Procedimientos: relaciones entre objetos (II)

Los procedimientos pueden satisfacerse o fracasar

padre(antonio,eva) éxitopadre(eva,eva) fracaso

Los procedimientos no son funciones: no devuelven valores

padre(antonio,padre(carlos,silvia)) error

lo anterior no expresa que antonio es abuelo de silvia. Las llamadas anidadas no se ejecutan: son argumentos (datos)

Los procedimientos se definen mediante un conjunto de hechosy reglas


Definiendo hechos

Uso: definen relaciones incondicionales

Sintaxis:átomo.

átomo(término1,...,términon).

Ejemplos:padre(antonio,eva). % padre/2

es_vacía(pila_vacía). % es_vacía/1

es_par(8). % es_par/1

no_es_vacía(pila(Cima,Resto)).% no_es_vacía/1

sin espacios


Uso: definen relaciones condicionales

Sintaxis:

átomo(término1,...,términop) :-

átomo1(término11,...,término1n),

...,

átomok(términok1,...,términokm).

Definiendo reglas (I)

La conclusión es cierta si se satisfacen todas las condiciones

cabeza (conclusión)

cuerpo(condiciones)


Definiendo reglas (II)

“Los caballeros rescatan a las princesas secuestradas por dragones”

procedimiento rescata/2:

rescata(C,P) :-

es_caballero(C),

es_princesa(P),

es_dragon(D),

secuestrada(P,D).


Un procedimiento puede tener alternativas

“P es un pato si tiene plumas y hace cuac, o si es sobrino de un pato”

procedimiento es_pato/1:

es_pato(P) :- tiene_plumas(P),

hace_cuac(P).

es_pato(P) :- es_pato(T),

sobrino(P,T).

misma variable

variables distintas

Las variables son locales a las reglas, no a los procedimientos


Los procedimientos pueden ser recursivos

“X es progenitor de Y si es su padre o su madre”

procedimiento progenitor/2:

progenitor(X,Y) :- padre(X,Y).

progenitor(X,Y) :- madre(X,Y).

“X es antepasado de Y si es su progenitor o progenitor de uno de sus antepasados”

procedimiento antepasado/2:

antepasado(X,Y) :- progenitor(X,Y).

antepasado(X,Y) :- progenitor(X,Z),

antepasado(Z,Y).

Programa Principal: Objetivos


Programa principal: objetivos

Uso: interrogan al programa lógico para determinar si se satisfacen ciertas relaciones

Sintaxis::- átomo1(término11,...,término1n),

...,

átomok(términok1,...,términokm).

Los objetivos pueden o no tener variables.


Objetivos sin variables

Uso: cuestionan si ciertos objetos concretos satisfacen ciertas relaciones. La respuesta debe ser sí (éxito) o no (fracaso).

Ejemplos:¿es Antonio padre de Carlos?

:- padre(antonio,carlos).

¿es María antepasado de Silvia?

:- antepasado(maría,silvia).

¿son Antonio y María antepasados de Silvia?

:- antepasado(maría,silvia),

antepasado(antonio,silvia).


Objetivos con variables

Uso: cuestionan qué objetos satisfacen ciertas relaciones. El objetivo se puede interpretar como una ecuación y sus variables como incógnitas a determinar

Ejemplos:¿quién es el padre de Silvia?

:- padre(X,silvia).

¿quiénes son los descendientes de María?

:-antepasado(maría,X).

¿quiénes son hermanos?

:- hermanos(X,Y).

Semántica Operacional de Prolog


¿Cómo se ejecuta un Programa Prolog?

Motor deInferencia

Programa(Hechos y Reglas)

objetosrelaciones

objetivosobjetivos

respuestas

¿qué es y cómo funciona?...


¿Qué es el motor de inferencia?

Básicamente es un mecanismo de invocación de procedimientos

:- hermanos(silvia,X).

objetivo = invocaciónhermanos(A,B) :-

padre(P,A),

madre(M,A),

padre(P,B),

madre(M,B),

A \== B.

regla = procedimiento


Paso de parámetros por unificación

La unificación de términos es el mecanismo empleado por el motor de inferencia para el paso de parámetros a procedimientos

Al invocar un procedimiento, hay que unificar los parámetros actuales y los formales

Dos términos (parámetros) unifican si:1) son idénticos2) pueden reemplazarse algunas de sus variables por

términos, de manera que los términos resultantes son idénticos


Unificación de términos (I)

Ejemplo:

Las variables Mes y Año quedan ligadas o instanciadas a sus respectivos valores (mayo y 2006)

Las variables Día y Ayer quedan libres (su valor está por determinar, aunque se sabe que ambas se refieren al mismo valor)

La unificación es la única forma en que se puede instanciar una variable Prolog (puede recibir un valor)

fecha(Día,Mes,2006)

fecha(Ayer,mayo,Año)

unifican tomando:Día=Ayer

Mes=mayo

Año=2006


Unificación de términos (II)

Ejemplo:

La unificación puede no ser única (Prolog usa la más general: no hay necesidad de determinar Día ni Ayer)

Puede ser imposible unificar dos términos

Ejemplo:


fecha(Ayer,mayo,Año)

unifican tomando:Día=12

Ayer=12

Mes=mayo

Año=2006


fecha(Ayer,mayo,06)no unifican


Unificación mediante árboles

cita

silvia fecha

Dia Mes 2006

cita

Persona fecha

12 enero 2006

A veces resulta conveniente representar los términos como árboles


Reglas de unificación (informal)

Se pueden aplicar las siguientes reglas para unificar:

1) una variable unifica con cualquier término2) una constante sólo unifica consigo misma3) un estructura unifica con otra estructura si:

a) tienen el mismo functor (nombre/aridad)b) sus respectivos argumentos unificanc) las sustituciones son compatibles

Sin embargo, lo anterior no es un algoritmo formal...

A continuación formalizaremos las definiciones y presentaremosun algoritmo de unificación


Ligaduras y sustituciones

Una ligadura es un par V/t donde V es una variable y t es un término distinto de V. Se dice que la variable V queda ligada o instanciada al término t

Ejemplo: Padre/antonio, X/pila(a,Resto)

Una sustitución es un conjunto finito de ligaduras Vi/tidonde todas las variables ligadas son distintas entre sí; es decir, i ≠≠≠≠ j ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Vi ≠≠≠≠ Vj

Ejemplo: Padre/antonio, X/pila(a,Resto)


Aplicación de sustituciones e instancia

Al aplicar una sustitución θθθθ a un término A, todas las variables ligadas por θθθθ deben reemplazarse en A simultáneamente

Ejemplo: A ==== p(X,f(Y),a) θθθθ ==== X/b, Y/X

Aθθθθ ==== p(X,f(Y),a)X/b, Y/X ==== p(b,f(X),a)

Un término B es instancia de un término A si B ==== Aθθθθ; es decir, B se obtiene aplicando una sustitución θθθθ a A

En general, una instancia es un caso particular de un término en que se han determinado (ligado) algunas de sus variables


Renombrado de un término (I)

Una sustitución θθθθ se dice que es un renombrado de un término Asi

Es decir, se reemplazan variables por variables distintas entre sí(1), de manera que las variables introducidas aparecen entre las variables a sustituir (2), o no aparecen en el término A (3)

ti no aparece en A) (3)

((ti= = = = Vj) ∨∨∨∨ (2)

∀∀∀∀ Vi/ti ∈ ∈ ∈ ∈ θθθθ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ti variable

(i ≠≠≠≠ j ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ti ≠≠≠≠ tj) (1)

∧∧∧∧


Renombrado de un término (II)

Básicamente, un renombrado consiste en cambiar los nombres de las variables sin modificar la generalidad del término

Ejemplo: A ==== p(X,f(Y),a) θθθθ ==== X/Z, Y/X

A θθθθ ==== p(Z,f(X),a)

Los siguientes no son renombrados:1) A ==== p(X,f(Y),a) θθθθ ==== X/Z, Y/Z

A θθθθ ==== p(Z,f(Z),a)

2) A ==== p(X,f(Y),a) θθθθ ==== X/Y

A θθθθ ==== p(Y,f(Y),a)


Composición de sustituciones (I)

Dadas dos sustituciones θθθθ y ττττ

θ = θ = θ = θ = V1/t1, V2/t2,...,Vn/tn

τ = τ = τ = τ = U1/s1, U2/s2,...,Um/sm

su composición es una sustitución θτθτθτθτ tal que

((((Aθ)τθ)τθ)τθ)τ ==== A(θτ(θτ(θτ(θτ) ) ) ) ∀ ∀ ∀ ∀ A

Básicamente, se trata de reemplazar una secuencia de sustituciones (primero θθθθ, después ττττ) por una sola sustitución (θτθτθτθτ)


Composición de sustituciones (II)

Dadas dos sustituciones θ = θ = θ = θ = V1/t1, V2/t2,...,Vn/tn y τ = τ = τ = τ = U1/s1, U2/s2,...,Um/sm

su composición se calcula:

1. aplicando ττττ a cada ti de θθθθ2. eliminando las falsas ligaduras Vi/Vi resultantes de 1) 3. eliminando las ligaduras Ui/si tales que Ui=Vj

θτθτθτθτ ==== V1/t1ττττ, V2/t2τ,τ,τ,τ,...,Vn/tnττττ,U1/s1, U2/s2,...,Um/sm

Ejemplo: θ =θ =θ =θ = X/f(Y), Y/Z τ =τ =τ =τ = X/a,Y/b,Z/Y

θτθτθτθτ ==== X/f(b),Z/Y

Eliminar Vi/Vi Eliminar Ui/si si Ui=Vj


Unificador de términos

Una sustitución ττττ es un unificador de dos términos A y B sii

Aττττ ==== Bττττ

Ejemplo: A = = = = p(f(X),Z) B = = = = p(Y,a) τ =τ =τ =τ =Y/f(a),Z/a,X/a

Aττττ = = = = p(f(a),a) = = = = Bττττ

Un unificador θθθθ se dice que es más general que otro unificador ττττ si existe una sustitución ββββ tal que

τ = τ = τ = τ = θβθβθβθβ

Ejemplo: A = = = = p(f(X),Z) B = = = = p(Y,a)

τ =τ =τ =τ =Y/f(a),Z/a,X/a θθθθ=Y/f(X),Z/a ββββ ====X/a

Aθθθθ ==== p(f(X),a) = = = = Bθθθθ


Unificador de máxima generalidad (umg)

Se dice que θθθθ es un unificador de máxima generalidad (umg) si para cualquier otro unificador ττττ existe una sustitución ββββ tal que

τ = = = = θβθβθβθβ

Si θθθθ y σσσσ son unificadores de máxima generalidad, entonces existen renombrados δδδδ y γγγγ tales que

θδθδθδθδ = = = = σγσγσγσγ

es decir, pueden existir varios umgs, pero éstos se diferenciarán sólo en el nombre de las variables

Ejemplo:A = = = = p(f(X),Z) B ==== p(f(Y),V) θ =θ =θ =θ =X/Y,Z/V σ =σ =σ =σ =Y/X,Z/V

θθθθ = σ= σ= σ= σX/Y σσσσ ==== θθθθY/X


El algoritmo de unificación (I)

unificar(A,B: término): unificador;

1) K:=0; θθθθ0:= εεεε (* sustitución vacía *)

2) Si Aθθθθk=Bθθθθk entonces

devolver θθθθk;

sino

(Ai,Bi):= primer par de discordancia de Aθθθθk y Bθθθθk;

3) Si (uno de (Ai,Bi) es una variable V) y

(el otro un término t donde no aparece V) entonces

θθθθk+1:= θθθθkV/t;

k:= k+1;

ir a 2)

sino

parar(“no unifican”);

test de ocurrencia


El algoritmo de unificación (y II)

Ejercicio: unificar los siguientes pares de términos

1) p(a,X,h(g(Z))) p(Z,h(Y),h(Y))

2) p(f(a),g(X)) p(Y,Y)

3) p(X,X) p(Y,f(Y))

Para mejorar la eficiencia, las implementaciones de Prologomiten el test de ocurrencia, lo que puede dar lugar a términos cíclicos:

unificar(X,f(X))= X/f(X) ⇒⇒⇒⇒ X= f(f(f...))

Los resultados dependen de la implementación...


Invocando procedimientos

Una vez formalizado el paso de parámetros, podemos formalizar el resto del motor de inferencia

Un objetivo:- p(X1,...,Xn).

es realmente una invocación al procedimiento p/n

p(Y1, ...,Yn) :- q1(Y11,...,Y1i),

...,

qj(Yj1,...,Yjk).

¿Cómo se ejecuta esta invocación?

cabeceracuerpo


Pasos para invocar a un procedimiento

1) renombrar las variables del procedimiento invocado p/n

p(Z1, ...,Zn) :- q1(Z11,...,Z1i),

...,

qj(Zj1,...,Zjk).

2) unificar la cabecera del procedimiento renombrado con el objetivo mediante un umg θθθθ

p(Z1, ...,Zn)θθθθ = p(X1,...,Xn)θθθθ

Si no unifican, la invocación no se puede realizar

3) reemplazar la invocación por el cuerpo del procedimiento renombrado y aplicar el umg θθθθ al nuevo objetivo

:- q1(Z11,...,Z1i),...,qj(Zj1,...,Zjk)θθθθ....


Ejemplo de invocación de procedimiento

p(X,Y) :-

r(Y),q(X,Y).

q(X,Y) :-

r(X),r(Y).

q(X,b) :-

r(X),t(X).

r(a).

r(b).

t(b).

Ejecutar el objetivo

:-p(Z,b).

1) renombrar la regla del procedimiento p/2

p(X1,Y1) :- r(Y1),q(X1,Y1).

2) unificar parámetros actuales y formales

p(X1,Y1)θ = p(Z,b)θ

θ = X1/Z,Y1/b

3) obtener el nuevo objetivo

:- r(Y1),q(X1,Y1)θ =

:- r(b), q(Z,b).


Alternativas en la invocación

p(X,Y) :-

r(Y),q(X,Y).

q(X,Y) :-

r(X),r(Y).

q(X,b) :-

r(X),t(X).

r(a).

r(b).

t(b).

Al ejecutar el objetivo

:-r(b), q(Z,b).

se presentan las siguientes alternativas:

qué subobjetivo ejecutarqué hecho o regla invocados aplicardónde colocar el cuerpo renombrado

¿cómo resuelve el motor de inferencia estas alternativas?

Frecuentemente se presentarán alternativas en la invocación...


Resolviendo las alternativas

Elección de subojetivo: el que esté más a la izquierda

:- p1(X1,...,Xn), p2(Y1,...,Ym),..., pk(Z1,...,Zi).

Elección de hecho o regla: se aplican todos los hechos y reglas de p1/n cuyas argumentos unifiquen con los de p1(X1,...,Xn); es decir, la invocación de p1/n puede originar tantas ejecuciones diferentes como hechos y reglas tenga p1/n

Estas invocaciones alternativas se realizan en el orden en que aparecen en el programa las definiciones de p1/n, dando lugar a un árbol de ejecución (o de búsqueda)

Elección del emplazamiento del cuerpo renombrado: a la izquierda, sustituyendo al subobjetivo que lo invoca


Arbol de búsqueda

:- p1(X1,..,Xn),.., p(Z1,..,Zi).

:- (C1’,.., p(Z1,..,Zi))θθθθ1. :- (Ck’,.., p(Z1,..,Zi))θθθθk.

....1 K

p1(X1,...,Xn):- C1.

...

p1(X1,...,Xn):- Ck.

La invocación de p1/n puededar lugar hasta a K ramas...

donde Ci’es el cuerpo Ci renombrado.Observa que θθθθi se aplica a todo el objetivo, no sólo a Ci’El motor de inferencia construye el árbol primero en profundidad


Ejemplo 1 de árbol de búsqueda

Dado el programa Prolog:

/* 1 */ p(X,Y) :- r(Y), q(X,Y).

/* 2 */ q(X,Y) :- r(X), r(Y).

/* 3 */ q(X,b) :- r(X), t(X).

/* 4 */ r(a).

/* 5 */ r(b).

/* 6 */ t(b).

Obtener el árbol de búsqueda para el objetivo:

:- p(Z,b).

[en pizarra/SLD-Draw]




/* 1 */ p(X,Y) :- r(X),s(X,Y).

/* 2 */ p(X,Y) :- t(Z), p(X,Y).

/* 3 */ p(X,Y) :- q(X,Y).

/* 4 */ q(c,c).

/* 5 */ q(f(X),Y) :- q(X,Y).

/* 6 */ s(X,X).

/* 7 */ s(X,Y) :- t(Y),t(X).

/* 8 */ r(a).

/* 9 */ r(b).

/* 10 */ t(b).


:- p(A,B).





/* 1 */ p(X,Y) :- r(Y), q(X,Y).

/* 2 */ p(X,Y) :- r(Y), p(X,Y).

/* 3 */ q(X,Y) :- r(X), r(Y).

/* 4 */ q(b,b).

/* 5 */ r(a).

/* 6 */ r(b).


:- p(Z,b).





/* 1 */ p(X,Y) :- q(X,Y).

/* 2 */ p(X,Y) :- q(a,X).

/* 3 */ q(a,a).

/* 4 */ q(X,a) :- r(Y), s(X,Y).

/* 5 */ q(X,Y) :- r(X), p(X,Y).

/* 6 */ s(b,b).

/* 7 */ s(b,X) :- r(X).

/* 8 */ r(b).

/* 9 */ r(a).


:- p(b,Z).





/* 1 */ q(X,Y) :- s(Y), r(X,Y).

/* 2 */ q(X,Y) :- q(Y,X).

/* 3 */ r(X,Y) :- t(Y), s(X).

/* 4 */ r(X,Y) :- s(Y).

/* 5 */ s(a).

/* 6 */ s(b).

/* 7 */ t(b).

/* 8 */ t(c).


:- q(Y,X).





/* 1 */ p(X,Y) :- q(X,Y),r(X).

/* 2 */ p(X,Y):-q(X,Y),r(Y).

/* 3 */ q(X,Y):-t(X),t(Y).

/* 4 */ t(X):-r(X),r(Y).

/* 5 */ t(X).

/* 6 */ r(a).

/* 7 */ r(b).

Obtener los árboles de búsqueda para los objetivos:

:- p(c,Y).

:- p(a,Y).





/* 1 */ p(X,Y):-q(X,Y),r(Y).

/* 2 */ p(X,Y) :- q(X,Y),r(X).

/* 3 */ q(X,Y):-t(X),t(Y).

/* 4 */ t(X).

/* 5 */ t(X):-r(X),q(c,X).

/* 6 */ r(a).

/* 7 */ r(b).

Obtener los árboles de búsqueda para los objetivos:

:- p(c,Y).

:- p(a,Y).





/* 1 */ p(X,Y):- q(X,Y).

/* 2 */ p(X,Y):- q(a,X).

/* 3 */ q(a,a).

/* 4 */ q(X,a):- r(Y),s(X,Y).

/* 5 */ q(X,Y):- r(a),p(X,Y).

/* 6 */ s(b,b).

/* 7 */ s(b,X):- r(X).

/* 8 */ r(b).

/* 9 */ r(a).


:- p(X,b).



Ramas éxito y fallo

rama éxito: aquélla cuyo nodo hoja es un objetivo vacío. Corresponden a ejecuciones completas del objetivo inicial, para el que aportan una solución: la respuesta computada

respuesta computada: la sustitución que se obtiene al aplicar los unificadores de una rama éxito (desde la raíz a la hoja) a las variables del objetivo inicial. Cada rama éxito aporta su propia respuesta computada, que puede ser idéntica a la de otra rama éxito

rama fallo: aquélla cuyo nodo hoja contiene un subobjetivo a la izquierda que no unifica con ninguna regla o hecho del programa.Corresponden a ejecuciones que no pueden avanzar


Ramas infinitas, cíclicas y repetidas

rama cíclica: contiene dos nodos A y B tales que A es predecesor de B y B es un renombrado de A (B=Aθθθθ) y los unificadores de los nodos que los separan no instancian las variables del objetivo (es decir, el cómputo no avanza)

rama infinita: contiene dos nodos A y B tales que A es predecesor de B y B es un renombrado de A (B=Aθθθθ) y los unificadores de los nodos que los separan instancian las variables del objetivo (es decir, el cómputo avanza)

ramas repetidas: contienen dos nodos A y B tales que uno es renombrado del otro, ninguno es predecesor/antecesor del otro y las sustituciones de las ramas que contienen a A y B son iguales módulo renombrado


Usos de la unificación (I)

Parámetros de entrada (modo ‘’+’’):

Un argumento A se dice que está en modo ‘’+’’ en una invocación de un procedimiento p/n si la ejecución de p/n no instancianinguna de las variables de A

hermanos(X,Y) :-

padre(P,X),

madre(M,X),

padre(P,Y),

madre(M,Y),

X \= Y.

:- hermanos(fernando,silvia)

+ +


Usos de la unificación (II)

Parámetros de salida (modo ‘’-’’):

Un argumento A se dice que está en modo ‘’-’’ en una invocación de un procedimiento p/n si la ejecución de p/n instancia algunade las variables de A


padre(antonio,eva).




:- padre(P,H)- -


Usos de la unificación (III)

Los modos ‘’+’’ y ‘’-’’ se pueden combinar en una invocación:


padre(antonio,eva).




:- padre(antonio,H)+ -


Usos de la unificación (IV)

Mecanismo de selección/acceso a estructuras

Ejemplo: una regla para cada caso de pila bien construida

p(pila_vacía) :- ...

p(pila(Cima,Resto)) :- ...

Ejemplo: una regla para cada caso de circuito bien construido

q(or(A,B)) :- ...

q(and(A,B)) :- ...

q(nand(A,B)) :- ...

q(not(A)) :- ...


Usos de la unificación (V)

Mecanismo de cómputo

Ejemplo:puntos representados por el functor punto/2:

punto(2,3)

segmentos representados por el functor seg/2:seg(punto(1,1),punto(2,5))

procedimientos vertical/1 y horizontal/1:vertical(seg(punto(X,Y1),punto(X,Y2))).

horizontal(seg(punto(X1,Y),punto(X2,Y))).

?- vertical(S), horizontal(S).

S= seg(punto(A,B),punto(A,B))

Prolog = Programación Lógica


Prolog= Programación Lógica

La idea fundamental de la programación lógica es que:

“La lógica puede utilizarse como lenguaje de programación”

Esta idea se fundamenta en tres equivalencias:

términos como estructuras de datosfórmulas como programasdeducciones como cómputos


Términos como estructuras de datos

Sean:CCCC un conjunto no vacío de constantesVVVV un conjunto no vacío de variablesFFFF un conjunto no vacío de funciones

El conjunto de términos de primer orden TTTT se define inductivamente:

1. c ∈∈∈∈ CCCC es un término 2. v ∈∈∈∈ VVVV es un término3. f(t1,...,tn) es un término sii f ∈∈∈∈ FFFF y ti ∈∈∈∈ TTTT

4. no hay más términos en TTTT que los definidos por 1-3

Los términos Prolog equivalen a los términos de primer orden T T T T


Fórmulas como programas (I)

Sean:PPPP un conjunto no vacío de predicadosel conjunto de conectivas ⊥⊥⊥⊥, , ∧∧∧∧, ∨∨∨∨, ¬¬¬¬, ⇒⇒⇒⇒el conjunto de cuantificadores ∃∃∃∃, ∀ ∀ ∀ ∀ el conjunto de signos de puntuación (, )

El conjunto de fórmulas bien formadas (fbfs) se define inductivamente:

1. p(t1,...,tn) donde ti ∈∈∈∈ TTTT y p ∈∈∈∈ PPPP es una fbf2. si f y g son fbfs y x ∈ V∈ V∈ V∈ V, también son fbfs:

⊥⊥⊥⊥, , f ∧ g, f ∨ g, ¬ f, f ⇒ g,

∃ x.f(x), ∀∀∀∀ x.f(x), (f)

3. No hay más fbfs que las definidas por 1-2


Fórmulas como programas (II)

Un átomo es una fbf de la forma p(t1,...,tn)Un literal es un átomo p(t1,...,tn) o su negación ¬ p(t1,...,tn)

Una cláusula es una disyunción de literales L1∨ ...∨ LnUna cláusula de Horn es una cláusula con a lo más un literalpositivoUna cláusula de Horn definida es una cláusula conexactamente un literal positivo

Toda regla, hecho u objetivo Prolog puede traducirse a una cláusula de Horn, definida o no


Fórmulas como programas (III)

La regla Prolog:p(XXXX):- c1(YYYY1), ..., cn(YYYYn).

equivale a la implicación universalmente cuantificada:∀∀∀∀ XXXX,YYYY1,..., YYYYn. (c1(YYYY1) ∧∧∧∧ ...∧∧∧∧ cn(YYYYn)) ⇒⇒⇒⇒ p(XXXX)

por definición A ⇒⇒⇒⇒ B ≡≡≡≡ ¬¬¬¬ A ∨∨∨∨ B, de donde:∀∀∀∀ XXXX,YYYY1,..., YYYYn. ¬¬¬¬(c1(YYYY1) ∧∧∧∧ ...∧∧∧∧ cn(YYYYn)) ∨∨∨∨ p(XXXX)

aplicando De Morgan obtenemos:∀∀∀∀ XXXX,YYYY1,..., YYYYn. ¬¬¬¬c1(YYYY1) ∨∨∨∨ ...∨∨∨∨ ¬¬¬¬cn(YYYYn) ∨∨∨∨ p(XXXX)

cabeza = conclusión cuerpo= condiciones

literales negativos literal positivo


Fórmulas como programas (IV)

El hecho Prologp(XXXX).

equivale a la implicación universalmente cuantificada:∀∀∀∀ XXXX. ⇒⇒⇒⇒ p(XXXX)

por definición A ⇒⇒⇒⇒ B ≡≡≡≡ ¬¬¬¬ A ∨∨∨∨ B, de donde:

∀∀∀∀ XXXX. ¬¬¬¬ ∨∨∨∨ p(XXXX)

de donde obtenemos:∀∀∀∀ XXXX. p(XXXX)

literal positivo

relación incondicional


Fórmulas como programas (y V)

El objetivo Prolog::- c1(YYYY1), ..., cm(YYYYm).

equivale a la implicación universalmente cuantificada:∀∀∀∀ YYYY1,..., YYYYm. (c1(YYYY1) ∧∧∧∧ ...∧∧∧∧ cm(YYYYm)) ⇒⇒⇒⇒ ⊥⊥⊥⊥

por definición A ⇒⇒⇒⇒ B ≡≡≡≡ ¬¬¬¬ A ∨∨∨∨ B, de donde:∀∀∀∀ XXXX,YYYY1,..., YYYYm. ¬¬¬¬(c1(YYYY1) ∧∧∧∧ ...∧∧∧∧ cm(YYYYm)) ∨∨∨∨ ⊥⊥⊥⊥

aplicando De Morgan obtenemos:∀∀∀∀ XXXX,YYYY1,..., YYYYm. ¬¬¬¬c1(YYYY1) ∨∨∨∨ ...∨∨∨∨ ¬¬¬¬cm(YYYYm)

cuerpo= preguntas

literales negativos


Deducciones como cómputos (I)

Un programa y un objetivo Prolog pueden traducirse a un conjunto de cláusulas de Horn.

Ejemplo:

p(X,Z) :- ∀∀∀∀ x,y,z.¬ ¬ ¬ ¬ q(x,y)∨∨∨∨ ¬ ¬ ¬ ¬ p(y,z)∨∨∨∨ p(x,z)

q(X,Y),

p(Y,Z).

p(X,X). ∀∀∀∀ x. p(x,x)

q(a,b). q(a,b)

:- p(X,b). ∀∀∀∀ x.¬¬¬¬ p(x,b)

La ejecución del programa se corresponde entonces con una deducción controlada y constructiva; es decir, una deducción que se ajusta a cierta estrategia e instancia variables


Deducciones como cómputos (II)

La deducción se basa en la regla de resolución de Robinson.

Sean una cláusula C1 donde aparece un literal A(UUUU) y una cláusula C2 donde aparece el literal opuesto ¬¬¬¬ A(VVVV). Sea ΘΘΘΘ un umg de C1y C2 ΘΘΘΘ = unificar(A(UUUU),A(VVVV)). Si ambas cláusulas son ciertas se puede deducir que:

A(UUUU) ∨∨∨∨ B(XXXX)

(B(XXXX) ∨∨∨∨ C(YYYY))ΘΘΘΘ

¬¬¬¬ A(VVVV) ∨∨∨∨ C(YYYY)


Deducciones como cómputos (III)

la invocación del procedimiento Prolog p/2:

p(X1,Z1) :-

q(X1,Y1),

p(Y1,Z1).

:- p(X,b).

:- q(X,Y1),p(Y1,b)

X1/X,Z1/b

∀ x,y,z.¬ q(x,y)∨ ¬ p(y,z)∨ p(x,z)

∀ x. ¬¬¬¬ p(x,b)

∀ x,y.

(¬q(x,y)∨ ¬p(y,z))Θ

equivale a una deducción por resolución:

donde unificar(p(x1,z1),p(x,b))= x1/x,z1/b= ΘΘΘΘ


Deducciones como cómputos (IV)

El método de resolución es un método de refutación:

Ω O ≡ Ω ∪ ¬ O

En lugar de demostrar que O es consecuencia lógica de Ω (Ω O), demostramos que Ω ∪ ¬ O es inconsistente (Ω ∪ ¬ O )

MMMM(ΩΩΩΩ) MMMM(OOOO)

MMMM(¬O¬O¬O¬O)

MMMM(ΩΩΩΩ)

MMMM(OOOO)

MMMM(¬O¬O¬O¬O)

Ω O Ω O


Deducciones como cómputos (V)

Prolog razona por refutación

Dado el programa Prolog, la pregunta :¿existe algún X que sea hermano de silvia?

se formaliza con el objetivo::- hermanos(silvia,X).

que equivale a las fórmulas:∀∀∀∀x. ¬¬¬¬hermanos(silvia,x) ≡≡≡≡

¬¬¬¬ ∃∃∃∃x. hermanos(silvia,x)

El objetivo se niega y Prolog trata de refutarlo encontrando un contramodelo (X=fernando).


Deducciones como cómputos (VI)

Necesitamos un método que genere una secuencia de resolventes

Resolución por saturación (Robinson)Ro(ΩΩΩΩ ∪ ¬ O)= Ω Ω Ω Ω ∪ ¬ O, ..., Ri+1=R(Ri(ΩΩΩΩ ∪ ¬ O))

Resolución lineal (Loveland/Luckham)

Resolución lineal ordenada (Kowalski/Kuenner)Similar a la anterior, estableciendo un orden en los literales

Estos métodos no son apropiados como motor de inferencia...

CCCCi BBBBi

CCCCi+1

BBBBi ∈ ∈ ∈ ∈ Ω Ω Ω Ω ∪ ∪ ∪ ∪ ¬ ¬ ¬ ¬ O∨∨∨∨ BBBBi=CCCCk,k<i


Deducciones como cómputos (VII)

Necesitamos un método de resolución que genere una secuencia de resolventes Ci tal que C0 =¬ O y Ci+1=R(Ci,ω), ω ∈ Ω

Es decir, los objetivos Ci se va transformando aplicando los procedimientos definidos en el programa Ω

Esto es posible siempre que las cláusulas de Ω sean cláusulas de Horn definidas y los Ci tengan todos los literales negativos

CCCCi

CCCCi+1

ω ω ω ω ∈∈∈∈ ΩΩΩΩ


Deducciones como cómputos (VIII)

SLD-Resolución (Selective Linear for Definite clauses)

Sean:

Ω un conjunto de cláusulas de Horn definidasO una cláusula de Horn sin literal positivo

O ≡ ¬O1 ∨ ¬ O2 ∨...∨ ¬ On

S una regla de selección que, dada una cláusula de Horn sinliteral positivo, devuelva “uno” de sus literales

S(¬O1 ∨ ¬ O2 ∨...∨ ¬ On) = ¬Oi

B una regla de búsqueda que, dados ¬Oi y Ω devuelva unacláusula P ∨ ¬C1 ∨ ... ∨ ¬Cn ∈ Ω tal que umg(Oi,P)=Θ


Deducciones como cómputos (IX)

Algoritmo Refutación_SLD(ΩΩΩΩ,OOOO)

1) R:= OOOO

2) ObjAtm_i:= SSSS(¬O¬O¬O¬O1 ∨∨∨∨ ¬¬¬¬ OOOO2 ∨∨∨∨...∨∨∨∨ ¬¬¬¬ OOOOn)

3) Cláusula:= BBBB(ΩΩΩΩ,ObjAtm_i)

donde Cláusula= PPPP ∨∨∨∨ ¬¬¬¬ CCCC1 ∨∨∨∨ ... ∨∨∨∨ ¬ C¬ C¬ C¬ CmSi no existe tal cláusula

parar(“refutación acabada en fallo”)

4) ΘΘΘΘ:= unificar(PPPP,ObjAtm_i)

5) R:= (R – ObjAtm_i ∪∪∪∪ (¬¬¬¬ CCCC1 ∨∨∨∨ ... ∨∨∨∨ ¬ C¬ C¬ C¬ Cm))ΘΘΘΘ

6) Si R=

parar(“refutación acabada en éxito”)

sino ir al paso 2)

El algoritmo construye sólo una refutación por SLD-Resolución


Deducciones como cómputos (X)

Fijadas una S y una B, un árbol SLD contempla todas las refutaciones posibles ordenando las cláusulas para resolver Ojsegún B :

Las ramas pueden acabar en fallo, éxito o ser infinitasS afecta significativamente a la forma del árbol SLD (nº hijos...)B sólo permuta las ramas del árbol SLD

¬¬¬¬O1 ∨...∨ ¬¬¬¬OOOOj ∨...∨ ¬¬¬¬On

(¬¬¬¬O1 ∨...∨ ¬¬¬¬ CCCC1 ∨∨∨∨ ... ∨∨∨∨ ¬ C¬ C¬ C¬ Cm ∨...∨ ¬¬¬¬On)θθθθ1. ...

.......1 K

SSSS

BBBB


Deducciones como cómputos (XI)

Los árboles de búsqueda Prolog son árboles SLD donde:

La regla de selección S elige el literal más a la izquierdaLa regla de búsqueda B elige las cláusulas “de arriba abajo”El árbol se construye primero en profundidad (se pierde lacompletitud por las ramas cíclicas/infinitas)

Cada rama del árbol de búsqueda codifica un intento de refutación por SLD-Resolución del objetivo O respecto del programa Ω


Capacidad expresiva de las cláusulas de Horn

Para responder a la pregunta:

¿Qué capacidad expresiva tienen las cláusulas de Horn?

codificaremos un autómata finito (AF) en Prolog

Un AF es un quíntupla 〈Q〈Q〈Q〈Q,QQQQoooo,FFFF,AAAA,δδδδ〉〉〉〉 donde:QQQQ es un conjunto de estadosQQQQ es un estado inicial (QQQQ ∈∈∈∈ QQQQ)FFFF es un conjunto de estados finales (FFFF ⊆⊆⊆⊆ QQQQ)AAAA es un alfabetoδδδδ es una función de transición δδδδ:QQQQ ×××× AAAA →→→→ QQQQ

Un AF reconoce cadenas de un lenguaje regular


Un ejemplo de autómata finito

El autómata finito de la figura reconoce el lenguaje a*bc (d* | e*)f

q0 q1

q2

q3

q4

a

b

c

c

e

d

f

f


Objetos del AF

En la definición del AF, identificamos el alfabeto y los estados

alfabeto átomos a,b,c,d,e,f,$estados átomos q0,q1,q2,q3,q4

Además, el AF recibirá una cadena de entrada en una cintacadena functor cinta/2

Cadena::= cinta(átomo,Cadena)

| $

La cadena “abcdf” se representa por el términocinta(a,cinta(b,cinta(c,(cinta(d,(cinta(f,$)))))))


Relaciones del AF

Función de transición δδδδ

definimos el procedimiento delta/3

por cada transición δδδδ(qi,s) = qjintroducimos un hecho delta(qi,s,qj).

Estado inicial QQQQoooo

definimos el procedimiento inicial/1

mediante el único hecho inicial(q0).

Estados finales FFFF

definimos el procedimiento final/1

mediante el hecho final(q4).


Reconocimiento de la cadena

El reconocimiento es una relación entre una cadena y un estado

reconoce(Q,S) - “El AF reconoce la cadena S desde el estado Q”

El procedimiento reconoce/2 se define recursivamente:

reconoce(Q,'$') :-

final(Q).

reconoce(Q,cinta(C,Resto)) :-

delta(Q,C,QN),

reconoce(QN,Resto).


El programa Prolog completo

% delta/3

delta(q0,a,q0).

delta(q0,b,q1).

delta(q1,c,q2).

delta(q1,c,q3).

delta(q2,d,q2).

delta(q2,f,q4).

delta(q3,e,q3).

delta(q3,f,q4).

% inicial/1

inicial(q0).

% final/1

final(q4).

% reconoce/2

reconoce(Q,cinta(C,Resto)) :-

delta(Q,C,QN),

reconoce(QN,Resto).

reconoce(Q,'$') :-

final(Q).

% automata/1

automata(Cadena) :-

inicial(Q0),

reconoce(Q0,Cadena),

write_ln('cadena aceptada').


Teorema de adecuación y Turing completitud

Cualquier AF puede codificarse en Prolog siguiendo el esquema anterior.

La anterior codificación permite:representar un AF como un conjunto de cláusulas de Hornplantear un reconocimiento de la cadena como una demostración

Teorema de adecuación:Dado un AF, A, el conjunto de cláusulas de Horn Ω que lo representan y una cadena S:

A reconoce S sii Ω inicial(Q) ∧ reconoce(Q,S)

Cualquier máquina de Turing puede codificarse en Prologsiguiendo un esquema similar al anterior

principios de programación lógica 1) objetos,...

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