presentacion_grafos y dígrafos de hamilton

8/12/2019 Presentacion_Grafos y Dgrafos de Hamilton

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Grafo de Hamilton

Origen de los grafos hamiltonianos Sir Willian Hamilton 18051865

Problema del viajante.

Grafo de Hamilton

El juego consista pues, en encontrar unciclo de Hamilton en el grafo de lasiguiente figura.


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Camino Hamiltoniano: Sea G= (V;E) un grafo con|V|=n, sin vrtices aislados. Recibe el nombre decamino de Hamilton en G todo camino elementalde G que contiene todos sus vrtices.

Ciclo Hamiltoniano: un G contiene un ciclo deHamilton si existe un ciclo que contenga a todos losvrtices de v, y en ese caso se dice que G esHamiltoniano.

Un grafo es Hamiltoniano,si y solo si existe un ciclode Hamilton.

Grafo de Hamilton


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Un grafo es semi hamiltoniano

si y solo si existe un camino no un cicloque pasa uno y solo una vez por cada

uno de los vrtices.

Grafo de Hamilton


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Ejemplo 1

Camino Hamiltoniano: no haycamino Hamiltoniano

Ciclo Hamiltoniano: no hay

porque no hay caminoHamiltoniano

No es un Grafo Hamiltoniano

V2V8

V1

V6

V7

V4

V5

V3

Grafo de Hamilton


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Ejemplo 2

Camino Hamiltoniano

V6V3V2V4V5V1

Ciclo HamiltonianoNo hay porque hay un vrticeaislado

NO ES GRAFO HAMILTONIANO

Grafo de Hamilton

v2

v3

v5

v1

v4

v6


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Ejemplo 3Camino HamiltonianoV6V3V2V4V5V1

Ciclo Hamiltoniano

V6V3V2V1V5V4V6

Es Grafo Hamiltoniano

Grafo de Hamilton

v3

v5

v1

v4

v6

v2


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Ciclo de HamiltonObviamente, siGno es conexo no puede poseer un ciclo de Hamilton.

No se conocen condiciones necesarias y suficientes para la existencia de cicloshamiltonianos.

Si se conocen teoremas que dan condiciones suficientes para la existencia deciclos hamiltonianos.

Hay propiedades para demostrar que un grafo no contiene un ciclo

hamiltoniano (Ej: grafo con vrtice de grado 1).

Un ciclo hamiltoniano no puede contener un ciclo mas pequeo dentro de el.

NOTA:

Ambas aristas de un vrtice de grado 2 tienen que formar parte del ciclo

hamiltoniano .

Al pasar por un vrtice pueden descartarse todas las aristas incidentes con elque no sean las usadas en el ciclo.

Grafo de Hamilton


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Teorema

(Gabriel A. Dirac en 1952)Si G es un grafo simple con nvrtices (n 3) es hamiltoniano si para todo vrticev(G) se cumple que g(v) ( n/2),

entonces el grafo es Hamiltoniano.

Grafo de Hamilton

V2

V1

V5

V4

V6v3


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Sea G=(V,A) con |V|=n la clausura de G estadenotada C(G). Es el grafo simple obtenido de

G, uniendo con aristas de forma recursiva, todoslos pares de vrtices de G no adyacentes cuyasuma de grados sea al menos n.

Si v1y vjson vrtices no adyacentes en G, tal queg(v

1) + g(v

j) n entonces trazamos todas las

aristas que une a los pares de vrtices v1 y vjhasta agotar todos estos pares.

Grafo de Hamilton

CLAUSURA


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EJEMPLO 5:

g(v2) + g(v6) = 6 6Por lo tanto aadimos la arista (v2, v6)Llamamos (G1) al nuevo grafo

g1(v6) + g1(v5) = 6 6

Por lo tanto aadimos la arista (v6, v5)Llamamos (G2) al nuevo grafo.

g2(v3) + g2(v5) = 7 6Por lo tanto aadimos la arista (v3, v5)Llamamos (G3) al nuevo grafo.

g3(v3) + g3(v1) = 6 6


g4(v4) + g4(v1) = 7 6Por lo tanto aadimos la arista (v4, v1)Llamamos (G5) al nuevo grafo.

g5(v1) + g5(v6) = 8 6


Grafo de Hamilton

V3

V2

V1

V5

V4

V6


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No existen mas paresde vrtices quecumplan la condicin,entonces G6 es la

clausura del grafoC(G) = G6.

Nota: en este caso laclausura es el grafocompleto K6.

V3

V2

V1

V5

V4

V6

Grafo de Hamilton


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En consecuencia de la definicin de clausura,

tenemos.

Teorema.

Como Knpara n 3 es un grafo de Hamilton.

(un G es de Hamilton si y solo si su clausura esun grafo de Hamilton)

Teorema:

Sea un G=(V, A) un grafo con |V|=n 3

Si C(G) = Kn entonces G es un grafo deHamilton.

Grafo de Hamilton


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La clausura de un grafo no dirigido G es

siempre un grafo completo?

No, por ejemplo la clausura de G.

v1

v5

v4v3

v2 Es el propio grafo G

Grafo de Hamilton


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Teorema de (Oystein Ore en 1960)

Sea G un grafo simple de n vrtices. Si paratodo par de vrtices u v no adyacentes se

cumple que g(u)+g(v) n, entonces G esHamiltoniano.

Grafo de Hamilton

v4

v6

v5

v1

v2

v3


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Consideraciones acerca de

los grafos Kn

Kn posee (n-1)! /2 ciclos de Hamilton. Estaafirmacin puede ser cierta al comenzar el

ciclo desde el primer vrtice v1, se tiene n-1aristas para escoger y llegar al vrtice v2. apartir de n-2 podemos llegar a v3. a partir de n-3. hasta llegar a n vrtices.

El numero total de ciclos de Hamilton es (n-1)!/2

Grafo de Hamilton


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Ejemplo 6

v1

v3

v2

v4

(n-1)!/2

(4-1)! / 2 = 3!/2= 6/2 =3 ciclos.

(n-1)= (4-1)=3 llegamos hastav2.


(n-3)= (4-3)=1 llegamos hasta

v4.


Grafo de Hamilton


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(n-1)!/2

(4-1)! / 2 = 3!/2= 6/2 =3 ciclos.





v2v1

v4 v3

Grafo de Hamilton


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DIGRAFOS DE HAMILTONSea D un dgrafo. D se llama Dgrafo De

Hamilton, si en D existe un circuito simplecobertor; dicho circuito se llama Circuito

Hamiltoniano.Como en el caso de los grafos Hamiltonianos

no existe ninguna caracterizacin de losdgrafos de Hamilton.

Las condiciones suficientes que existen paraque un dgrafo sea de Hamilton son anlogas alas representadas para grafos de Hamilton.

Dgrafos de Hamilton

f d ilt


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El siguiente teorema que a continuacin

presentamos sin demostrarlo, fuedemostrado por bondy y Thomassen,ofrece una condicin suficiente para queun dgrafo sea de Hamilton.

Teorema: sea D un dgrafo fuertementeconexo con |V(D)|= n. Tal que paratodo par de nodos no adyacentes u y v

g(u) + g (v) 2n - 1, Entonces D es undgrafo de Hamilton.

Dgrafos de Hamilton


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El siguiente dgrafo nos muestra que la condicin

del teorema anterior es una condicin fuerte.

Para los vrtices u y v no-adyacentes se cumpleque G(u) + g (v) = 2n2.

Por lo tanto el dgrafo no es un dgrafo de Hamilton

u

v

Dgrafos de Hamilton


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Del teorema, se obtiene un gran nmero de

consecuencias de las cuales destacamos las siguientes:

1. Sea D un dgrafo con |V(D)| = n, n > 1, tal quesiempre que u y v diferentes y el arco (u, v) A(D).Entonces + (u) + g (v) n, se tiene que D esHamiltoniano.

Demostracin. Primero demostremos que la condicinen 1 implica que D es fuertemente conexo. Sean u y vdos nodos de V(D), veamos que v es accesible desde u.si (u, v) A (D), por hiptesis debe existir un nodo w enV(D) con w u, w v, tal que los arcos (u, w) y (w, v)

estn en A(D). puesto que los nodos uwv, constituyenun camino en D y v es accesible desde u, se tiene queD es fuertemente conexo.

Dgrafos de Hamilton


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Para completar la demostracin, aplicamos el

teorema, Sean u y v dos nodos no adyacentes deV(D) entonces:

+ (u) + (v) n y +(v) + (u) n , entonces

(u) + (v) 2n. , entonces, de donde seconcluye que el Dgrafo es Hamiltoniano.

Dgrafos de Hamilton

u

v


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Un dgrafo D posee un camino Hamiltonianose llama DIGRAFO SEMI-HAMILTONIANO.

Un dgrafo D se llama CONEXOHAMILTONIANOsi D posee un camino simple

CS : (U---->V).Es claro que todo dgrafoconexoHamiltoniano es un dgrafoHamiltoniano.

Una condicin suficiente para que un dgrafoD con |V (D)|= n , sea conexo Hamiltoniano es la siguiente :

Dgrafos de Hamilton


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TEOREMA: sea D un dgrafo trivial con n

nodos , tal que para todo par de nodosdiferentes u y v con (u, v ) A(D), + (u) +

(v) n + 1. Entonces D es conexo-Hamiltoniano.

EJEMPLO 7

Dgrafos de Hamilton

u v


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DETERMINACION DE LOS CIRCUITOS DE

HAMILTON DE UN DIGRAFO

Sea un dgrafo simple con |V(D)| 2.

Encontremos todos los subconjuntos de arcos

B de A(D) tales que: En el subconjunto H de D con A(H) = B. todo

nodo tiene exactamente un predecesor y unsucesor.

Un subdgrafo H es fuertemente conexo. Llamemos M al conjunto de todos

subconjuntos de A que satisfacen estascondiciones.

Dgrafos de Hamilton


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Denotaremos M el conjunto de todos los

subconjuntos de A que satisfacen lascondiciones.

Si el dgrafo el fuertemente conexo y que|V(D)|=2, entonces M={A}.

Si |V(D)|> 2, podemos descomponer elproblema de la siguiente manera.

Sea u A(D) y sea Mu={B M: u B}. Estesubconjunto lo podemos determinar as.

Dgrafos de Hamilton


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DETERMINACION DE MuSean v1 el nodo inicial y vj el nodo terminal dearco u. entonces definimos la contraccin deD con respecto a u como dgrafo Du

obtenido al realizar las siguientesoperaciones.

a. Suprimimos todos los arcos que incidenpositivamente en v1 y los arcos queinciden negativamente en vj y el arco (vj,vi) si existe.

b. Fusionamos los nodos v1 y vj.

Dgrafos de Hamilton

f d il


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EJEMPLO 8

1

4 3

25

h

i

fb

cd

e

gj

a

5 12

34

c

h

g j

e

df

Dgrafos de Hamilton

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