presentasi matematika diskrit

7/26/2019 presentasi matematika diskrit

1/44

FAKTORISASI PADA GRAF

REGULAR

Kelompok

91. Amalia Maharani M0112005

2. Isnanto M01120!

". M#ta Ila$ani M0112055

. %ir&ana O'ta'risna P.(. M011205)

5. Soli'hah %o&ita Intan M01120*"


2/44

Graf Graf G adalah himpunan tak kosong berhingga dariobyek-obyek yang disebut vertex bersama denganhimpunan (mungkin kosong) dari pasangan vertexberbeda yang tak berurut dari graf G yang disebutedge.

Faktor Faktor dari graf Gadalah spanning subgraph dari G,jika terdapat i faktor dari suatu graf G maka Gadalah jumlahan (direct sum ) dari faktor-faktor Gidimana Gadalah uniondari edgeyang disjointdanGidisebut faktorisasi dari G

Untuk menentukan faktor-faktor dari suatu graf

dapat dilakukan faktorisasi.

Faktorisas

i

Gra+ r#,-l#r

Latar (#la'an,


3/44

R-m-san Masalah

Bagaimana menentukanfaktorisasi dari graf regular.

Tujuan

Dapat menentukan faktorisasi dari graf

regular.


4/44

D#$nisi

Graf G adalah himpunan tak kosong berhinggadari obyek-obyek yang disebut vertex bersamadengan himpunan (mungkin kosong) dari

pasangan vertex berbeda yang tak berurut darigraf G yang disebut edge. Himpunan vertex dari Gdinotasikan dengan (G) dan himpunan edgedinotasikan dengan !(G)

Graf H adalah subgraf dari graf G jika (H) (G)dan !(H) !(G)

"


5/44

2

3

4

5

6

7

2

3

5

G H

Graf H adalah subgraf dari graf


6/44

H disebut spanning subgraf dari G apabila subgrafH dari graf G memuat vertex yang sama pada G

#

2

3

4

5

6

7

G

2

3

4

5

6

7

H


7/44

Graf dikatakan lengkap (complete) jika setiap duavertex-nya saling adjacent, dinotasikan dengan

"p. #engan p merupakan order dari graf tersebut

$

u - v $alk adalah barisan bergantian antara vertex

dan edge dari G, yang dimulai dari u dan berakhirdi v

%

K

K 2 K 3 K 4

u - v trail adalah u - v $alk yang tidak mengulang

edge

&


8/44

%ycle adalah circuit yang tidak mengulangsembarang vertex

'

%ircuit merupakan u - v trail dimana u & v danmemuat paling sedikit tiga edge

2

3

4

5

6

7

walkdari v1-v4:

{v1v5, v5v3, v3v2, v2v6, v6v4}

traildari v2-v7:{v2v1, v1v5, v5v3, v3v2, v2v6, v6v7}

circuitdari v1-v1:

{v1v2, v2v3, v3v5, v5v1}

cycledari v2-v2:

{v2v6, v6v7, v7v4, v4v2}.


9/44

Hamiltonian cycle adalah cycle dari graf G yangmemuat semua vertex pada G

9

!ulerian circuit dari graf G adalah circuit yangmemuat semua edge pada G. 'uatu graf yangmemiliki !ulerian circuit disebut !ulerian graf

a

e

c

d

f

b

*amiltonian +y+le dari graf

G adalah a, af, f, fe, e, ed, d,

dc, c, cb, b, ba, a.

,ulerian +ir+uit dari graf *

adalah a af f fe e ed d df

f fb b bd d d+ + +b b ba a.


10/44

ntuk r *, graf G & (, !) disebut r-partit jika dapat dipartisi ke dalam r-himpunan sehinggasetiap edge berakhir di himpunan yang berbeda,vertex dalam himpunan partisi yang sama tidak

boleh saling adjacent. ntuk r & * (*-partit)disebut bipartit

"

#egree dari vertex v pada graf G merupakanjumlah edge graf G yang incident dengan vertex v

dinotasikan sebagai deg(v)

U

U2

2

3


11/44

Graf komplit bipartit dengan partisi himpunan +

dan *, dimana + & m dan * & n, dan

dinotasikan dengan "(m, n)

#

U

U2

U3

2

3

Graf Kompit !ipartit K"3, 3#

nion G & G+G*mempunyai (G) & (G+) (G*) dan !(G)

& !(G+) !(G*). ika graf G terdiri dari n dengan n* disjointsalinan dari sebuah graf H, maka dapat ditulis G& nH.

$

U

2

W

W2

X

X2

X3

Gam$ar di samping merupakan

union dari K1 2K2 K"1, 2#


12/44

atching dalam graf G adalah suatu subgraf Gdengan +-regular, dimana subgraf tersebutmerupakan kumpulan dari pasangan edge yangtidak adjecent

&

Graf G adalah regular berdegree r jika untuksetiap vertex v pada G, deg(v) & r, sehingga graf

G disebut juga r-regular

%

ika adalah matching pada graf G dengan setiapvertex di G incident dengan suatu edge pada ,maka disebut perfect matching pada G

ika adalah himpunan tak kosong vertex-vertexdari graf G dan misal persekitaran /()menunjukkan semua vertex dari G yang adjacentdengan sekurang-kurangnya satu anggota .aka himpunan disebut non-de0cient jika /(') ' untuk setiap subhimpunan tak kosong ' dari

'


13/44

1oligon dide0nisikan sebagai objek geometri yangmemuat jumlah vertex dan jumlah edge yangsama, yaitu urutan himpunan vertex secara cycle

pada suatu bidang dengan tidak ada tiga vertexcollinear berturut-turut bersama dengan edge

yang menghubungkan pasangan vertex. 1oligondengan n-vertex dan n-edge disebut n-gon

9

a

b

d

e

g

h

f

Graf %&gon


14/44

'uatu factor dari graf G adalah subgraf merentang(spanning subgraph) dari G (dimungkinkan suatufactor tidak memuat edge

"

2

3

4

5

6

2

3

4

5

6

Graf G Factordari graf G


15/44

ika G+, G*, . . ., Gn (n *) adalah factor daripasangan edge yang disjoint dari suatu graf G,sehingga (Gi) & !(G), maka dapat di tulis G &G+G*...Gn dan dikatakan bah$a G adalah

edge sum dari factor G+,G*, . . .,Gn. !dge sumdisebut factori2ation dari G dalam factorG+,G*,. . .,Gn

"

'uatu r-regular factor dari graf G dikatakansebagai r-factor dari G. aka, graf G mempunyai+-factor jika dan hanya jika mengandung perfect

matching

""


16/44

Graf G dikatakan r-factorable jika terdapat suatufaktorisasi dari graf G menjadi r-factor

"#

2

3

4

5

6

2 3

4

5

6

2 3

4

5

6

2

3

4

5

6

1&'a(tor dari Graf G

Graf G )


17/44

'etiap regular bipartite graph dengan degreeadalah +- factorable.

Bukti.*kan di$uktikan dengan menggunakan induksi matematika pada . +aka,

ter$ukti $enar untuk .*sumsikan $enar untuk setiap regular bipartite graph dengan degree , .

*kan di$uktikan $enar untuk regular bipartite graphdengan degree .+isakan

adaa regular bipartite graph dimana dan adaa impunan partisi dari .

*kan ditun-ukkan adaa non-deficient. +isa adaa subset tak kosong

dari . uma edge dari incident dengan vertex dari adaadan edge-edgeterse$ut -uga incidentdengan vertexKarena adaa r-regular, maka -uma dari

edge-edge /ang $erga$ung dengan dan tidak dapat mee$ii .

T#or#ma 1


18/44

0eingga men/e$a$kan . +aka adaa non-deficient,

seingga dapat dipasangkan dengan subset . Karena adaa

regular dengan degree positif, , seingga mempun/ai 1-factor

/ang dinotasikan dengan . engapusan edge dari asi pada graf

$ipartit adaa regular dengan degree . Dengan ipotesis induktif,

adaa 1&factorable /ang mengaki$atkan -uga 1&factorable.


19/44

onto

Di$erikan graf $ipartit regular dengan degree . *paka graf

terse$ut 1- factorable. !uktikan dengan eorema 2.2.1

Penyelesaian:*sumsikan $aa graf $ipartit regular dengan degree ,

dimana adaa 1&factorable. Di$erikan , dengan partisi dan .

Gam$ar Graf dengan partisi dan


20/44

*kan ditun-ukan $aa adaa non-deficient. +isa adaa

subset tak kosong dari dapat diiat pada Gam$ar 3.2. 0eingga

-uma edge dari /ang incident dengan vertex dari /aitu dan

edge terse$ut -uga incidentdengan vertexdari .

Gam$ar Graf dengan partisi dan

2 3

4

5

6

0

"s#


21/44

Karena tea diketaui adaa r&regularmaka . 8e karena

itu, non-deficient, seingga dapat matched dengansubset. Karena

adaa regular bipartite graphdengan degreepositif dan ,makamempun/ai 1-factor /ang dinotasikan dengan

Gam$ar 'aktor dari Graf

2

3

4

5

6


22/44

engapusan edge dari mengasikan graf $ipartit regular

dengan degree dapat diiat pada Gam$ar 3.4. Dengan ipotesis

induktif adaa 1&factorable /ang mengaki$atkan dengan degree3 -uga 1&factorable.

Gam$ar 3.4 Graf

2

3

4 5 6


23/44

(-'ti. /isalkan diberikan graf "*n untuk n&+

terbukti bah0a "*nadalah -fa+torable. 1iasumsikan

bah0a n * misal (G)&3 v4, v+,. . ., v*n-+5 dan

susun vertex v+, v*,. . ., v*n-+ se+ara melingkar

letakkan v4di pusatnya. 2elanjutnya hubungkan dua

vertex dengan garis lurus sehingga menghasilkangraf "*n. Untuk i&+,*,...,*n-+mende3nisikan +-factor

6i yang memuat edge v4v+ dan edge yang tegak

lurus dengan edge44i kemudian K"n5FF"...

F"n-. 6adi terbukti K"nadalah +-factorable.

2etiap graf lengkap K"nadalah +-factorable

T#or#ma 2


24/44

7entukan faktorisasi dari graf K'berdasarkan 7eorema "

2

3

45

6

7

0


25/44

2

3

45

6

7

0

F58 v4v+ , v*v7 , v8v9 ,

v:v;

2

3

45

6

7

0


26/44

2

3

45

6

7

0

F"

58 v4

v*

, v+

v8

, v:

v7

,

v;v9

2

3

45

6

7

0


27/44

2

3

45

6

7

0

F#58 v4v8 , v+v; , v*v: , v9v7

2

3

4

5

6

7

0


28/44

2

3

45

6

7

0

F$

58 v4

v:

, v+

v7

, v*

v9

, v8

v;

2

3

45

6

7

0


29/44

2

3

45

6

7

0

F%58 v4v; , v+v* , v8v7 , v:v9

2

3

45

6

7

0


30/44

2

3

45

6

7

0

F&58 v4

v9

, v+

v:

, v*

v8

, v;

v7

2

3

45

6

7

0


31/44

2

3

45

6

7

0

F58

v4v7, v+v9, v*v; , v8v:

2

3

45

6

7

0


32/44

2

3

45

6

7

0

K'5FF"F#F$F%F&F

6adi terbukti graf lengkap K'adalah +-

factorable


33/44

/isal G adalah "k regular graf () dan connected.1iketahui sebuah teorema yang menyebutkan bah0a

sebuah graf connecteddisebut !ulerian jika dan hanyajika setiap 4erte:nya memiliki degreegenap. /aka grafG dapat dibentuk suatu !ulerian circuit.

/isal dengan . Ubah setiap vertex 4 denganpasangan ( dan setiap edge dengan edge . *asil graf

bipartit G; yang diperoleh adalah k-regular sehinggadengan 7eorema ".. menunjukkan bah0a graftersebut memiliki -factor. Gabungkan setiap pasangan4erte: ( menjadi single vertex hal ini mengubah -factordari G< menjadi "-factordari G.

2etiap graf regulerdengan degreegenap memiliki "-factor

T#or#ma "


34/44

1iketahui sebuah $ regular graph. 7unjukkanbah0a graf tersebut memiliki "-factor=


35/44

Graf Gadalah graf connecteddengan degreesetiap vertex-nya adalah genap. /aka dapat dibentuk !ulerian %ircuit >.

.

Kemudian ubah semua 4erte:

pada !ulerian %ircuit menjadipasangan 4erte: baru yaitu .


36/44

7erlihat bah0a Graf G< tersebut adalah k regulargraph. /aka menurut 7eorema graf G< memiliki

-factor. *al ini dapat dilihat pada gambar.


37/44

1ari gambar sebelumnya menunjukkan bah0a graf tersebutmerupakan -factor. ?pabila digabungkan untuk setiap

pasangan 4erte: ( menjadi single vertex v maka akanmembentuk graf.

6adi terbukti bah0a $ regular graphmemiliki "-factor.


38/44

ntuk setiap bilangan bulat positif n, graf dapatdifaktorkan menjadi n-Hamiltonian cycle

T#or#ma

Bukti.9ntuk , $ukti tampak dengan -eas. *sumsikan , misa .9rutkan

impunan vertex pada suatu regular &gon au etakkan vertex pada

posisi /ang tepat. Kemudian u$ungkan setiap dua vertex denganse$ua garis urus:edge seingga mengasikan graf . Didefinisikan

impunan edge /ang memuat edge , semua edgeparae ke dan semua

edgeparae . 9ntuk , impunan edgedari faktor /ang memuat edge ,

semua edge parae ke dan semua edge parae ke , di mana indeks

vertexmoduo . adi, graf di mana adaa ;amitonian cycle


39/44

ontoh

7entukan faktorisasi dari graf menggunakan7eorema ".".$=

P#n/#l#saian

.

Urutkan himpunan vertex pada suatu regular-gon.

2

3

4

5

6

7

0

8


40/44

Kemudian letakkan vertex pada posisi yang tepat dan

hubungkan setiap dua vertexdengan sebuah garis lurus@edge

sehingga menghasilkan graf .

Graf lengkap

2

3

4

5

6

7

0

8


41/44

Graf adalah graf dengan sehingga diperoleh .

Berdasarkan 7eorema $ terdapat $ *amiltonian

cycle

dari graf yaitu dan dengan


42/44

2

3

4

56

7

0

8

2

3

4

5

6

7

0

8

2

3

4

5

6

7

0

8

2

3

4

56

7

0

8


43/44

2

3

4

5

6

7

0

8


44/44

Kesimpulan

2etiap regularbipartit graph dengandegree adalah+- factor.

Graf lengkap K"n dengan n bilangan bulat positif

adalah +-factorable

2etiap graf regulerdengan degreegenap memiliki "-factorUntuk setiap bilangan bulat positif n, graf lengkap

dapat difaktorkan menjadi n-Hamiltonian cycle

presentasi matematika diskrit

Documents