presentaciónur iii

MODELOS MATEMATICOS EN ADMINISTRACION

TUTORESP. JESUS ERNESTO FAJARDO RUALES

CORPORACION UNIVERSITARIA REMINGTONESPECIALIZACION EN GERENCIA

INFORMATICASAN JUAN DE PASTO, MAYO DE 2009

TEORIA DE LOS GRAFOS

Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (arcs en inglés) que pueden ser orientados o no. Sus propiedades son estudiadas en la matemática y en la computación.

Matemáticamente podríamos decir que un grafo es una pareja de conjuntos G=(V,A); donde V representa los vértices y A las aristas. Las aristas son un conjunto de la forma (u,v) tal que:

u, v є V y u ≠ v

En lo cotidiano un grafo sirve para representar redes eléctricas, redes de alcantarillado, las rutas que interconectan diferentes ciudades en un mapa, etc.


DEFINICIONES: Matriz de incidencia: Es una matriz binaria donde cada

columna representa una arista y cada fila representa un vértice. Si existe una arista que une a un nodo se coloca un “1” en caso contrario se coloca un “0”. Ej: Determinar la matriz de incidencia del siguiente grafo:


3

4

6

1

2

5e g

a

bc

d h

Matriz de adyacencia: Es una matriz binaria donde las filas y las columnas contienen los nodos o vértices de un grafo. Si dos vértices se conectan entre sí se agrega un “1” a la matriz, en caso contrario se agrega un “0”. Ej: determine la matriz de adyacencia para el siguiente grafo.


A

B

D

C

E

Lazo o bucle: Es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.

Grafo No dirigido: Es un grafo propiamente dicho de forma que G={V,A}.

Grafo dirigido: También llamados Dígrafos, son grafos en donde las aristas tiene una dirección o sentido; es decir, dado el par de aristas entre los nodos {A,B} se dice que A es un nodo inicial y B un nodo terminal.


A BB A

GRAFODIGRAFO

Sub grafos: Se dice que un grafo G contiene a otro grafo H si algún sub grafo de G es H o es isomorfo a H.


a

f

b c

d

e

c

f

a

e

d

GRAFO 1 GRAFO 2

Ciclos y caminos Hamiltonianos: Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un ciclo hamiltoniano tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).

Por ejemplo, en un museo grande lo idóneo sería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas los corredores o puertas entre ellas).


Grafos ponderados: Son aquellos grafos donde sus aristas tiene un valor asociado el cual representa distancias, pesos, costos, etc., se utilizan mucho en problemas de optimización como el modelo del agente viajero o el de la ruta mas corta (Dijkstra).


ALGUNOS TIPOS DE GRAFOS IMORTANTES

Grafo nulo o vacío: Es aquel que no tiene ni vértices ni aristas.

Grafo trivial: Aquel que solo tiene un vértice y ninguna arista.

Grafo simple: Aquel que no tiene bucles.

Grafo completo: Es un grafo simple en el que cada par de vértices están unidos por una arista, es decir, contiene todas las posibles aristas.

Grafo bipartito: Es un grafo donde sus vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos V1 y V2, y las aristas siempre unen vértices de un conjunto con vértices del otro conjunto. Para que un grafo sea bipartito debe cumplir lo siguiente:


1. V1 U V2 = V

2. V1 ∩ V2 = 0

3. X1,X2 V1, Y1,Y2 V2; no existe una arista A=(X1,X2) y A=(Y1,Y2).

Grafo bipartito completo: Es un grafo bipartito en el que todos los vértices de V1 están conectados a todos los vértices de V2 y viceversa.



Grafo bipartito completo 3,1



Grafo plano: Es aquel que puede ser dibujado en el plano cartesiano sin cruce de aristas.

Grafo conexo: Un grafo es conexo si dado un par de vértices A y B existe al menos una ruta de A hacia B. En dicha ruta NO debe repetirse un vértice.

Grafo fuertemente conexo: Aplica solo a grafos dirigidos o dígrafos y es aquel dígrafo en donde dado un par de vértices A y B, existe un camino de ida y un camino de regreso.


Árbol: Es un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos o vértices. Los árboles tienen exactamente n-1 aristas, y hay nn-2 árboles posibles.


Grafos Homeomorfos: Dados dos grafos G1 y G2, se dice que son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir de un mismo grafo por una sucesión de subdivisiones elementales de aristas.


G1G2 G3

Grafos Isomorfos: dos grafos son isomorfos si existe una correspondencia uno a uno entre los vértices de los grafos tal que para todo par de vértices que son adyacentes en un grafo si y solo si el correspondiente par de vértices son adyacentes en el otro grafo.


Grafos Eulerianos: Son aquellos grafos que admiten un ciclo euleriano. Un cliclo euleriano es aquel camino que recorre todos los vértices del grafo pasando una y solo una vez por cada arista, siendo como condición necesaria que el vértice de inicio sea el mismo de llegada.


1

5

6

34

2

APLICACIONES DE LOS GRAFOS

Teorema de los cuatro colores: ¿Cuántos colores son necesarios para dibujar un mapa político con la única condición de que dos países adyacentes no deben tener el mismo color?


EL PROBLEMA DE LOS PUENTES DE KÖNISBERG

Es un famoso problema matemático resuelto por Leonhard Euler en 1736, y se dice que con su resolución nace la teoría de grafos.

Problema: Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?


Hallemos el grafo asociado al problema de los 7 puentes.


A

ISLA

B

C

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto regresando al punto de partida por caminos distintos en todo momento). En teoría de los grafos esta idea se corresponde con la posibilidad de encontrar un Ciclo Euleriano en un grafo.


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