Principios generales de las máquinas5

Unidad

1

máquina es todo aquello destinado a transformarlos factores de material, energía e información.

Concepto de máquina5.1

Máquina es todo aparato destinado a transformar los dos factores del trabajo: la fuerza y el espacio.

Esta definición es insuficiente hoy en día, ya que solamente hace referencia al aspecto mecánico de la máquina; y hay otros elementos que intervienen como son: eléctricos-electrónicos-neumáticos-hidraúlicos, etc..

Según estos conceptos:

2

Sistema internacional de unidades

El SI de unidades es obligatorio en España.

5.2

Ejercicio1

3

Definiciones de unidades

4

TRABAJO

Si al aplicar una fuerza F a un cuerpo se origina un desplazamiento e en la dirección de la F se dice que se ha realizado un trabajo.

W = F. e. cos α (Julio = N . m)

5.3

W = F . E

Ejercicio2

5

Trabajo realizado por una fuerza variable

Hasta ahora hemos considerado que F se mantiene cte y que la trayectoria es rectilínea.

Pero no siempre ocurre, la F puede ser variable y la trayectoria no ser rectilínea (motor explosión).

5.4

W1,2 = ∑ F(x) Δx

6

Representación gráfica del trabajo

a) Si F= cte y trayectoria rectilínea:

b) Si F varía linealmente con la distancia y la trayectoria es rectilínea: (muelle: estira bajo la acción de una fuerza exterior F cuyo valor es proporcional a la deformación Ley de Hooke F=k.x)

Ejercicio3

7

Representación gráfica del trabajo

c) Si F es variable y la trayectoria noes recta (caso más general):

Otras curvas planas son:

8

Otras formas de expresar el trabajo

En otras ocasiones la F no aparece de manera explícita, como: la rotación de un cuerpo, expansión de un gas, paso de corriente eléctrica:

A. De rotación: el esfuerzo se manifiesta en forma de par de fuerzas y su valor, por el Momento del par.

M = d x F (siendo d y F ┼) (N.m)

El trabajo de rotación será el producto escalar del vector F y el vector desplazamiento ds.

dW = F.ds = F.r.cosφ.dθ = M.dθ

Siendo M = F.r.sen(π/2- φ) = F.r.cosφ

Si M = cte., el trabajo W = M. θ , mientra que si M varía durante el movimiento, el trabajo W = ∫ M.dθ

5.8

Ejercicio4

9

Relaciones entre Trabajo lineal-rotacional

Lineal Angular RelaciónDesplazamiento Distancia (d) Ángulo (θ) d = θ · r

Velocidad Velocidad lineal (v) Velocidad angular ( ω) v = ω · r

Inercia Masa (m) Momento de inercia (I)

Causa del movimiento Fuerza (F) Par o Momento (M) M = F · r

Energía EC = 1/2 · m · v2 EROT = 1/2 · I · ω2

Trabajo Trabajo de una fuerza (W = F · d )

Trabajo de un momento ( W = M · θ )

Potencia Velocidad de desplazar fuerza

(P = F · v)

Velocidad de girar momento (P = M · ω)

10

B – Trabajo de expansión/compresión de gas

Consideramos una masa de gas en el interior de un cilindro, con un émbolo desplazable de sección S. Si el gas ejerce una presión p, la fuerza que actúa sobre el émbolo será F = p.S. Éste experimentará un desplazamiento entre la posición inicial 1 y la final 2.

El trabajo realizado es descomponiendo el desplazamiento en dx, en cada dx; p = cte y F = cte.

dW = F.dx = p.S.dx = p.dV y el trabajo total será:

11

Presión constante o isobárica

• Si p = cte (isobárica), durante la expansión, la expresión anterior queda:

W = p.ΔV

ΔV= V2-V1 aumento de V del gas.

Gráficamente es el área de la figura:

12

Temperatura constante o isoterma

•Si Tª = cte (isoterma) y el gas se comporta idealmente (p.V=cte). El trabajo es el área de la figura y es:

W = C ln V2/V1

Considerando el gas como perfecto:

p.V = nRT

siendo:

n= nº de moles del gas; R= cte. universal gases 8,31J/(K.mol); T= Tª(ºK)

Como en la expansión/compresión isoterma se cumple que p.V=Cte; p1V1=p2V2=...

De la ecuación W=∫p.dV = nRT lnV2/V1 = p1.V1.lnV2/V1=

p2.V2. lnV2/V1,

En virtud de la Ley de Boyle-Mariotte, la expresión del trabajo de expansión/compresión de un gas ideal, puede ponerse como:

W = n.R.T. ln p1/p2 = p1.V1.lnV2/V1V2>V1=expansión, W= +

V2<V1=compresión, W= -

13

Volumen constante o isocora

Transformación donde no hay variación de volumen (isocora) y por tanto el trabajo que se produce es nulo.

Ejercicio5

14

Sin intercambio de calor o adiabática

El sistema debe estar aislado del exterior y no fluya calor o la transformación sea muy rápida.

La ecuación que rige este proceso es:

p. Vγ = C ; siendo γ = Cp/Cv ≈1,4 (exponente adiabático)

El trabajo corresponde al área de la figura entre dos puntos.

Si los gases son perfectos, tenemos:

T1.V1γ-1 = T2. V2

γ-1 y T1.p11-γ/ γ = T2.p2

1-γ/ γ

W = (p1.V1 – p2.V2)/(γ-1)

15

Politrópica (generalización)

Considerando las ecuaciones de la isoterma y de la adiabática:

p1.V1 = p2.V2 y p1. V1γ = p2.V2

γ

Observamos que son semejantes, excepto en el exponente; por ello, para un proceso real se utiliza la expresión:

p.Vn = C ó p1.V1n = p2.V2

n

Es la ecuación del proceso politrópico y n es el exponente que se ajusta a la evolución del gas:

•n=0, el proceso es isobárico

•n=1, el proceso es isotérmico.

•n=+∞ o n= - ∞, el proceso es isocoro.

•n=γ, el proceso es adiabático

La expresión del trabajo sigue siendo: W = p1.V1 – p2.V2/(n-1)

16

C – Trabajo eléctrico

Recordemos dos conceptos:

•Intensidad, es la cantidad de carga por unidad de tiempo:

I = Δq/t (Amperio)

•d.d.p., es el trabajo que tenemos que realizar para mover la unidad de carga entre dos puntos de un campo eléctrico:

ΔU = W/q (Voltio)

Por tanto, el trabajo W= U.q y en un intervalo de tiempo la cantidad de carga será q=I Δt, con lo que el trabajo se convierte en:

W = U I Δt

Ejercicio 6

17

Potencia

En la definición de W no se considera el t, pero no es lo mismo realizar un W en 1 m ó en 1h. Al elegir una máquina es más importante el concepto de P que el de W.

P = W/t (watio = julio/segundo)

De aquí que el ΔW = P. Δt y empleamos como unidades de trabajo el kw.h = 1000J/s.3600s = 3,6.106 J

Si en la P ponemos el W como producto de la F por el desplazamiento, obtenemos:

P = F Δx/ Δt = F.v donde se pone de manifiesto no sólo la F sino también la velocidad de desplazamiento.

5.6

Ejercicio 7

18

Potencia de rotación

Cuando un motor gira bajo la acción de un par motor M, la potencia desarrollada será:

P = dW/dt = M.dθ/dt = M.ω

ω = velocidad angular (rad/s)

En la práctica el giro se suele expresar en rpm (n)

(ω=2πn/60)

P = M.n.π/30

Ejercicio8

19

Potencia hidráulica

Un fluido con un caudal Q y a una presión p, la potencia que puede desarrollar es:

P = p . Q

Teniendo en cuenta que: p = F/S y Q = V/t.

Si suponemos constante en una zona la sección de la tubería, en un tiempo Δt el fluido habrá recorrido Δl.

Q = ΔV/ Δt = S Δl/ Δt = S.v , de aquí la velocidad a que fluye v=Q/S.

La potencia nos vendrá dada por el producto de la F por la velocidad:

P = F.v = p.S Q/S = p.Q

Para que P venga en w, la p en Pa y Q en m3/sEjercicio9

20

Potencia eléctrica

Teniendo en cuenta el concepto de P = W/t y las expresiones del trabajo eléctrico vistas anteriormente, tendremos:

P = I.ΔV = U.I P = I2.R P=U2/R

Ejercicio10

21

Formas de energía

Energía es la capacidad para producir trabajo, y la analizamos en ambas direcciones, para acumular energía o para transformarla.

Se manifiesta de múltiples formas, pero respecto a las máquinas nos interesa la energía mecánica; que podemos definir como: la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de..

• Su velocidad (energía cinética)

• Su posición en un campo gravitatorio (energía potencial)

• De su estado de tensión (energía elástica)

5.7

22

A – Energía cinética y potencial

Energía cinética Ec es la que posee un cuerpo en movimiento, debido a su velocidad.

Ec = ½. m.v2

Energía potencial Ep es la que posee un cuerpo situado en un campo gravitatorio a una altura h.

Ep = m.g.h

El trabajo efectuado por una fuerza resultante aplicada a un cuerpo es igual:

W = ΔEp + ΔEc

Ejercicio11

23

Energía potencial elástica

Si estiramos o comprimimos un muelle con una fuerza F es evidente que realizamos un trabajo. Este trabajo queda almacenado en el muelle en forma de energía, la cual se pone de manifiesto al soltarlo.

La llamamos energía potencial elástica y es:

Epx = ½ kx2

k: es la constante elástica del resorte (N/m)

Ejercicio12

24

B – Energía cinética de rotación

Cuando el cuerpo, además tiene un movimiento de rotación alrededor de un eje, aparece otro factor: como está distribuida la masa.

La energía cinética total del cuerpo será la suma de todas las de sus partículas, así:

Ec = ½(m1r12 + m2r2

2 +..) ω2 = ½(∑miri2) ω2

El término ∑miri2 es el momento de inercia I (kg.m2) y

su valor depende del eje de rotación elegido.

Ec = ½ I ω2

Si el cuerpo tiene movimiento de rotación alrededor de un eje y de traslación, la energía cinética es:

Ec = ½ m v2 + ½ I ω2

Radio de giro

ρ = √I/m

25

Momento de Inercia de algunos cuerpos

Ejercicio13

26

C – Energía térmica

El calor es la forma de energía que se transfiere del cuerpo con más Tª al de menos Tª para alcanzar el equilibrio térmico.

Tª es lo que tienen en común dos cuerpos en equilibrio térmico.

Pero dos materiales que están a la misma Tª , no han tenido que estar sometidos a la misma cantidad de calor.

La cantidad de calor que un cuerpo absorbe:

Q = m ce ΔT (julio ó caloría; 1cal = 4,18 J)

Los gases tienen dos calores específicos: a V=ctey a p=cte.

Qv = n cv ΔT y Qp=n cp ΔT

Esferas de igual V y masa

27

La energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma.

D – Principio de la conservación de la energía

Cuando el principio anterior se aplica al estudio de las máquinas térmicas se denomina primer principio de la termodinámica.

El objetivo es aprovechar el calor para producir trabajo: Q = ΔU+W

O al revés, emplear el trabajo para quitar calor: W = ΔU+Q

∑ de la energía que entra = ∑ de la energía que sale

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Resistencias pasivas (rozamiento)

En la ecuación de conservación de la energía falta incluir las pérdidas de energía o trabajo no utilizable que se denomina trabajo de rozamiento Wr.

W = ΔEp + ΔEc + Wr

Este rozamiento se suele disipar en forma de calor.

La fuerza de rozamiento Fr nos viene determinado por: Fr = μ. N

μ: coeficiente de rozamiento depende de la superficie.

Existen otros tipo de trabajos no útiles (pasivos): rigidez de cuerdas y cables, choques y vibraciones, resistencia de fluidos.

5.8

Ejercicio14

29

Rendimiento mecánico η

Se define como el cociente entre el trabajo útil Wu y el trabajo motor Wm (o variación de energía).

η = Wu/Wm = (Wm-Wr)/Wm = 1- Wr/Wm

Al tener siempre pérdidas, el rendimiento serámenor de la unidad.

También se puede expresar en función de las potencias:

η = Pu/Pm = (Pm-Pr)/Pm = 1- Pr/Pm

Si tenemos una máquina con varios η, el ηTserá el producto de los parciales (η1, η2, .).

Ejercicio15