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𝟐𝒙𝟐+𝟓 𝒚𝟐+𝟒𝒙𝒚 +𝟐𝒙− 𝒚−𝟏𝟗𝟒
=𝟎
(𝒙 ,𝒚 ) [𝟐 𝟐𝟐 𝟓] [𝒙𝒚 ]+𝐱− 𝐲−𝟏𝟗𝟒 =𝟎
Hallando valores propios
[𝟐−𝝀 𝟐𝟐 𝟓−𝝀 ]
Igualando el determinante a cero
(𝟐−𝝀 ) (𝟓−𝝀)−𝟒=𝟎𝝀𝟐−𝟕𝝀+𝟏𝟎−𝟒=𝟎
𝝀𝟐−𝟕𝝀+𝟔=𝟎(𝝀−𝟔 ) (𝝀−𝟏 )=𝟎𝝀=𝟔 𝒚 𝝀=𝟏Hallando vectores propios
𝝀=𝟔 = −𝟒 𝟐
𝟐 −𝟏|𝟎𝟎Escalonando el sistema−𝟒 𝟐𝟎 𝟎|𝟎𝟎 −𝟒 𝒙+𝟐 𝒚=𝟎
𝒚=𝜶
𝒙=𝟏𝟐𝜶
(𝒙 ,𝒚 )=𝜶 (𝟏𝟐,𝟏)Recuerde trabajar con enteros𝒔𝒊𝜶=𝟐⇒𝒗𝟏=(𝟏 ,𝟐)
Hallando vectores propios
𝝀=𝟏 = 𝟏 𝟐
𝟐 𝟒|𝟎𝟎 Escalonando el sistema𝟏 𝟐𝟎 𝟎|𝟎𝟎 𝒙+𝟐 𝒚=𝟎
𝒗𝟐=𝜶 (−𝟐 ,𝟏)𝒚=𝜶𝒙=−𝟐𝜶
La matriz de transformación:𝑷=[𝟏 −𝟐𝟐 𝟏 ]
Donde cada columna es un vector propio, además se observa que es una matriz ortogonal
La matriz
debe ser ortonor
mal
Volviéndola normal:𝑷 ∗=[ 𝟏√𝟓 −𝟐
√𝟓𝟐√𝟓
𝟏√𝟓 ] Ahora es
ortonormal
La ecuación inicial debe ser modificada por:(𝒙 ,𝒚 )=𝑷 ∗(𝒙∗
𝒚∗)𝒙=
𝟏√𝟓
𝒙∗−𝟐√𝟓
𝒚∗
𝒚= 𝟐√𝟓
𝒙∗+ 𝟏√𝟓
𝒚∗
𝟐𝒙𝟐+𝟓 𝒚𝟐+𝟒𝒙𝒚 +𝟐𝒙− 𝒚−𝟏𝟗𝟒
=𝟎
𝟐( 𝟏√𝟓
𝒙∗−𝟐√𝟓
𝒚 ∗)𝟐
+𝟓( 𝟐√𝟓
𝒙∗+ 𝟏√𝟓
𝒚∗)𝟐
+𝟒 ( 𝟏√𝟓
𝒙∗−𝟐√𝟓
𝒚∗)( 𝟐√𝟓
𝒙∗+ 𝟏√𝟓
𝒚∗)
El centro de coordenadas dela Elipse es el punto de traslación
𝑷 ∗=[ 𝟏√𝟓 −𝟐√𝟓
𝟐√𝟓
𝟏√𝟓 ] En la matriz de transformación el primer
vector muestra el ángulo de rotación de las coordenadas
( 𝟏√𝟓 , 𝟐√𝟓 )=(𝑪𝒐𝒔 𝜶 ,𝑺𝒆𝒏𝜶 ) 𝑻𝒈𝜶=𝟐≅𝟔𝟑 .𝟒𝟒
x
y
𝒙∗
𝒚∗