ESTADÍSTICA INFERENCIALProbabilidades

Primera Unidad Estadística

La Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otraspalabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza oduda de que un suceso dado ocurra o no.

También se sabe que laprobabilidad debe estar comprendidaentre 0 y 1 es decir 0≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 , y quelas sumas de las probabilidades delespacio muestral debe sumar 1 es decirP(A)+P(B)+…+ P(n)= 1

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𝑃 =𝑆𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜

𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙

Espacio muestral (E)El espacio muestral es el conjunto de todos los

posibles resultados de un experimento aleatorio y sesuele representar como E (o bien como omega, Ω,del alfabeto griego).Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda, ¿cuálesson todos los posibles resultados que podemosobtener? Que salga cara o sello, ¿verdad? En totalson dos posibles resultados, por lo que el espaciomuestral tiene 2 elementos. E = {cara, cruz}Y si lanzamos un dado, tenemos en total 6 posiblesresultados que pueden salir. Por lo tanto el espaciomuestral sería de 6 elementos. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso (S)Un suceso es cualquier

subconjunto del espacio muestral. Porejemplo, “sacar cara” en ellanzamiento de una moneda, “sacar elnúmero 5” o “sacar un número par” enel lanzamiento de un dado son sucesos

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1) Por ejemplo, cuando lanzas unamoneda al aire, ¿cuál será laprobabilidad de que salga cara? Pararesponder esto debes pensar que encuantos lados tiene la moneda (cara ysello ). Por lo tanto ese es el espaciomuestral, entonces, que salga solouno de ellos dos (cara o sello) es elSuceso significa que su probabilidades:

𝑃𝑐𝑎𝑟𝑎 =𝑆𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜

𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙=1

2= 0,5*100% = 50%

𝑃𝑠𝑒𝑙𝑙𝑜 =𝑆𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜

𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙=1

2= 0,5*100% = 50%

2).La combinatoria de los dados. Laprobabilidad de un suceso expresa la relaciónentre los casos favorables y los casosposibles. Decimos que la probabilidad desacar un 5 al lanzar un dado es 1/6 porque?el dado tiene seis caras (casos posiblesEspacio muestral) Espacio y solo en una de

esas caras hay un 5 (casos favorables Suceso)

𝑃5 =𝑆𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜

𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙=1

6= 0,166*100% = 16.6%

3,-En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 11 al 20, salvo el color pues una son rojas y otrasverdes.a) Sacamos , sin mirar ,una bola ¿Cuál es la probabilidad de obtener un numero par?b) Se sabe que la probabilidad de sacar una bola verde es de 3/5.¿cuantas bolas hay de cada

color

Solucióna) Sacamos sin mirar una bola, ¿Cuál es laprobabilidad de sacar un número par?

Empezamos calculando el espaciomuestral en nuestro caso es E = {11, 12,13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} serian los10 números dados , posteriormente elevento o casos posibles el número decasos favorables = número de pares = 5son los números pares dentro de losresultados posibles (Los números 12,14, 16 , 18 y 20 son pares ).Entonces Laprobabilidad de sacar un número parseria =𝑃

𝑃𝑎𝑟 =𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜

𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑀𝑢𝑒𝑡𝑟𝑎𝑙=510

=0.5∗100%=50%

b) Se sabe que la probabilidad de sacar una bola verdees de 3/5.¿cuantas bolas hay de cada colorEl número de casos posibles, es decir, el número de bolasque pueden salir, sigue siendo 10.El número de casos favorables, es decir, el número debolas de color verde (nuestro suceso) es una de las cosasque queremos calcular.Sabemos que 3/5 es equivalente a 6/10. Por lo tanto,P(Verde) = 6/10 P(B)=? Aplicando la formula antes vistaP(Verde)+P(Rojas)= 1 tendríamos 6/10+P(Rojas)=1despejando nos quedaría 4/10 . Así que podemosdeducir que el resto, 4, son bolas rojas.Solución: Hay 6 bolas verdes y 4 bolas rojas

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4-Hallar la probabilidad una sumade 8 puntos al lanzar un par dedados

Solución:

Calculemos el espacio Muestral

1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1.3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

En este caso el espacio muestral es 36 contando las filas y columnas

Encontremos el evento que se nos pideque las suma de ambas lanzada de 8, ennuestro caso serian 5 elementos por lotanto la probabilidad pedida es :5/36=0,138*100%=13,8= 14%

5-Se lanza una moneda tres vecescual es la probabilidad de obtenerdos caras y un sello

Calculemos el espacio Muestral

C

S

C

S

C

S

S

S

C

C

C

SC

S

PrimeroSegundo

Tercero

cccccscsccsssccscssscsss

En este caso el espacio muestral es 8 elementos y el evento es 3 por lo tanto La probabilidad es 3/8 = 0,375*100%= 37,5 = 38%

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Tipos de Evento

Evento MutuamenteExcluyente: Son dosresultados de un eventoque no pueden ocurrir almismo tiempo. Ejemplo:lanzamiento de unamoneda puede salir carao sello pero los dos a lavez no

A B

P(AUB) = P(A)+P(B)

Evento No MutuamenteExcluyente: Es un eventodonde existe laprobabilidad que ambosocurran al mismo tiempoEjemplo tomar de unabaraja un as o un corazónya que existe un a decorazones

P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A)

A B

Evento ComplementarioEs un evento donde existela probabilidad de que unevento ocurran si el otrono ocurra Ejemplo selanza una moneda nosale cara cual es sucomplemento que salgasello

𝐴𝐶

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Tipos de Probabilidad

Probabilidad IndependienteSe dice que dos sucesos aleatoriosson independientes entre sí cuandola probabilidad de cada uno de ellos noestá influida porque el otro sucesoocurra o no, es decir, cuando ambossucesos no están relacionados. Laprobabilidad de que dos o mas eventosindependiente ocurran al mismotiempo es el propuesto de laprobabilidad marginal

A B

P(AB) =

P(AB)=P(A)*P(B)

P(A/B) = P(A) P(A)

A B

Probabilidad DependienteProbabilidad condicional esla probabilidad de queocurra un evento A, sabiendoque también sucede otroevento B. La probabilidadcondicional se escribe P(A. B)o P(A/B), y se lee«la probabilidad de A dadoB».

Probabilidad condicionalComportamiento de una variable sin

considerar otra.

C D Total

A Total A

B Total B

Total Total c Total D Total

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Eventos mutuamente Excluyente:6) ¿Cual es la probabilidad deobtener un 8 u 11 cuando se lanza unpar de dados?.

En esta ocasión solo pueden haber dosopciones sale un 8 o sale un 11 pero los dosa la vez no.P(AUB)= P(A)+P(B).

1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1.3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

P(A) = que salga un 8 = 5/36P(B)= que salga un 11= 2/36P(AUB)= 5/36+2/36 = 7/36=0,194*100% =19,4%

7).-Eventos mutuamente no Excluyente: Losempleaos de cierta empresa han elegidos a5 de ellos para que los represente en elconsejo de productividad, integrados porgerentes y empleados, los perfiles semuestra en la siguiente tablas. Este grupodecide elegir un representante al azar ¿Cuáles la probabilidad de que este sea mujer otenga mas de 35 años

Sexo Edad

Varón 30

Varón 32

Mujer 45

Mujer 20

Varón 40

P(A)= Que sea Mujer.P(B)= Mayor de 35 AñosPero puede ocurrir que sea mujer y mayorde 35 años por lo tanto la formulaempleada es P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A B)

P(A)= probabilidad de que sea mujer ( CuantasMujeres Hay ) = 2 este es el evento y el espaciomuestral es 5 por lo tanto P(A)= 2/5.P(B) = Probabilidad mayor a 35 añosP(B)= 2/5y La Probabilidad de que sea Mujer y mayor de

35 añosP(A B)=1/5.Entonces P(AUB) = 2/5+2/5-1/5=3/5=0,6*100%= 60%

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Probabilidad Marginal o Tabla de Contingencia Ejemplo:8) Durante 18 días se registró por la mañana siestaba o no nublado y por la tarde si llovía o norealizar la tabla de contingencia y responder a)Probabilidad de que este nublado, b) Probabilidadde que llueva si esta no nublado c) llueva dado queesté nublado

Nublado No Nublado

TotalFilas

Llueve 7/18 =0,388

3/18 = 0,166

10/18= 0,555

No Llueve 2/18=0,111

6/18= 0,333

8/18= 0,44

Total Columnas

9/18= 0,5 9/18=0,5 18/18 = 1

c) Probabilidad de que llueva dado que esta nubladoP(A/B) = P(A B) / P(B) = 0,388/0,5= 0,77*100% =77%

Nublado

No Nublado

TotalFilas

Llueve 7 3

No Llueve 2 6

Total Columnas

Nublado No Nublado

TotalFilas

Llueve 7 3 10

No Llueve 2 6 8

Total Columnas

9 9 18

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a) Probabilidad de que este nubladoP(Nublado) = 0,5.

b) Probabilidad de que llueva si no esta nublado =P( Llueva No Nublado) = 0,166*100%=16,6=17

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9) Se sortea una entrada para un parque de atracciones entre los 80 miembros de un club. De ellos, 12 son rubios,17 no llevan lentes, y 4 son rubios y llevan lentes.1) Calcula la probabilidad de que le toque la entrada a alguien que no sea rubio y no lleve lentes.2) Si al que le toca es rubio, ¿cuál es la probabilidad de que no lleve lentes?

solución

TotalFilas

Total Columnas

Rubios No Rubios

1

Sin lentes

lentes

0.15

0,21

0.05

0.85

0.780.73

8/80=0.1 0,11

TotalFilas

Total Columnas

Rubios No Rubios

80

Sin lentes

lentes

12

17

4

68

6359

8 9

1) Calcula la probabilidad de que le toque la entrada a alguien que no sea rubio y no lleve lentes P( No rub No Gafas) = 0,11*100%= 11%

2) Si al que le toca es rubio, ¿cuál es la probabilidad de que no lleve lentes?P(A)= no lleve lentes; P(B) es rubio; P(A B) = Rubio y sin lentesP(A/B) = P(A B) / P(B) = 0,1/0,15= 0,66*100% = 66%

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10) En un congreso de 200 jóvenes profesionales se pasa una encuesta para conocer los hábitos en cuanto acontratar viajes por internet. Se observan que 120 son hombres y que de estos , 84 contratan los viajes porinternet, mientras que 24 son mujeres que no emplean esa vía. Elegido un congresista al azar, calcule laprobabilidad de que:▪ Contrate sus viajes por internet.▪ Use internet para contratar los viajes, si la persona elegida es una mujer.▪ Sea hombre, sabiendo que contrata sus viaje por internet

TotalFilas

Total Columnas

Mujeres Hombres

200

Sin Internet

Con Internet

120

84

24

80

36

56

60

140

TotalFilas

Total Columnas

Mujeres Hombres

1

Sin Internet

Con Internet

0.6

0.42

0.12

0.4

0.18

0.28

0.3

0.7

No contrate sus viajes por internet: 0,7*100%= 70%

Use internet para contratar los viajes, si la persona elegida es una mujer: 0.28*100%= 28%

Sea hombre, sabiendo que contrata sus viaje por internet:P(A) Internet ,P(B)= Hombre;; P(A B) = Hombre y con InternetP(A/B) = P(A B) / P(B) =0,42/0,6= 0,7*100%=70%

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La probabilidad de que un hombre viva 10 años o mas es de 25%, y la probabilidad de que su esposa viva10 años o mas es de 33% encontrar la probabilidad de que:a) Ambos estén vivos dentro de 10 años.b) Por lo menos uno este vivo dentro de 10 años.c) Ninguno de los dos este vivo en 10 años.d) Solamente la esposa viva dentro de 10 años

Solución:P(A)=Probabilidad del hombre vivo= 0.25

P(B)=Probabilidad mujer viva= 0,33

a) P(A B)= P(B)*P(B)= 0.25*0.33= 0,0825*100%=8,25%

b) P(AUB)= P(B)+P(B)- P(A B)= = 0.25+0.33-0,0825= 0,4975*100%=49,75%

P´(A)=Probabilidad del hombre Muerto= 1- Probabilidad del hombre vivo = 1-0.25 = 0,75

P´(B)=Probabilidad mujer Muerta= 1- Probabilidad mujer viva= 1_ 0,33= 0,67

c) P(A B)= P(A)*P(B)= 0,75*0,67=0,507*100%=50,7=51%

d) P(A´ B)= P´(A)*P(B)= 0.75*0.33= 0,247*100%=24,7%=25