principios constructivistas para la educación matematica

REVISTA EMA 1998, VOL. 4, N 1, 16-31

PRINCIPIOS CONSTRUCTIVISTAS PARA LA EDUCACIN MATEMTICA

GUILLERMINA WALDEGG

Las concepciones de los educadores respecto al conocimiento matem-tico cul es su naturaleza, cmo se desarrolla, cmo se transmite,etctera determinan el tipo de prctica educativa a la que se vernsometidos los estudiantes. Las corrientes constructivistas han tratadode modificar las concepciones de los maestros otorgando un papel msactivo al educando; sin embargo, una transformacin de este tiporeclama un cambio integral que incluye tanto programas de actualiza-cin para los docentes en ejercicio, como una revisin cuidadosa delos contenidos curriculares, los textos y materiales didcticos, los pro-cesos de evaluacin y los programas de formacin inicial de los futu-ros enseantes. En este artculo se analizan los principios de base delas epistemologas constructivistas y la manera como stos inciden encada una de las facetas de la educacin matemtica.

CONSTRUCTIVISMO COMO TEORA EPISTEMOLGICA

Las teoras constructivistas son, ante todo, teoras epistemolgicas; esdecir, son teoras que nos proveen de una explicacin de cmo se produceel conocimiento, y de cules son las condiciones para que esta produccintenga lugar. Existen, hoy en da, muchas corrientes epistemolgicas quereclaman el apelativo de constructivistas y como, en general, han tenidouna fuerte influencia en la educacin matemtica en todo el mundo, vale lapena aqu tratar de determinar lo que tienen en comn todas ellas para, apartir de ah, precisar sus efectos en cada una de las componentes que con-forman los procesos educativos de las matemticas.

Definido de manera mnima, el conocimiento es la puesta en relacin deun sujeto cognoscente con un objeto de conocimiento, por la intermediacinde una estructura operatoria. Esto significa que cada vez que se enuncia unaproposicin que traduce un saber se movilizan estos tres elementos el su-jeto, el objeto y la estructura. Dos ejemplos ayudarn a clarificar este intentode definicin: La golondrina es un ave es una proposicin que refleja unconocimiento; se trata de un enunciado que manifiesta que un sujeto ha pro-cedido a realizar una operacin de clasificacin y que, al final de esta opera-cin, puede identificar un objeto que pertenece al gnero ave. El segundoejemplo es un poco ms complejo pero satisface la misma descripcin: Los

PRINCIPIOS CONSTRUCTIVISTAS PARA LA EDUCACIN MATEMTICA 17

cuerpos se atraen en razn directa a sus masas y en razn inversa a la distan-cia que los separa. Esta es una proposicin que supone un sujeto (Newton)que ha puesto los objetos del mundo en relacin gracias a estructuras cogni-tivas como funciones, nmeros, coordenadas espaciales, etctera.

Las teoras del conocimiento se preguntan sobre el origen y la naturalezade las estructuras que el sujeto requiere para describir el objeto de conoci-miento al cual se est enfrentando. Es razonable entonces proponer una ti-pologa general que nos permita ubicar, de manera econmica, lasprincipales corrientes epistemolgicas a partir de nuestra definicin mnimade conocimiento (ver Tabla N 1).

Esta manera de considerar el espacio intermedio entre el sujeto y el objetoen el acto de conocer tiene algunas ventajas. Nos permite, por ejemplo, com-prender cmo la lgica se vuelve, despus de Aristteles, la ciencia de lasestructuras generales que se interponen entre el sujeto y el objeto. Si la l-gica se polariza hacia el sujeto, se confunde con la psicologa; si se centraen el objeto, se asimila a la ontologa1. Si se sita resueltamente en el espa-cio intermedio entre sujeto y objeto, se define como el estudio de las con-diciones formales de la verdad.

Lo que distingue una teora del conocimiento de una lgica, en el sentidoque acabamos de sugerir, es que la teora del conocimiento no se limita adescribir la estructura que condiciona la produccin de la verdad; sino que,adems, busca evaluar las partes que corresponden al sujeto y al objeto enla constitucin de un saber. Es as que la reflexin filosfica sobre el acto deconocer, desde muy temprano, se plante el problema del origen del cono-cimiento en forma de una disyuntiva: o bien el conocimiento es el resultadodel registro de la informacin ya organizada en el mundo exterior (comoafirman los empiristas), o bien, es producido por el sujeto que posee la fa-cultad de organizar los datos inmediatos de la percepcin (como lo aseguran

1. La ciencia que estudia el Ser en tanto Ser y sus atributos esenciales (Aristteles).

Si la estructura se origina en

La teora es

el sujeto racionalista

el objeto empirista

el objeto y el sujeto constructivista

la relacin estructuralista

ninguno de ellos idealismo de tipo platnico

Tabla N 1. Tipologa de corrientes epistemolgicas

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los racionalistas). Aristteles, Descartes, Locke, Leibniz, Hume y Kant sonalgunos de los muchos protagonistas de debates abiertos por esta disyuntivaque se ha vuelto cannica en la historia de la filosofa. Las corrientes cons-tructivistas constituyen el tertium (la tercera opcin) ante esta disyuntiva, yaque sitan el origen y la naturaleza de las estructuras operatorias que medianentre el sujeto y el objeto en la interaccin entre stos.

HIPTESIS DE BASE DE LAS TEORAS CONSTRUCTIVISTAS

Las corrientes constructivistas de la actualidad, que han tenido resonanciaen la educacin, tienen sus orgenes en dos grandes vertientes desarrolladasen la primera mitad de este siglo, la primera, atribuida a Piaget y, lasegunda, a Vygotsky; la primera pone un nfasis mayor en el individuo, lasegunda, lo pone en la sociedad. Sin embargo, lejos de tratar de sealar susdiferencias y prolongar una discusin que se ha vuelto particularmenteefervescente en los ltimos tiempos, me interesa aqu reconocer el ncleocomn que nos hace identificarlas como teoras constructivistas; estencleo comn est compuesto por sus supuestos tericos: tanto las teorasoriginales como las derivadas de ellas comparten una serie de hiptesissobre las que est construido todo el cuerpo terico. Estas hiptesis, que serevisarn brevemente a continuacin, son de tres tipos:

hiptesis gnoseolgicas, que explican qu es el conocimiento,

hiptesis metodolgicas, que se refieren a cmo evoluciona elconocimiento,

hiptesis ticas, concernientes al valor social del conocimiento.

Hiptesis gnoseolgicas (qu es el conocimiento)

Hiptesis fenomenolgica2

La primera de las hiptesis sobre la naturaleza del conocimiento, que cons-tituye la hiptesis central de todo acercamiento constructivista, es la lla-mada hiptesis fenomenolgica. Una frase de Piaget, citada a menudodesde hace algunos aos por las epistemologas constructivistas, puedeintroducir esta hiptesis sugiriendo su potencial riqueza cognitiva. Se tratade un extracto de La construccin de lo real en el nio ttulo ms que

2. El fenmeno, segn Kant, es el objeto de la experiencia posible frente a lo que es simpleapariencia ilusoria y frente a lo que est ms all de la experiencia misma. El fenmeno seopone al noumeno (la cosa en s).


significativo una de las primeras obras del psiclogo del desarrollo cog-nitivo que era Piaget en 1937:

La inteligencia (y entonces la accin de conocer) no empieza as porel conocimiento de m, ni por el conocimiento de las cosas como ta-les, sino por el conocimiento de su interaccin; es orientndose si-multneamente hacia los dos polos de esta interaccin que lainteligencia organiza al mundo organizndose ella misma (p. 311).

La hiptesis fenomenolgica, en una expresin ms coloquial, supone queel conocimiento tiene su origen en la accin mutua del individuo y de su me-dio (fsico o social) y, entonces, en la experiencia3 del individuo; pero estaexperiencia no es slo la experiencia vivida, sino que incluye tambin la ex-periencia cognitiva y, en general, la experiencia posible en el sentido deKant4.

Aceptar que el conocimiento tiene una naturaleza fenomenolgica nospermite explicar algunas de las caractersticas de la cognicin:

Irreversibilidad de la cognicin. El concepto de accin implica el de tem-poralidad; la instantaneidad absoluta parece inconcebible al sujeto cognos-cente porque no ha tenido jams esta experiencia cognitiva.

Dialctica de la cognicin. La hiptesis fenomenolgica permite expresarel carcter dialctico que el sujeto cognoscente atribuye a sus percepciones;y que puede sintetizarse en la frmula de Pascal: Todas las cosas son cau-sadas y causantes, ayudadas y ayudantes, mediatas e inmediatas [...]. Estacaracterizacin dialctica de lo real cognoscible debe, sin duda, ser postula-da y la hiptesis fenomenolgica lo hace manifiestamente, puesto que el co-nocimiento de los fenmenos que el sujeto pretende modelizar se expresa,justamente, por medio de las interacciones de lo sincrnico y lo diacrnico,de lo organizado y lo organizante.

Recursividad de la cognicin. El carcter recursivo del conocimiento de losfenmenos da cuenta de la interdependencia asumida entre el fenmeno per-cibido y su conocimiento construido: la representacin de un fenmeno cog-noscible, que construye una representacin activa, que transformarecursivamente el conocimiento que tenemos de l, la cual, a su vez, ... El

3. Segn Kant, no es posible conocer nada que no se halle dentro de la experiencia posible.Como el conocimiento, adems, es conocimiento del mundo de la apariencia en el sen-tido kantiano de este trmino, la nocin de experiencia se halla ntimamente ligada a lade apariencia.

4. Kant dice que una experiencia es posible si ofrece las garantas de que lo que proyecta seinscribir dentro del marco de referencia de espacio y tiempo, y ser aprehendido gracias aesos conceptos puros del entendimiento que uno llama categoras.


bilogo Th. Dodzahansky ha expresado esta hiptesis de recursividad enuna bella frmula:

Cambiando lo que conoce del mundo, el hombre cambia el mundoque conoce. Cambiando el mundo en el que vive, el hombre se cam-bia a s mismo (Dodzahansky, 1961, p. 391).

Hiptesis teleolgicaUna segunda hiptesis referente a la naturaleza del conocimiento es lahiptesis teleolgica, comn a todas las teoras constructivistas.

Al atribuir al sujeto cognoscente el papel decisivo en la construccin delconocimiento, la hiptesis fenomenolgica obliga, en cierto sentido, a teneren cuenta la intencionalidad o la finalidad del sujeto cognoscente.

No slo el comportamiento cognitivo del sujeto se interpreta ms fcil-mente en trminos de causas finales5 que en trminos de causas eficien-tes6 (Aristteles) sino, sobre todo, la determinacin y la transformacin deestas finalidades que, a menudo, se deben interpretar en trminos endge-nos, autoproducidos por el sujeto mismo o por el medio sociocultural en elque est inmerso.

Hiptesis metodolgicas (cmo se construye el conocimiento)A pesar de las diferencias entre los distintos enfoques constructivistas, entodos ellos estn presentes dos principios metodolgicos que rigen la cons-truccin del saber; stos son el principio de la accin inteligente y elprincipio de la modelacin sistmica.

Accin inteligenteEl principio de la accin inteligente se refiere a la capacidad de un sis-tema cognitivo que explora y construye las representaciones simblicas delconocimiento que trata. El trmino est tomado del filsofo pragmtico(psiclogo y pedagogo) J. Dewey que designaba por accin inteligente elproceso cognitivo por el cual, si el intelecto percibe una disonancia entresus comportamientos y sus proyectos, entonces construye una representa-cin de esta disonancia y busca inventar algunas respuestas o planes deaccin susceptibles de restaurar la consonancia deseada (lo que uno llamala bsqueda de la coherencia o, ms en las corrientes didcticas, la reso-lucin de problemas en un sentido amplio).

5. Causa final: realidad hacia la cual algo tiende a ser (Aristteles).6. Causa eficiente: Principio del cambio (Aristteles).


Modelacin sistmicaEl desarrollo contemporneo de los principios metodolgicos de la modela-cin sistmica parece tan estrechamente asociado al desarrollo concomi-tante de las epistemologas constructivistas, que uno podra preguntarse sino se trata de dos caras de la misma moneda. Creo que la historia de uno ydel otro revela su autonoma y aun su cuasi independencia conceptual, peroparece que la emergencia de las epistemologas constructivistas ha sidosensiblemente activada por los cuestionamientos epistemolgicos plantea-dos por los acercamientos sistmicos de los aos cincuenta a setenta, a losque las epistemologas tradicionales no han sido capaces de dar respuesta.

El principio de la modelacin sistmica sostiene que el comportamientocognitivo tiende a buscar explicaciones holsticas que pongan en concor-dancia el mayor nmero de experiencias y fenmenos conocidos y que rela-cionen de manera articulada los conceptos, nociones e ideas de lasestructuras tericas o cognitivas ya constituidas, esto, en los distintos nive-les de la explicacin. El fenmeno que se quiere explicar mediante este tipode modelacin se concibe como un sistema complejo en el que intervienen,de manera estructural, factores de distinta naturaleza cuya variacin producereacomodos y reacciones de las otras partes del sistema. La modelacin sis-tmica es, por su naturaleza, interdisciplinaria, i.e. requiere del concurso dedistintas disciplinas para su puesta en marcha.

Hiptesis ticas (cul es el valor del conocimiento)El argumento gnoseolgico inicial que comparten todas las epistemologasconstructivistas (y aqu hay que decir que, potencialmente, las epistemolo-gas constructivistas estn tan divididas en sus variantes como lo estn lasepistemologas tradicionales), es el de la primaca absoluta del sujeto cog-noscente, capaz de asignar algn valor al conocimiento que construye: elconocimiento implica un sujeto cognoscente y no tiene sentido o valorfuera de l.

Este conocimiento de la experiencia del sujeto, ya sea fsicamente sen-sible o percibida cognitivamente, es conocimiento si el sujeto le atribuye al-gn valor propio. Valor cuya definicin no puede ser sostenidaindependientemente del sujeto cognoscente (como lo sera, por ejemplo, elvalor de la verdad objetiva para un empirista, o de verdad revelada paraun creyente). Esta renuncia consciente al valor de verdad objetiva, sin duda,ha retardado la aceptacin de las teoras constructivistas por parte de lasepistemologas tradicionales, que todava recuerdan los grandes esfuerzospara sustituir la verdad revelada con la verdad objetiva. Desde el momentoen que uno acepta que el valor de un conocimiento por un sujeto cognoscen-te depende, en la prctica, de su apreciacin de las consecuencias de las ac-


ciones que l elabora, refirindose conscientemente a este conocimiento, elcriterio aparentemente simple de verdad objetiva (o de verdad revelada) re-sulta menos aceptable. La bsqueda de criterios alternativos, como el deverdad intersubjetiva o de viabilidad (propuesto por von Glasersfeld),permite, sin duda, salvaguardar formalmente el principio de externalidad delvalor del conocimiento, pero en la prctica, esta intersubjetividad constituyeuna expresin que disimula mal un pragmatismo que ms valdra asumir quediscutir.

Este valor pragmtico que los constructivistas proponen para expresar elnecesario valor atribuido a todo conocimiento, tiene adems el mrito deprestarse fcilmente a la definicin de las polticas de investigacin cientfi-ca, eliminando la distincin entre los conocimientos llamados fundamenta-les y los aplicados, que debe ser argumentada por las epistemologastradicionales. Antes de continuar con la siguiente seccin, presentamos unresumen de las hiptesis de base de las teoras constructivistas (Figura N 1).

CONSTRUCTIVISMO EN EL AULA DE MATEMTICAS

Cules son las consecuencias de adoptar una epistemologa constructivista(incluidas sus hiptesis de base) en la elaboracin de teoras psicolgicasdel aprendizaje y de teoras pedaggicas referidas a la enseanza? Cmomodifican las hiptesis constructivistas las actividades en el aula de mate-

Figura N 1. Hiptesis de base de las teoras constructivistas

Hiptesis

Metodolgicas

Gnoseolgicas

Eticas

Fenomenolgica

Teleolgica Intencional

Accin inteligente

Modelacin sistmica

Eliminacin de discordancias

Explicaciones holsticas

Intersubjetivo Depende del sujeto

Experiencial


mticas? Estas preguntas deben ser respondidas desde dos puntos de vista:el del alumno y el del maestro. Iniciaremos con el primero.

Papel del alumnoLas teoras constructivistas reivindican de manera central el papel activodel estudiante en la construccin de su conocimiento. Esto no significa,como en algn momento se entendi, que haba que dejar solo al estudiantede preferencia enfrascado en una especie de activismo fsico, rodeado demateriales didcticos para que la construccin se diera de maneraautomtica enmarcada en un desarrollo cognitivo predeterminado.

Muy por el contrario, los acercamientos constructivistas actuales supo-nen una responsabilidad del estudiante que implica una intensa actividad in-telectual (ms que fsica), resultante del enfrentamiento a situacionesnovedosas, y muy probablemente perturbadoras, a partir de la experienciaprevia (vivida o cognitiva) del estudiante.

El estudiante de matemticas, equipado con una serie de explicaciones yoperaciones provenientes de sus experiencias cognitivas previas y de losdistintos contextos en los que stas han sido desarrolladas, tratar de enfren-tar, de manera global, las situaciones novedosas (nuevas experiencias), in-corporndolas a su propia visin (recordemos los principios de la accininteligente y de la modelacin sistmica).

Las maneras en las que el estudiante logra extender o ajustar sus expli-caciones para manejar una situacin nueva son mltiples: mediante la dis-cusin de sus conjeturas con sus compaeros de clase, mediante lacontrastacin de sus resultados con resultados anticipados, mediante la mo-dificacin de las condiciones originales de la situacin para llevarla a cir-cunstancias conocidas, con la utilizacin de mediadores como lacomputadora, la calculadora u otros materiales (los mal llamados manipula-tivos), etctera. Estas formas de ajuste de las estructuras cognitivas del es-tudiante han sido desarrolladas, con mayor o menor extensin por losacercamientos constructivistas enfocados a la educacin: constructivismoradical, constructivismo clsico de Piaget, constructivismo social o socio-cultural, construccionismo, acercamientos socio-histricos, etctera.7

Partir de una teora constructivista para explicar el aprendizaje del estu-diante implica aceptar que:

El estudiante requiere de una experiencia novedosa para cono-cer. Las experiencias pasadas ya produjeron el aprendizajecorrespondiente (hiptesis fenomenolgica).

7. Para un panorama general sobre las corrientes constructivistas actuales vase, por ejemplo,Steffe y Gale (1995).


El estudiante aprende intencionalmente. Hay una determinacinpor resolver la situacin novedosa (hiptesis teleolgica).

El estudiante aprende a partir de sus conocimientos previos quemodifica o adecua con el fin de incluir coherentemente la nuevaexperiencia (hiptesis de la accin inteligente y de la modela-cin sistmica).

El estudiante valora su propio aprendizaje y lo comparte (hip-tesis tica).

En el aprendizaje de las ciencias, y principalmente de las matemticas, lasllamadas situaciones problemticas son situaciones de aprendizaje que res-ponden a los supuestos tericos constructivistas. Una situacin problemti-ca es una situacin novedosa caracterizada en funcin de las hiptesismencionadas, as:

es significativa para el estudiante porque se encuadra en contex-tos o circunstancias que les son familiares y atractivos y, portanto, motivantes;

el estudiante es capaz de resolverla a partir de sus conocimientosy estructuras cognitivas previas; pero

representa un desafo intelectual porque, lejos de requerir de unalgoritmo o de un procedimiento rutinario, es una situacin dise-ada para obligar al estudiante a reestructurar sus conocimientosy explicaciones con el fin de dar solucin al problema;

da lugar a una modificacin de las estructuras cognitivas previasdel estudiante que le permite incluir, en las explicaciones origi-nales, nuevos casos o contextos de aplicacin de los conceptosinvolucrados.

El estudiante, entonces, al resolver una situacin problemtica, logra unaprendizaje significativo porque reconoce el nuevo conocimiento como me-dio de respuesta a una pregunta nueva. Lo que da sentido a los conceptos oteoras son los problemas que consiguen resolver.

Papel del docenteCuando, a finales de la primera mitad del siglo, se empez a considerar laconveniencia de aplicar las teoras constructivistas a la educacin princi-palmente a raz del auge de la psicologa gentica de Piaget, se sintipeligrar el papel tradicional y protagnico que el maestro haba desempe-ado hasta ese momento. Se pens que el maestro se deba convertir en un


observador con poca o nula intervencin en el proceso educativo, limitadoa registrar el nivel de desarrollo de sus alumnos.

El papel que los enfoques constructivistas actuales otorgan al profesores, de nueva cuenta, un papel central: el maestro en el aula de matemticases el encargado de proporcionar a los estudiantes las situaciones didcticassignificativas que les permitan utilizar sus conocimientos y experienciasprevios. Esto significa que el maestro

conoce bien a sus estudiantes y est listo para ofrecer una situa-cin interesante en las circunstancias que se presenten, enmar-cndola dentro del programa de estudios correspondiente;

anima las discusiones para que los estudiantes se involucren enla resolucin de las situaciones de aprendizaje;

a partir de preguntas, comentarios y sugerencias, gua las discu-siones de sus alumnos para que logren alcanzar las metas cogni-tivas definidas por el currculo;

aclara las ideas, afirma los conceptos, proporciona terminologay presenta la formalizacin requerida por el conocimiento mate-mtico establecido;

presenta una serie de contextos diferentes que admiten similaresmatematizaciones y que permiten ampliar el campo de significa-dos del concepto en cuestin.

Evidentemente, el papel del maestro de acuerdo con la visin constructivistaes mucho ms activo y creativo que el que supone la pedagoga tradicionaly, en ese sentido, mucho ms difcil de lograr: lejos de disponer de prescrip-ciones o frmulas para su actividad docente cotidiana, el maestro debe teneruna actitud receptiva que le permita proporcionar los elementos necesariospara promover la actividad cognitiva de sus estudiantes, respetando las di-ferencias individuales y, al mismo tiempo, fomentando las actividades engrupo.

Ante un enfoque constructivista de la educacin, el maestro tiene, entodo momento, una doble responsabilidad que se manifiesta como una ten-sin permanente en su quehacer: por un lado, debe respetar el ritmo naturalde la actividad cognitiva de sus estudiantes y, por el otro, debe cubrir loscontenidos conceptuales que la sociedad ha determinado como los mnimosnecesarios para la formacin del futuro ciudadano. Ya que la primera com-ponente del compromiso docente no puede modificarse, desde un punto devista constructivista, es necesario revisar la organizacin de la segunda com-ponente, esto es, el currculo.


CONSTRUCTIVISMO EN EL CURRCULODE MATEMTICAS

De manera evidente, modificar sustancialmente las actividades del maestroy del alumno, as como los tiempos y la dinmica del trabajo escolar,implica una reconsideracin profunda de los contenidos y objetivos deaprendizaje de los cursos de matemticas dentro del aula constructivista.

La mayora de los currculos, sobre todo de matemticas, considera pre-sentaciones sucesivas de un mismo contenido a lo largo de toda la vida es-colar del estudiante. Esto obedece a una concepcin de un aprendizajebasado en repeticiones, revisiones y memorizaciones. Cuando el aprendiza-je es significativo, no es necesario retomarlo en el mismo nivel de comple-jidad en cada grado escolar. Un currculo basado en teoras del aprendizajeconstructivistas, deja mucho ms tiempo para la creacin y mucho menospara la repeticin estril.

Adicionalmente, si los objetivos de los cursos de matemticas se organi-zan alrededor de la capacidad del alumno para resolver problemas (en elsentido amplio del trmino) como lo proponen, al menos discursivamente,la mayora de las reformas nacionales actuales, entonces una serie de activi-dades, contenidos y tareas que antes ocupaban un espacio importante en elcurrculo dejan de tener sentido. Qu significado tiene, por ejemplo, la re-peticin de definiciones, frmulas y teoremas si no son utilizadas directa-mente en la resolucin de problemas? Qu sentido tiene la memorizacinde algoritmos y su ejercitacin en un gran nmero de operaciones sin otropropsito que la ejercitacin misma? Para qu ensear conceptos aisladosque, por el momento en el que se le presentan al alumno, no van a poder re-lacionarse con el resto de sus conocimientos? Estas y otras preguntas seme-jantes, orientan la reestructuracin del currculo desde un punto de vistaconstructivista.

La secuencia en la presentacin de los contenidos implica tambin unatransformacin drstica con respecto a las presentaciones tradicionales. Enestas ltimas se introduce un concepto matemtico, generalmente mediantesu definicin formal (en el mejor de los casos, recurriendo a una situacinintuitiva), y el maestro, a continuacin, ofrece uno o varios ejemplos en losque se usa de manera explcita el concepto en cuestin; finalmente, el alum-no resuelve problemas o ejercicios de aplicacin, anlogos al presentadopor el maestro, con el fin de adiestrarse y retener el concepto.

La secuencia constructivista es ciertamente la inversa: el maestro pre-senta una situacin didctica que involucra implcitamente el concepto quequiere introducir; los alumnos desarrollan estrategias para resolver la situa-cin y usan, sin saberlo, el concepto en cuestin; finalmente, el maestro for-


maliza el concepto mediante la terminologa indicada y su puesta enrelacin con otros conceptos conocidos por el estudiante.

Si, como dijimos, la situacin problemtica es la situacin de aprendiza-je por excelencia, el currculo debe estar estructurado alrededor de este tipode actividades. La organizacin del currculo cambia radicalmente si el ob-jetivo deja de ser aprender conceptos y se sustituye por el de aprender aresolver problemas en el sentido amplio. Y digo, en el sentido amplioporque no se trata de un adiestramiento para resolver problemas rutinariosen los que slo varan los datos numricos o los nombres de los protagonis-tas de una supuesta contextualizacin, sino problemas en el mismo senti-do que le da un adulto a esta palabra.

Un currculo diseado bajo esta perspectiva debe contemplar, de maneracentral, una serie de situaciones y contextos que acepten una estructura ma-temtica semejante y que permitan al alumno ampliar el campo de aplica-cin del concepto estudiado para, de esta manera, enriquecer su experienciacognitiva y sus posibilidades de comprender nuevas situaciones problem-ticas.

EVALUACIN CONSTRUCTIVISTA

Tambin los procesos de evaluacin requieren una revisin, si se lesenmarca en un enfoque pedaggico constructivista. La evaluacin desdeesta perspectiva debe ser vista como una componente ms del proceso deaprendizaje, una oportunidad para que el alumno aprenda y no slo, comotradicionalmente ha sido, un instrumento de certificacin o de sancin.Tambin es una oportunidad para que el maestro aprenda sobre sus alum-nos: la evaluacin permite al maestro darse cuenta de qu es lo que susalumnos saben y entienden, cmo lo saben, cmo piensan, cules son susconocimientos previos y si estos se modifican a lo largo del curso.

Desde este punto de vista, la evaluacin no siempre significa una califi-cacin. Se puede evaluar a un alumno mientras se observa cmo se desen-vuelve dentro de un grupo de discusin, tan bien o mejor que mediante latradicional prueba escrita. En el primer caso, la evaluacin del alumno nospermitir tomar decisiones que favorezcan su mejor desempeo (como cam-biarlo de equipo, hacerle preguntas que le ayuden a formular mejor sus hi-ptesis o conjeturas, animarlo a que defienda sus puntos de vista, etctera),en el segundo caso, podremos detectar, quizs, dificultades en ciertas habi-lidades operatorias o, simplemente, asignar una nota.

Si bien no se descartan los medios tradicionales para evaluar (como laprueba escrita), es necesario promover otras estrategias que, por una parte,le permitan al alumno conocer y conocerse mejor y, por la otra, eviten la


connotacin punitiva de la calificacin. La prueba escrita queda entoncescomo una forma ms, entre muchas, para conocer y alentar el aprendizajedel alumno.

La evaluacin es una actividad continua y cotidiana. Sin embargo, estono debe implicar que se evale siempre a todos los alumnos (misin impo-sible para el profesor). La resolucin de problemas en equipos se presta muybien para una evaluacin permanente. Se puede, por ejemplo, seleccionar unequipo y revisar cuidadosamente los cuadernos y tareas de cada uno de susintegrantes; en otra oportunidad, tocar el turno a otro equipo de estudiantes.

La evaluacin no necesariamente es individual. Se puede hacer una eva-luacin del equipo, que favorecer el trabajo colaborativo y la ayuda mutuapara obtener una mejor calificacin para todos los integrantes.

Otra manera de evaluar, que no implica un trabajo excesivo para elmaestro, es mediante la elaboracin de portafolios, diarios, peridicos mu-rales, y proyectos de investigacin a largo plazo en donde los resultadossean fcilmente observables y permitan que los mismos alumnos realicen lavaloracin, comparando sus productos con los de sus compaeros.

La evaluacin, como los errores, tiene un papel central en el aprendizaje.Sin embargo, tambin en este caso es necesario cambiar el papel negativotradicionalmente asignado a la calificacin, por un papel positivo, propicia-dor del aprendizaje.

CONSTRUCTIVISMO EN LOS TEXTOS Y MATERIALES DIDCTICOS DE MATEMTICAS

Los libros de texto, la computadora, la calculadora, los materiales didcti-cos y manipulativos, los apoyos y medios audiovisuales son, desde el puntode vista constructivista, mediadores entre el objeto de estudio (i.e. los con-tenidos del currculo) y el estudiante. En mayor o menor medida, estosmateriales se han adaptado y desarrollado en esta direccin, borrando lasdudas que en todo tiempo han existido (desde la invencin de la escritura)sobre el peligro de que sustituyan habilidades bsicas del estudiante o deque desplacen al maestro.

Si bien estos mediadores tienen un papel importante en los procesos edu-cativos, el papel individual de cada uno de ellos debe irse definiendo paula-tinamente, principalmente a partir de los resultados de la investigacineducativa; no podemos reducir la calculadora a un simple sustituto de las ta-blas numricas (ya sean de sumar, de multiplicar, de funciones trigonom-tricas, o de logaritmos); as como no podemos utilizar la computadora comoun sustituto electrnico del libro de texto; ni los recursos audiovisuales


como maestros electrnicos sin posibilidad de intercambio personal consus alumnos. El potencial de estos recursos en el diseo de situaciones pro-blemticas y de conflictos cognitivos detonadores del aprendizaje significa-tivo es enorme, principalmente por su gran capacidad para la representaciny la visualizacin de relaciones y estructuras conceptuales y, entonces, paraproveer al estudiante de experiencias posibles (en el sentido de Kant).

La funcin de estos intermediadores es la de poner los contenidos del cu-rrculo (es decir, la matemtica establecida, formal y formalizada) en trmi-nos de una experiencia para el estudiante y, en ese sentido, en trminos deuna actividad cognitiva. Este papel, de ninguna manera, es despreciable; dehecho, es indispensable para la cognicin y, aunque, nunca antes con el de-rroche de recursos tcnicos que ahora tiene, siempre ha estado presente enel desarrollo del conocimiento cientfico (modelos, representaciones, etcte-ra).

CONSTRUCTIVISMO EN LA FORMACINDE PROFESORES DE MATEMTICAS

Una transformacin en las condiciones del aprendizaje como la que hemosdescrito hasta aqu tiene, como piedra angular, al maestro. Es el maestro elprincipal reproductor de las tradiciones en la escuela (para bien y para mal).El maestro tiende a repetir los modos de enseanza de sus propios maestrosy, as, a perpetuar las prcticas ancestrales, muchas veces inconscientes, ylos modos de hacer las matemticas escolares. La pregunta es entonces,cmo romper el crculo vicioso?

Sin temor a exagerar, podemos decir que el xito o el fracaso de cual-quier reforma educativa, y en particular de una reforma radical como la quepropone el constructivismo, est en manos de los formadores de maestros(incluidos aqu los diseadores del currculo de las escuelas formadoras delprofesorado).

El formador de maestros debe tener el ms alto grado de preparacin yde desarrollo profesional posible. Ninguna disciplina, ninguna profesin(salvo la de mdico, quizs) tiene un nivel de responsabilidad tan alto comola profesin docente. Si a un profesor universitario, formador de profesiona-les en las diferentes reas del conocimiento, se le exige el ms alto grado depreparacin, la actualizacin permanente en su disciplina, el contacto conti-nuo con los resultados de la investigacin y aun un papel activo en el desa-rrollo de la investigacin y en la produccin de conocimiento, no hay raznpara que un formador de docentes no est sujeto a las misma exigencias.


El formador de docentes debe ser conocedor profundo de los cambiosque se estn poniendo en marcha. Los formadores de docentes deben ser losprimeros promotores del cambio; en sus manos est que las propuestas seconozcan, se analicen, se critiquen y, finalmente, se adopten. Si el formadorde docentes no conoce a fondo los cambios propuestos, si no est convenci-do de sus bondades, si no siente su racionalidad, y si no aplica l mismo lasreformas, en el mejor de los casos, mostrar una imagen distorsionada de loscambios y, en el peor, ser un antdoto contra ellos. Su papel es decisivo paraechar a andar cualquier movimiento innovador.

Una vez aceptada la responsabilidad del formador de docentes, tenemosque preguntarnos qu caracterstica debe tener la formacin docente parafavorecer una propuesta constructivista?

La formacin docente debe, sobre todo, incorporar a la rutina cotidianadel maestro la toma de conciencia de los procesos cognoscitivos que tienenlugar en el aula. Esto se logra mediante la prctica de:

La metacognicin, es decir, la toma de conciencia de la cogni-cin propia y as, la puesta en perspectiva de la cognicin de losotros.

Los procesos compartidos de recuperacin y reflexin de lasexperiencias. Por ejemplo, cuando el docente se obliga a llevarun diario de sus experiencias en el aula, se promueve su capaci-dad de observar a sus alumnos y, en esa medida, de reflexionarsobre sus respuestas, sus conductas, sus actitudes y sus intereses.Si este diario lo comparte con los compaeros docentes, la dis-cusin y retroalimentacin se convierte en uno de los principalesinsumos de su quehacer.

La incorporacin de situaciones de aprendizaje que permitan alfuturo maestro ponerse en el papel del estudiante y reflexionarsobre el proceso de aprendizaje.

Quizs las demandas que aqu se presentan para las escuelas formadoras dedocentes parezcan excesivas. Sin embargo, la exigencia por encontrar unpunto de partida para el proceso de cambio nos lleva a sealarlas, no slocomo las ms convenientes, sino como las nicas que pueden encabezarlo.

CONCLUSIN

Una opcin constructivista para la educacin matemtica es una opcinpromisoria que tiene, como nunca antes se haba tenido, una coherenciasurgida de la conjuncin de fundamento tericos epistemolgicos y psi-


colgicos y de referentes empricos, resultados de la investigacin edu-cativa. Sin embargo, no se puede caer en una puesta en marcha simplistaque conduzca al aborto de las ideas pedaggicas ms prometedoras de laactualidad. Los principios constructivistas de la educacin matemtica exi-gen un trabajo arduo, integral, que involucre a maestros, investigadores,matemticos, formadores, diseadores, autores, gestores,... en la tareacomn de modificar nuestras concepciones sobre la enseanza y el aprendi-zaje matemticos y de actuar consecuentemente con stas.

REFERENCIAS

Dodzahansky, Th. (1961, Trad. frac. 1966). Lhomme en evolution. Pars:Flammarion.

Piaget, J. (1937-1977). La construction du rel chez lenfant. Nestl: Delachaux.

Steffe, L. y Gale, J. (1995). Constructivism in Education. Hillsdale, N.J.: Erlbaum

Guillermina WaldeggDepartamento de Investigaciones Educativas

Centro de Investigacin y de Estudios AvanzadosSan Borja 938

Mxico, DF 03100Mxico

E-mail: [email protected]

principios constructivistas para la educación matematica

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