Principios de Econometray modelacinParte 10: Modelos autorregresivos Por Lic. Gabriel Leandro, MBA

La Metodologa Box Jenkins El mtodo Box-Jenkins de pronstico es diferente de la mayora de los mtodos. Esta tcnica no asume ningn patrn particular en los datos histricos de la serie a pronosticar. Se utiliza un enfoque iterativo de identificacin de un modelo til a partir de modelos de tipo general.

La Metodologa Box JenkinsEl modelo elegido se verifica contra los datos histricos para ver si describe la serie con precisin. El modelo se ajusta bien si los residuos entre el modelo de pronstico y los puntos de datos histricos son reducidos, distribuidos de manera aleatoria e independiente. Si el modelo especificado no es satisfactorio, se repite el proceso utilizando otro modelo diseado para mejorar el origen. Este proceso se repite hasta encontrar un modelo satisfactorio.

Modelos ARIMALos modelos ARIMA o modelos de promedio mvil autorregresivo integrado son un tipo general de los modelos de Box-Jenkins para series de tiempo estacionarias. Recuerde que una serie histrica estacionaria es aquella cuyo valor promedio no cambia a travs del tiempo.

Modelos ARIMAEste grupo incluye a:los modelos AR slo con trminos autorregresivos, los modelos MA slo con trminos de promedio mvil y los modelos ARIMA que comprenden tanto trminos autorregresivos como de promedio mvil.

Modelos ARIMAPara efectuar la seleccin del modelo apropiado:Se compara la distribucin de los coeficientes de autocorrelacin de la serie histrica que se est ajustando, con las distribuciones tericas para los distintos modelos.

Modelos ARLos modelos autorregresivos se presentaron cuando se toc el tema de las series de tiempo.Sin embargo, las ecuaciones que se plantearn ahora difieren en varias formas importantes.Antes los coeficientes de regresin se estimaban mediante el mtodo lineal de mnimos cuadrados.Ahora los coeficientes de regresin se encuentran por medio de un mtodo de mnimos cuadrados no lineal.

Modelos ARPor lo regular el mtodo de mnimos cuadrados no lineal utiliza una tcnica de solucin iterativa para calcular los parmetros en vez de usar un clculo directo. Se emplean estimaciones preliminares como puntos iniciales.Luego estas estimaciones se mejoran sistemticamente hasta encontrar valores ptimos.

Modelos ARAdems, ahora las varianzas para las ecuaciones se calculan de una forma distinta,que toma el hecho de que las variables independientes estn relacionadas entre s.Por ltimo, ahora las ecuaciones pudieran o no contener un trmino constante.

Modelos AR La modelizacin ARIMA o Box-Jenkins parte de considerar que el valor observado de una serie (un dato de una variable econmica) en un momento determinado de tiempo t es una realizacin de una variable aleatoria yt definida en dicho momento de tiempo. Por tanto, una serie de t datos es una muestra de un vector de t variables aleatorias ordenadas en el tiempo al que denominamos proceso estocstico.

Modelos AREn ocasiones pretendemos predecir el comportamiento de una variable y en un momento futuro t, a partir del comportamiento que la variable tuvo en un momento pasado, por ejemplo, en el perodo anterior, yt-1.Formalmente notaramos queyt = f(yt-1)es decir, que el valor de la variable y en el momento t es funcin del valor tomado en el perodo t-1.

Modelos ARPuesto que en el comportamiento de una variable influyen ms aspectos, debemos incluir en la relacin anterior un trmino de error, et.Este et es una variable aleatoria a la que suponemos ciertas caractersticas estadsticas apropiadas.Es decir:yt = f(yt-1, et)

Modelos ARAhora debemos elegir una forma funcional concreta para esta expresin. Por ejemplo, una forma lineal comoyt = 0 + 1yt-1 + etdonde 0 es un trmino independiente y 1 es un parmetro que multiplica al valor de la variable y en el perodo t-1.

Modelos ARUtilizando mtodos estadsticos adecuados podemos estimar los parmetros 0 y 1 de forma que estos cumplan propiedades estadsticas razonables y sean una buena (la mejor posible) estimacin. Con ello obtendramos una expresin que utilizaramos a efectos de prediccin.

Modelos AREsta es la esencia de los modelos autorregresivos (o modelos AR). Se realiza una regresin de la variable yt sobre s misma (autorregresin).Es decir, se realiza una regresin sobre los valores que la variable tom en el perodo o periodos anteriores.

Modelos ARUn aspecto importante es el orden del modelo AR. Por ejemplo, el modeloyt = 0 + 1yt-1 + etes de orden 1, y se denota como AR(1).Si se toma en el modelo como explicativas los valores de la variable y en los 2 perodos anteriores, es decir:yt = 0 + 1yt-1 + 2yt-2 + etentonces se ha especificado un AR(2).

Modelos ARDe igual forma un AR(3) vendra dado poryt = 0 + 1yt-1 + 2yt-2 + 3yt-3 +etEn general, un AR(p) viene dado poryt = 0 + 1yt-1 + 2yt-2 + + pyt-p +etEs frecuente encontrarnos con Modelos AR con un bajo orden (1 o 2).En series con componente estacional es habitual que el desfase sea coincidente con la periodicidad de los datos. En ese caso hablamos de modelos SAR.

Modelos AR en GretlSuponga que se tiene la siguiente serie de datos:25, 28, 36, 34, 29, 20, 17, 21, 19, 28, 32, 25Y que se desea emplear un modelo AR(1) para efectuar un pronstico de la serie.

Modelos AR en GretlPrimero se introduce la serie de datos.Es til observar la grfica de los datos.Men: Variable Time series plotPara aplicar el modelo AR(1):Men: Model Time series ARIMADependent variable: YtAR order: 1Difference: 0MA order: 0

Modelos AR en GretlARMA estimates using the 12 observations 1950:1-1952:4Estimated using Kalman filter (exact ML)Dependent variable: Yt

VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT P-VALUE

const 25,9867 2,69424 9,645

Modelos AR en GretlPara efectuar pronsticos:En la ventana del resultado del modelo:Men: Analysis ForecastSeleccionar periodos del pronsticoSe obtienen dos ventanas:Una es la del pronsticoOtra es el grfico

Modelos AR en GretlFor 95% confidence intervals, z(.025) = 1,96

Obs Yt prediction std. error 95% confidence interval

1951:4 21,00 21,29 1952:1 19,00 23,38 1952:2 28,00 22,34 1952:3 32,00 27,04 1952:4 25,00 29,13 1953:1 25,47 4,839 15,99 - 34,96

Modelos SARCuando se modela una serie con estacionalidad, por ejemplo, la tasa de variacin mensual de inflacin, con 12 datos al ao,la comparacin adecuada no solo debe ser, por ejemplo, de la inflacin de junio de 2004 con mayo y abril de 2004, sino con el mismo mes (junio) de los aos anteriores, en nuestro ejemplo 2003 y 2002. Ello da lugar a los modelos SAR.

Modelos SARLa formulacin sera la siguiente:Un modelo SAR(1), tambin denotado como ARs(1) viene dado por:yt = 0 + 1yt-s + etdonde s=4, si la serie a modelar es de frecuencia trimestral, o s=12, si la serie es mensual. Un modelo SAR(2) se especificara como:yt = 0 + 1yt-s + 2yt-2s + et

Modelos MAUna alternativa de modelizacin pasa por tratar de explicar el comportamiento de una variable y, no en funcin de los valores que tom en el pasado (modelos AR) sino a travs de los errores al estimar el valor de la variable en los perodos anteriores. Ello da lugar a los modelos de medias mviles.

Modelos MAPor ejemplo, un modelo MA(1) viene dado por la expresinyt = + et + 1et-1donde es el valor constante alrededor del cual se mueve la variable, y ha de ser estimado igualmente con los coeficientes .

Modelos MA en GretlSe introducen los datos.Men: Model Time series ARIMAMA order: 1

Modelos MA en GretlARMA estimates using the 12 observations 1950:1-1952:4Estimated using Kalman filter (exact ML)Dependent variable: Yt

VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT P-VALUE

const 26,1191 2,13224 12,250

Modelos MAEn general un modelo MA(q) viene dado por la expresin: yt = + et + 1et-1 + + qet-qAl igual que ocurra con los modelos AR, en series con componente estacional es frecuente que el retardo coincida con la periodicidad de los datos.

Modelos SMA En series con componente estacional (periodicidad inferior a la anual) es frecuente que en los modelos MA los retardos se establezcan no con los perodos inmediatamente anteriores, sino que sean coincidentes con la periodicidad de los datos.

Modelos SMAAs, un modelo SMA(1),o MAs(1) vendra dado por:yt = + et + 1et-sdonde s=4, si la serie a modelar es de frecuencia trimestral, o s=12, si la serie es mensual. Un modelo SMA(2) se especificara como:yt = + et + 1et-s + 2et-2s

Modelos ARMAEntre los modelos AR y los Modelos MA existe una relacin que, bajo ciertas condiciones, es til conocer.Los modelos ARMA integran a los modelos AR y a los modelos MA en una nica expresin. Por tanto, la variable y queda explicada en funcin de los valores tomados por la variable en perodos anteriores y los errores cometidos en la estimacin.

Modelos ARMAUna expresin general de un modelo ARMA (p, q) viene dada poryt = + 1yt-1 + + pyt-p + et + 1et-1 + + qet-qque, es la unin de un modelo AR(p) y un modelo MA(q).Obviamente, los modelos AR(p) se corresponden con modelo ARMA(p,0),mientras que los modelos MA(q) se corresponden con ARMA(0,q).

Modelos ARIMAPara la obtencin de estimaciones con propiedades estadsticas adecuadas de los parmetros de un modelo ARMA, es necesario que la serie muestral que utilizamos para la estimacin sea estacionaria en media y varianza. En un sentido laxo del trmino diramos que precisamos que la serie:no tenga tendencia, y que presente un grado de dispersin similar en cualquier momento de tiempo.

Modelos ARIMAA efectos prcticos, el cumplimiento de esta propiedad pasa por tomar logaritmos y diferenciar adecuadamente la serie original objeto de estudio. Con la serie ya tratada para convertirla en estacionaria ya es posible estimar un Modelo ARMA.

Modelos ARIMAUn Modelo Autorregresivo-Integrado de Medias Mviles de orden p, d, q abreviadamente ARIMA(p,d,q), no es ms que un modelo ARMA (p,q) aplicado a una serie integrada de orden d,es decir, una serie a la que ha sido necesario diferenciar d veces para eliminar la tendencia.

Modelos ARIMAPor lo tanto, la expresin general de un modelo ARIMA(p,d,q) viene dada por

dyt = 1dyt-1 + + pdyt-p + et + 1et-1 + + qet-q

donde dyt , expresa que sobre la serie original yt, se han aplicado d diferencias.

Modelos ARIMAPor lo tanto, sobre una serie integrada de orden 2, necesitara una doble diferenciacin, lo cual se expresa como:2yt = (yt) = (yt - yt-1) - (yt-1 - yt-2)Observe que en la expresin del ARIMA(p.d.q) desaparece el trmino independiente, justamente por la aplicacin de las diferencias sucesivas.

Modelos ARIMACuando la estimacin del modelo ARMA se haya realizado con una serie diferenciada, a efectos de prediccin, es necesario recalcularla integrando nuevamente la serie.Por ejemplo, si mediante un modelo ARMA (1,1) se obtuviera unos valores de prediccin yt, se obtendr la prediccin final mediante: yt = yt-1 + yt

Modelos ARIMAEn la estimacin de los modelos ARIMA el problema principal parte de identificar el modelo que mejor describe el fenmeno (la serie econmica) a predecirEsto es, la clave de una buena prediccin pasa por determinar el ms adecuado de los rdenes del autorregresivo, de la media mvil, y el orden de integrabilidad.

Modelos ARIMAPara la determinacin del orden de integrabilidad, esto es, para determinar el nmero de veces que ser necesario diferenciar la serie para hacerla estacionaria en media, existen dos procedimientos fundamentales de deteccin del nmero de races unitarias,aparte de la simple representacin grfica, que no es ms que un mtodo intuitivo.

Modelos ARIMAEstos mtodos para determinar el orden de integrabilidad son:Test Dickey-Fuller o Test Dickey-Fuller Aumentado (abreviadamente DF o ADF respectivamente) yel Test de Phillips-Perron (Test PP).

Modelos ARIMAPara la obtencin del orden (p,q) se realiza una comparacin entre:las caractersticas que dos importantes funciones estadsticas presentan para los distintos modelos ARIMA tericos ylas caractersticas que tales funciones, presentan en la serie objeto de estudio pero a nivel muestral.

Modelos ARIMATales funciones estadsticas son:la funcin de autocorrelacin (fac), yla funcin de autocorrelacin parcial (facp).Estas son los dos instrumentos bsicos en la fase de identificacin del ARIMA, al permitirnos inferir el verdadero mecanismo subyacente que han generado los datos.

Modelos ARIMALa fac y la facp estimadas para nuestra serie siempre se alejarn de cualquiera de las funciones de los modelos tericos. La clave est en la mayor aproximacin de nuestra serie a uno u otro modelo.Una vez identificado el modelo que subyace a nuestra serie, ya es posible la estimacin de los parmetros del modelo.

Autocorrelaciones parcialesAl principio, el analista pudiera no darse cuenta del orden apropiado del proceso autorregresivo para ajustarlo a una serie histrica. A este mismo tipo de problema se enfrent al decidir el nmero de variables independientes a incluir en un modelo de regresin mltiple.

Autocorrelaciones parcialesLas autocorrelaciones parciales se emplean para ayudar a identificar el grado de relacin entre los valores reales de una variable y valores anteriores de la misma.Esto mientras que se mantienen constantes los efectos de las otras variables (perodos retrasados).

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunesLas figuras siguientes muestran las ecuaciones de un modelo AR(1), AR(2), MA(1), MA(2) y ARIMA(1,1).Se ilustra el comportamiento de las funciones tericas de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para estos modelos.

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunes

Distribuciones tericas de los coeficientes de autocorrelacin y autocorrelacin parcial para algunos de los modelos ARIMA ms comunesAl seleccionar un modelo, recuerde que las distribuciones que se muestran son tericas y que es muy improbable que las autocorrelaciones de datos reales sean exactamente idnticas a cualquiera de las distribuciones tericas. Se debe, mediante prueba y error, poder ubicar en forma adecuada.

Modelos ARIMA en GretlConsidere la serie:25, 28, 36, 34, 29, 20, 17, 21, 19, 28, 32, 25Construya un correlograma y determine cul modelo ARIMA puede ser ms apropiado.

Modelos ARIMA en GretlAutocorrelation function for Yt

LAG ACF PACF Q-stat. [p-value]

1 0,5597 * 0,5597 * 4,7850 [0,029] 2 0,0015 -0,4541 4,7851 [0,091] 3 -0,3550 -0,1871 7,1370 [0,068] 4 -0,5475 * -0,3489 13,4311 [0,009] 5 -0,3335 0,1742 16,1010 [0,007] 6 -0,0761 16,2631 [0,012] 7 0,1301 16,8320 [0,019] 8 0,1463 17,7312 [0,023] 9 -0,0071 17,7341 [0,038] 10 -0,0218 17,7741 [0,059] 11 0,0033 17,7760 [0,087]

Modelos ARIMA en Gretl

Modelos ARIMA en GretlUn modelo ARIMA(1,1) parece ser ms adecuado que un modelo AR(1), AR(2), MA(1) o MA(2).A continuacin se muestra el resultado de un modelo ARIMA(1,0,1).

Modelos ARIMA en GretlARMA estimates using the 12 observations 1950:1-1952:4Estimated using Kalman filter (exact ML)Dependent variable: Yt

VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT P-VALUE

const 26,1094 2,30529 11,326

Estacionalidad y Modelos ARIMA Los modelos ARIMA adquieren su mayor protagonismo en la prediccin a corto plazo de series de frecuencia inferior a la anual (trimestral, mensual o incluso diaria). Por ello el tratamiento de la estacionalidad tiene un papel central en la metodologa.

Estacionalidad y Modelos ARIMAEn series con estacionalidad no slo hay que modelar la componente regular (o no estacional) sino tambin la componente estacional.En esos casos, lo normal es manejar un modelo producto de dos:ARIMA(p,d,q)*SARIMA(P,D,Q)Donde la primera parte corresponde a la parte regular, y la segunda a la estacional.

Estacionalidad y Modelos ARIMAA efectos de identificacin del modelo estacional, se debe tener presente que la componente estacional tambin puede presentar una tendencia. Por ello, tal componente puede precisar de una o varias diferencias de orden estacional.

Estacionalidad y Modelos ARIMAPor ejemplo, para datos mensuales:12yt = (1 - B12)yt = yt - yt-1212yt = (1 - B12)yt = (yt - yt-12) - (yt-12 - yt-24)

Estacionalidad y Modelos ARIMAEn series con estacionalidad la identificacin adquiere matices. Junto a la identificacin del orden del autorregresivo y de la media mvil de la componente regular (ya comentado) se debe identificar los rdenes de la componente estacional. Para ello las reglas de identificacin son similares a las comentadas para la parte estacional, pero adaptadas a la frecuencia de la serie. Es decir, en una serie mensual, se presta atencin a los valores de las funciones para los retardos 12, 24, 36,... En una serie trimestral se fija la atencin para los retardos 4, 8, 12,...

Fases de aplicacin de la metodologa ARIMA Aunque la identificacin es la etapa sobre la que pivota toda la metodologa ARIMA, lo cierto es que la aplicacin de estos modelos necesita abordar un conjunto de fases entre las que existe un proceso continuo de mejora.Algunos detalles de estas fases ya se han ido analizando.

Fases de aplicacin de la metodologa ARIMASe pueden sintetizar las etapas de una aplicacin ARIMA en las siguientes:Recogida de datos.Representacin grfica.Transformacin previa.Eliminacin de tendencia.Identificacin del modelo.

Fases de aplicacin de la metodologa ARIMAEstimacin de coeficientes.Contraste de validez.Anlisis de errores.Seleccin del modelo. Prediccin.

EjercicioLa tabla muestra los 55 promedios de cierre diario de un ndice burstil.Analice el comportamiento de los datos a travs de la metodologa expuesta en esta presentacin.

nPCierrenPCierrenPCierrenPCierre1222,3415223,0729246,7443249,82222,2416225,3630248,7344251,73221,1717227,631248,8345253,44218,8818226,8232248,78462525220,0519229,6933249,6147248,86219,6120229,334249,948247,87216,421228,9635246,4549249,38217,3322229,9936247,57502489219,6923233,0537247,7651251,410219,322423538247,8152254,711218,2525236,1739250,6853258,612220,326238,3140251,854259,313222,5427241,1441251,0755261,514223,5628241,4842248,05

SolucinEl anlisis puede iniciar observando el comportamiento de la serie a travs de una grfica.En Gretl:Abrir datos.Seleccionar PCierreVariable Time series plot

SolucinLa grfica parece mostrar una cierta tendencia en los datos.El primer paso para identificar un modelo tentativo es observar los coeficientes de autocorrelacin de los datos.En Gretl:Seleccionar PCierreVariable Correlogram Maximum lag: 24

Autocorrelation function for PCierre

LAG ACF PACF Q-stat. [p-value]

1 0,9505 *** 0,9505 *** 52,4554 [0,000] 2 0,8999 *** -0,0376 100,3587 [0,000] 3 0,8471 *** -0,0488 143,6242 [0,000] 4 0,7954 *** -0,0171 182,5157 [0,000] 5 0,7480 *** 0,0159 217,5930 [0,000] 6 0,7075 *** 0,0441 249,6182 [0,000] 7 0,6582 *** -0,1194 277,9149 [0,000] 8 0,6092 *** -0,0269 302,6734 [0,000] 9 0,5608 *** -0,0178 324,1034 [0,000] 10 0,5051 *** -0,1020 341,8805 [0,000] 11 0,4405 *** -0,1350 355,7054 [0,000] 12 0,3810 *** 0,0028 366,2879 [0,000] 13 0,3275 ** 0,0346 374,2958 [0,000] 14 0,2773 ** -0,0178 380,1772 [0,000] 15 0,2150 -0,1968 383,8016 [0,000] 16 0,1515 -0,0612 385,6470 [0,000] 17 0,0931 0,0459 386,3626 [0,000] 18 0,0388 -0,0096 386,4900 [0,000] 19 -0,0083 -0,0025 386,4959 [0,000] 20 -0,0531 -0,0389 386,7486 [0,000] 21 -0,0966 0,0037 387,6090 [0,000] 22 -0,1470 -0,1314 389,6631 [0,000] 23 -0,1930 -0,0355 393,3107 [0,000] 24 -0,2333 * 0,0417 398,8153 [0,000]

SolucinAl observarse que las primeras 12 autocorrelaciones parecen descender a cero, entonces podra decirse que la apreciacin inicial de que existe tendencia era correcta.Para resolver este problema puede diferenciarse la serie.

SolucinEn Gretl:Seleccionar PCierreAdd First differences of selected variablesDespus graficar:Seleccionar PCierreVariable Time series plotAnalizar autocorrelograma:Seleccionar PCierreVariable Correlogram Maximum lag: 24

Autocorrelation function for d_PCierre

LAG ACF PACF Q-stat. [p-value]

1 0,1853 0,1853 1,9594 [0,162] 2 -0,0437 -0,0809 2,0707 [0,355] 3 0,0927 0,1214 2,5801 [0,461] 4 0,1358 0,0944 3,6955 [0,449] 5 -0,1099 -0,1506 4,4408 [0,488] 6 -0,0945 -0,0382 5,0036 [0,543] 7 0,1102 0,1081 5,7846 [0,565] 8 -0,0877 -0,1477 6,2898 [0,615] 9 -0,1959 -0,1045 8,8690 [0,449] 10 0,0690 0,1251 9,1961 [0,514] 11 -0,0422 -0,1495 9,3214 [0,592] 12 -0,0444 0,0797 9,4633 [0,663] 13 -0,0093 0,0095 9,4698 [0,737] 14 0,0948 0,0064 10,1493 [0,751] 15 0,0246 0,0538 10,1961 [0,807] 16 -0,0857 -0,0823 10,7810 [0,823] 17 -0,0558 -0,1180 11,0359 [0,855] 18 -0,2678 ** -0,2786 ** 17,0604 [0,519] 19 -0,2473 * -0,1496 22,3434 [0,268] 20 -0,0860 -0,0536 23,0019 [0,289] 21 -0,0961 -0,0718 23,8475 [0,301] 22 -0,0782 0,0047 24,4252 [0,325] 23 -0,1513 -0,1472 26,6587 [0,271] 24 0,0606 0,0616 27,0283 [0,303]

SolucinLa grfica de las autocorrelaciones de los datos diferenciados muestra que los datos son estacionarios.En consecuencia se puede aplicar la metodologa Box Jenkins para modelar los datos.

SolucinARIMA estimates using the 11 observations 1950:2-1952:4Estimated using Kalman filter (exact ML)Dependent variable: (1-L) Yt

VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT P-VALUE

const 8,31905 0,942006 8,831