(principio de trabajo virtual cuerpos elásticos
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Unidad I.- Trabajo Virtual en Cuerpos Elsticos ESTRUCTURAS I
UNELLEZ - INGENIERA CIVIL 1
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
DE LOS LLANOS OCCIDENTALES
EZEQUIEL ZAMORA VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURAS
Y PROCESOS INDUSTRIALES
PROGRAMA DE INGENIERA,
ARQUITECTURA Y TECNOLOGA
INGENIERA CIVIL
Ing. Eulicer Linares Fdez.
UNELLEZ
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Unidad I.- Trabajo Virtual en Cuerpos Elsticos ESTRUCTURAS I
UNELLEZ - INGENIERA CIVIL 2
UNIDAD 1
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
DE CUERPOS ELSTICOS
Para una deformacin virtual infinitamente pequea de un cuerpo que se encuentra
en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno de
deformacin.
El desplazamiento virtual de un sistema de puntos materiales, a todo desplazamiento
infinitsimo compatible con la vinculacin existente.
Un elemento en el plano permite tantos desplazamientos virtuales como grados de
desplazabilidad (libertad) tenga segn sus condiciones de vinculacin. Si a partir de una
determinada posicin de un sistema, es posible obtener los desplazamientos virtuales
iguales y de sentido contrario, se dice que el desplazamiento es reversible y los vnculos del
sistema se le denominan bilaterales; en caso contrario se dice que es irreversible, en cuyo
caso los vnculos reciben el nombre de unilaterales.
En primera instancia se considera un cuerpo en equilibrio, al que con posterioridad
se le provoca una deformacin. Dicha deformacin es arbitraria y posible, compatible con
las condiciones de vnculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo.
Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan
el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, We.
Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales, generan
trabajo debido a la deformacin virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual interno de
deformacin, Wi.
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El Principio de Trabajos Virtuales puede entonces expresarse sintticamente como:
We = Wi
Consideremos ahora el caso de una estructura plana con barras resistentes a flexin
sometida a un sistema de cargas Pm en su plano, siendo C las correspondientes reacciones
de vnculo exteriores. Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos M,
N, Q, de tal manera que existe equilibrio entre la accin interna y la externa. Sometemos al
sistema a una deformacin virtual, por lo que los puntos de aplicacin de las cargas Pm y
C, sufrirn desplazamientos m y c (si existen corrimientos de apoyos) en la direccin de
las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estar dado por:
Para expresar el trabajo virtual interno de deformacin, es decir el trabajo de los
esfuerzos internos (M, N,Q) debido a la deformacin virtual a que sometimos al sistema,
consideramos un elemento de una barra dx de altura h.
La deformacin virtual provocar, un desplazamiento relativo de las dos secciones
del elemento que podr expresarse por una traslacin y una rotacin d. La traslacin la
podemos considerar compuesta por dos componentes; una a lo largo del eje de la barra ds
y otra normal dn.
El trabajo diferencial de las fuerzas internas que actan sobre el elemento dx ser:
El cuerpo deformable acta un sistema de fuerzas en equilibrio, el trabajo virtual
inducido por las fuerzas externas se disipa de dos formas: a) como trabajo virtual de
traslacin y rotacin del cuerpo rgido indeformable y b) como trabajo virtual interno.
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Clculo de los Desplazamientos por Esfuerzos Axiales, Cortes, Momentos y
Variaciones de Temperatura.
El trabajo interno Wi para estructuras planas viene dado:
= .
+
.
+
.
+
.
+
. ()
. +
. .
Axiales Cortantes Momento Flector Torsor Variacin de Temperatura
= Desplazamiento por efectos axiales, corte y de flexin.
N = Fuerza interna en cada miembro del sistema real.
n = Fuerza interna de cada miembro del sistema virtual.
L = longitud del elemento
A = rea de la seccin recta del elemento.
E = Mdulo de elasticidad del material.
V = Fuerza interna de corte de cada miembro del sistema real
v = Fuerza interna de corte de cada miembro del sistema virtual.
Cv = Coeficiente de corte de forma que tiene en cuenta la distribucin no
uniforme del corte en la seccin transversal de la viga
G = Mdulo de elasticidad transversal. Siendo G =
2(1+) donde = coeficiente
de poisson
I = Momento de Inercia de cada elemento.
M = Momento inducido por la carga real de cada miembro.
m = Momento inducido por la carga virtual de cada miembro.
= Coeficiente de dilatacin trmica (C)-1
.
t = Variacin de temperatura (C).
T = Momento torsor inducido por las cargas reales del sistema.
t = Momento torsor inducido por las cargas virtuales del sistema.
Ip = Momento polar de inercia
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Clculo de los Desplazamientos por Movimientos de Apoyos.
Cuando ocurre el caso de las reacciones exteriores producidas por el sistema virtual
efectan un trabajo externo WR.
El valor de dicho trabajo externo (WR) se obtiene, al multiplicar el valor de la
reaccin del apoyo, donde se efecta el movimiento en el sistema virtual, por el valor real
del desplazamiento de apoyo, quedando la ecuacin definida de la siguiente forma:
WR = Ri . d
Mtodo de Aplicacin
Existen tres formas de resolver las integrales:
- Integracin matemtica directa, utilizando las expresiones.
- Mtodo de carga elstica de los elementos.
- Aplicando la Tabla de Integracin Grfica.
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Ejemplo # 1.
Aplique el desplazamiento virtual horizontal
en el extremo A, usando el diagrama de Williot
Mohr y establezca la relacin con los diagramas
cartesianos de corrimientos.
C D
3m
A B E
3m 3m 3m
Solucin: Se grafican los diagramas de desplazamientos a travs de williot mohr.
01
Diagrama de Williot-Mohr
02 CD AB
9 D 01C 01B
012 BC C E
C D B BC 01
A CD A B E AB
3 3 3
B B 18.43 AB 01 A
cos =
donde: B = 1.054 A
C 153.44 18.43 C B 8.13 B 01 A
153.44=
18.43 C = 0.745 A
D D 116.56 26.56 C 01 C 18.44
116.56=
45 D = 0.942 A
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Relacin con Diagrama Cartesiano de Corrimiento
01 01 =
9
= 0.111
9 6 6 = 0.667 C 012 012 D II I
A B E 9 9 = () 3 3 3
012 II
I
3 6
()
01 =
9 3 = 0.333 6 = 0.667
= 0.111
= . cos 18.43 1 = 2 + 2 = . sen 18.43 0.333 = .
= 0.667
= 0.333 = .
= 0.667
= 0.667 = .
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Ejemplo # 2.
Aplicando el Principio de Trabajo Virtual.
Hallar:
a) La Fuerza Cortante en la seccin n-n
b) El Momento Flector en la seccin n-n
3T/m 2T/m
B C
n 2m
n
A 2m
4m 4m
Solucin: Para la determinacin de los esfuerzos cortantes, se pone en evidencia el
desplazamiento en la seccin n-n acondicionando el vnculo.
Diagrama de Corrimiento
1 = 4
4= 45
02 02
8T 4m
3/2T
3T B C 14/3
2m 5 2
3/2T 012 6 4/3
01 2m
A 01
4m 4m ()
6 01
2 ()
02
=
Aplicando Trabajo Virtual:
VIZQ.(2).cos + VDER(6).cos 8(2) + (-3/2).(14/3) 3(5) +
VDER(6).sen + VIZQ.(2).sen + (3/2).(4/3) = 0
a) V = 3.18 T
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Determinacin del Momento Flector en la seccin n-n.
Diagrama de Corrimiento
1 = 4
4= 45
02 02
8T 4m = /3 3/2T
3T B C II 14/9
M 2m 2 5/3
3/2T M 012 4/3
01 2m I
A 01
4m 4m ()
012
II
I 2
01
2/3 () = /3
02
6m
=
Aplicando Trabajo Virtual:
MIZQ.() + MDER(/3).cos 8(2/3) - (3/2).(4/3) 3(5/3) - (3/2).(14/9) = 0
b) M = 11 T.m
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Ejemplo # 3.
Determinar los Momentos en G usando
diagramas de Williot-Mohr.
5T/m A G
2T
4m D
B 3T F
C
6T/m 3m
E E 3m 4m 3m 3m
Solucin: Usando el teorema de los polos para determinar el desplazamiento evidenciado,
se tiene que:
48T.m
A
01 04 24 T EF
15T 2T G
012
EF
BE
C D 034 24T FG C B, E
B F A,G D,C
18T
023 E E F
E 02
03 BE EF EF FG
AB = /L = 1/4
AB = 0.25
EF = 0
FG = 0.16
=
G 0.80 G C C,E
0.48 53.13 36.87
F 0.80 0.60
0.64 E, F
Aplicando Trabajo Virtual:
-48 .(0.16) + MG.(0.16 ) 18.(0.64 ) 2.40.(0.48 ) + 1.80.(0.64 ) -1.80.( ) = 0
MG = 131.25 T.m
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Ejemplo # 4.
Determinar la Rotacin Relativa en C usando el Principio de los Trabajos Virtuales en Cuerpos
Elsticos. Desprecie los Esfuerzos por
deformacin Axial y Cortante.
4 T/m 0.6m
0.4m D
C EIo A= -0.04 m 4m D= 0.008 rad EIo
E = 2.1 x 109 T/m
2
A EIo B
5m 3m 5m
Solucin:
Determinacin de reacciones.
4 T/m 20T
Elemento CD
D RDX
C
5m RDY
MA 20T M N
=53.13
RAX A B
RAY
Io
+ = 0 -20.(2.5) + 5 RD
Y = 0
RDY = 10 T
+ = 0 10T -52T + RA
Y = 0
RAY = 42 T
+ = 0 -42. cos + 20.cos - RA
X = 0
RAX = 22 T => RD
X = 22 T
+ = 0 -52.(6.5) - 22(4) + 10(13) + M
A = 0
MA = 296 T.m +
-
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Al corte:
4 T/m
Mmx
D 22 T 10T x
Sistema Real
C D
12.50
A
136 Diagrama de Momento Flector
B
136
296
Sistema Virtual.
Para la determinacin del desplazamiento, se evidencia el valor del mismo
1
1 D RDX
RAY C
MA RDY 4m
RAX A B Elemento CD
5m 3m 5m
+ = 0 -4x(x/2) + 10(x) + Mmx = 0
Mmx = 2x2 10x 2.5
0
Mmx = 12.50 T.m
+
-
-
-
+ = 0 -1 T.m + 5 RD
Y = 0
RDY = 1/5 T
+ = 0 1/5T + RA
Y = 0
RAY = 1/5 T
-
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+
+
-
-
-
+
Elemento AB
MA M N
=53.13
RA
X A B
1/5 T
1
Elemento AB
Sistema Virtual 1 D C
1.8 0.8 0.8 Diagrama de Momento Flector A B
PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL PARA CUERPO ELSTICAMENTE DEFORMABLES
We = Wi We + Wi = 0
Considerando nicamente efectos de flexin se tiene: 1. + = .
0
296 136 1.8 0.8 136 0.8 1 12.50 1
1. 0.04 0.2 + 0.008 0 = +
5
0 +
5
0 . +
5
0 .
EI EI EI
1. = 0.08 9.8105 2.8105 1.4105
= .
+ = 0 1/5. cos + RA
X cos = 0
RAX = 1/5 T => RD
X = 1/5 T
+ = 0 1/5.(13) - 1/5(4) + M
A = 0
MA = 9/5 T.m -
+ + = 0 -1.8 + 1/5(5) + M
B = 0
MB = 0.8 T.m +
+
+
+
+
+
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Ejemplo # 5.
Determinar el Desplazamiento Horizontal en A usando el P.T.V.C.E.
Desprecie deformacin Axial.
3 T/m 0.65 m
EIo B 0.3m EIo 6T.m 3m
A C
C: 1.2
A= -0.04 m 3m : 0.16 E = 2.1 x 10
6 T/m
2
EIo 2T
3m
D
6m 6m D= 0.05m
Solucin:
Clculo de reacciones.
14 32.67 30
30
A B A
4 B 6
3.58
C C
Diagrama de Corte Diagrama de Momento
2
D 6 D
-
Io
Tramo AC
+ = 0 3.(6).(9) + 6 + 12 RA
Y = 0
RAY = 14 T
+ = 0 -3(6) + 14 T + RD
Y = 0
RDY = 4 T
+ = 0 -2 T + RD
X = 0
RDX = 2 T
Toda la Estructura
+ = 0 -14(12) +18(9) + 6 + 2(3) + MD = 0
MD = 6 T.m
+
+
V M
+
+
-
-
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Sistema Virtual
A= 1
B
A 3m
C
RAY 3m
3m MD D RD
X
6m 6m RD
Y
0.50
0.45 A B
C
Diagrama de Corte
Sistema Virtual
1
3
3
D
A B
C
Diagrama de Momento
Sistema Virtual
12 D
Tramo AC
+ = 0 -1(3) + 6. RA
Y = 0
RAY = 1/2 T
+ = 0 1/2 + RD
Y = 0
RDY = 1/2 T
+ = 0 1 T + RD
X = 0
RDX = 1 T
Toda la Estructura
+ = 0 -1(6) -1/2(12) + MD = 0
MD = 12 T.m
+
+
+
+
+
+
v
m
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES EN
CUERPOS ELSTICOS:
. + = .
+
.
TRABAJO EXTERNO:
. 1 0.02 1 0.05(0.5) = 0.02 + 0.025
TRABAJO INTERNO (POR CORTE):
14 0.5 4 0.5 3.58 0.45 2 1
. + 1.33
0 . +
6.71
0 . +
6
0 .
4.67
0
AG AG AG AG
Cv 0.000093 0.0000075 0.000061 + (0.000068) 1.2 0.000093 0.0000075 0.000061 + (0.000068) = 0.00011
+ +
+ +
+
+
+
+
TRABAJO INTERNO (POR FLEXIN):
32.67 3 30 6 3 6 12
. + 6.71
0 . +
6
0 .
6
0
EI EI EI
0.01699 0.01536 0.00166 = 0.03401
+
+ +
+
TRABAJO TOTAL:
= 0.02 + 0.025 + 0.00011 + 0.03401 = 0.080 m
-
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Ejemplo # 6.
Determine el Desplazamiento Horizontal en E usando el P.T.V.C.E. Desprecie deformacin
Axial y de Corte.
E= -0.03 m
E
EI 2 T/m 0.90 m
5m 3T.m 0.50m
D
ts= 32C C 2EI
8T B EI 1m
ti= 18C E = 2.1 x 106 T/m
2
EI A= 0.20 m 6m
A= -0.007rad A
6m 6m ELEMENTO D-C
Solucin:
Clculo de reacciones.
M
N
8T =9.46
B
8T
A MA RA
Y
Io
+ = 0 2.(6)(3) + 6 RD
Y = 0
RDY = 6 T
+ = 0 8T + RA
X = 0
RAX = 8 T
+ = 0 8. cos - 8.cos - RA
X .COS = 0
RAY = 0 => RE
Y = 6 T
+ = 0 -6.(12) + 12(9) -8(6) -6(6) - 3 + M
A = 0
MA = 51 T.m +
-
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SISTEMA REAL
3
3 D
C 3 9 B DIAGRAMA DE MOMENTOS
51 A
SISTEMA VIRTUAL Se pone en evidencia el valor del Desplazamiento e = 1 E 5m
C D
1m ELEMENTO ABC B
6m
A 6m 6m
N
=9.46 ELEMENTO CE B =9.46
=9.46
A 1
MA RA
Y
+
+
-
-
M
+ = 0 -1. cos + RA
Y cos = 0
RAY = 1 T
+ = 0 -1.(7) - 1(6) + M
A = 0
MA = 13 T.m +
+ = 0 1T + RA
X = 0
RAX = 1 T
+ = 0 - 1. cos + RE
Y cos = 0
REY = 1 T
+ = 0 1 + 1+ RD
Y = 0
RDY = 2 T
-
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SISTEMA VIRTUAL E *EFECTOS DE TEMPERATURA
C D
7 B
7 DIAGRAMA DE MOMENTOS
()
.
C 13
A B
0.82
C .
C Diagrama Axial B B
PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES DE CUERPOS ELSTICOS
-
m
= = 18 32 =
=+
2 =
18+32
2
=
-
()
. = 14
0.90. 1105
-1.56x10-4
+
. = 25C . 1105 +2.5x10-4
+
n
TRABAJO EXTERNO E INTERNO (POR FLEXIN Y TEMPERATURA):
. 1 0.03 1 + 0.20 1 0.007) 13) = 51 3 13 7 3 7 1.56x10
-4 7 2.5x10
-4 0.82
. + 6.08
0 . +
6.08
0 . +
6.08
0 .
6
0
EI EI
. 1 = 0.079 + 0.02765 + 0.00067 + 0.00332 + 0.00012
= 0.1108
+ +
+
+
+ +
-
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Ejercicios Propuestos.- D= 0.02 rad 1.5 T/m 0.6m 0.72m
D
0.35m 0.48m 5m 2 T/m EI/3 A 2m BARRA AB EI
ts= 15C C
5T.m ti= 18C B 1m EI 3EI 2m
2EI
C D A B 2T
EI A = -0.06 m 3m 4m 4m D= -0.04 m 5m 3m 2m
D= 0.008 rad
0.8m 0.7m Cv: 1.2
0.2m : 0.16 0.35m B 4 T/m
2EI
EI 3m B D
EI 8T.m ts= -5C 2m
3T 1m EI EI/2 EI A C ti = 15C C 1m D= -0.3 m 3m A D= -0.06 m
D
4m 3m 3m 3m 2m 6m
1.- Hallar la Rotacin en D usando el Principio
de los Trabajos Virtuales para Cuerpos Elsticos.
Desprecie los Esfuerzos Axiales y de Corte.
E = 2.1 x 106 T/m
2
2.- Determinar la Rotacin relativa en C y el
Desplazamiento Horizontal en A usando el
P.T.V.C.E. Desprecie los Esfuerzos Axiales y de
Corte. E = 2.1 x 106 T/m
2
3.- Determine el desplazamiento Vertical en D
usando el Principio de los Trabajos Virtuales para
Cuerpos Elsticos. Desprecie los Esfuerzos
Axiales y de Corte. E = 2.1 x 106 T/m
2
4.- Halle el desplazamiento Vertical en C
usando el Principio de los Trabajos Virtuales para
Cuerpos Elsticos. Desprecie los Esfuerzos
Axiales. E = 2.1 x 106 T/m
2