primera clase martes 14 de septiembre del 2010 de 12:00 a 13:30 horas
TRANSCRIPT
Linear algebra with applications. Third EditionW. Keith NicholsonPWS Publishing company
• Linear algebra. Lang
• Linear algebra. Jim Hefferon
• Linear algebra. Hoffman y Kunze
• Calculus. Apostol
• Applied mathematics. Olver y Shakiban
• Calculus of vector functions. Williamson, Crowell y Trotter
• Mathematics for physicists. Dennery y Krzywicki
• Mathematical methods in physics and engineering. Dettman
• Mathematical methods for physicists. Arfken
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
El Álgebra lineal es la rama de las
matemáticas que estudia los sistemas
de ecuaciones lineales, los vectores, los
espacios vectoriales, y las
transformaciones lineales entre los
espacios vectoriales.
• Los espacios vectoriales son fundamentales en las
matemáticas modernas; el Álgebra lineal es
ampliamente utilizada tanto en el álgebra abstracta
como en el análisis funcional.
• El Álgebra lineal tiene una representación concreta en
la Geometría Analítica.
• Tiene aplicaciones importantes y vastas en las ciencias
naturales y en las ciencias sociales, ya que muchos
modelos no lineales pueden ser aproximados por
modelos lineales.
La historia del Álgebra lineal moderna se
remonta a los años de 1843 y 1844. En 1843,
William Rowan Hamilton (quien inventó el
nombre “Vector”) descubrió los cuaterniones.
En 1844, Hermann Grassman publicó su libro
Die lineale Ausdehnungslehre. Arthur Cayley en
1857, introdujo las matrices (2x2), una de las
ideas fundamentales del Álgebra Lineal.
1.Soluciones y operaciones elementales
2.Eliminación gaussiana
3.Ecuaciones homogéneas
Si , , son números reales,
podemos formar la ecuación
a b c
ax by c
Si , , son números reales,
la ecuación
representa una línea recta.
a b c
ax by c
2 3 1x y
La ecuación
se llama ecuación lineal
en las variables y .
ax by c
x y
Las soluciones son todos los
pares de números , que
hacen verdadera la ecuación
x y
ax by c
Las soluciones son todos
los puntos que están
sobre la línea recta.
Para identificar la línea recta
la ponemos como
es la pendiente es la ordenada al origen
ax by c
y mxm
es la pendiente
es la ordenada al origen
m
y mx
tan
y mx
m
Si
, , y
son números reales,
podemos formar la ecuación
a b c d
ax by cz d
Si
, , y
son números reales,
la ecuación
representa un plano.
a b c d
ax by cz d
2 3 2x y z
La ecuación
se llama ecuación lineal
en las variables y .
ax by cz d
x y z
Las soluciones son todos los
tríos de números , , que
hacen verdadera la ecuación
x y z
ax by cz d
Las soluciones son todos
los puntos que están
sobre el plano.
2 2 2
El vector normal al plano es
, ,ˆ
y
es la al origen.
a b cn
a b c
dZ
c
ax by cz d
1 1 2 2
1 2 3
1 2 3
Una ecuación de la forma
...
es llamada ecuación lineal en las
variables , , ,..., .
Los coeficientes , , ,..., son
números reales y también es un
número real.
n n
n
n
a x a x a x b
n x x x x
a a a a
b
1 1 2 2
1 2 3
1 1 2 2
Dada una ecuación lineal
... ,
el conjunto de números
, , ,...,
es llamado una solución
de la ecuación si
...
n
n
n
a x a x a x b
s s s s
a s a s a s b
1 2 3
Una colección finita de ecuaciones
lineales en las variables
, , ,...,
se llama sistema de ecuaciones
lineales en dichas variables.
nx x x x
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incógnitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
Discusión
Discusión
1 2 3El conjunto de números , , ,...,
es llamado una solución de un sistema
de ecuaciones si es solución de todas
y cada una de las ecuaciones del
sistema.
ns s s s
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incógnitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
1 2 3
* ¿En qué condiciones existe un conjunto de
números reales
, , ,...,
que satisfacen simultaneamente las ecuaciones?
* ¿Cómo encontramos dicha solución?
ns s s s
11 12 13 1 2 3
Dadas las constantes reales
, , , ..., y , , , ...,mn ma a a a b b b b
Verifica que
19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
siendo (es decir, puede ser cualquier
número real)
x t y t z t
x y z
x y z
t t
R
19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
x t y t z t
x y z
x y z
2 19 35 3 25 13 5
38 70 75 39
738
5
5
0 7 35 9 5
5
t t t
t t t
t t t
19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
x t y t z t
x y z
x y z
5 19 35 7 25 13 4 0
95 175 175 91 4 0
0
0 0
9 175 17 155 9 4t t
t t t
t t
t
t
19 35 25 13
es una solución del sistema de ecuaciones
2 3 5
5 7 4 0
x t y t z t
x y z
x y z
1 2 1
1 1 2 1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
con
, , ,
, ,
P P t P P t
x y x y t x x y y
x y x t x x y t y y
x x t x x y y t y y
L R
1 2 1
1 1 1 2 1 2 1 2 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1
con
, , , , , ,
, , , ,
P P t P P t
x y z x y z t x x y y z z
x y z x t x x y t y y z t z z
x x t x x y y t y y z z t z z
L= R
1 2 1
1 2
con
donde , y son puntos en n
P P t P P t
P P P
L= R
R
3
0
30
3
Un plano en es el conjunto de puntos
,
donde es un punto en y y son
dos vectores no nulos y no paralelos en .
P sa tb s t
P a b
R
P= R
R
R
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incógnitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
Finalmente la cosa se reduce a tratar con los
coeficientes:
...
...
. . y
. .
. .
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
11 12 1
21 22 2
1 2
Esta es la matriz de coeficientes
del sistema de ecuaciones:
...
...
.
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
1
2
Esta es la matriz de constantes del sistema:
.
.
.
m
b
b
b
11 12 1 1
21 22 2 2
31 32 3 3
1 2
Esta es la matriz aumentada
del sistema de ecuaciones:
...
...
...
. . .
. . .
...
n
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
a a a b
Dos sistemas de ecuaciones lineales
son equivalentes si tienen el mismo
conjunto de soluciones.
Se escribe una serie de sistemas,
cada uno de ellos equivalente al anterior.
Cada uno de estos sistemas tiene el mismo
conjunto de soluciones que el original.
El objetivo es terminar con un sistema
equi
valente que es sencillo de resolver.
Cada sistema en la serie es obtenido del
precedente mediante una manipulación
simple que no cambia el conjunto de soluciones.
Es obvio que el conjunto
2, 1
es una solución de este
sistema.
1
3
x y
x y
1
3
1
2 4
x y
x y
x y
x
1
2 4
x y
x
1
3
x y
x y
Es claro que el conjunto 2, 1 también
es solución del nuevo sistema.
Son sistemas equivalentes.
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
2 1
2
y
x
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
2 1
2
1
2
y
y
x
x
1
3
1
2 4
1
2
x y
x y
x y
x
x y
x
1 1 1
1 1 3
1 1 1
2 0 4
1 1 1
1 0 2
2 1
2
1
2
y
y
x
x
0 1 1
1 0 2
1. Intercambio de dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuación por un número
diferente de cero.
3. Sumar un múltiplo de una ecuación
del sistema a otra ecuación diferente,
también del sistema.
Una operación elemental se
realiza en un sistema de
ecuaciones lineales.
El sistema de ecuaciones lineales
resultante tiene el mismo conjunto
de soluciones que el original, y los
sistemas son equivalentes.
Una operación elemental se realiza
en un sistema de ecuaciones lineales.
1. Intercambio de dos renglones.
2. Multiplicar un renglón por un número
diferente de cero.
3. Sumar un múltiplo de un renglón a un
renglón diferente.
2 3 1
3 4 2
x y
x y
2 3 1
3 4 2
x y
x y
2 3 1
3 4 2
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1 / 22 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2
/ 2
/3
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 2
1 4 / 3 2 / 3
R
R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2 2 2 1
/ 2
/3 :
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2
0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3
R
R R R R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2 2 2 1
/ 2
/3 :
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2
0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3
1 3 / 2 1 / 2
0 1 / 6 7 / 6
R
R R R R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1
2 2 2 1
2
/ 2
/3 :
6
2 3 1 1 3 / 2 1 / 2
3 4 2 3 4 2
1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2
0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3
1 3 / 2 1 / 2 1 3 / 2 1 / 2
0 1 / 6 7 / 6 0 1 7
R
R R R R
R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1 1 23
:2
1 31 3 / 2 1 / 2 1 0 7
2 20 1 7
0 1 7
1 0 10
0 1 7
R R R
2 3 1
3 4 2
x y
x y
1 1 23
:2
1 31 3 / 2 1 / 2 1 0 7
2 20 1 7
0 1 7
1 0 10
0 1 7
R R R
Una matriz se dice que está en forma de
renglones escalonados si:
1. Todas los renglones cero (que consisten
de puros ceros) están hasta abajo.
2. En cada renglón diferente de cero, el primer
elemento diferente de cero a partir de la
izquierda es un 1, llamado primer 1 de ese renglón.
3. Cada primer 1 está a la derecha de los
primeros 1´s de los renglones de arriba.
Una matriz se dice que está en forma reducida
de renglones escalonados, si aparte de los 3
puntos anteriores satisface también:
4. Cada primer 1 es el único elemento
diferente de cero en esa columna.
Una matriz se dice que está en forma reducida
de renglones escalonados, si satisface:
1. Todas los renglones cero (que consisten
de puros ceros) están hasta abajo.
2. En cada renglón diferente de cero, el primer
elemento diferente de cero a partir de la
izquierda es un 1, llamado primer 1 de ese renglón.
3. Cada primer 1 está a la derecha de los
primeros 1´s de los renglones de arriba.
4. Cada primer 1 es el único elemento diferente de
cero en esa columna.
Toda matriz puede ser llevada a
una forma escalonada (reducida)
mediante puras operaciones
elementales en sus renglones.
Toda matriz puede ser llevada a una forma
escalonada (reducida) mediante puras
operaciones elementales en sus renglones.
Existe un procedimiento, llamado algoritmo
gaussiano, para encontrar la forma escalonada.
Toda matriz puede ser llevada a una forma
escalonada (reducida) mediante puras
operaciones elementales en sus renglones.
Por tanto, la solución de un sistema de
ecuaciones lineales se "reduce" al de
encontrar la forma escalonada de la
matriz aumentada.
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma
escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la
izquierda que tiene un elemento diferente de cero
(llamemosle ),a y mueve el renglón que contiene ese elemento
hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de
abajo, haz todo elemento aba
a
jo de ese primer 1, cero.
Con esto se ha terminado con el primer renglón,
y en adelante, se trabajara sólo con los de abajo.
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz
todo elemento a
a
bajo de ese primer 1, cero.
5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz
que consiste de los renglones restantes.
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz
todo elemento a
a
bajo de ese primer 1, cero.
1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz
todo elemento a
a
bajo de ese primer 1, cero.
5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz que consiste de los renglones restantes.
El proceso se termina cuando ya no quedan renglones
o cuando los renglones que quedan son de puros ceros.
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
1. Si la matriz consiste de puros ceros,
listo, ya está en forma escalonada.
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda
que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle ), y mueve el
renglón que contiene ese elemento hasta arriba.
a
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.
a
1 2 1 2
2 5 3 1
1 4 3 3
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
2 2 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 5 3 1 2 2 1 5 2 2 3 2 1 1 2 2
1 4 3 3 1 4 3 3
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
2 2 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 5 3 1 2 2 1 5 2 2 3 2 1 1 2 2
1 4 3 3 1 4 3 3
1 2 1 2
0 1 1 3
1 4 3 3
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
3 3 1:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
3 3 1:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2
1 2 1 2
0 1 1 3
0 2 2 1
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
3 3 1:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2
1 2 1 2
0 1 1 3
0 2 2 1
R R R
5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz que consiste de los renglones restantes.
3 3 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
3 3 1: 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 7
R R R
4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones
de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.
3 3 1
3
: 2
7
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 0 0 7 0 0 0 1
R R R
R
3 3 1
3
: 2
7
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3
1 2 1 2 1 2 1 2
0 1 1 3 0 1 1 3
0 0 0 7 0 0 0 1
R R R
R
El proceso se termina cuando ya no quedan renglones
o cuando los renglones que quedan son de puros ceros.
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
¿y ahora qué?
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
¿0 1?
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
El sistema NO tiene solución.
Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.
1 2 1 2
0 1 1 3
0 0 0 1
El sistema NO tiene solución.
Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.
Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.
Sistemas que tienen al menos
una solución se dice que son
consistentes.
La forma escalonada reducida de una matriz
está determinanda únicamente por .
A
A
La forma escalonada reducida de una matriz
está determinanda únicamente por .
No importa cuales hayan sido las operaciones
realizadas en los reglones, el resultado siempre
será el mismo.
La forma escalo
A
A
nada reducida es única.
En contraste, esto no sucede en el caso de la
forma escalonada: Una serie de operaciones
diferentes en la misma matriz nos llevará
a diferentes matrices escalonadas.
A
Sin embargo, el número de primeros 1´s
es el mismo en todas estas formas
escalonadas.
El número de primeros 1´s depende sólo
de y no de la manera en que es
llevada a la forma escalonada.
A A
Si una matriz es llevada a una forma
escalonada mediante operaciones
elementales en sus renglones, el número
de primeros 1´s en es el rango de ,
y se denota rank .
A
R
R A
A
Supongamos un sistema de ecuaciones
lineales con incógnitas tiene una solución.
Si el rango de la matriz aumentada es , el
conjunto de soluciones involucra
exactamente parámetros.
m
n
r
n r
Para cualquier sistema de ecuaciones lineales
se tienen exactamente tres posibilidades:
1. No existe solución.
2. Existe una única solución. Esto sucede
cuando todas las variables son primeras.
3. Existe un número infinito de soluciones.
Esto sucede cuando hay al menos una variable
que no es primera, de tal que hay al menos un
parámetro involucrado.
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incognitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
1 2
Si
... 0
el sistema es homogeneomb b b
11 1 1 1
1 1
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
n n
m mn n m
a x a x b
a x a x b
Solución trivial: 0 para todo
Solución no trivial: 0 pa
Un sistema homogéneo siempre tiene
una solución trivial
ra alguna i
i
x i
x i
11 1 1
1 1
Sistema homogeneo
... 0
...
... 0
n n
m mn n
a x a x
a x a x
Si un sistemas de ecuaciones lineales
homogéneo tiene más incógnitas que
ecuaciones, entonces existe una
solución no trivial. De hecho, existe
una cantidad infinita de ellas.
Hasta aquí llegue el martes 14 de septiembre del 2010 después de una clase de 1:30 horas
Segunda clase martes 21 de septiembre del 2010 de 12:30 a 14:00
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
1.Suma, multiplicación por un escalar y transposición
2.Multiplicación de matrices
3.Matrices inversas
4.Matrices elementales
11 12 1
21 22 2
1 2
Un arreglo de números complejos
...
...
.
.
.
...
es llamado una matriz en
La matriz tiene renglones y columnas
n
n
ij
m m mn
a a a
a a a
a
a a a
m n C
m n
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
.
...
1,2,..., 1,2,...,
es una matriz
n
n
m m mn
ij
a a a
a a a
a a a
a i m j n
m n
A
A
A
1
Un vector
.
.
.
es una matriz 1n
x
x
n
1
Un vector
,...,
es una matriz 1
nx x
n
0 0 ... 0
0 0 ... 0
. =0 para t
Todos sus elemento
odo ,.
s son c
.
0 0 ...
ero
0
ija i j
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
. El orden de la matriz es
.
.
...
1,2,..., 1,2,.
Tiene el mismo número de renglones y de colum
..,
nas
n
n
n n nn
ij
a a a
a a a
n
a a a
a i n j n
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
Tiene 4 columnas, 4 renglones: 16
1, 2,3,4
elem
1,2,3
en s
,4
to
ij
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a i j
A
A
La matriz identidad está definida como
0 si y 1 para 1,...,
ij
ij ii
a n n
a i j a i n
A
1 0 ... 0
0 1 ... 0
.
.
.
0 0 ... 1
n
I
11 22 33
Sea una matriz cuadrada.
Los elementos
, , ,...,
constituyen los elementos de la diagonal.
ij
nn
a n n
a a a a
A
11
22
Sea una matriz cuadrada.
Se dice que es diagonal si todos los elementos
"fuera" de la diagonal son cero, es decir, 0 si
0 ... 0
0 ... 0
.
.
.
0 0 ...
* Toda matriz di
ij
ij
nn
a n n
a i j
a
a
a
A
agonal es simétrica
Sea una matriz cuadrada.
Se dice que es triangular si todos los elementos
"arriba ó abajo" de la diagonal son cero, es decir,
0 si
ó
0 si
ij
ij
ij
a n n
a i j
a i j
A
1 0 0 0 0
3 0 0 0
4 2 2 0 0
1 1 0 3 0
2 8 4 2
i
i
i i
Sea una matriz .
La matriz denotada como
tal que
es llam
Se intercambian ren
ada .
Se den
glones y
ota
columnas
.
ij
ji
ji ij
T
a m n
n m b
b a
transpuesta
A
B
A
1 11 0.5 1
0.5 21 2 0.5
1 0.5
T
A A
Una matriz es simétrica si es
igual a su transpuesta, es decir, si .
ij
T
a m n
A
A A
Hay lo mismo arriba y abajo de la diagonal
Una matriz es antisimétrica
si es igual al negativo de su transpuesta,
es decir, si .
ij
T
a m n
A
A A
ij
T
ij
T
A a
A A
A a
A A
Una matriz cuadrada es simétrica
si
Una matriz cuadrada es antisimétrica
si
Sea una matriz .
Su matriz conjugada es la que se obtiene
tomando el complejo conjugado de todos y
cada uno de los elementos.
Si
1, 2,..., 1, 2,...,
entonces
1, 2,...,
ij
ij
ij
a m n
a i m j n
a i m
A
A
A
A 1,2,...,j n
†
†
†
1,2,..., 1,2,...,
1,2,..., 1,2,...,
ij
ij
ji
A
A a
A
a i n j n
a i n j n
A
A
La adjunta o transpuesta conjugada de una matriz
es la transpuesta y conjugada.
Se denota como
Si
entonces
† 0 3 11 3 2
1 10 1 3 1
3 3 23 2 1 0
1 11 1
2 0 1
ii i i
i i i ii i i
i ii
i ii i i
i
†1 1 2 1
2 1 1 1 0
1 0 2 1 2
i i i
i i i
i i
†A A
Una matriz es hermitiana ó autoadjunta,
si
†
ij
A
A a
La adjunta de una matriz cuadrada
es la transpuesta conjugada
*
†
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
T
i
i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
0 1 0
1 0 0
1 0
0 1
x y
z
i
i
Las matrices de Pauli:
†
†
ijA
A A
A
a
Una matriz es hermitiana ó autoa
- Las matric
La adjunta de una matriz cuadrada
es la transpu
es hermitianas ó autoadjuntas
son cuadradas
- La d
djun
iago
esta c
nal de
ta,
la
on
s
jug
mat
a
r
d
i
si
a
ces hermitianas
es real
†A A
Una matriz es antihermitiana, si
†
ij
A
A a
La adjunta de una matriz cuadrada
es la transpuesta conjugada
*
2 1
2 2 0
1 0
2 1 2 1
2 2 0 2 2 0
1 0 1 0
2 1 2 1 2 1
2 2 0 2 2 0 2 2 0
1 0 1 0 1 0
T
i
i
i
i i
i i
i i
i i i
i i i
i i i
†
†
ij
A
A a
A A
Una matriz es antihermitiana, si
- Las matrices antihermitianas
La adjunta de una matriz cuadra
son cuadradas
- Los elementos dia
da
es
gonale
la transpues
s de una mat
ta
ri
conjug
z
antih
ada
ermitiana son imaginarios puros
†
†
ij
ij
T
T
A a
AA I
a
I
A
A
AA
A
Una matriz cuadrada es unitaria si
Una matriz cuadrada es
Una matriz real unitaria es ortogonal, ya q
ortogonal
ue
si
1 †
1
ij
ij
T
A a
A A
A a
A A
Una matriz cuadrada es unitaria si
Una matriz cuadrada es ortogonal si
Dos matrices y son iguales si y sólo si:
1. Son del mismo tamaño
2. Los correspondientes elementos son todos
iguales
Se denota y también .
Tenemos para toda y .
ij ij
ij ij
a b
a b i j
A B
A B
•La suma de dos matrices
•Multiplicación de una matriz por un escalar
•Multiplicación de dos matrices
Solo se pueden sumar matrices de la misma
forma, es decir, que ambas sean .
Sean y dos matrices ,
la suma es
para todo ,
ij kl
ij ijij
m n
a b m n
a b
i j
A B
A B
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
. .
. .
. .
... ...
n n
n n
m m mn m m mn
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
A B
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
...
...
.
.
.
...
n n
n n
m m m m mn mn
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
A + B
Si , y son matrices del mismo tamaño,
entonces
(conmutatividad)
+ (asociatividad)
A B C
A B B A
A B C A B C
Si es una matriz y
es la matriz cero ,
entonces
m n
m n
A
0
A 0 A
Si es una matriz , su negativa
se obtiene multiplicando todos sus
elementos por 1.
Es decir,
Si entonces ij ij
m n
a a
A
A A
Si es una matriz
entonces
m n
A
A A 0
Si , son matrices del mismo tamaño,
entonces se define la diferencia como
A B
A B A B
Sea una matriz
y
un número real,
el producto se define como
para todo ,
ij
ijij
a m n
r
r
r ra
i j
A
A
A
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
.
...
1,2,..., 1,2,...,
n
n
m m mn
ij
ra ra ra
ra ra ra
r
ra ra ra
r ra i m j n
A
A
Sea una matriz y .
Tenemos:
1. es una matriz .
2. 0
3.
m n r
r m n
r
A
A
A 0
0 0
R
Si , y son matrices , tenemos
1. (conmutatividad)
2. + (asociatividad)
3. Existe una matriz tal que para toda .
4. Para toda matriz exist
m n
m n
m n
A B C
A B B A
A B C A B C
0 0 A A A
A
e una matriz
tal que
5.
6.
7.
8. 1
m n
k k k
k p k p
kp k p
A
A A 0
A B A B
A A A
A A
A A
Sea una matriz .
La matriz denotada como
tal que
es llam
Se intercambian
ada .
Se denota
renglones y columna
y
s
.
ij
ji
ji ij
T Tji
a m n
n m b
b a
transpuesta
a
A
B
A A
1 0.5 1
1 2 0.5
1 1
0.5 2
1 0.5
T
A
A
Sean y matrices y un escalar.
1. La matriz es
2.
3.
4.
T
TT
T T
T T T
m n k
n m
k k
A B
A
A A
A A
A B A B
Una matriz es simétrica si es
igual a su transpuesta, es decir, si .
ij
T
a m n
A
A A
Hay lo mismo arriba y abajo de la diagonal
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
. .
. .
. .
... ...
n s
n s
m m mn n n ns
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
m n n s
A B
1
n
ij jkikj
a b
m s
AB
1
n
ij jkikj
a b
m s
AB
Multiplica cada elemento del renglón de
por el correspondiente elemento de la
columna de y suma los resultados.
i
j
A
B
1
n
ij jkikj
a b
m s
AB
La multiplicación no es conmutativa
El número de columnas del primer factor
debe ser igual al número de renglones del
segundo factor
1 2
3 1
1 2 0 2 ? ?
3 1 1 3 ? ?
2 ?1 2 0 2
3 11 3 ? ?
1 0 2 1 0 2 2
1 2 2 80 2
3 1 1 ? ?3
1 2 2 3 2 6 8
1 2 20
3 1 1 1
2 8
3 ?
3 0 1 1 0 1 1
1 2 0 2 8
1 1
2
3 1 3 9
3 2 1 3 6 3 9
1 2 0 2 2 8
3 1 1 3 1 9
2
1 3 1
0 2 1 6
3
0 1 2 3 0 6 6
0 2 2 2
1
1 6
1 3 3
0 2 2 1 0 2 2
0 2 2 6 21
3 11 3 8
1 1 3 3 1 9 8
0 2 1 6 2
33 8
2
1 1 1
1 2 3 1 2 3 1
0 2 1 2 6 2
1 3 3 1 8 1
0 2 1 2 6 2
1 3 3 1 8 1
1 2 0 2 2 8
3 1 1 3 1 9
1 2 0 2
3 1 1 3
0 2 1 2
1 3 3 1
¡La multiplicación de matricesno es conmutativa!
La multiplicación de matrices
no es conmutativa.
Es más, a veces puede existir
y no, y viceversa. A B B A
31 1 1 3 1 2
1 2 2 1 1 1
52
2
3 1 3 13 3 31 1
2 1 2 1
1 1
2
2
2 2
2 2
3 4 1 51 3
1 2 3 51 1
2 1 1
3 2 2 2 3 2
5
3 41 3
1 21 1
2 1
?
No se pueden multiplicarEl número de columnas del primer factor debe ser igual al número de renglones del segundo factor
1 11 0.5 1
0.5 21 2 0.5
1 0.5
1 1 0.5 0.5 1 1 1 1 0.5 2 1 0.5
1 1 2 0.5 0.5 1 1 1 2 2 0.5 0.5
2.25 2.5
2.5 5.25
2 3
3 2
2 2
1 1 2 2.5 1.51 0.5 1
0.5 2 2.5 4.25 1.51 2 0.5
1 0.5 1.5 1.5 1
3 2 2 3
.25
3 3
1
0
2
2
3
2
1
0
2
1
3
1
1
2
0
2
2
1
2
1
3
3
1
1
1
3
3
5
4
0
2
6
3
5
3
11
1
4
7
8
1
4
7
14
3
8
1
4 3 3 5 4 5
1
0
1
1 1 1( )
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1 1 1( )
1
0
1
0( )
La matriz identidad está definida como
0 si y 1 para 1,...,
ij
ij ii
a n n
a i j a i n
A
1 0 ... 0
0 1 ... 0
.
.
.
0 0 ... 1
n
I
Si , , son matrices de tamaños tales que
la operaciones indicadas puedan ser realizadas
y es un escalar, tenemos
1.
2.
3. ,
4. ,
k
A B C
IA A BI B
A BC AB C
A B C AB AC A B C AB AC
B C A BA CA B C A BA CA
5.
6. T T T
k k k
AB A B A B
AB B A
0
Sea una matriz
Se pueden formar los productos
...
Si es un entero 1
...
Se define
m
n n
m
A
A
AA
AA A
A AA A
A I
Sean y matrices que pueden ser multiplicadas.
Entonces y pueden ser multiplicadas yT T
T T T
A B
B A
AB B A
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incógnitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
En términos de matrices el sistema
de ecuaciones se puede escribir
...
...
. . .
. . .
. . .
...
n
n
m m mn n n
a a a x b
a a a x b
a a a x b
11 12 1
21 22 2
1 2
Si
...
...
.
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
A
1 1
2 2
. . y
. .
. .
m m
x b
x b
x b
x b
El sistema de ecuaciones se escribe
x bA
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
Si tenemos el sistema de ecuaciones lineales
la matriz aumentada es
...
...
.
.
.
...
n
n
m m mn m
x b
a a a b
a a a b
a a a b
A
B
El sistema de ecuaciones
homogéneo asociado es
0x A
1
0
1 0
Si es una solución particular
del sistema , y es una
solución del sistema homogéneo
asociado 0, entonces
es solución del sistema
.
x
x b x
x
x x
x b
A
A
A
1
2
2 0 1
0
Si es una solución particular
del sistema lineal , entonces
toda solución del sistema
tiene la forma
siendo cualquier solución del sistema
homogéneo asociado 0.
x
x b
x x b
x x x
x
x
A
A
A
1 1 4 4
1 2 5 2
1 1 2 0
x
y
z
1 1 4 4
1 2 5 2
1 1 2 0
2 1
3 1
3 22 2/3
1 1 4 4 1 1 4 4
1 2 5 2 0 3 9 6
1 1 2 0 1 1 2 0
1 1 4 4
0 3 9 6
0 2 6 4
1 1 4 4 1 1 4 4
0 1 3 2 0 1 3 2
0 2 6 4 0 0 0 0
R R
R R
R RR
1 2
1 1 4 4 1 0 1 2
0 1 3 2 0 1 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
R R
1 0 1 22
0 1 3 2 3 2
0 0 0 0
x z
y z
22
2 33 2
2 1
2 3
0 1
x tx z
y ty z
z t
x
y t
z
1
3
2
2
10
x
y t
z
1 1 4 0
1 2 5 0
1 1 2 0
x
y
z
1
3
2
2
10
x
y t
z
1 1 4 1 0
1 2 5 3 0
1 1 2 1 0
1 3 4 0
1 6 5 0
1 3 2 0
2
2
0
1
3
1
x
y t
z
1 1 4 4
1 2 5 2
1 1 2 0
x
y
z
2
2
0
1
3
1
x
y t
z
1 1 4 2 4
1 2 5 2 2
1 1 2 0 0
2 2 0 4
2 4 0 2
2 2 0 0
2 1
2 3
0 1
x
y t
z
Gráfica
1 01 1 1 0 2
, , 2 10 1 3 1 0
5 8
Encuentra el elemento 3,1 de usando
exactamente seis multiplicaciones numéricas.
A B C
CAB
31
1 01 1 1 0 2
2 10 1 3 1 0
5 8
5 1 8 0 1 5 1 8 1 3
5 9 14
CAB
CAB
1 01 1 1 0 2
2 10 1 3 1 0
5 8
1 1 2 1 21 0 2
2 1 1 1 43 1 0
5 3 14 3 10
CAB
Siempre podemos ver a una matriz
como una columna de renglones
ó como un renglón de columnas.
m nA
1 2
1 2
1
2
1 2
Si , ,..., son los renglones de
y si , ,..., son sus columnas,
podemos escribir
. y ...
.
.
m
n
n
m
R R R
C C C
R
R
C C C
R
A
A A
1 1
2 2
1 2 1 2
Así que
. .
. .
. .
... ...
m m
n n
R R x
R R x
x x
R R x
y y C C C yC yC yC
A
A
Si las matrices y pueden ser
divididas en bloques compatibles,
el producto puede ser
calculado como una multiplicación
de matrices usando los bloques
como elementos.
A B
AB
Hasta aquí llegue el martes 21 de septiembre del 2010 después de dos clases de 1:30 horas
Tercera clase martes 28 de septiembre del 2010 de 12:30 a 14:00
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
Sistema de ecuaciones lineales
...
...
...
...
...
...
es el número de incognitas
n n
n n
i i i in n i
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n
es el número de ecuacionesm
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
En términos de matrices el sistema
de ecuaciones se puede escribir
...
...
. . .
. . .
. . .
...
n
n
m m mn m m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
11 12 1
21 22 2
1 2
Si
...
...
.
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
A
1 1
2 2
. . y
. .
. .
m m
x b
x b
x b
x b
El sistema de ecuaciones se escribe
x bA
1 1
1
1
x b
x b
x b
x b
A
A A A
I A
A
1.Suma, multiplicación por un escalar y transposición
2.Multiplicación de matrices
3.Matrices inversas
4.Matrices elementales
Si es una matriz cuadrada,
una matriz es llamada la
inversa de si y sólo si
y
A
B
A
AB I BA I
Una matriz que tiene matriz inversa
es llamada matriz invertible.
Si es una matriz cuadrada, una matriz es llamada
la inversa de si y sólo si y A B
A AB I BA I
Si es una matriz cuadrada, una matriz es llamada
la inversa de si y sólo si y . A B
A AB I BA I
Hay matrices que no tienen inversa
Si la inversa existe, es única
1 1
1
1
x b
x b
x b
x b
A
A A A
I A
A
Si es una matriz cuadrada invertible,
existe una secuencia de operaciones
elementales de los renglones que lleva
la matriz a la matriz identidad del
mismo tamaño, escribimos .
A
A I
A I
1
Esta misma serie de operaciones en los
renglones lleva la matriz a .I A
Si es una matriz cuadrada invertible, existe una
secuencia de operaciones elementales de los
renglones que lleva la matriz a la matriz
identidad del mismo tamaño, escribimos .
A
A
I A I
1 1 0 1 0 0
3 0 2 0 1 0
1 0 1 0 0 1
12
3 1 3
3
/3
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
3 0 2 0 1 0 0 3 2 3 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 3 2 3 1 0 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1
R R
R R R
3 2
33
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 1 1 1 0 1
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 0 1 / 3 0 1 / 3 1
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 0 1 0 1 3
R R
R
2 3 2 3
1 2
2 2
3 3
1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0
0 0 1 0 1 3
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 0 1 0 1 1 2
0 0 1 0 1 3 0 0 1 0 1 3
1 0 0 0 1 2
0 1 0 1 1 2
0 0 1 0 1 3
R R R R
R R
Sea una matriz .
es invertible o no singular si existe
una matriz de rango tal que
n
n n
n n
A
A
B
AB = BA = I
La matriz se llama inversa de y se denota
Cuando existe la matriz inversa es única
1B A A
Sea una matriz . es invertible o no singular si existe una
matriz de rango tal que n
n n
n n
A A
B AB = BA = I
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
Toda matriz cuadrada tiene asociado
un , que es un núdeterminant mero compl j .e e o
n n
11 12 1
21 22 2
1 2
El determinante de la matriz se escribe
...
...
.det
.
.
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
A
A
,1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las
permutaciones de los números
1,2,3,..., y sgn es 1 si la
permutación es par ó 1 si es impar.
n
n
i iS i
a
n
A
11 22 12 21
*Permutaciones del 1 y el 2: 1,2 , 2,1
así que
det a a a a A
,1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutaciones
de los números 1,2,3,..., y sgn es 1 si la
permutación es par ó 1 si es impar.
n
n
i iS i
a
n
A
11 1211 21 21 12
21 22
En el caso de una matriz cuadrada 2 2
el determinante es el número complejo
deta a
a a a aa a
A A
1 3 1 3det
2 4 2 4
1 4 3 2 10
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 22 31 13 21 32
Permutaciones del 1, 2 y 3
1,2,3 , 1,3,2 , 2,1,3 , 2,3,1 , 3,2,1 , 3,1,2
así que
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
,1
det sgn
La suma se calcula sobre todas las permutaciones
de los números 1,2,3,..., y sgn es 1 si la
permutación es par ó 1 si es impar.
n
n
i iS i
a
n
A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 13 21 32
11 23 32 12 21 33 13 22 31
En el caso de una matriz cuadrada 3 3
el determinante es el número complejo
det
a a a
a a a
a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
A A
5 3 3 5 3 3
3 1 0 det 3 1 0
4 2 3 4 2 3
5 3 3
3 1
5 3 3
3 1 0
0
4 2 3
Truco que solo sirve para matrices 3x3
1) Se duplican los renglones 1 y 2
5 3 3
3 1 015 185 1 3
3
3 0124 2 3
27 0 1
2 3 4
3 3 5 2 0 4 15 3 3
3 1 0
3 0
3 2
2) Se multiplican diagonalmente hacía abajo con signo +
y diagonalmente hacía arriba con signo -
1 0 2
4 1 5
1 1 2
1 0 2 1 0 2
4 1 5
4 3
det 4 1 5
2 3 2 2 3 2
1 0 2
4 1 5
2 3 2
2 24 0
0 15
2 2 0
4 0 2 1 3 5 2 1
5
4
2
33
1.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz son cero, entonces su determinante es cero
2.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz se multiplican por el mismo número , entonces
su determinante se multiplica por .
3.- Si una par de filas o de columnas de una matriz se
intercambian, el determinante cambia de signo
k
k
4.- Si una fila o una columna de una matriz es
proporcional a otra fila o a otra columna, el
determinante es cero.
5.- Si todos los elementos de una fila o de una
columna se pueden expresar como la suma de
dos términos, entonces el determinante puede
escribirse como la suma de dos determinantes,
cada uno de los cuales contiene uno de los
términos en la fila o columna correspondiente.
6.- Si a todos los elementos de una fila o de una columna
se le añade veces el elemento correspondiente de otra
fila o columna, el valor del determinante no cambia.
k
11 22 33
Si la matriz es triangular,
entonces
det ...
es decir, el determinante es el
producto de los elementos
diagonales.
nna a a a
A
A
Usando las propiedades 1 a 6 expuestas
arriba, se lleva la matriz original a una
forma triangular cuyo determinante es
el producto de los elementos de la
diagonal
1
Sea una matriz cuadrada .
Eligimos una fila, la ,
entonces
det 1
donde es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila y la columna
ni j
ij ijj
ij
n n
i
a M
M
i j
A
A
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
.
.
...
n
n
ijij
m m mn
a a a
a a a
Ma
a a a
1
Sea una matriz cuadrada .
Eligimos una columna, la ,
entonces
det 1
donde es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila y la columna
ni j
ij iji
ij
n n
j
a M
M
i j
A
A
5 3 3
3 1 0
4 2 3
1) Se escoge un renglón.
Elegimos el primero.
2) Se toman los elementos de ese renglón uno por uno.
Empecemos por el elemento 5.
3) Se crea un nuevo determinante quitando el renglón
y la colum
-1 0
2 3
na del elemento escogido, es decir
A este determinante se le llama menor
1 1
5 3 3
3 1 0
4 2 3
-1 0-1 5
2 3
Número de columna+Número de renglón
4) El determinante obtenido (el menor) se
multiplica por el elemento y se pone como
signo -1
En este caso
5 3 3
3 1 0
4 2 3
5) Se hace lo mismo con todos los
elementos del renglón escogido.
1 1 1 2 1 3
5 3 3
3 1 0
4 2 3
1 0 3 0 3 11 5 1 3 1 3
2 3 4 3 4 2
5 3 3 9 3 10 15 27 30 12
1 1 1 2
1 3 1 4
0 3 4 2
1 0 2 2
1 3 2 1
3 2 3 1
0 2 2 1 2 2
1 0 3 2 1 1 3 1 2 1
2 3 1 3 3 1
1 0 2 1 0 2
1 4 1 3 1 1 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3
1 2 2 1 2 2 1 0 2
3 1 2 1 4 1 2 1 2 1 3 2
3 3 1 3 3 1 3 2 3
1 2 22 1 1 1 1 2
1 2 1 1 2 2 1 5 2 2 2 9 93 1 3 1 3 3
3 3 1
1 0 23 1 1 1 1 3
1 3 1 1 0 2 1 1 0 2 2 7 132 1 3 1 3 2
3 2 1
1 0 23 2 1 2 1 3
1 3 2 1 0 2 1 13 0 9 2 7 272 3 3 3 3 2
3 2 3
1 1 1 2
1 3 1 4
0 3 4 2
1 0 2 2
1 3 2 1
3 2 3 1
0 2 2 1 2 2
1 0 3 2 1 1 3 1 2 1
2 3 1 3 3 1
1 0 2 1 0 2
1 4 1 3 1 1 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3
3 9 4 13 2 27 25
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
Un espacio vectorial es un conjunto en el que hay definidas
dos operaciones:
suma + y multiplicación por un escalar.
* Es cerrado respecto a las dos operaciones
* Existe el 0 respecto a la suma
* Exi
V
ste el inverso respecto a la suma
* Las operaciones son asociativas y distributivas
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma de cerradura bajo la suma:
Axioma 1. Para cualesquiera dos elementos y en
corresponde un único elemento en llamado la suma
y denotado como
x y V
V
x y
Axioma de cerradura bajo la multiplicación por un real:
Axioma 2. Para cualquier elementos en y para
cualquier escalar corresponde un único elemento
en llamado el producto de por y denotado
x V
a
V a x como ax
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 3. Conmutatividad de la suma
Para todos y en se tiene
x y V
x y y x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 4. Asociatividad de la suma
Para todos , y en se tiene
x y z V
x y z x y z
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 5. Existencia del elemento 0
Hay un elemento en , denotado por 0, tal que
0 para todo en
V
x x x V
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 6. Existencia del negativo
Para todo elemento en , el elemento 1 tiene la
propiedad
1 0
x V x
x x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 7. Asociatividad en la multiplicación por
un escalar
Para todo en y para todos los escalares
y , se tiene
x V
a b
a bx ab x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 8. Distributividad en la multiplicación por un
escalar respecto a la suma en
Para todo y en y para todo escalar , se tiene
V
x y V a
a x y ax ay
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 9. Distributividad en la adición de escalares
Para todo en y para todos los escalares y ,
se tiene
x V a b
a b x ax bx
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 10. Existencia de la identidad
Para todo en , se tiene 1x V x x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
• Espacios vectoriales reales
• Espacio vectoriales complejos
A los números utilizados como multiplicadores se les denomina escalares. A los escalares los denotaremos por letras itálicas
A los elementos del espacio vectorial les llamaremos genéricamente vectores. A los vectores los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba
Sea el conjunto de todas las -adas de números reales.n nR
1 2 1 2
1 1 2 2 3
Para cualesquiera dos elementos
, ,..., y , ,..., de
definimos la suma como la -ada
, ,..., .
nn n
n
x x x x y y y y
x y n
x y x y x y x y
R
1 2
1 2
Para cualquier número real
y para cualquier -ada , ,..., de
definimos el producto por un número real
como la -ada
, ,...,
nn
n
r
n x x x x
rx
n
rx rx rx rx
R
1)
2)
3)
4)
5) 0
6) 1 0
7)
8)
9)
10) 1
n
n
x y
rx
x y y x
x y z x y z
x x
x x
r sx rs x
rx ry r x y
rx sx r s x
x x
R
R
: , continua
Matrices
nR
V f a b R f
M m n m n
Sea el conjunto de funciones continuas definidas en el
intervalo , .
: , es continua en el intervalo
La suma y la multiplicación por un escalar son las usuales,
y ante bajo esas operaciones las
V
a b
V f a b R f
funciones siguen siendo
continuas, así que el conjunto es cerrado ante ambas
operaciones.
Las demás propiedades son triviales.
El conjunto de matrices de un tamaño dado,
con componentes en los complejos ,
es un espacio vectorial
Matm n
C
C
El cero 0 es único
El negativo, denotado como , es único
0 0
0 0
Si 0 entonces 0 ó 0
Si y 0, entonces
Si y 0, entonces
v
v
r
r v rv r v
rv r v
rv ru r v u
rv sv v r s
v
1
2 , 3 , y en general n
i
u v u v u
v v v v v v v v nv
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
Un espacio vectorial es un conjunto en el que hay definidas
dos operaciones:
suma + y multiplicación por un escalar.
* Es cerrado respecto a las dos operaciones
* Existe el 0 respecto a la suma
* Exi
V
ste el inverso respecto a la suma
* Las operaciones son asociativas y distributivas
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma de cerradura bajo la suma:
Axioma 1. Para cualesquiera dos elementos y en
corresponde un único elemento en llamado la suma
y denotado como
x y V
V
x y
Axioma de cerradura bajo la multiplicación por un real:
Axioma 2. Para cualquier elementos en y para
cualquier escalar corresponde un único elemento
en llamado el producto de por y denotado
x V
a
V a x como ax
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 3. Conmutatividad de la suma
Para todos y en se tiene
x y V
x y y x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 4. Asociatividad de la suma
Para todos , y en se tiene
x y z V
x y z x y z
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 5. Existencia del elemento 0
Hay un elemento en , denotado por 0, tal que
0 para todo en
V
x x x V
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 6. Existencia del negativo
Para todo elemento en , el elemento 1 tiene la
propiedad
1 0
x V x
x x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 7. Asociatividad en la multiplicación por
un escalar
Para todo en y para todos los escalares
y , se tiene
x V
a b
a bx ab x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 8. Distributividad en la multiplicación por un
escalar respecto a la suma en
Para todo y en y para todo escalar , se tiene
V
x y V a
a x y ax ay
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 9. Distributividad en la adición de escalares
Para todo en y para todos los escalares y ,
se tiene
x V a b
a b x ax bx
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
Axioma 10. Existencia de la identidad
Para todo en , se tiene 1x V x x
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,
en el que hay definidas dos operaciones, suma
y multiplicación por un escalar.
El conjunto es un espacio vectorial si:
V
V
• Espacios vectoriales reales
• Espacio vectoriales complejos
A los números utilizados como multiplicadores se les denomina escalares. A los escalares los denotaremos por letras itálicas
A los elementos del espacio vectorial les llamaremos genéricamente vectores. A los vectores los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba
a
b
a b
a
b
a b
a
b
a b
a b
El producto del escalar por el vector es
Es un vector cuya longitud es ,
tiene la misma dirección que ,
y el sentido es el de si >0
y el inverso que si 0
a
a
a
a
a
a
a a
Un conjunto
1,2,...,
de elementos de un espacio vectorial
es llamado independiente si cualquier
combinación lineal igual a cero implica
que todos los coeficientes son cero.
iS x i k
V
1
Es decir, si
0
entonces necesariamente
0 para toda .
k
i ii
i
c x
c i
1 2
1 2
Un conjunto de elementos de un espacio
vectorial es llamado dependiente si hay
un conjunto de elementos diferentes en ,
, ,...,
y un correspondiente conjunto de escalares
, ,...,
no todo
k
k
S
V
S
x x x
c c c
1
s cero, tales que
0k
i ii
c x
1 2
1 2
Un conjunto de elementos de un espacio vectorial es llamado
dependiente si hay un conjunto de elementos diferentes en ,
, ,..., y un correspondiente conjunto de escalares
, ,..., no t
k
k
S V
S
x x x
c c c
1
odos cero, tales que 0k
i ii
c x
1
Sea 0, entonces
1
j
k
j i iiji j
c
x c xc
1
1 2
Un conjunto de elementos de un
espacio vectorial es llamado
independiente si no es dependiente.
Es decir, 0
implica que
... 0
k
i ii
k
S
V
c x
c c c
2Sea el espacio vectorial
¿Cómo es,
dependiente o independiente,
el conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
1,1 1,1 0,0a b
2Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
1,1 1,1 0,0
0
0
a b
a b
a b
2Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
0
0
Unica solución:
0 y 0
a b
a b
a b
1,1 1,1 0,0
0
0
0 y 0
a b
a b
a b
a b
2Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
2Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
linealmente independSo ie s n nte
V R
No hay forma de que una combinación lineal de ellos de cero
3Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente,
el conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
1) Tomamos una combinación lineal y la
igualamos a cero
1,0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0a b c
3Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
3Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
1) Tomamos una combinación lineal y la
igualamos a cero
1,
¿Eso
0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0
qué implica?
, , 0,0,0a b c
a b c
3Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
1) Tomamos una combinación lineal y la
igualamos a cero
1,0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0
¿Eso qué implica? , , 0,0,
Por tanto, a fuerza 0, 0, 0
0
a b c
a b c
a b c
El conjunto
1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
es linealmente INDEPENDIENTE
3Sea el espacio vectorial
¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
3Sea el espacio vectorial
El conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
es linealmente independiente
V R
No hay forma, sin hacerlos cero, que una combinación lineal de ellos se anule
Sea el espacio vectorial de funciones continuas
definidas en el intervalo , .
: , es continua
Demostrar que las funciones
sin ,sin 2 ,sin3 ,...,sin
son linealmente independientes para todo
V
V f R f
t t t nt
n
1
Sea el espacio vectorial de funciones continuas
definidas en el intervalo , .
Demostrar que las funciones sin ,sin 2 ,sin 3 ,...,sin
son linealmente independientes para todo 1
V
t t t nt
n
1
sin 0 ¿ ?n
k kk
a kt a
1
sin 0n
kk
a kt
1
1
sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
1
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
a lt kt dt l n
1
1
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
a lt kt dt l n
a dt lt kt l n
Si
sin sin
1cos s
c
in
1cos sin cos sin
1osc sos s coin
k l
lt kt dt
dlt kt dt
l dtd
lt kt lt kt dtl dt
klt lkt t t
lkt
ld
cos cos
1sin cos
1 1sin cos sin cos
1sin cos sin sin
lt kt dt
dlt kt dt
l dtd
lt kt lt kt dtl l dt
klt kt lt kt dt
l l
2
2
2
2 2
sin sin
1cos sin sin cos sin sin
Por lo tanto,
11 sin sin cos sin sin cos
lt kt dt
k klt kt lt kt lt kt dt
l l l
k klt kt dt lt kt lt kt
l l l
cos cos
1cos cos sin cos sin
1sin s
sin
in cos sin lt kt dtk
lt kt dt l
klt kt dt lt kt lt kt dt
l l
t ktl l
2
2 2
2 2
1cos sin sin cos
sin sin1 /
Por tanto, si
cos sin sin cossin sin
l lt kt k lt ktlt
klt kt lt kt
l llt kt dtk l
k
ktk l
l
dt
2
2 2
11 sin sin cos sin sin cos
k klt kt dt lt kt lt kt
l l l
2 2
2 2
2 2
sin sin
cos sin sin cos
cos sin sin cos
cos sin sin cos
lt kt dt
l lt kt k lt kt
k l
l l k k l k
k ll l k k l k
k l
2 2
cos sin sin cossin sin
l lt kt k lt ktlt kt dt
k l
2 2
2 2
2 2
2 2
sin sin
cos sin sin cos
cos sin sin cos
cos sin sin cos
cos sin sin cos
lt kt dt
l l k k l k
k ll l k k l k
k ll l k k l k
k ll l k k l k
k l
2 2
1
sin sin
cos sin sin cos2
Como
sin 0 y cos 1
para entero,
sin sin 0
k
lt kt dt
l l k k l k
k l
k k
k
lt kt dt
2
Si
sin
1cos sin
1cos sin cos sin
1cos sin cos cos
k l
kt dt
dkt kt dt
k dtd
kt kt kt kt dtk dt
kt kt kt kt dtk
2 2
2
2
Si
1sin cos sin cos
1cos sin sin
1sin cos sin
2 2
k l
kt dt kt kt kt dtk
kt kt dt kt dtk
tkt dt kt kt
k
2
2
1sin cos sin
2 2
1cos sin
2 2 2 2
Por tanto,
sin
kt dt k kk
k kk
kt dt
2 1sin cos sin
2 2
tkt dt kt kt
k
sin sin
, enteros mayores o iguales a 1
kllt kt dt
k l
Delta de Kronecker:
1 si
0 si
kl
kl
k l
k l
1
1
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
a lt kt dt l n
a dt lt kt l n
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
n
kk
n
kk
kl
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
0
n
kk
n
kk
kl
n
k klk
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
a l n
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
0
0
n
kk
n
kk
kl
n
k klk
l
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
a l n
a l n
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
0
0
0
n
kk
n
kk
kl
n
k klk
l
l
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
a l n
a l n
a l n
Sea el espacio vectorial de funciones continuas
definidas en el intervalo , .
: , es continua
Las funciones
sin ,sin 2 ,sin3 ,.
son linealmente indep
..,si
endie
n
para nt te ds o o 1
V
V f R f
t t t nt
n
¿Cómo es el conjunto 2,3 , 1, 1 ?
2,3 1, 1 0,0
2 1,3 0,0
2 0
3 0
Solución al sistema:
2 12 3 1 0
3 1
La única solución e
ES LINEALMENTE INDEPEN
s
D TE
0
IEN
r s
r r s
r s
r s
r s
¿Cómo es el conjunto ,3,0 , , 1,2 , 2, 2 ,4 ?
,3,0 , 1,2 2, 2 ,4 0,0,0
2 ,3 2 ,2 4 0,0
2 0
3 2 0
2 4 0
i i i i
a i b i c i i
ia ib c a b ic b ic
ia ib c
a b ic
b ic
2 0
3 2 0
2 4 0
2
3 1 2
0 2 4
21 2 3 2 3 1
3 1 2 22 4 0 4 0 2
0 2 4
0 12 2 6 0 12 12 0
ia ib c
a b ic
b ic
i i
i
i
i ii i
i i ii i
i
i i i
2 0
3 2 0
2 4 0
Ya sabemos que el sistema de ecuaciones
tiene soluciones diferentes de la trivial,
por lo tanto, el conjunto
,3,0 , , 1,2 , 2, 2 ,4
LINEALMENTE DEPes ENDIE NTE
ia ib c
a b ic
b ic
i i i i
32
1
,2 3 1 2 2
2 1 1 2
3 1 2 3 1 2
0 2 4 0 2 4
1 1 2 1 1 2
0 2 4 0 1 2
0 2 4 0 1 2
R i
RRR R
i i i
i i
i i
i i
i i
i i
2 0
3 2 0
2 4 0
ia ib c
a b ic
b ic
3 2 1 2
2 1 1 2
3 1 2 0 1 2
0 2 4 0 1 2
1 1 2 1 0 0
0 1 2 0 1 2
0 0 0 0 0 0
R R R R
i i i
i i
i i
i
i i
2 0
3 2 0
2 4 0
ia ib c
a b ic
b ic
2 0 1 0 0
3 2 0 0 1 2
2 4 0 0 0 0
0
2 0
0
0 2
0
ia ib c
a b ic i
b ic
a
b ic
a b ic
2 3 4
Sea el espacio vectorial de funciones
continuas en . Es decir,
: es continua
El conjunto
1, , , , ,..., 1
es linealmente independiente
n
V
R
V f R R f
x x x x x n
Dado un conjunto 1,2,...,
de elementos de un espacio vectorial ,
al conjunto de vectores que se obtienen
como combinaciones lineales de los
elementos de se le llama espacio
generado por .
iS x i k
V
S
S
1
1,2,...,i
k
i ii
S x i k V
v V v a x
2¿Qué espacio genera el conjunto 1,1 en ?R
Una base de un espacio vectorial es
un conjunto de vectores linealmente
independientes que genera el espacio.
Es decir, todo elemento del
espacio vectorial se puede
escribir como una combinación
lineal de los elementos de la base.
1 2
1
2
ˆ ˆ ˆAl conjunto de vectores , ,...,
definidos como
ˆ 1,0,0,...,0
ˆ 0,1,0,0,...,0
.
.
.
ˆ 0,0,0,...,1
se le llama base natural de ,
ya que todo vector se puede representar de manera única como
n
n
n
e e e
e
e
e
x x
R
1 1 2 2ˆ ˆ ˆ... n ne x e x e
La dimensión de un espacio
vectorial es el número de
elementos en cualquiera de
sus bases.
•Un espacio vectorial tiene dimensión
finita si tiene una base con un número
finito de vectores.
•En un espacio de dimensión finita
todas las bases tienen el mismo
número de elementos.
Sea un subconjunto no vacío
de un espacio vectorial .
Si es también un espacio
vectorial con las mismas
operaciones de suma y de
multiplicación por un escalar,
entonces es un subespacio de
S
V
S
S V
Teorema
Sea un subconjunto no vacío
de un espacio vectorial .
Entonces es un subespacio de
si y sólo si satisface los
axiomas de cerradura.
S
V
S
V S
,
V
V
x y
V
Sea un espacio vectorial sobre los
complejos.
Se dice que tiene un producto escalar
ó producto interno ó producto punto,
si para cualesquiera dos elementos
en se asocia un número complejo
único , .x y
, ,
, ,
,
, ,
x y V x y
x y z V
c
x y y x
en se asocia un número complejo único .
Esta asignación tiene las siguientes propiedades:
Para cualesquiera
y para cualquier escalar
1)
C
2) , , ,
3) , ,
4) , 0 0
x y z x y x z
cx y c x y
x x x
Simetría hermitiana
Distributividad o linealidad
Asociatividad o homogeneidad
si Positividad
Un espacio vectorial real que tiene definido un producto escalar es llamado
ESPACIO EUCLIDIANO REAL
Un espacio vectorial complejo que tiene definido un producto escalar es llamado
ESPACIO EUCLIDIANO COMPLEJO O ESPACIO UNITARIO
Normalmente se dice
ESPACIO EUCLIDIANO
y punto, independientemente del campo sobre el cual esté definido.
El espacio vectorial con el producto punto
usual, es un espacio euclidiano
nR
1
,
,
Es obvio que este producto escalar satisface las
condiciones necesarias. Haganlo como ejercicio.
n
n
i ii
x y R
x y x y x y
Si llamamos al ángulo que hacen los vectores
y ,
se define el producto escalar (interno ó punto)
como
cos cos
a b
a b a b ab
a
b
Lo podemos ver como
cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
a
cos cosp
p aa
p
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
,
V
V
x y
V
Sea un espacio vectorial sobre los
complejos.
Se dice que tiene un producto escalar
ó producto interno ó producto punto,
si para cualesquiera dos elementos
en se asocia un número complejo
único , .x y
, ,
, ,
,
, ,
x y V x y
x y z V
c
x y y x
en se asocia un número complejo único .
Esta asignación tiene las siguientes propiedades:
Para cualesquiera
y para cualquier escalar
1)
C
2) , , ,
3) , ,
4) , 0 0
x y z x y x z
cx y c x y
x x x
Simetría hermitiana
Distributividad o linealidad
Asociatividad o homogeneidad
si Positividad
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
x x x y y y
x y x y x y x y x y
Dados y en ,
se define el producto escalar como
R
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
x x x y y y
x y x y x y x y x y
Dados y en , se define
el producto escalar como
R
1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 2 1 1 2 2 2
, 2
2 ,
Propiedad 1
x y x y x y x y x y
y x y x y x y x y x
1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2
1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
, 2
2 2
2 2
, ,
Propiedad 2
x y z x y z x y z x y z x y z
x y x z x y x z x y x z x y x z
x y x y x y x y x z x z x z x z
x y x z
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
Dados y en , se define
el producto escalar como
x x x y y y R
x y x y x y x y x y
1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, 2
2
2 ,
Propiedad 3
cx y cx y cx y cx y cx y
cx y cx y cx y cx y
c x y x y x y x y c x y
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
Dados y en , se define
el producto escalar como
x x x y y y R
x y x y x y x y x y
2 21 1 2 2 1 2
22 2 21 1 2 2 1 1 2
, 2
2 2 0
0
Propiedad 4
si
x x x x x x x x
x x x x x x x
x
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
Dados y en , se define
el producto escalar como
x x x y y y R
x y x y x y x y x y
Este ejemplo muestra que un mismo espacio
vectorial puede haber más de un producto
escalar.
21 2 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2
, ,
, 2
Dados y en , se define
el producto escalar como
x x x y y y R
x y x y x y x y x y
, : ,
,b
a
C a b f a b R R f
f g f t g t dt
es continua
, ,
Propiedad 1b b
a a
f g f x g x dx g x f x dx g f
,
, ,
Propiedad 2b
a
b
a
b b
a a
f g h f x g x h x dx
f x g x f x h x dx
f x g x dx f x h x dx f g f h
, : ,
,b
a
C a b f a b R R f
f g f t g t dt
es continua
,
,
Propiedad 3b b
a a
b
a
cf g cf x g x dx cf x g x dx
c f x g x dx c f g
, : ,
,b
a
C a b f a b R R f
f g f t g t dt
es continua
2, 0 0
, 0 0
Propiedad 4
si
y
si
b b
a a
f f f x f x dx f x dx f
f f f
, : ,
,b
a
C a b f a b R R f
f g f t g t dt
es continua
, : ,
,
0
, .
b
a
C a b f a b R R f
f g w t f t g t dt
w t
C a b
es continua
donde es una función positiva
en
, expb
a
f g t f t g t dt
En el espacio de todos los
polinomios reales, con
2, , ,
V
x y x x y y
x y V
x y
En un espacio euclidiano , todos los productos
escalares satisfacen la desigualdad de
Cauchy-Schwarz
para todos los y en
La igualdad se cumple si y sólo si y son
dependientes.
1/ 2,
.
V
x x x
x
En un espacio euclidiano ,
se define el número no negativo
y es llamado la norma de
0 0
0 0
0, 0
En un espacio euclidiano , todas las normas
tienen las siguientes propiedades:
(a) si
(b) si
(c)
(d)
La igualdad se cumple si si o si
para alguna
V
x x
x x
cx c x
x y x y
x y y cx
c
, ,
0,
,cos
En un espacio euclidiano , el ángulo entre
dos elementos no nulos, se define como el
número en el intervalo que satisface la
ecuac
re
ión
al
V
x y
x y
x y
,V
(a) dos elementos son ortogonales si
su
En un
produc
espacio euclidiano
to escalar es cero
,
,
0S V x y
S
V
(a) dos elementos son ortogonales si su
producto escalar es
(b) es llamado ortogonal si para
todo par
En un espacio eucl
de elementos disti
cer
nto
i
s
diano
en
o
, 0
,V
V
S
S
S y
V
x
(a) dos elementos son ortogonales si su
producto escalar es cero
(b) es llamado ortogonal si para
todo par de elementos distin
(c
En un espacio euclidiano
) es llamado orto
tos
nor
en
mal si además de ser
ortogonal, todos sus elementos tienen norma 1
,V
S
En un espacio euclidiano
todo conjunto ortogonal
de elementos no nulos,
es independiente.
,V SEn un espacio euclidiano todo conjunto ortogonal
de elementos no nulos, es independiente.
1 1 1 1
1
0 , , ,
, , 0
, 0 0 .
n n n n
i i j i i j i i i j ii i i i
n
i i i ij j j ji
j j j
c x x c x x c x c x x
c x x c x x
S
x x c j
como todos los vectores en son no nulos,
y necesariamente para todo
2
0
0 1 2
0 2 1 2
0,2 : 0,2
,
, , ,...
1, cos , sin ,n n
C f R f
f g f x g x dx
S u u u
u x u x nx u x nx
En el espacio euclidiano real
es continua
donde el producto escalar es
sea el conjunto de funciones trigonométricas
dadas como
1,2,3,...n
0
2 1
2
1
cos
sin
1,2,3,...
n
n
u x
u x nx
u x nx
n
¿Cuáles son los ángulos entre los
elementos del conjunto?
sin sin
1sin sin sin cos
1 1sin cos sin cos
1sin cos cos cos
mx nx dx
dmx nx dx mx nx dx
n dxd
mx nx mx nx dxn n dx
mmx nx mx nx dx
n n
cos cos
1cos cos cos sin
1 1cos sin cos sin
1cos sin sin sin
mx nx dx
dmx nx dx mx nx dx
n dxd
mx nx mx nx dxn n dx
mmx nx mx nx dx
n n
2
2
2
2 2
1sin sin sin cos cos cos
1cos cos cos sin sin sin
1sin sin sin cos cos sin
sin sin
cos sin sin cossin sin
mmx nx dx mx nx mx nx dx
n nm
mx nx dx mx nx mx nx dxn n
mmx nx dx mx nx mx nx
n n
mmx nx dx
n
m mx nx n mx nxmx nx dx
n m
22
2 200
2 2
2 2
cos sin sin cossin sin
cos2 sin 2 sin 2 cos2
cos2 sin 2 sin 2 cos2
0
m mx nx n mx nxmx nx dx
n m
m m n n m n
n mm m n n m n
n m
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
sin 0
cos 0
sin sin 0
cos cos 0
sin cos 0
nx dx
nx dx
mx nx dx
mx nx dx
mx nx dx
0
2 1
2
1
cos
sin
1,2,3,...
n
n
u x
u x nx
u x nx
n
2
0
, 0Si
Por tanto, es un conjunto ortogonal.
Como todos los miembros de son
diferentes de cero, entonces es un
conjunto independiente.
m m m nm n u u u x u x dx
S
S
S
0 0 0 0
22 1 2 1
22 2
, 2
, cos
, sin
n n
n n
u u u x u x dx dx
u u nxdx
u u nxdx
2 2
0 0
2
0
2
0
Respecto a las normas:
0 1 2
0 2 1
2
, , ,...
11/ 2 , cos ,
1sin , 1,2,3,...
Por tanto, el conjunto de funciones
trigonométricas
dadas como
es un conjunto ortonormal.
n
n
S
x u x nx
u x nx n
,
,
V
n
S
n
En un espacio euclidiano
de dimensión finita
todo conjunto ortogonal
de elementos no nulos,
es una base.
Una base ortonormal de
un espacio vectorial es un
conjunto de vectores
ortonormales, que genera
el espacio.
3
ˆˆ ˆ, ,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0
ˆˆ ˆ2) 1
ˆˆ ˆ3) , ,
R
i j k
i j j k i k
i j k
x y z xi yj zk
En el espacio euclidiano , con el producto
escalar "usual", la base
es una base ortonormal.
1)
1
1
,
ˆ ˆ,..., .
ˆ
ˆ,1,2,...,
ˆ ˆ,
Sea espacio euclidiano de dimensión finita
y sea una base ortogonal de
Todo elemento de se puede escribir como
donde para
n
n
i ii
j
j
j j
V n
S e e V
V
x c e
x ec j n
e e
1
1 1 1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,
ˆ,1,2,...,
ˆ ˆ,
n
i ii
n n n
j j i i i j i i i i ij j j ji i i
j
j
j j
x c e
e x e c e c e e c e e c e e
x ec j n
e e
por tanto,
para
1
1
,
ˆ ˆ,..., .
ˆ
ˆ, 1,2,...,
Sea espacio euclidiano de dimensión finita
y sea una base de
Todo elemento de se puede escr
ortonormal
ibir como
donde para
n
n
i ii
j j
V n
S e e V
V
x c e
c x e j n
1
1
*
1
,
ˆ ˆ,..., .
ˆ ˆ, , ,
,
n
n
i ii
n
i ii
V n
S e e V
x y x e y e
x y x y
Sea espacio euclidiano de dimensión finita
y sea una ortonormabase de
Es deci
l
r,
1
1
22 2
1 1
,
ˆ ˆ,..., .
ˆ ˆ, , ,
,
ˆ,
n
n
i ii
n n
i ii i
V n
S e e V
x y x e y e
x y
x x e x
Sea espacio euclidiano de dimensión finita
y sea una base de
En particular, si
ortonorma
se tiene
l
* Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene
una base finita.
* En un espacio euclidiano siempre se puede
construir una base ortogonal, y por lo tanto
también una ortonormal
* El proceso de construcción es llamado
proceso de ortogonalización de Gram y
Schmidt
1 2
1
, ,...
,
,...,
Sea una sucesión, finita o infinita, de
elementos en un espacio euclidiano
y denotemos por el subespacio
generado por los primeros elementos de la
sucesión.
Existe entonces una su
k
x x
V
L x x
k
1 2 3, , ,...
cesión de elementos
de que para todo entero tiene
las siguientes propiedades:
y y y V k
1 2 1
1 2
1 2
1 2 1 2
, ,..., .
, ,...,
, ,..., :
, ,..., , ,...,
(a) El elemento es ortogonal a todos los elementos del
subespacio
(b) El subespacio generado por es el mismo que
el generado por
(
k
k
k
k
k k
y
L y y y
y y y
x x x
L y y y L x x x
1 2 3
1 2 3
, , ,...
, , ,...
c) La sucesión de elementos de es única, a
no ser por un factor escalar. Es decir, si es otra
sucesión de elementos de que satisface las propiedades
(a) y (b) para todo
y y y V
y y y
V
k
.
, entonces para cada hay un escalar
tal que k k k k
k
c y c y
1 1
11 1
1
,
,
1,2,3,..., 1
rr i
r r ii i i
y x
x yy x y
y y
r k
para todo
1 2
2 11 2 2 1
1 1
2
1 2
1 2
1
(1,1) 2,3
,1,1
,
1,1 2,3 5 12,3 1,1 2,3 1,1 1,1
1,1 1,1 2 2
1, 1,1 1,1 0
2
2 1/ 2
1ˆ ˆ1,1
2
x x
x yy y x y
y y
y
y y
y y
y y
2
11,1
2
2 1 2 1 2 1 12 2 1 2 1 22
1 1 1 11
2 2 2 1
1 1 2
2
2
, cos cos
,
ˆcos
1ˆ1,1 1,1 2,3
2
13 arctan 3/ 2 arctan 1/1 0.983 / 4 0.198
cos 0.98
cos 3.53
2,3 3.53 1,1 / 2 0.5,0.5
x y x y x y yy x y x y x
y y y yy
y x x y
y y x
x
x
1,1
2,3
1 2 3
1
2 12 2 1
1 1
2
2
(1,1,1) 2,3,0 1,1,1
(1,1,1)
,
,
2,3,0 1,1,1 52,3,0 1,1,1 2,3,0 1,1,1
1,1,1 1,1,1 3
11,4, 5
3
x x x
y
x yy x y
y y
y
y
3 1 3 23 3 1 2
1 1 2 2
3
3
, ,
, ,
11,1,1 1,4, 51,1,1 1,1,1 131,1,1 1,1,1 1,4, 5
1 11,1,1 1,1,1 31,4, 5 1,4, 53 3
2 /31 11,1,1 1,1,1 1,4, 5
3 14 /3 31 1
1,1,1 1,1,1 1,4, 53 21
33,2,1
7
x y x yy x y y
y y y y
y
y
1 2 3
1 2 3
1 2
1 3
2 3
(1,1,1) 2,3,0 1,1,1
1 31,1,1 1,4, 5 3,2,1
3 7
1, 1,1,1 1,4, 5 0
33
, 1,1,1 3,2,1 07
1 3( , ) 1,4, 5 3,2,1 0
3 7
x x x
y y y
y y
y y
y y
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
* Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene
una base finita.
* En un espacio euclidiano siempre se puede
construir una base ortogonal, y por lo tanto
también una ortonormal
* El proceso de construcción es llamado
proceso de ortogonalización de Gram y
Schmidt
1 2
1
, ,...
,
,...,
Sea una sucesión, finita o infinita, de
elementos en un espacio euclidiano
y denotemos por el subespacio
generado por los primeros elementos de la
sucesión.
Existe entonces una su
k
x x
V
L x x
k
1 2 3, , ,...
cesión de elementos
de que para todo entero tiene
las siguientes propiedades:
y y y V k
1 2 1
1 2
1 2
1 2 1 2
, ,..., .
, ,...,
, ,..., :
, ,..., , ,...,
(a) El elemento es ortogonal a todos los elementos del
subespacio
(b) El subespacio generado por es el mismo que
el generado por
(
k
k
k
k
k k
y
L y y y
y y y
x x x
L y y y L x x x
1 2 3
1 2 3
, , ,...
, , ,...
c) La sucesión de elementos de es única, a
no ser por un factor escalar. Es decir, si es otra
sucesión de elementos de que satisface las propiedades
(a) y (b) para todo
y y y V
y y y
V
k
.
, entonces para cada hay un escalar
tal que k k k k
k
c y c y
1 1
11 1
1
,
,
1,2,3,..., 1
rr i
r r ii i i
y x
x yy x y
y y
r k
para todo
1
1
0 1 2
, ,
, , ,... .
,
En el espacio euclidiano de todos los polinomios reales,
con el producto escalar considera
la sucesión donde
Es claro, que esta sucesión no es ortogonal, ya que
nn
n m
x y x t y t dt
x x x x t t
t t
11 1 11
1 1 1
11 1
1 1
1 , 0,
21 , 0
1
Si es par entonces pero si
es impar entonces
n mn mn m n m
n m
n m
tt t dt t dt
n m n m
n m t t
n m t tn m
0 0
1 01 1 0
0 0
1 1
0 0 1 0
1 1
1 1 0 1
1
1
,
,
, 2 , 0
0
2
Llevemos ahora a cabo el proceso de ortogonalización.
y t x t
x yy t x t y t
y y
y y dt x y tdt
y t x t y t x t t
y t t
2 0 2 12 2 0 1
0 0 1 1
1 12 2
1 1 2 0
1 1
13
2 1
1
2 2 0 1 2 0
22
, ,
, ,
2 2, ,
3 3
, 0
2 /3 0 1
2 2 /3 31
3
x y x yy t x t y t y t
y y y y
y y t dt x y t dt
x y t dt
y t x t y t y t x t y t
y t t
33
4 24
5 35
2
3
56 3
7 3510 5
9 21...
!1
2 !
Y así sucesivamente
nn
n n
y t t t
y t t t
y t t t t
n dy t t
n dt
22
2 ! 11
2 !2 !
Polinomios de Legendre
nn
n n n nn
n dP t y t t
n dtn
De manera intuitiva podemos decir
que una función es una relación
entre dos magnitudes, de tal manera
que a cada valor de la primera le
corresponde un único valor de la
segunda.
Conjunto de seres humanos
Conjunto de seres humanos
Conjunto de seres humanos
A cada ser humano se le asocia su padre biológico
Conjunto de seres humanos
Conjunto de seres humanos
A cada ser humano se le asocia su padre biológico
• Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico
• No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico
Conjunto de seres humanos
Sean y dos conjuntos arbitrarios.
Una función de en es una asociación entre elementos
de y donde a todos y cada uno de los elementos de
se les asocia un único elemento de .
El conjunto
A B
A B
A B A
B
A se llama de la función.
Al conjunto
dominio
codominio se le cdenomina ontradom io .nioB
• Todos los elementos del dominio tiene que
tener asociado un elemento del
contradominio
• A un elemento del dominio se le asociara un
único elemento del contradominio
• Elementos del contradominio pueden tener
asociados más de un elemento del dominio
Es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la función.
También se le llama imagen del dominio bajo la función.
Dada la función : el rango de , es el conjunto
Rango de : para
f A B f
f x B x f a
alguna
Evidentemente el rango de es un subconjunto del
contradominio:
El rango de Rango de Contradominio de
a A
f
f f
ab
cd
e
ab
cd
e
Dominio
ab
cd
e
Dominio
Codominio
ab
cde
DominioCodominio
Rango
A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio
A
parcial
nabla
raiz
existe
B
Aparcial
nabla
raiz
existe
B
El elemento en no tiene ningún elemento
asociado en
A
B
Definimos una función de x en y como
toda aplicación (regla, criterio
perfectamente definido), que a un
número x (variable independiente), le
hace corresponder un número y (y solo
uno llamado variable dependiente).
Se llama función real de variable real a
toda aplicación f de un subconjunto no
vacío D de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o
criterio que se puede expresar por una fórmula matemática.
La variable x recibe el nombre de variable independiente y la
y ó f(x) variable dependiente o imagen.
Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.
El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).
Nota El dominio de una función puede estar limitado por:
1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.
2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.
: 3 2
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos los números reales
f R R y f x x
: 3 2f R R y f x x
x f(x)
0 2
1 5
-1 -1
2 8
-2 -4
3 11
-3 -7
4 14
-4 -10
5 17
-5 -13
x f(x)
0.10 2.30
1.76 7.28
-3.45 -8.35
8.97 28.91
2.34 9.02
13.33 41.99
1.41 6.23
16.77 52.31
-44.44 -131.32
0.01 2.03
-123.00 -367.00
: exp
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos los números reales
positivos
xf R R y x e
exp : exp xR R y x e x f(x)
0.10 1.1051709
11.88 144,350.5506832
-3.45 0.0317456
8.97 7,863.6016055
2.34 10.3812366
13.33 615,382.9278900
6.99 1,085.7214762
-91.23 0.0000000
2.22 9.2073309
0.50 1.6487213
-12.45 0.0000039
x f(x)
0.00 1.000
1.00 2.718
-1.00 0.368
2.00 7.389
-2.00 0.135
3.00 20.086
-3.00 0.050
4.00 54.598
-4.00 0.018
5.00 148.413
-5.00 0.007
log : (0, ) ln
Su dominio son todos los números reales
positivos, ya que no existen el logaritmo de
un número negativo
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos l
R y x
os números reales
log : (0, ) lnR y x
x ln(x) x ln(x)
0.10 -2.303 0.01 -4.605
0.20 -1.609 0.02 -3.912
0.30 -1.204 0.03 -3.507
0.40 -0.916 0.04 -3.219
0.50 -0.693 0.05 -2.996
0.60 -0.511 0.06 -2.813
0.70 -0.357 0.07 -2.659
0.80 -0.223 0.08 -2.526
0.90 -0.105 0.09 -2.408
1.00 0.000 0.10 -2.303
2
Definición
La gráfica de la función es el lugar geométrico
de los puntos del plano cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación ( )
, ,
f
y f x
G x y R x f x
: 3 2f R R y f x x
exp : exp xR R y x e
log : (0, ) lnR y x
: R R y x
1 1 2 2
s 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y
Se llama función suma de ambas, a la función:
Análogamente podemos definir la funci
y f (x) y f (x).
y y y f (x) f (x).
d 1 2 1 2
ón diferencia como
El dominio de definición de la función suma, y también el de la
función diferencia será la intersección de los dominios de ambas
funciones.
y y y f (x) f (x)
1 1 2 2
p 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) ( ).
Se llama función producto de ambas, a la función:
( ) ( )
Análogamente a lo que o
y f x y y f x
y y y f x f x
curre con las funciones suma y diferencia,
el dominio de definición de esta función vuelve aser la intersección
de los dominios.
1 1 2
11C
2 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) y ( ).
Se llama función cociente de ambas, a la función:
= =
El dominio de definic
y f x y f x
f xyy
y f x
2
ión de esta función es la intersección de los
dominios, menos todos los puntos que anulen a ( ), puesto que
serán puntos que anulen el denominador de dicha función.
f x
Dadas dos funciones ( ), ( ),
se llama función compuesta
a la función
Para que exista la función compuesta es necesario
que el recorrido de la función quede totalmente
incluido en el
y f x z g y
g f
g f x g f x
f
dominio de la función .
Dominio Dom tales que Dom
g
g f x f f x g
2
2
2
( ) 2 6, ( ) ,
La función compuesta es en este caso
2 6
El dominio de la función compuesta son aquellos
valores de para los que se cumple que
2 6 0
Esa desigualdad la resolvimo
y f x x x z g y y
g f x x x
x
x x
s (con >) y da
3Dominio y 2
2g f x R x x
2
2
2
( ) , ( ) sin ,
La función compuesta es en este caso
sin
Es claro que el rango de la función queda totalmente
incluido en el dominio de la función sin .
Dominio
y f x x z g y y
g f x x
x
y
g f R
1
1( ) , ( ) exp = ,
La función compuesta es en este caso
Dominio 0
y
x
y f x z g y y ex
g f x e
g f R
Se llama función identidad a la función que le hace
corresponder a cada número real el propio número.
Se representa por ( ).
*El dominio de la función identidad
son todos los números reales
*El contradom
I x
inio o codominio de la función identidad
son todos los numeros reales
*El rango de la función identidad
son todos los números reales
Gráfica de la función identidad
:I R R I x x
45
Una función se dice
inyectiva o función uno a uno
si verifica que dos puntos
distintos no pueden tener
la misma imagen.
f
Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica
que dos puntos distintos no pue
Una relación lineal (cualquier recta
den tener la mi
)
es inyectiva ó uno
sma ima
a uno
gen.
y mx b
f
2
Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica
que dos puntos distintos no puede
Una relación cuadrática (una parábola)
es inyectiva ó uno a uno
n tener la misma imag
4
en
NO
.
y x
f
1
1
Sea una función.
Llamamos función inversa (en caso de que exista)
a una función notada que verifica que
con ( ) la función identidad.
Para que exista la función inversa de es nec
y f(x)
f x
f f x I x
I x
f
esario
que la función sea inyectiva. f
ln
La función exponencial
exp : exp
tiene como inversa a la función logaritmo
ln : ln
Como
ln
tenemos
ln exp
x
x x
R R y x e
R R y x
x e e
I
S SF
Es una función entre dos espacios vectoriales y S S
Un mapeo entre dos espacios vectoriales y
A todo elemento del dominio se le asigna un,
y sólo un, elemento del contradomini
Una función es un map
o
eo de en
:
S S
S
S
F S S
R R
S S
Dominio
F
S
Dominio Contradominio
F S
S S
Imagen o rango de S
F
2 2
2
2
2
:
, 2 ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
F R R
F x y x y x y
R
R
R
2 3
2 3
2
3
3
:
, , ,
, , ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
T R R
T x y x y x y xy
x y R x y x y xy R
R
R
R
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
:
, ,
, ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango: "La parte derecha de "
T R R
T x y x y xy
x y R x y xy R
R
R
R
2
2 2
, : , existe y es continua
: , ,
C a b f a b R f
D C a b C a b
df xDf
dx
Dados
: y :
definimos la suma
:
como
f S S g S S
f g S S
f g x f x g x
Dados
: y cualquier escalar
Definimos la multiplicación por un escalar
:
como
f S S r
rf S S
rf x rf x
Dados dos espacios vectoriales, y ,
el conjunto de todos los mapeos de en ,
con las operaciones de suma y
de multiplicación por un escalar definidas antes,
es un espacio vectorial.
S S
S S
:
El mapeo es inyectivo si para todos
, ,
con ,
se tiene
f S S
f
x y S
x y
f x f y
:
El mapeo es suryectivo si
la imagen o rango
de es todo
f S S
f
f S
:
El mapeo es un isomorfismo
si es inyectivo y suryectivo
Es decir, un isomorfismo es un
mapeo uno a uno.
f S S
f
:
para todo
El mapeo identidad es
inyectivo y suryectivo
s
I S S
I x x
:
:
Se define la composición como el mapeo
:
tal que
para todo
F U V
G V W
G F U W
G F t G F t
t U
U V WF G
U V WF G
U WG F
:
:
:
F U V
G V W
H W S
H G F H G F
:
tiene un inverso si existe un mapeo
:
tal que
y s s
F S S
F
G S S
G F I F G I
:
tiene un inverso si y sólo si
es inyectivo
y
es suryectivo
F S S
F
La operación de composición enriquece
la estructura del espacio vectorial de
mapeos y se vuelve un álge
Otro ejemplo: El espacio vectorial de
matrices , con la multiplicación de
matrices
bra asociat
,
iva.
n n es un álgebra asociativa
Las transformaciones lineales,
mapeos lineales,
ó funciones lineales
es uno de los conceptos fundamentales
del álgebra lineal
Sean y espacios vectoriales sobre un campo
: un mapeo de en
Un mapeo es lineal si:
Para cualesquiera elementos y en
y cualesquiera y en , se tiene
También
V W K
F V W V W
u v V
r s K
F ru sv rF u sF v
se les llama HOMOMORFISMOS
2 2
2
2
2
:
, 2 ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
Este mapeo es lineal
F R R
F x y x y x y
R
R
R
2 3
2 3
2
3
3
:
, , ,
, , ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
Este mapeo NO es lineal
T R R
T x y x y x y xy
x y R x y x y xy R
R
R
R
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
:
, ,
, ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango: "La parte derecha de "
Este mapeo NO es lineal
T R R
T x y x y xy
x y R x y xy R
R
R
R
2
2 2
, : , ´́ existe y es continua
: , ,
Este mapeo es lineal
C a b f a b R f
D C a b C a b
df xDf
dx
Un mapeo lineal asocia
el vector cero 0,
al vector 0
Es decir,
0 0F
Un mapeo es lineal si:
Para cualesquiera elementos
Un mapeo lineal asocia el vector cero 0,
al vect
y en
y cualesquiera y en , se tiene
0 0
or 0, es decir, 0 0.
u v V
r s K
F ru
F u F
sv rF u s v
F
u
F
0
2 2 2 2
OJO: No es cierto al revés, es decir,
sin un mapeo m
Un mapeo lineal asocia el vector cero 0,
al vector 0.
anda el cero al cero
no por eso es lineal.
Ejempl
Es decir, 0
,
0
o:
: ,
T R R T x x y x
F
y y
Dados dos espacios vectorias, y ,
el conjunto de funciones lineales de en
es un espacio vectorial.
Normalmente se le denota ( ; ).
Es un subespacio vectorial del conjunto de
todos los mapeos de
V W
V W
V W
V
L
en .W
Sean y dos espacios vectoriales
sobre el campo .
Sea : un mapeo line
El núcleo de es un subespacio vectoria
a
d
l
l e
Núcleo de 0
V W
K
F V W
F V
F v V F v
2
2 2
2 2
1) : ,
Núcleo de , 0 Recta
2) : , ,
Núcleo de : , , con
3) : , 2 ,
Núcleo de , 0, 0 El 0
T R R x y x y
T x y x y
D C a b C a b f f
D f a b R f a a R
F R R x y x y x y
T x y x y
Las dos
Sean
afirm
y dos espa
aciones sig
cios vectoriales sobre
uientes son totalmente
el campo .
Sea : un mapeo lineal
Núcleo
equivalentes:
1. El Núcleo de es igual a 0
2. S
de 0
i y s
V W K
F V
F
u
W
F v
v
V F v
on dos elementos arbitrarios de tales que
entonces .
En otras palabras, es inyectivo
V
F u F v u v
F
Las dos
Sean
afirm
y dos espa
aciones sig
cios vectoriales sobre
uientes son totalmente
el campo .
Sea : un mapeo lineal
Núcleo
equivalentes:
1. El Núcleo de es igual a 0
2. S
de 0
i y s
V W K
F V
F
u
W
F v
v
V F v
on dos elementos arbitrarios de tales que
entonces . O sea, es inyectivo
: 0 0
: 0 0 0
V
F u F v u v F
F u v F u F v u v u v
F x F x F u F v F u v F x
La imagen de es un subespacio vectori
Sean y dos espacios vectoriales sobre el campo .
Sea : un mapeo lineal
al de
Imagen ó rango de
Existe tal que
V W K
F
F V
W
W
F
w W v V F v w
Transformacioneslineales
Matrices
:
.
Definimos el mapeo
mediante la regla
para todo
n mA
A
n
L K K
L X AX
X K
Toda matriz tiene asociada un mapeo lineal
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
. matriz
.
.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
m n
a a a
A
:
.
Definimos el mapeo
mediante la regla
para todo
n mA
A
n
L K K
L X AX
X K
:
.
n mA
A
n
L K K
L X AX
X K
Definimos el mapeo
mediante la regla
para todo
A A AL rX sY A rX sY rA X sA Y rL X sL Y
Evidentemente el mapeo asociado con una matriz es lineal,
ya que
2 2:
cos sin cos sin
sin cos sin cos
T R R
x x y
y x y
2 2:
cos sin cos sin
sin cos sin cos
T R R
x x y
y x y
2 2:
3 13 / 2 1/ 2 2 2
1/ 2 3 / 2 1 3
2 2
1/ 23 / 2 1/ 2 1 3 / 2 1/ 2 03 / 2ˆ ˆ;0 11/ 2 3 / 21/ 2 3 / 2 1/ 2 3 / 2
T R R
x yx
yx y
Ti Tj
2 2:
3 13 / 2 1/ 2 2 2
1/ 2 3 / 2 1 3
2 2
T R R
x yx
yx y
30 grados
4 2:
1 1 1 2 2
0 1 1 2 2
1 0
1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 1;
0 1 1 2 0 0 0 1 1 2 0 1
0 0
0
1 1 1 2 0 1 1;
0 1 1 2 1 1
0
T R R
x
y x y z t
z y z t
t
0
1 1 2 0 2
0 1 1 2 0 2
1
3 21 0.5 1 :
1 2 0.5 AL R R
A
11 0.5 1 1ˆ 01 2 0.5 1
0
01 0.5 1 0.5ˆ 11 2 0.5 2
0
01 0.5 1 1ˆ 01 2 0.5 0.5
1
A
A
A
L i
L j
L k
3 21 0.5 1 :
1 2 0.5 AL R R
A
1 0.5 1 0.5
1 2 0.5 2 0.5A
x xx y z
L y yx y z
z z
.A B
A B m n
L L
A B
Si y son matrices
y si
entonces
En otras palabras,
si dos matrices dan lugar la mismo
mapeo, entonces son iguales.
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Álgebra de matrices
3. Determinantes
4. Geometría de los vectores
5. Espacios vectoriales
6. Valores propios y diagonalización
7. Transformaciones lineales
8. Espacios euclidianos
S SF
Es una función entre dos
espacios vectoriales y S S
Mapeo entre dos espacios vectoriales y .
A todo elemento del dominio se le asigna un,
y sólo un, elemento del contradominio
Una función es un mapeo de en
:
S S
S
S
F S S
R R
a) Sean y espacios vectoriales sobre un campo .
b) : un mapeo de en .
Un mapeo es lineal si:
Para cualesquiera elementos y en
y cualesquiera y en , se tiene
V W K
F V W V W
u v V
r s K
F ru sv rF u sF
También se les llama HOMOMORFISMOS
v
Transformacioneslineales
Matrices
:
.
Definimos el mapeo
mediante la regla
para todo
n mA
A
n
L K K
L X AX
X K
Toda matriz tiene asociada un mapeo lineal
Transformacioneslineales
Matrices
:
.
Sea
un mapeo lineal.
Existe una matriz tal que
Es decir, que para todo ,
n m
A
n
L K K
A m n L L
X K
L X AX
A todo mapeo lineal se le puede asociar una matriz
1
1
ˆ ; 1,2,..., .
ˆ ; 1,2,..., .
ˆ ˆ; 1,2,..., :
ˆ
ˆ 1,2,3,..., :
ni
mi
nn
i i ii
n
i ii
mi
E i n K
e i m K
E i n K X x E
L X x L E
L E R i n
Sea una base de
Sea una base de
1) Como es una base de
2) Como el mapeo es lineal:
3) Como para 1
ˆ ˆm
i ij jj
L E a e
1 1 1 1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆn n m n m m n
i i i ij j ij i j ij i ji i j i j j
j
i
i
L X x L E x a e a x e a x e
LX AX
A a
Podemos escribir ahora
Por tanto, si definimos la matriz
vemos que
1
ˆ ˆ ˆ1,2,3,..., :
ij
mm
i i ij jj
A a
L E R i n L E a e
LX AX
A
Como para
Definimos la matriz
entonces
Las columnas de la matriz , son los transformados
de los vectores de la base
2: , 2 3
1)
Sea
¿Es un mapeo lineal?
L R R L x y x y
2
21 1 1 2 2 2
: , 2 3
1)
, , ,
, ).
Sea
¿Es un mapeo lineal?
Bueno, es obvio que sí, pero demostremoslo.
Sea dos vectores en
y dos escalares (es decir, elementos de
Por
L R R L x y x y
v x y v x y R
r s K
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
,
2 3
2 3 2 3 , ,
la definición
L rv sv L rx sx ry sy
rx sx ry sy
r x y s x y rL x y sL x y
rL v sL v
2: , 2 3
2)
ˆ ˆ2 1 3 0 2 2 0 3 1 3
. 2, 3 2 3
L R R L x y x y
L i L j
a
xL v a v x y
y
Sea
¿Cuál es la matriz asociada a este mapeo?
Así que el vector es (2,-3).
Es obvio que
3 21 2 3 1 2
11
22
3
: , , ,
1 0 0
0 1 0
1,0,0 1,0 0,1,0 0,1 0,0,1 0,0
En este caso a simple vista se encuentra la matriz
asociada,
Pero ...
Ahora la matriz es
F R R F x x x x x
xx
A xx
x
F F F
A F
1 0 01,0,0 0,1,0 0,0,1
0 1 0F F
2)
3) : :
Propiedades:
1) Ya que
Ya que
Si y son mapeos lineales,
y y
o sea
A B A B
rA A
n m m s
L L L A B X AX BX
L rL rA X r AX
F K K G K K
A F B G
G F X G F X B AX BA X
G F BA
;n mR R
F
V W
Hasta ahora hemos considerado mapeos
lineales de en sin embargo, todos
los conceptos son facilmente generalizables
a mapeos lineales de un espacio vectorial
a otro espacio vectorial de dimens
.nn R
ión
finita, ya que todo espacio vectorial de
dimensión finita es isomorfo a
.
1,2,...,i
V
R
V v i n
V
Sean un espacio vectorial de dimensión
finita sobre los reales
Sea
Base
una base de
1
1 2, ,...,
n
i ii
n
nn
v V v x v
V R
v V x x x R
Si , tenemos que
El espacio vectorial es isomorfo a
bajo el mapeo
:n m
F V W
R R
M F
Usando este isomorfismo,
podemos interpretar un mapeo
como un mapeo de
La matriz asociada
dependerá de las bases elegidas.
:T V V
T V
lineal de dimensión finita
• Se llaman propiedades intrínsecas a las que no
dependen del sistema de coordenadas.
• Si la matriz asociada a la transformación lineal es
diagonal, muchas de estas propiedades pueden ser
descubiertas fácilmente.
2 2:
2 0
0 3
2 0 2
0 3 3
T R R
T A
x xAx
y y
2 2
1 2
2 0:
0 3
2 0 1 2 1 2 0 0 0 0ˆ ˆ2 3
0 3 0 0 0 0 3 1 3 1
T R R T A
Ae Ae
X
Y
Estira el eje en 2
Estira el eje en 3
2 2
2 2
2 2
2 0:
0 3
1
2 3
/ 2 , / 3
14 9
T R R T A
x y
u x v y
x u y v
u v
¿Qué le hace a un círculo de radio 1?
Haciendo el cambio de variable
y
tenemos
T
1
.
,...,
Sea una transformación lineal de en , con
un espacio vectorial de dimensión finita
Si tiene una representación matricial diagonal,
entonces existe un conjunto de elemen-
tos independn
T V V
V n
T
u u
,...,
1,2,3,...,
1
ientes en y correspondientemente
un conjunto de escalares, tales que
para
n
k k k
V
T u u k n
11 22
1
: , ,...,
(dim )
,...,
,...,
1,...,
nn
n
n
k k k
T V V A diag a a a
V n
u u V
Tu u k n
1
lineal con
Entonces siempre existen
linealmente independientes
escalares
tales que
para
1 2
11
22
ˆ ˆ ˆ, ,...,
0 ... 0 0 0 0
0 ... 0 . . .
. . . .
. 1 1
. . . .
0 0 ... 0 0 0
n
iiii
nn
e e e
A
a
a
aa
a
Sea la base respecto a la
cual la matriz es diagonal
ˆ ˆi ii iAe a e
11 22, ,...,ij nnA a A diag a a a
1
.
,...,
,...,1
Sea una transformación lineal de en , con
un espacio vectorial de dimensión finita
Si existe un conjunto de elemen-
tos independientes en y correspondientemente
un conjunto
n
n
T V V
V n
u u
V
1 2
1
1,2,3,...,
, ,...,
,..., .
de escalares, tales que
para
entonces la matriz diagonal
es una representación de relativa a la base
k k k
n
n
T u u k n
A diag
T
u u
1
1
,.
,...,
..,
,...,
1,...,
n
n
k k k
n
u u V
Tu u k n
T
u u
1
la matriz asocia
Si existen
linealmente independientes
escal
da a es diagonal en la base
formada por l
ares
tales que
para
entonc
os vectores
es
: (dim )T V V V n lineal
Se dice que los vectores son los
y los escalares son los .
También se les llama eigenvectores y eigenvalores
respectivamente.
Tambié
vectores propi
n se les ll
os
valo
ama vectores y valores
res propiosk
k
u
caracterís-
ticos
1,2,3,...,para k k kT u u k n
Por lo tanto, el problema de diagonalizar
una matriz se transformó ahora en el
problema de encontrar los vectores y
valores propios de la transformación,
es decir de una matriz.
:
,
Sea un espacio vectorial
Sea un subespacio vectorial de .
Sea una transformación lineal.
Un escalar es un valor propio, si hay
un elemento no nulo en tal que
El elemento se llama v
V
S V
T S V
x S
T x x
x
.
ector propio de
perteneciente a .
El escalar es llamado vector propio
correspondiente a
T
x
0
,
T x x
Aunque el cumple con la ecuación
para todo no se le considera vector propio.
0, ,
T x x T x x
x x x
Si
con
Hay solo un
enton
valor propio para cada vector prop
ces y por tanto,
i
.
=
o
.
:
:
.
T S S
T S S T
U S U S
T U U
T
Sea una transformación lineal de en
lineal
A un subespacio de , ,
se le llama ,
si mapea cada element
invariante bajo
o de en
.
T
T
El subespacio generado
por un vector propio de ,
es invariante bajo
.
U S T
T U U
Un subespacio de se le llama invariante bajo ,
si mapea cada elemento de en
,
x U c
T cx cT x c x
cx U
x y U
T x y T x T y x y x y
x y U
Si y es un escalar
es decir,
Si
es decir,
.
.
U S T
T U U
T
T
- Un subespacio de se le llama invariante bajo ,
si mapea cada elemento de en
- El subespacio generado por un vector propio de ,
es invariante bajo
, : , ,
: , ,
C a b f a b R f a b
D C a b C a b D f f
f
infinitamente diferenciable en
¿Es lineal esta transformación?
Los vectores propios de este operador son todas las
funciones no nulas, que satisfacen la ecuación
exp
f
D
f x c x
Es decir, las funciones propias de , son todas
las funciones de la forma
22
22
d xE x
m dx
0x x a
( 0) 0 ( ) 0x x a
22
22
d xE x
m dx
( 0) 0 ( ) 0x x a
2 22
2
2
2sin
1,2,3,...
n
nE nma
nx x
a a
n
22
2
H E
V Em
1 2
:
, ,...,
,..., ,k
k
V
S V
T S V
u u u T
1
Sea un espacio vectorial.
Sea un subespacio vectorial de .
Sea una transformación lineal.
Sean vectores propios de ,
con valores propios diferentes
entonces los vectores 1 2, ,..., ku u u son
linealmente independientes.
1
11 2 3 4 ...
2
n
i
n ni n
1
11 2 3 4 ...
2
n
i
n ni n
1
1 1 11
2
n
Lo probamos para
¡Es cierto, está probado!
1
11 2 3 4 ...
2
n
i
n ni n
1
11 2 3 4 ...
2
m
i
m
m mi m
Lo suponemos para
1
11 2 3 4 ...
2
n
i
n ni n
1
1
1
1 2 3 4 ... 1
1 2 3 4 ... 1
1 1 21
2 2
m
i
m
i m m
m m
m m m mm
Lo probamos para
1 2
:
, ,...,
,..., ,k
k
V
S V
T S V
u u u T
1
Sea un espacio vectorial.
Sea un subespacio vectorial de .
Sea una transformación lineal.
Sean vectores propios de ,
con valores propios diferentes
entonces los vectores 1 2, ,..., ku u u son
linealmente independientes.
1 1 1
1
1 1 1
1
1.
,
0 0
0
k
Tu u
u
c u c
u
Demostración por inducción:
1) Lo probamos para
Es decir, probamos que si
es linealmente independiente.
implica necesariamente que
ya que
1 2 3 1
-1.
, , ,..., k
k
u u u u
Demostración por inducción:
2) Lo suponemos para
Es decir, suponemos que el
conjunto es
linealmente independiente
1
1 1
.
0
0 1,2,3...,
k
i ii
i
k k
i i i i i i ii i
k
c u
c i k
T c u c T u c u
Demostración por inducción:
3) Lo probamos para
Es decir, queremos probar ahora que si
entonces para toda
Como el mapeo es lineal, tenemos
1
k
i
1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1
1
0
k k k
i i i i i i ii i i
k k k k
i i k i i i i i k i ii i i i
k k
k k k i i i k k k k i ii i
k
i i k ii
T c u c T u c u
T c u c u c u c u
c u c u c u c u
c u
Como el mapeo es lineal, tenemos
así que
1
1
1 2 3 1
0
, , ,...,
0 1,2,..., 1
0 1,2,..., 1
k
i i k ii
k
i i k
i k
i
c u
u u u u
c i k
c i k
Como hemos supuesto que el conjunto
es linealmente independiente
entonces
para
Como se supuso entonces
para
1
0 1,2,..., 1
0
0
0
0
i
k
i ii
k k
k
k
c i k
c u
c u
u
c
para
Regresando a la expresión original
tenemos
y como obligatoriamente
1 2
2
, ,...,
, ,...,1
El inverso del teorema anterior no es válido.
Si tiene vectores propios independientes
, entonces los valores propios
correspondientes no son necesa-
riamente distintos.
Por eje
k
k
T
u u u
0
mplo, para la transformación identidad ,
, todo vector es un vector propio,
pero solo hay un valor propio, el 1.
I
I x x x
dim :V n T V V
n
T n
V
Si , toda transformación lineal
tiene como máximo distintos valores propios.
Si tiene exactamente distintos valores propios,
los vectores propios correspondientes forman una
base de y T la matriz de relativa a esta base es
una matriz diagonal con los valores propios como
elementos diagonales.
n
n
La existencia de es una
condición suficiente, pero no necesaria
para tener una representación diagonal.
Hay transformaciones line
valores propios
valores prop
ales con menos
de diferentes cuya
re
ios
presentación es diagonal.
La existencia de
linealmente independientes es una
condición necesaria y suficiente para
que la transformación lineal tenga
una representación ma
v
t
ectores
ricial d
p
iagonal.
ropiosn
T
: (dim )
0
,
0
0
0
0
lineal
con
Queremos encontrar entonces los valores tales
que la ecuación tenga solución
O sea,
con
T V V V n
Tx x x
Tx x x
Tx x
I T
Tx Ix
x
Ix Tx
x
: (dim ); 0
,
0
lineal, con
Si es la matriz asociada a la transformación
entonces la ecuación
tiene una solución diferente de cero, si y sólo
si, la matriz es singular, es deci
T V V V n Tx x x
A
I
T
x
I A
A x
r, no tiene
inversa, es decir, su determinante es igual a cero
: (dim )
0
det 0
.
lineal,
con
Si es un valor propio de , entonces satisface
la ecuación
Inversamente, si satisface esta ecuación,
entonces es un valor propio de
T V V V n T A
Tx x x
T
I A
T
det
0
det 1 det
matriz la matriz identidad
Definimos la función
Entonces
a) es un polinomio de grado en
b) El término de mayor grado es
c) El término constante, , es
es lla
n
n
A n n I n n
f I A
f n
f
A A
f
mado el polinomio característico de A
dim
:
,
.
V R
V n
T V V T A
T
A
R
espacio vectorial sobre
lineal, y
Los de son las raices del
polinomios característico de la matriz , q
valores
ue
caen e
propi
n
os
dim
:
,
.
V R
V n
T V V T A
T
A
espacio vectorial sobre
lineal, y
Los valores propios de son también
los valores propios de la matriz
Lo mismo se dice de los vectores propios.
Calculo de los valores propios de una matriz 3x3 multiplicidad 1_1.tex
Calculo de los valores propios de una matriz 3x3 multiplicidad 1_2.tex
Calculo de los valores propios de una matriz 3x3.tex
2
de
, ,...,
t
n
f I A
A n n
A
1Sean las raices del polinomio caracterís-
tico de , donde cada raiz está escri
Sea el polinomio caracter
ta tanta veces
como lo ind
ístico de
una
ica su multip
matriz
licidad.
-
1 2
11 1 0
...
...
n
n nn
f
f n
f c c c
Podemos escribir
Como es un polinomio de grado , con primer
coeficiente 1, también podemos poner
-
1 2
11 1 0
0 1 2
0
1 2
... ;
...
1 ...
det
det ...
n
n nn
n
n
n
f
f c c c
c
c A
A
Es claro, que
Pero ya sabíamos que así que
El determinante de una matriz esigual al producto de las raices desu polinomio característico.
1
2
3
1 2
0 0 . ... 0
0 0 . ... 0
0 0 0 ... 0
. .
. . 0
0 0
det ...
n
nA
El determinante de una matriz es igual al productode las raices de su polinomio característico.
1
1 2 1 1 0
1 1 2
... ; ...
...
.
Es claro también, que
A la suma de las raices del polinomio característico de
una matriz, se le llama y se denota como
Así
traz
q
a
ue
tr
n n
n n
n n
n
f f c c c
c
c
A
1 .trA
0
11 1 0
0
det
...
de
de
t
t
n
ii
n nn
f I A
A n n
A
I A
f c c c
c A
Tenemos por definición Tr
Si calculamos explicitamente obtenemos
el p
Sea el polinomio característico de
una matriz
olinomio
con
y 11
1
n
ii
n
n i
i
i
c A
A a
E
nto
tr
nces tr
11 1211 22 12 21
21 22
211 22 121 2 211 2
1) 2k
a aa a a a
a a
a a
a a a a
Lo demostramos para
11 12 1, 1
21 22
1,1 1,2 1, 1
1 20
1
1
2) 1
. . .
.
.
.
. . .
...k
iii
k
k k k k
k k
k
a a a
a a
a a a
a c
Lo suponemos para
11 12 1
21 22
1,1 1,2
1 2
11 12 1
21 22
1,1 1,2 1, 1
-2
. . .
.
.
. . .
. . .
.
.
.
. . .
k
k k
k k kk
k
kk
k k k k
k
a a a
a a
a a
a a a
a a a
a a
a
a a a
terminos en o menor
11 12 1
21 22
-2
1,1 1,2 1, 1
11 2 -2
01
11 1
01
. . .
.
.
.
. . .
...
...
k
kkk
k k k k
kk k k
kk iii
kk k k
ii kk kk iii i
a a a
a a
a
a a a
a a c
a c a a a
terminos en o menor
terminos en o menor
12 -2
01
11 2 -2
01
01
...
... ...
kk k
kk
kk k k k
kk ii kk
k
iii i
a c
c a a a ca
terminos en o menor
terminos en o menor
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos diagonales
Son matrices que representan
la misma transformación, pero
respecto a diferentes bases
y por ello parecen diferentes
1 2
1 2
1 2
1 2
: ; ; dim ; dim
, ,...,
, ,...,
, ,...,
, ,...,
n
m
n
i
n
T V W V n W m
e e e V
w w w W
T A T e T e T e
T e W
w w w
lineal
una base de
una base de
donde los están escritos
en la base
Si usamos bases diferentes
para y para , tenemos
representaciones diferentes
de la misma transformación,
es decir, matrices diferentes.
V W
1 1
1 1
: . ; dim
,..., ,...,
1,2,..., 1,2,...,
n n
e ik u kj
n n
k ik i j kj ki k
T V V T V n
e e u u
A a B b
T e a e T u b u
k n j n
lineal
1
1,2,...,n
j kj kk
kj
kj
u
e
u c e j n
c
C c
n n
Los elementos de la base pueden ser escritos
en términos de los elementos de la base
Los coeficientes constituyen una matriz
que es una matriz no singular (porq
V V
ue
mapea una base de en otra base de )
1 1
1
1
,..., ,...,n n
n
j kj kk
n
E e e U u u
u c e
U EC
Si definimos las matrices
y
cuyos elementos son los vectores de
las dos bases, tenemos que la relación
se escribe matricialmente como
1
1 1
1,2,...,n
j kj kk
n n
j kj k kj kk k
u c e j n
T
T u T c e c T e
Tenemos
Como el mapeo es lineal
1 1
1
1
1
,..., ,...,n n
n
k ik ii
n
j kj kk
n
j kj kk
E T e T e U T u T u
T e a e E EA
T u b u U UB
T u c T e U E C
Definiendo ahora
y
tenemos las siguientes traducciones:
1
1
1 1
1
1
1
1
,..., ,...,
,..., ,...,
n n
n n
E e e U u u
E T e T e U T u T u
U E
U E C EAC
U EC E UC
U EAC UC AC
U UB UC AC
C E EA U UB U E
B C
C
C A
y
y
1 1
1
: dim
,..., ,...,
lineal
Siempre existe , no singular, tal que
y
n n
e ik u kj
T V V T V n
e e u u
A a B b
C
B C AC
U EC
1
.Sean y dos matrices
Si existe una matriz no singular que
las relaciona de la siguiente manera
entonces y representan la misma
transformación lineal
A B n n
C
B C AC
A B
1
.Sean y dos matrices
Si existe una matriz no singular que
las re
SIMILARE
laciona de la siguiente manera
entonces se dice que son
S
A B n n
C
B C AC
n nDos matrices son similares
si y sólo si
representan la misma
transformación lineal
Las matrices similares tienen•El mismo determinante•La misma traza•Los mismo valores propios•El mismo polinomio característico•El mismo polinomio minimal•El mismo rango
1
: ; ; dim
,..., n
T V V V n
T n
V
lineal
Suponemos que el polinomio característico
de tiene raices diferentes (en el campo
correspondiente):
a) Los correspondientes vectores propios
forman una base de
1
1
: ; ; dim
,...,
,...,
n
n
T V V V n
T n
T
u u
lineal
Suponemos que el polinomio característico
de tiene raices diferentes (en el campo
correspondiente):
b) La matriz que representa a , respecto
a la base ordenada ,
,..., n 1
es la matriz
diagonal
=diag
1
1
: ; ; dim
,...,
,...,
n
T V V V n
T n
A T
E e
lineal
Suponemos que el polinomio característico
de tiene raices diferentes (en el campo
correspondiente):
c) Si es la matriz que representa a , respecto
a otra base -1
ne
C AC
C
U EC
, entonces
donde es la matriz que relaciona las dos bases
k
Si los valores propios no son todos
diferentes,no quiere decir que no haya
una representación diagonal.
Tendremos una representación diagonal,
si y sólo si se tienen vectores linealmente
independientes c
.k
on cada valor propio de
multiplicidad
• Calcular todos los valores propios
• Calcular los vectores propios correspondientes
• Formar la matriz C con los vectores propios
• Aplicar C-1AC
•Ejemplo 1
•Ejemplo 2
•Ejemplo 3
det
0
A n n
f I A
f A
Sea una matriz
y
su polinomio característico,
entonces
Ejemplo 1
Ejemplo 2
