primera ley

Unidad III: Primera Ley de la Termodinmica

Trabajo: W

XFw

dxFdw

2

1

JNmdxFw

Energa Cintica: K

dxFdK

Jvvm

K2

0

2

12

Energa Potencial: P

dzFdP

dzgmdP

2

1

z

z

dzgmPdP

JZZgmP 12

Trabajo de Sistema Cerrado: W (por medio de un lmite

mvil)

Trabajo de Sistema Cerrado: W (por medio de un lmite

mvil)

dxFdW

dVpdxApdW

JdVpdWW

Trabajo de Flujo: Wf

11111111 VpLApLFW f

22222222 VpLApLFWf

Trabajo de Flujo: Wf

JVpVpW f 1122

kgJvpvpW f /1122

Calor Q:

Es una de las formas de energa.

Energa en transicin debido a diferencias de temperatura.

Ley Cero: Dos cuerpos estn en equilibrio trmico si estn a igual temperatura.

1 [Nm

Q/m = q [J/kg].

Energa Interna: U [kJ]

trasladan y vibran).

Segn teora cintica, la temperatura depende de energa cintica.

Energa Interna: U [kJ]

U [J]

U/m = [J/kg]

U = U2 U1

= 2 1

Resumen de las Energas

- Energa Almacenada

Energa Potencial: P.

Energa Cintica: K.

Energa Interna: U.

- Energa en Transicin

Trabajo de Flujo: Wf.

Trabajo: W.

calor: Q.

W y Q se refiere a valores netos, es decir, como ejemplo de sistema cerrado.


WWW neto

QQQ meto


En este caso:

)( Rs QQQ

sR WWW

Ejercicios

1. Un recipiente rgido contiene fluido caliente que se enfra mientras es

agitado por una rueda de paletas. Al inicio, la energa interna del fluido

es de 800 [kJ] de calor, pero durante el proceso de enfriamiento pierde

500 [kJ]. Por su parte, la rueda produce 100 [kJ] de trabajo sobre el

fluido. Determine la energa interna final del fluido e ignore la energa

almacenada en la rueda de paletas.

Ejercicios

2. Se calienta agua en un recipiente cerrado sobre una estufa mientras es

agitado con una rueda de paletas. Durante el proceso, 30 [kJ] de calor se

transfieren al agua y 5 [kJ] de calor se pierden en el aire circundante. El

trabajo de la rueda de paletas equivale a 500 [Nm]. Determine la energa

final del sistema si su energa inicial es de 10 [kJ].

Ejercicios

3. En un saln de clases que normalmente aloja a 40 personas se

instalarn unidades de aire acondicionado con capacidad de

enfriamiento de 5 [kW]. Se puede suponer que una persona en reposo

disipa calor a una tasa de alrededor de 360 [kJ/h]. Adems, hay 10 focos

en el aula, cada uno de 100 [W], y se estima que la tasa de transferencia

de calor hacia el aula a travs de las paredes es de 15000 [kJ/h]. Si el

aire en el aula se debe mantener a una temperatura constante de 21

[C], determine el nmero de unidades de aire acondicionado requeridas.

Trabajo de Frontera Mvil

Una forma de trabajo mecnico muy comn en la prctica es aquella que est

relacionada con la expansin o compresin de un gas en un dispositivo de

cilindro-mbolo.

Durante este proceso, parte de la frontera (la cara interna del mbolo) se

mueve en vaivn: por lo tanto, el trabajo de expansin y compresin suele

llamarse trabajo de frontera mvil o simplemente trabajo de frontera.


Algunos lo llaman trabajo pdv por razones que se explicarn ms adelante. El

trabajo de frontera mvil es la principal forma de trabajo relacionado con los

motores de automviles. Durante su expansin, los gases de combustin

fuerzan al mbolo a moverse, el cual a su vez obliga al cigeal a girar.

El trabajo de frontera mvil relacionado con motores o compresores reales no

se puede determinar de forma precisa a partir solamente de un anlisis

termodinmico, porque el mbolo comnmente se mueve a muy altas

velocidades, lo cual dificulta que el gas en el interior mantenga su equilibrio.

Entonces, los estados por los que pasa el sistema durante el proceso no se

pueden especificar y tampoco es posible trazar alguna trayectoria del proceso.

Por ser una funcin de la trayectoria, el trabajo no se puede determinar de

forma analtica sin conocerla.

Por lo tanto, el trabajo de frontera en motores o compresores reales se

determina mediante mediciones directas.


En esta seccin, se analiza el trabajo de frontera mvil para un proceso de

cuasiequilibrio, durante el cual el sistema permanece cercano al equilibrio todo

el tiempo. Un proceso de cuasiequilibrio, llamado tambin proceso

cuasiesttico es el que siguen muy de cerca los motores reales, en particular

cuando el mbolo se mueve a velocidades bajas.

En idnticas condiciones, se observa que el trabajo producido por los motores

es un mximo, y el que entra a los compresores es un mnimo, cuando se

emplean procesos de cuasiequilibrio en lugar de procesos sin cuasiequilibrio.

A continuacin se evala el trabajo relacionado con una frontera mvil para un

proceso de cuasiequilibrio.

Considerar gas encerrado en el dispositivo de cilindro-mbolo que se muestra

en la figura. La presin inicial del gas es P, el volumen total es V y el rea de la

seccin transversal del mbolo es A.


Si se permite al mbolo moverse una distancia ds de modo que se mantenga

el cuasiequilibrio, el trabajo diferencial hecho durante este proceso es:

dvPdsPAdsFWb

Es decir, el trabajo de frontera en la forma diferencial es igual al producto de la

presin absoluta P y el cambio diferencial en el volumen dV del sistema. Esta

expresin tambin explica porqu el trabajo de frontera mvil se llama a veces

trabajo P dV.

Observar en la ecuacin que P es la presin absoluta, la cual siempre es

positiva. Sin embargo, el cambio de volumen dV es positivo durante un

proceso de expansin (incremento de volumen) y negativo durante uno de

compresin (disminucin de volumen).

As, el trabajo de frontera es positivo durante un proceso de expansin y

negativo durante otro de compresin. Por tanto, la ecuacin se puede

considerar como una expresin para el trabajo de frontera producido, Wb,salida.


Un resultado negativo indica entrada de trabajo de frontera (compresin).

El trabajo de frontera total realizado durante el proceso completo a medida que

se mueve el mbolo, se obtiene sumando los trabajos diferenciales desde los

estados inicial hasta el final.

2

1

kJPdVWb

Esta integral se puede evaluar slo si se conoce la relacin funcional entre P y

V durante el proceso; es decir, P = f(V) debe estar disponible. Notar que P =

f(V) es simplemente la ecuacin de la trayectoria del proceso en un diagrama

P-V.

El proceso de expansin en cuasiequilibrio descrito se muestra en un diagrama

P-V en la figura, en la que el rea diferencial dA es igual a PdV, que es el

trabajo diferencial.


El rea total A bajo la curva del proceso 1-2 se obtiene sumando estas reas

diferenciales: 2

1

2

1

PdVdAAArea

Una comparacin de esta ecuacin con la anterior revela que el rea bajo la

curva del proceso en un diagrama P-V es igual en magnitud al trabajo hecho

durante una expansin en cuasiequilibrio o proceso de compresin de un

sistema cerrado. (En el diagrama P-V, esto representa el trabajo de frontera

hecho por unidad de masa).

Un gas puede seguir varias trayectorias cuando se expande del estado 1 al 2.

En general, cada trayectoria tendr debajo un rea diferente y, puesto que sta

representa la magnitud del trabajo, el trabajo hecho ser diferente para cada

proceso.


Esto es de esperarse, ya que el trabajo es una funcin de la trayectoria (es

decir, depende de la trayectoria seguida as como de los estados finales). Si el

trabajo no fuera una funcin de la trayectoria, ningn dispositivo cclico

(motores automotrices, centrales elctricas) podra operar como productor de

trabajo.

El trabajo producido por stos durante una parte del ciclo tendra que ser

consumido durante otra, y no habra salida neta de trabajo. El ciclo mostrado

en la figura produce una salida neta de trabajo porque el trabajo hecho por el

sistema durante el proceso de expansin (rea bajo la trayectoria A) es mayor

al realizado sobre el sistema en el momento de compresin del ciclo (rea bajo

la trayectoria B), y la diferencia entre estos dos es el trabajo neto hecho

durante el ciclo (rea sombreada).


Si la relacin entre P y V durante un proceso de expansin o compresin se da

en trminos de datos experimentales en lugar de en forma funcional, es

evidente que no se puede llevar a cabo la integracin analtica, pero siempre

es posible graficar el diagrama P-V del proceso con estos puntos de datos, as

como calcular de forma grfica el rea debajo para determinar el trabajo

hecho.

En sentido estricto, P es en la ecuacin la presin sobre la superficie interna

del mbolo, y se vuelve igual a la del gas en el cilindro slo si el proceso es de

cuasiequilibrio; por lo tanto, en determinado momento todo el gas en el cilindro

est a la misma presin.

La ecuacin tambin se puede usar para procesos sin cuasiequilibrio siempre

y cuando la presin en la cara interna del mbolo se use para P. (Adems, no

se puede hablar de la presin de un sistema durante un proceso sin

cuasiequilibrio porque las propiedades se definen slo para estados de

equilibrio. Por lo tanto, se puede generalizar la relacin de trabajo de frontera

expresndola como:


2

1

dVPW ib

Donde Pi es la presin en la cara interna del mbolo.

Observar que el trabajo es un mecanismo para la interaccin de energa entre

un sistema y sus alrededores, y Wb representa la cantidad de energa

transferida desde el sistema durante un proceso de expansin (o hacia el

sistema durante uno de compresin).

As, tiene que aparecer en alguna otra parte y debe ser posible justificarlo

porque la energa se conserva.

En un motor de automvil, por ejemplo, el trabajo de frontera realizado

mediante la expansin de gases calientes, se usa para vencer la friccin entre

el mbolo y el cilindro y as expulsar el aire atmosfrico y hacer girar el

cigeal. Por lo tanto:


2

1

dxFAPFWWWW ciguealatmfriccinciguealatmfriccinb

Por supuesto, el trabajo usado para vencer la friccin aparece como calor de

friccin y la energa transmitida por el cigeal pasa a otros componentes

(como las llantas) para efectuar ciertas funciones.

Sin embargo, observar que la energa transferida por el sistema como trabajo

debe ser igual a la energa que reciben tanto el cigeal como la atmsfera y

la energa usada para vencer la friccin.

El uso de la relacin de trabajo de frontera no se limita a los procesos de

cuasiequilibrio de gases, tambin se puede usar para slidos y lquidos.

Ejercicio

1. Un recipiente rgido contiene aire a 500 [kPa] y 150 [C]. Como resultado

de la transferencia de calor hacia los alrededores, la temperatura y la

presin dentro del recipiente descienden a 65 [C] y 400 [kPa],

respectivamente. Determine el trabajo de frontera hecho durante este

proceso

Balance de Sistemas Cerrados

El balance de energa para cualquier sistema que experimenta alguna clase de

proceso se expres como:

kJEEE sistemasalidaentrada

O bien, en la forma de tasa, como:

kWdtdEEE sistemasalidaentrada /..

Para tasas constantes, las cantidades totales durante un intervalo de tiempo t

se relacionan con las cantidades por unidad de tiempo como:

kJtdtdEEytWWtQQ /,,..


El balance de energa se puede expresar por unidad de masa como:

kgkJeee sistemasalidaentrada /

Que se obtiene al dividir las cantidades de la ecuacin anterior entre la masa

m del sistema. El balance de energa se puede expresar tambin en forma

diferencial como:

sistemasalidaentradasistemasalidaentrada deeeodEEE

Para un sistema cerrado que experimenta un ciclo, los estados inicial y final

son idnticos, por lo tanto, Esistema = E2 E1 = 0. Entonces, el balance de

energa para un ciclo se simplifica a Eentrada Esalida = 0 o Eentrada = Esalida

Al observar que un sistema cerrado no tiene que ver con ningn flujo msico

que cruce sus fronteras, el balance de energa para un ciclo se puede expresar

en trminos de interacciones de calor y trabajo como:


ciclounparaQWoQWentradanetosalidanetoentradanetosalidaneto ,

.

,

.

,,

Es decir, la salida de trabajo neto durante un ciclo es igual a la entrada neta de

calor.


Las relaciones de balance de energa (o la primera ley) expresadas

anteriormente son de naturaleza intuitiva y son fciles de usar cuando se

conocen las magnitudes y las direcciones de las transferencias de calor y

trabajo.

Sin embargo, al efectuar un estudio analtico general o resolver un problema

relacionado con una interaccin desconocida de calor o trabajo, es necesario

suponer una direccin para estas interacciones.

En tales casos, es comn usar la convencin de signos de la termodinmica

clsica y suponer el calor que se transferir al sistema (entrada de calor) en la

cantidad Q, as como el trabajo que realizar el sistema (salida de trabajo) en

la cantidad W, para despus resolver el problema.

La relacin de balance de energa en este caso para un sistema cerrado se

convierte en: EWQoEWQ sistemasalidanetoentradaneto ,,


Donde Q = Qneto,entada = Qentrada Qsalida es la entrada neta de calor y W =

Wneto,salida = Wsalida Wentrada es la salida neta de trabajo.

Obtener una cantidad negativa para Q o W significa simplemente que la

direccin supuesta para esa cantidad es errnea y debe invertirse. En la figura

sistemas cerrados.


La primera ley no se puede probar en forma matemtica, pero tampoco se

sabe de algn proceso en la naturaleza que la haya violado, y esto se debe

tomar como demostracin suficiente.

Observar que si fuera posible probar la primera ley con base en otro principios

fsicos, entonces sta sera una consecuencia de tales principios en lugar de

ser por s misma una ley fsica fundamental.

El calor y el trabajo no son distintas como cantidades de energa, y quiz la

pregunta por qu an as se les diferencia, ya que despus de todo el cambio

en el contenido de energa de un sistema es igual a la cantidad de energa que

cruza las fronteras del sistema, y no importa si la energa los cruza en forma

de calor o trabajo.

En apariencia, las relaciones de la primera ley seran mucho ms simples si se

tuviera una cantidad que podramos llamar interaccin de energa para

representar tanto el calor como el trabajo; as, desde el punto de vista de la

primera ley, tanto el calor como el trabajo no son diferentes en absoluto, pero

desde el punto de vista de la segunda ley, sin embargo, calor y trabajo son

muy diferentes.

Ejercicios

1. Un dispositivo de cilindro-mbolo contiene 25 [g] de vapor de agua

saturado que se mantiene a una presin constante de 300 [kPa]. Se

enciende un calentador de resistencia elctrica dentro del cilindro y pasa

una corriente de 0,2 [A] durante 5 minutos desde una fuente de 120 [V].

Al mismo tiempo, ocurre una prdida de calor de 3,7 [kJ]. a) Muestre que

para un sistema cerrado el trabajo de frontera Wb y el cambio de energa

interna U en la relacin de la primera ley se puede combinar en un

trmino, H, para un proceso a presin constante. b) Determine la

temperatura final del vapor.


2. Un recipiente rgido est dividido en dos partes iguales por una

separacin. Al inicio, un lado del recipiente contiene 5 [kg] de agua a 200

[kPa] y 25 [C], mientras el otro se halla al vaco. Se retira la separacin

y el agua se expande en todo el recipiente, con lo que el agua

intercambia calor con sus alrededores hasta que la temperatura en el

recipiente vuelve al valor inicial de 25 [C]. Determine a) el volumen del

recipiente. b) la presin final y c) la transferencia de calor para este

proceso.

Calores Especficos

Se sabe por experiencia que se requieren distintas cantidades de energa para

elevar en un grado la temperatura de masas idnticas pertenecientes a

sustancias diferentes.

Por ejemplo, se necesitan 4,15 [kJ] de energa para elevar la temperatura de

1[kg] de hierro de 20 a 30 [C], mientras que se requiere nueve veces esta

energa (41,8 [kJ], para ser exactos) con la finalidad de elevar la temperatura

de 1 [kg] de agua lquida en la misma cantidad.

Calores Especficos

Por lo tanto es deseable tener una propiedad que permita comparar la

capacidad de almacenaje de energa de varias sustancias. Esta propiedad es

el calor especfico.

El calor especfico se define como la energa requerida para elevar en un

grado la temperatura de una unidad de masa de una sustancia. En general,

esta energa depende de cmo se ejecute el proceso. En termodinmica, el

inters se centra en dos clases de calores especficos: calor especfico a

volumen constante Cv y calor especfico a presin constante Cp.

Calores Especficos

Desde un punto de vista fsico, el calor especfico a volumen constante Cv se

puede considerar como la energa requerida para elevar en un grado la

temperatura de una unidad de masa de una sustancia cuando el volumen se

mantiene.

La energa requerida para hacer lo mismo cuando se mantiene constante la

presin es el calor especfico a presin constante Cp, lo cual se ilustra en la

figura.

Calores Especficos

El calor especfico a presin constante Cp es siempre mayor que Cv porque a

presin constante se permite que el sistema se expanda y la energa para este

trabajo de expansin tambin debe ser suministrada al sistema.

Ahora se expresarn los calores especficos en trminos de otras propiedades

termodinmicas. Primero, considerar una masa fija en un sistema cerrado

estacionario que experimenta un proceso a volumen constante (por lo tanto, no

hay trabajo de expansin o compresin).

El principio de conservacin de energa eentrada esalida = esistema para

este proceso puede expresarse en forma diferencial como:

duee salidaentrada

El lado izquierdo de esta ecuacin representa la cantidad neta de energa

transferida al sistema. A partir de la definicin de Cv, esta energa debe ser

igual a CvdT, donde dT es el cambio diferencial de temperatura. As:

Calores Especficos

teconsvolumenadudTCv tan

O bien,

V

vT

uC

De manera similar, una expresin para el calor especfico a presin constante

Cp se obtiene al considerar un proceso de expansin o compresin a presin

constante:

p

pT

hC

Observar que Cv y Cp se expresan en trminos de otras propiedades; de esta

manera, deben ser propiedades por s mismas. Como cualquier otra

propiedad, los calores especficos de una sustancia dependen del estado que

generalmente se especifica mediante dos propiedades intensivas,

independientes.

Calores Especficos

Calores Especficos

Es decir, la energa requerida para elevar en un grado la temperatura de una

sustancia difiere a temperaturas y presiones distintas, pero normalmente esta

diferencia no es muy grande.

Calores Especficos

De las ecuaciones anteriores se pueden hacer algunas observaciones. Una es

que son relaciones de propiedades y como tales son independientes del tipo

de proceso; por lo tanto, son vlidas para cualquier sustancia que experimenta

cualquier proceso.

La nica relevancia que tiene Cv en relacin con un proceso a volumen

constante es que Cv corresponde a la energa transferida hacia un sistema

durante un proceso, a volumen constante por unidad de masa, por cada grado

que aumenta la temperatura.

As es como se determinan los valores de Cv y tambin como se origin el

nombre de calor especfico a volumen constante. Del mismo modo, la energa

transferida al sistema por unidad de masa a causa del aumento unitario de

temperatura durante un proceso a presin constante es igual a Cp, con lo cual

se determinan los valores de Cp y se explica tambin el origen del nombre de

calor especfico a presin constante.

Calores Especficos

Otra observacin que se puede hacer a las ecuaciones es que Cv est

relacionado con los cambios de energa interna mientras que Cp con los

cambios de entalpa.

De hecho, sera ms adecuado definir Cv como el cambio en la energa interna

de una sustancia por cambio unitario de temperatura a volumen constante.

Asimismo, es posible definir Cp como el cambio en la entalpa de una

sustancia por cambio unitario en la temperatura a presin constante.

En otras palabras, Cv es una medida de la variacin de energa interna de una

sustancia con la temperatura, y Cp es una medida de la variacin de entalpa

de una sustancia con la temperatura.

Tanto la energa interna como la entalpa de una sustancia se pueden

modificar mediante la transferencia de energa en cualquier forma, con el calor

como la nica forma de ellas.

Calores Especficos

Por lo tanto, el trmino energa especfica es quiz ms apropiado que el de

calor especfico, lo cual significa que la energa se transfiere (y almacena) en

forma de calor.

Una unidad comn para los calores especficos es kJ/kgC o kJ/khK. Observar

que ambas unidades son idnticas dado que T(C) = T(K), y un cambio en

de 1 C en la temperatura es equivalente a un cambio de 1 K. A veces los

calores especficos se dan en base molar; en este caso se denotan mediante

Cv y C`p y tienen la unidad kJ/kmolC o kJ/kmolK.

Energa Interna, Entalpa y Calores Especficos de

Gases Ideales

Se define un gas ideal como un gas cuya temperatura, presin y volumen

especfico se relacionan mediante:

RTPV

Se ha demostrado en forma matemtica y experimental (Joule, 1843) que para

un gas ideal la energa interna es slo funcin de la temperatura. Es decir,

)(Tuu

En su experimento clsico, Joule sumergi en agua dos recipientes

conectados mediante un tubo y una vlvula, como se ilustra en la figura.


Gases Ideales


Gases Ideales

Al principio, uno de los recipientes contena aire a una presin alta y el otro

estaba vaco. Cuando se alcanz el equilibrio trmico, abri la vlvula para

permitir el paso de aire de un recipiente al otro hasta que se igualaron las

presiones.

Joule no observ ningn cambio en la temperatura del agua y supuso que no

se transfiri calor hacia o desde el aire. Como tampoco se realiz trabajo,

concluy que la energa interna del aire no cambi aun cuando el volumen y la

presin s lo hicieron.

Por lo tanto, razon, la energa interna es una funcin de la temperatura

solamente y no de la presin o del volumen especfico. (Joule demostr

despus que para gases con una desviacin significativa respecto al

comportamiento de un gas ideal, la energa interna no es slo una funcin de

la temperatura.).

Con la definicin de entalpa y la ecuacin de estado de un gas ideal, se tiene:


Gases Ideales

RTPV

PVuhRTuh

Dado que R es constante y u = u(T), se deduce que la entalpa de un gas ideal

es tambin slo una funcin de la temperatura.

)(Thh

Puesto que para un gas ideal u y h dependen nicamente de la temperatura,

los calores especficos Cv y Cp dependen tambin, a lo sumo, slo de la

temperatura.

Por lo tanto, a una temperatura dada, u, h, Cv y Cp de un gas ideal tienen

valores fijos sin importar el volumen especfico o la presin.


Gases Ideales


Gases Ideales

As, para gases ideales, las derivas parciales de las ecuaciones se pueden

reemplazar por derivadas ordinarias. Entonces, los cambios diferenciales en la

energa interna y la entalpa de un gas ideal se pueden expresar como:

dTTCdu v )(

dTTCdh p )(

Ejercicios

1. Un dispositivo cilindro-mbolo contiene inicialmente 0,5 [m3] de gas

nitrgeno a 400 [kPa] y 27 [C]. Dentro del dispositivo se enciende un

calentador elctrico con lo cual pasa una corriente de 2 [A] durante 5

minutos desde una fuente de 120 [V]. El nitrgeno se expande a presin

constante y ocurre una prdida de calor de 2800 [J] durante el proceso.

Determine la temperatura final del nitrgeno.

Ejercicios

2. Un dispositivo de cilindro-mbolo contiene al inicio aire a 150 [kPa] y 27

[C]. En este estado, el mbolo descansa sobre un par de topes, como

se ilustra en la figura, y el volumen encerrado es de 400 [L]. La masa del

mbolo es tal que se requiere una presin de 350 [kPa] para moverlo. Se

calienta el aire hasta duplicar su volumen. Determine a) La temperatura

final, b) El trabajo que realiza el aire y c) El calor total transferido al aire.

Ejercicios

1. Un recipiente rgido est dividido en dos partes iguales por una

separacin. Al inicio, un lado del recipiente contiene 5 [kg] de agua a 200

[kPa] y 25 [C], mientras el otro se halla al vaco. Se retira la separacin

y el agua se expande en todo el recipiente, con lo que el agua

intercambia calor con sus alrededores hasta que la temperatura en el

recipiente vuelve al valor inicial de 25 [C]. Determine a) el volumen del

recipiente. b) la presin final y c) la transferencia de calor para este

proceso.


Slidos y Lquidos

Una sustancia cuyo volumen especfico ( o densidad) es constante se llama

sustancia incompresible. Los volmenes especficos de slidos y lquidos en

esencia permanecen constantes durante en proceso.


Slidos y Lquidos

Por lo tanto lquidos y slidos se pueden considerar semejantes como

sustancias incompresibles sin sacrificar mucho en precisin. Se debe entender

que la suposicin de volumen constante implica que la energa relacionada con

el cambio de volumen es insignificante en comparacin con otras formas de

energa.

De lo contrario, esta suposicin sera ridcula para estudiar el esfuerzo trmico

en slidos (causado por el cambio de volumen con la temperatura) o analizar

termmetros de lquido contenido en vidrio.

Se puede mostrar matemticamente que los calores especficos a volumen y

presin constantes son idnticos para sustancias incompresibles.


Slidos y Lquidos


Slidos y Lquidos

Entonces, para slidos y lquidos, los subndices en Cp y Cv se eliminan, y en

ambos calores especficos se pueden representar mediante un solo smbolo C.

Es decir:

CCC vp

Esto se podra deducir tambin de las definiciones fsicas de calores

especficos a volumen y presin constantes. Los valores de calores especficos

para diversos lquidos y slidos comunes se ofrecen en la tabla A-3.

Cambio de Energa Interna

Al igual que los de gases ideales, los calores especficos de sustancias

incompresibles dependen slo de la temperatura. As, las diferenciales

parciales en la ecuacin de definicin de Cv se pueden reemplazar por

diferenciales ordinarias, que producen:

dTTCdTCdu v

El cambio de energa interna entre los estados 1 y 2 se obtiene por integracin:

2

112 / kgkJdTTcuuu

La variacin del calor especfico C con la temperatura se debe conocer antes

de llevar a cabo esta integracin. Para pequeos intervalos de temperatura, un

valor de C a la temperatura promedio se puede usar y tratar como una

constante, de lo que se obtiene: kgkJTTCu prom /12

Cambios de Entalpa

Si se emplea la definicin de entalpa h = u + PV y observando que V =

constante, la forma diferencial del cambio de entalpa de sustancias

incompresibles se determina mediante derivacin, como:

VdPduPdVVdPdudh

Al integrar,

kgkJPVTCPVuh prom /

Para slidos, el trmino V P es insignificante, por lo tanto h = u = Cprom T.

Para lquidos, comnmente se encuentran dos casos especiales:

1. Procesos a presin constante, como en los calentadores ( P = 0): h =

u = Cprom T.

Cambios de Entalpa

2. Procesos a temperatura constante, como en las bombas ( T = 0): h =

V P.

Para un proceso que ocurre entre los estados 1 y 2, la ltima relacin se puede

expresar como h2 h1 = V(P2 P1). Si se toma el estado 2 como el estado de

lquido comprimido a T y P dadas, as como el estado de lquido saturado a la

misma temperatura, es posible expresar la entalpa del lquido comprimido

como:

)(, TsatTfTfTP PPVhh

Esta es una mejora sobre la suposicin de que la entalpa del lquido

comprimido se podra tomar como hf a la temperatura dada ( es decir, h@P,T =

hf@T); sin embargo, la contribucin del ltimo trmino suele ser muy pequea y

se ignora.

Cambios de Entalpa

Observar que a presiones y temperaturas altas, la ecuacin podra

sobrecorregir la entalpa y dar como resultado un error ms grande que la

aproximacin h = hf@T.

Ejercicios

1. Determine la entalpa del agua lquida a 100 [C] y 15 [Mpa] (a) Usando

tablas de lquido comprimido, (b) aproximndola como un lquido

saturado y c) usando la correccin dada por la ecuacin de la entalpa.

Ejercicios

2. Un bloque de hierro de 50 [kg] a 80 [C] se sumerge en un recipiente

aislado que contiene 0,5 [m3] de agua lquida a 25 [C]. Determine la

temperatura cuando se alcanza el equilibrio trmico.

Ejercicios

3. Si alguna vez a propinado o recibido una bofetada, quiz recuerde la

sensacin de ardor. Imagine que tuvo la desafortunada ocasin de ser

abofeteado por una persona enojada, lo cual le caus un aumento de

temperatura de 1,8 [C] en el rea afectada (ay!). Suponiendo que la

mano golpeadora tiene una masa de 1,2 [kg] y que cerca de 0,150 [kg]

de tejido tanto de la cara como de la mano resulta afectado por el

incidente, estime la velocidad de la mano justo antes del impacto.

Suponga que el calor especfico del tejido es de 3,8 [kJ/kgC].

Ejercicios

4. En una instalacin de manufactura, bolas de bronce de 5 [cm] de

dimetro ( densidad = 8522 [kg/m3] y Cp = 0,385 [kJ/kgC]), que

inicialmente estn a 120 [C], se enfran en un bao de agua a 50 [C]

durante 2 minutos a una tasa de 100 bolas por minuto. Si la temperatura

de las bolas despus del bao es de 74 [C], determine la tasa a la cual

se debe eliminar calor del agua para mantener su temperatura constante

en 50 [C].

Ejercicios

5. Considere una plancha de 1000 [W] cuya placa base est hecha de

aleacin de aluminio 2024-T6 de 0,5 [cm] de espesor ( densidad = 2770

[kg/m3] y Cp = 875 [J/kgC]). La placa base tiene un rea superficial de

0,03 [m2]. Al inicio, la placa est en equilibrio trmico con el aire del

ambiente a 22 [C]. Si se supone que 85 por ciento del calor generado

en la resistencia se transfiere a la placa, determine el tiempo mnimo

requerido para que la temperatura de la placa alcance 140 [C].

Conservacin de la Masa

La conservacin de la masa es uno de los principios fundamentales de la

naturaleza. Todos estamos familiarizados con este principio y no es difcil

entender.

Para sistemas cerrados, el principio de conservacin de la masa se usa de

modo implcito al requerir que la masa del sistema permanezca constante

durante un proceso.

Sin embargo, para volmenes de control, la masa puede cruzar las fronteras,

de modo que se debe mantener un registro de la cantidad de masa que entra y

sale.

Flujos Msicos y Volumtricos

La cantidad de masa que pasa por una seccin transversal por unidad de

tiempo se llama flujo msico y se denota mediante m`. El punto sobre un

smbolo se usa para indicar la rapidez de cambio respecto al tiempo.

Un fluido entra o sale comnmente de un volumen de control a travs de

tuberas o ductos. El flujo msico diferencial del fluido que pasa por un

pequeo elemento de rea dAc en una seccin transversal del flujo es

proporcional a dAc, la densidad del fluido y el componente de la velocidad de

flujo normal a dAc, que se denota como Vn, y se expresa como:

cndAVm.

Observar que tanto como d se usan para indicar cantidades diferenciales,

pero se emplea por lo regular para cantidades (como calor, trabajo y

transferencia de masa) que son funciones de la trayectoria y tienen

diferenciales inexactas, mientras que d se utiliza para cantidades (por ejemplo,

propiedades) que son funciones puntuales y tienen diferenciales exactas.


El flujo msico a travs del rea de la seccin transversal de un tubo o un

ducto se obtiene mediante integracin:

c cA Acn skgdAVmm /

..

Si bien la ecuacin es vlida todo el tiempo (de hecho es exacta), no siempre

es prctica para anlisis de ingeniera como resultado de la integral.

En cambio, sera bueno contar con una expresin en trminos de valores

promedio del flujo msico a travs de la seccin transversal del tubo. Sin

embargo, en muchas aplicaciones prcticas, la densidad es en esencia

uniforme sobre la seccin transversal del tubo, de manera que se puede dejar

fuera de la integral de la ecuacin.

Sin embargo, la velocidad nunca es uniforme en una seccin transversal de

tubera debido a que el fluido se adhiere a la superficie y, por lo tanto, tiene

velocidad cero en la pared (condicin de no deslizamiento).


Adems, la velocidad vara en las paredes desde cero hasta algn valor

mximo cercano o sobre la lnea central de la tubera. Se define la velocidad

promedio Vprom como el valor promedio de Vn en toda la seccin transversal.

cAcn

c

prom dAVA

VpromedioVelocidad1

Donde Ac es el rea de la seccin transversal normal a la direccin del flujo.

Notar que si la velocidad fuese Vprom en toda la seccin transversal, el flujo

msico sera idntico al obtenido si se integrara el perfil de velocidad real.

As, para el flujo tanto incompresible como compresible donde es uniforme

en Ac la ecuacin se convierte en:

skgAVm cprom /.

Para flujo compresible, se puede considerar a como la densidad promedio en

la seccin transversal, entonces la ecuacin se puede usar todava como una

aproximacin razonable.


Para simplificar, se elimina el subndice en la velocidad promedio. A menos que

se especifique lo contrario, V denota la velocidad promedio en la direccin del

flujo. Tambin, Ac denota el rea de la seccin trasversal normal a la direccin

de flujo.

El volumen del fluido que pasa por una seccin transversal por unidad de

tiempo se llama flujo volumtrico V` y se expresa como:

smVAAVdAVVAc

Ccpromcn /3

.


Observar que la mayor parte de los libros de mecnica de fluidos usa Q en

lugar de V` para el flujo volumtrico. Aqu se emplea V` para evitar confusin

con la transferencia de calor.

Los flujos msico y volumtrico se relacionan mediante:

v

VVm

...

Donde v es el volumen especfico. Esta relacin es anloga a m = V = V/v,

que es la relacin entre la masa y el volumen de un fluido contenido en un

recipiente.

Principio de Conservacin de la Masa

El principio de conservacin de la masa para un volumen de control se puede

expresar como: la transferencia neta de masa hacia o desde el volumen de

control durante un intervalo de tiempo t es igual al cambio neto (incremento o

disminucin) en la masa total dentro del volumen de control durante t. Es

decir,

tduranteVCdeldentromasadenetoCambiotduranteVCdelsalequetotalMasatduranteVCalentraquetotalMasa )(

O bien,

kgmmm VCsalidaentrada

Donde mvc = mfinal minicial es el cambio en la masa del volumen de

control durante el proceso.


Tambin se puede expresar en la forma de tasa como:

skgdtdmmm VCsalidaentrada //..

Donde m`entrada y m`salida son los flujos msicos hacia adentro y hacia fuera

del volumen de control, y dmVC/dt es la misma rapidez de cambio de masa

con respecto al tiempo dentro de las fronteras del volumen de control.

Comnmente se hace referencia a las ecuaciones anteriores como balance de

masa y son aplicables a cualquier volumen de control que experimenta alguna

clase de proceso.

Para el caso especial en que ninguna masa cruza la superficie de control (es

decir, el volumen de control es semejante a un sistema cerrado), el principio de

conservacin de la masa se reduce al de un sistema que se puede expresar

como dmVC/dt = 0.

Esta relacin es vlida si el volumen de control es fijo, mvil o se deforma.

Balance de Masa para Procesos de Flujo Estable

Durante un proceso de flujo estable, la cantidad total de masa contenida dentro

de un volumen de control no cambia con el tiempo (mVC = constante).

Entonces el principio de conservacin de la masa requiere que la cantidad total

de masa que entra a un volumen de control sea igual a la cantidad total de

masa que sale del mismo.

Por ejemplo, para una tobera de manguera de jardn que opera de forma

estable, la cantidad de agua que entra a ella por unidad de tiempo es igual a la

cantidad de agua que deja salir por unidad de tiempo.

Cuando se trata de procesos de flujo estable, el inters no se centra en la

cantidad de masa que entra o sale de un dispositivo con el tiempo, pero s se

est interesado en la cantidad de masa que fluye por unidad de tiempo, es

decir, el flujo msico m`.

Balance de Masa para Procesos de Flujo Estable

El principio de conservacin de la masa para un sistema general de lfujo

estable con entradas y salidas mltiples se puede expresar en forma de tasa

como:

entrada salida

skgmmestableFlujo /:..

La que expresa que la tasa total de masa que entra a un volumen de control es

igual a la tasa total de masa que sale del mismo.

Muchos dispositivos de ingeniera como toberas, difusores, turbinas,

compresores y bombas tienen que ver con una sola corriente (nicamente una

entrada y una salida).

En estos casos, el estado de entrada se denota con el subndice 1 y el de

salida con el subndice 2, y se eliminan los signos de sumatoria. Entonces,

para sistemas de flujo estable de una sola corriente la ecuacin se reduce a:

2221112

.

1

.

)( AVAVmmnicacorrienteestableFlujo

Caso Especial: Flujo Incompresible

Las relaciones de conservacin de la masa pueden simplificarse an ms

cuando el fluido es incompresible, lo cual es el caso en los lquidos. La

cancelacin de la densidad en ambos lados de la relacin general de flujo

estable da:

entrada salida

smVVestablebleincompresiFlujo /:, 3..

Para sistemas de flujo estable con una sola corriente la ecuacin anterior se

convierte en:

22112

.

1

.

:)(, AVAVVVunicacorrienteestablebleincompresiFlujo

Es necesario tener siempre presente que no existe un principio de

salen de un dispositivo de flujo estable pueden ser diferentes.


El flujo volumtrico en la salida de un compresor de aire es mucho menor que

el de entrada, aunque el flujo msico de aire por el compresor sea constante.

Esto se debe a la mayor densidad del aire en la salida del compresor. Sin

embargo, para flujo estable de lquidos los flujos volumtricos, as como los

msicos, permanecen constante porque los lquidos son esencialmente

sustancias incompresibles (densidad constante).

El flujo de agua a travs de la tobera de una manguera de jardn ejemplifica

este ltimo caso.


El principio de conservacin de la masa se basa en observaciones

experimentales y requiere que se tome en cuenta toda la masa durante un

proceso.

Si puede llevar el balance de su chequera con mantener un registro de

la masa a sistemas de ingeniera.

Ejercicio

1. Se usa una manguera de jardn acoplada a una tobera para llenar una

cubeta de 10 galones. El dimetro interior de la manguera es de 2 cm

pero se reduce a 0,8 cm en la salida de la tobera. Si toma 50 s llenar con

agua la cubeta, determine a) los flujos volumtricos y msico de agua

por la manguera v b) la velocidad promedio del agua en la salida de la

tobera.

Trabajo de Flujo y Energa de un Fluido en Movimiento

A diferencia de los sistemas cerrados, en los volmenes de control hay flujo

msico a travs de sus fronteras, y se requiere trabajo para introducirla o

sacarla del volumen de control.

Este trabajo se conoce como trabajo de flujo o energa de flujo, y se requiere

para mantener un flujo continuo a travs de un volumen de control.

A fin de obtener una relacin para el trabajo de flujo, considere un elemento de

fluido de volumen V como el que se muestra en la figura.


El fluido corriente arriba fuerza inmediatamente a este elemento de fluido a

entrar al volumen de control; por lo tanto, se puede considerar como un

mbolo imaginario. Es posible elegir el elemento de fluido lo suficientemente

pequeo para que tenga propiedades uniformes en todas partes.

Si la presin de fluido es P y el rea de la seccin transversal del elemento de

fluido es A, la fuerza que aplica el mbolo imaginario sobre el elemento de

fluido es: PAF


Para empujar todo el elemento de fluido en el volumen de control, esta fuerza

debe actuar a lo largo de una distancia L. As, el trabajo realizado al empujar el

elemento de fluido por la frontera (es decir, trabajo de flujo) es:

kJPVPALFLW flujo

El trabajo de flujo por unidad de masa se obtiene al dividir ambos lados de esta

ecuacin entre la masa del elemento de fluido:

kgkJPvw flujo /

La relacin del trabajo de flujo es la misma si se empuja hacia dentro o hacia

fuera del volumen de control.


Es interesante que, a diferencia de otras cantidades de trabajo, el trabajo de

flujo se exprese en trminos de propiedades. De hecho, es el producto de dos

propiedades del fluido; por esta razn algunos lo consideran como una

propiedad de combinacin (como la entalpa) y lo llaman energa de flujo,

energa de conveccin o energa de transportacin en lugar de trabajo de flujo.

Sin embargo, otros argumentan debidamente que el producto Pv representa

energa para fluidos que slo fluyen, mientras que no representa ninguna

forma de energa para sistemas sin flujo (cerrados).

Por lo tanto, se debe tratar como trabajo. No es posible decir con certeza

cundo terminar esta controversia, pero es reconfortante saber que ambos

argumentos producen el mismo resultado para la ecuacin del balance de

energa.

En los apartados que siguen se considera que la energa de flujo es parte de la

energa de un fluido en movimiento, ya que esto simplifica en gran medida el

anlisis de energa de volmenes de control.

Energa Total de un Fluido en Movimiento

La energa total de un sistema compresible simple consiste en tres partes:

energas interna, cintica y potencial.

primera ley

Documents