Christian Alejandro Vera AlatristaMEDIDAS ELECTRICAScvera@tecsup.edu.peOBJETIVOS GENERALES Desarrollar criterios para seleccionar instrumentos de medicin, segn requerimientos. Aplicar tcnicas y mtodos de medicin para evaluar un sistema elctrico.OBJETIVOS ESPECIFICOS Aplicarconocimientosdefasores, usandoclculoyherramientas modernas paraanalizar yevaluar loscircuitos trifsicos. Realizar pruebas y mediciones elctricas, analizandoe interpretando sus resultados para sugerir mejoras enlos sistemas elctricos. Evaluar la calidad de energa de una instalacinelctrica utilizando los instrumentos apropiados.Este curso aporta al logro de los siguientes resultados de la carrera: Los estudiantes trabajan concalidad, seguridad y actan conprincipios ticos. Los estudiantes disean, implementan y optimizan sistemaselctricos utilizando sus conocimientos de instalaciones elctricasy sistemas de potencia, aplicando tcnicas y herramientasmodernas. Los estudiantes aplicanmatemtica, cienciay tecnologaeneldiseo, instalacin, operacin y mantenimiento de sistemaselctricos. Los estudiantes conducen pruebas y mediciones, analizan einterpretan sus resultados para evaluar y mejorar sistemas. Los estudiantes trabajan eicazmente en e!uipo.SISTEMA DE EVALUACION Nota Final = 0.30 PA + 0.40 PB + 0.30EDonde: PA = promedio de las prcticas de aula. PB = promedio de las prcticas de laboratorio. E = exmen.APROBADO:Nota Final 11 6UNIDAD IANLISIS FASORIAL DE LA CORRIENTE ALTERNA7INTRODUCCINLa corriente y tensin alterna tienen forma sinusoidal, por loque deben ser estudiadas como tales, empleando diferentesherramientas matemticas, tales como el anlisis fasorial (ovectorial) y los nmeros complejos.Figura N 1: Onda alterna) ( . = t sen Um U8Donde :U: valor instantneo de la sinusoide.Um: Valor mximo o amplitud de la sinusoide.: ngulo de desfase respecto al origen.: Pulsacin o frecuencia angular medida en radianes por segundo.t: Tiempo de la pulsacin.t: ngulo recorrido en un tiempo t.Por ser una funcin peridica, tendr un periodo T, queser el tiempo que demora la onda completa en recorrer unngulo de 360. 2 = T 2= TLa onda mostrada tiene una frecuencia (50 o 60 Hz), estafrecuencia se define como la inversa del periodo, segn lassiguientes expresiones921= =Tf f . 2 =Esta ltima relacin es muy importante, ya que nos permitecalcular la pulsacin de la onda cuando se conoce lafrecuencia. En el Per la frecuencia es 60 Hz y la pulsacincorrespondiente ser 377 rad/seg.REPRESENTACIN FASORIAL (VECTORIAL) DE UNA SINUSOIDE10Figura N 2: Obtencin y grfica de una curva senoidalFigura N 3:Relacin entre la grfica y el diagrama vectorial11El vector U puede representar a la tensin o corriente en undeterminadocircuito, por consiguientetodosgirarnalamisma velocidad y sus posiciones relativas se mantendrninalterables, conservando su ngulo de desfase.12Figura N 4:Intensidad y tensin desfasada.REPRESENTACION VECTORIALTodo lo que sigue se refiere a corrientes alternas senoidalesque tienen la misma frecuencia.13Figura N 5. Representacin vectorialde3 tensiones de c.a. desfasadas. La representacin vectorial, exclusiva de lasfunciones senoidales permite una considerablesimplificacin en el proceso de obtencin de la resultantede varias c.a. de la misma frecuencia. En la figura 6 se muestra la resolucin grfica de la sumadelas 3tensiones delafigura5. Vectorialmente, lasuma se efecta uniendo, sucesivamente, el extremo deunvector conel origendel siguiente; obtenindoseelvector resultante al unir el origen el primero con elextremo del ltimo. Figura 6 a). Conocidoel mdulo, V, yel argumento, , del vectorsuma, resulta inmediato el paso a la representacincartesiana correspondiente.14(Figura 6 b). Los mdulos de los vectores puedenrepresentarvaloresmediosomximos, enlugardeloseficaces, siempre que se siga el mismo criterio para todosellos.15Figura N 6. Suma vectorial de 3 tensiones de c.a.En la representacin vectorial, el desfase en retrasocorresponde al sentido que siguen las agujas del reloj y eldesfase en adelanto al sentido contrario.16Figura N 7. V1est adelantado 135 respecto a V0.CASOS PARTICULARESLa figura 8 representa dos tensiones senoidales en fase. Laresultante de ambas equivalea su suma aritmtica.17Figura N 8. La resultante de dos tensiones en fase equivale a su suma aritmtica.Lafigura9representados tensiones desfasadas entresmedio periodo, es decir, 180 o radianes. En tal situacinse dice que ambas se encuentran en oposicin y suresultante es la diferencia aritmtica.18Figura N 9. La resultante de dos tensiones en oposicin equivale a su diferencia aritmtica.Figura N 10. V2 y V3 estn retrasadas y adelantada, 90 respecto a V119FASORES4.1OPERADOR COMPLEJO JEl estudio de los nmeros complejos comienza a travs delestudio de las ecuaciones cuadrticas, y con el tiempodescubrimos que la solucin a ciertas ecuaciones como x2+4=0requera la introduccinde unnuevotipodenmeros:20x= 4 = j2,donde:j = 1El operador j define a los nmeros complejos, ymultiplicado por un nmero real, lo desplaza 90 hacia otroeje, llamado complejo, luego el plano complejo estarformadopor dos ejes, el ejereal (correspondientealasabsisas) y el eje imaginario o complejo (correspondiente alas ordenadas).4.2PLANO COMPLEJO.Todos los nmeros se pueden representar como puntos enun plano complejo, como se muestra en la figura 11. El ejehorizontal representa los nmeros reales y el eje vertical losimaginarios (acompaados por el operador j). En la figura11 se muestran dos nmeros complejos, z1 y z2, cada unode los cuales tiene los componentes real e imaginario. Engeneral, podemos establecer que un nmero complejo tieneuna parte real y otra imaginaria.z = x + jy21Figura N 11. Un nmero complejo se puede representar mediante un punto en el plano complejo22FORMAS DE REPRESENTAR UN FASORUn fasor puede representarse matemticamente en el planocomplejo de tres formas diferentes:- Forma cartesiana:23jy x Z + =- Forma polar o trigonomtrica: sen jZ Z Z Z . cos . + = =-Forma exponencial: je Z Z . =Donde: jsen ej+ = cosFigura N 11. Representacin de un fasor.24Se puede hacer conversiones en la forma de representar unfasor de una a otra forma:- De la forma cartesiana a la forma polar:25De jy x Z + = ) (2 2y x Z + =) (xyarctg = y se obtiene: = Z Z- De la forma polar a la forma cartesiana:De = Z Z cos . Z x = y sen Z y . =se obtiene:jy x Z + =FASOR CONJUGADO:Se obtiene el conjugado de un fasor cambiando el signo delngulo, o de la parte imaginaria, por ejemplo, dado el fasor:26jy x Z + =o = Z ZEl conjugado sera:jy x Z = *O tambin: = Z Z*Figura N 12. Conjugada de un fasor.OPERACIN CON FASORESSUMAY RESTAUna primera (y afortunada) aproximacin al lgebra de losnmeroscomplejosconsisteenusar el lgebraordinaria,cuandosumamosnmeroscomplejos, sumamoslaspartesreales y las partes imaginarias por separado, considerando lasiguiente expresin general:271 11jy x Z + =y2 22jy x Z + =) ( ) (2 1 2 12 1y y x x Z Z + = Tomando los fasores de la figura 11 tenemos:z1 + z2 = (2 + j3) + (-4 j5) = (2 + 4) + j (3 + 5) = 5 + j9.Y de manera similar para la rest.:z1+z2 = (2+j3) + (-4 j5) = (2 4) + j(3 5) = - 2 j2.Entonces, los nmeros complejos se suman y restan comovectores en un plano.Si sesumanorestannmeros complejos bajolaformapolar, primero se tendr que convertir a la forma cartesiana,operar y luego volverse a convertir a la forma polar, o hacerla operacin en forma grfica.MULTIPLICACIN Y DIVISINSe emplea preferentemente en la forma polar, segn la siguiente expresin general:281 1 1 = Z Z2 2 2 = Z ZMultiplicacin:) ( . .2 1 2 1 2 1 + = Z Z Z ZSi sesumanorestannmeros complejos bajolaformacartesiana, primero se tendr que convertir a la forma polar,operar y luego volverse a convertir a la forma cartesiana, oconsiderar las siguientes expresiones:29Ejemplo: = 30 201Zy = 60 52Ztenemos: = + = 90 100 ) 60 30 ( 5 * 20 .2 1Z ZDivisin:) ( .2 1212 21 121 ==ZZZZZZEjemplo: = 45 301Z y = 60 52Ztenemos: ) 105 ( 660 545 3021 = =ZZ30Multiplicacin:1 11jy x Z + =y2 22jy x Z + =) . . ( ) . . ( .2 1 2 1 2 1 2 12 1x y y x j y y x x Z Z + + + =Divisin:22222 1 2 122222 1 2 121. . . .y xy y x xjy xy y x xZZ++++=POTENCIA Y RAICESSe prefiere la forma polar o la exponencial:Potencia:.. .jn n nne Z n Z Z = =Raz:nqjn n ne ZnqZ Z. 2... 2 +=+ =donde q= 0, 1, 2, 3,(n-1)Algunos ejemplos. Aqu hay dos ejemplos adicionales delmanejo de nmeros complejos, los cuales proporcionanprctica y muestran algunos nuevos principios.31Observequelaconjugacincomplejaslosecambiaelsigno del ngulo. Determine z, donde z3= -1 + 1j0.5CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNAMONOFSICOSEneste tema se analizanalgunos circuitos de c.a. quecontienen componentes pasivos, es decir, resistencias,condensadores ybobinas. Juntoalosesquemas deloscircuitos, aparecen las correspondientes representacionescartesiana y vectorial de tensiones y corrientes.CIRCUITO CON RESISTENCIA PURASe trata de un circuito, alimentado con c.a., en el que existeuna resistencia hmica pura. La intensidad que lo recorreest en fase con la tensin aplicada.El valor de la corriente se halla aplicando la ley de Ohm.32RVI =33Figura N 13. Circuito con resistencia pura.CIRCUITO CON AUTOINDUCCION PURAEs un circuito ideal, que presenta, exclusivamente, efectodeautoinduccindesprovistoderesistenciahmica. Laintensidad se encuentra retrasada 90 respecto a la tensinde c.a. aplicada.El valor de la corriente es:3435Figura N 14. Circuito de autoinduccin pura.CIRCUITO CON CAPACIDAD PURA"suncircuitoideal, compuestoe#clusivamentedecapacidadpura, laintensidadest$%&adelantadacon respecto a la tensin de c.a. aplicada. "l valor dela corriente del circuito de la igura es'3637Figura N 15. Circuito de capacidad puraCIRCUITOS COMPUESTOSConocidas las relaciones de fase entre tensin y corriente,paralaresistencia, autoinduccinycapacidadpura, seestudiarnlas queexistenencircuitos compuestos porvarios elementos pasivos.En tales circuitos, habr diversas tensiones y/o corrientesque no podrnsumarse o restarse aritmticamentecomo en los circuitos de c.c. pues, en general, no estarnen fase y debern componerse vectorialmente.Aunque aqu slo se habla de la c.a. sinusoidal, esfrecuente, enloscircuitoselectrnicos, lapresenciadeotras formas de onda como la cuadrada, triangular, etc.3839CIRCUITO R, L, C SERIEAl dibujar un diagrama vectorial, el origen de fases se eligea voluntad. En la siguiente figura 16 se ha tomado como tallafasedelaintensidad, por ser stacomnatodosloscomponentes.Figura N 16. Circuito R, L Serie.La cada de tensin en la resistencia queda en fase con laintensidad, mientraslascorrespondientesalabobinayelcondensador estn 90 en adelante y 90 en retraso,respectivamente, lo que supone encontrarse en oposicin.Restando los valores de VLy VC se obtiene una resultante,que en el caso de la figura 16, se ha superpuesto de carcterinductivo, ydicharesultantesecomponevectorialmentecon VR para obtener la tensin V en bornes del generador.La oposicin que un circuito de c.a. en general, presenta alpaso de la corriente se conoce con el nombre deimpedancia y se representa por la letra Z, siendo funcinde la frecuencia. Se mide en ohmios.4041 sen Z X X Z R X X R ZC L C L ; cos ; ) (2= = + =RX XarctgC L= Figura N17. Diagrama obtenido al dividir el tringulo de tensiones por I.Laimpedancia, queaunafrecuenciadadapresentauncircuito de c.a. no queda definida nicamente por su valoren ohmios, es necesario conocer, adems, el valor ysentido del ngulo correspondiente al desfase entretensin y corriente que en ella se produce.42"(")*L+,alcular la impedancia, intensidad y tensionesparciales en el circuito de la igura -..43Figura N 18. Circuito para el clculo de tensiones parciales y corriente.44/l ser 0, 1 0L, el circuito tiene carcter capacitivo."n estas condiciones el ngulo resulta negativo.45 48 . 2020628 . 109 34 . 32 === arctgVV VarctgRC LEl diagrama de tensiones se muestra en la figura 19.46Figura 19. Diagrama de tensiones.CIRCUITO R, L, C PARALELOEn el caso de la figura 20, se ha tomado como origen defases la tensin, por esta comn a los tres componentes. Enrelacin con dicha tensin, IR est en fase, en tanto que ILe IC quedan 90 en adelanto, respectivamente, resultandoambas en oposicin entre s. La diferencia IL IC dar unaresultante, queenesteejemplosehasupuestoinductivapor predominio de IL, lo que significa que dicha resultanteestar 90 retrasada respecto a la tensin.4748Figura N 20. Circuito R, L, C paralelo.49La suma vectorial de (IL- IC) conIRser laintensidad total suministrada por el generador.Del diagrama de la figura anterior se deduce: sen I I I I I I I I IC L R C L R ; cos ; ) (2 2= = + =RI IarctgC L= 50EJEMPLOEn la siguiente figura se han dispuesto los componentesdel ejemplotericoanteriorenparalelo, enlugardeenserie. Se calculan las corrientes parciales y la impedanciaequivalente, adems de la intensidad total y el ngulo .XL =157 ; XC = 530.5 51Figura N 21. Circuito prctico52En este caso, el circuito presenta carcter inductivo al serIL > IC. El diagrama de corrientes se muestra en la figurasiguiente.53Figura N 22. Diagrama de corrientes.COMPARACIONDE LOS CIRCUITOS SERIE YPARALELOCon relacin a los circuitos de las figuras anteriores, quedisponendelos mismos componentes montados, enuncaso en serie, y en el otro en paralelo, puede comprobarseque uno de los circuitos presenta carcter capacitivo y elotroinductivo. Laexplicacin, ilustradaenlasiguientefigura 22, es que en el circuito serie domina lareactancia mayor, al corresponderle una mayor tensin,mientrasqueenel paralelo, ejercemsinfluencialareactancia menor, pues es la que absorbe mayorintensidad.El efecto de una impedancia de 1 ohmio en serie con otrade 1 K, resulta prcticamente nulo, pero si ambas semontan en paralelo es la de 1 K la que prcticamente noinfluye.5455Figura N 22. Circuito mixto.APLICACIN A LA C.A. DE LAS LEYESESTUDIADAS EN C.C.Las leyes y teoremas estudiados en c.c. (Ohm, Kirchoff,Thvenin, etc.) son vlidos para c.a. sustituyendo el conceptode resistencia por el de impedancia y aplicando lacomposicin vectorial correspondiente.CIRCUITOS MIXTOSEn la figura 23 se propone un ejemplo de circuito con parte deloscomponentesenserieyparteenparalelo, al queseleaplica los conceptos desarrollados hasta ahora.Clculo de las reactanciasXL= 2 f L = 2 3.14 50 3 = 942.4756Clculo de la ipeda!cia " co##ie!te e! la #aa de la $o$i!a%5751 . 53010 6 50 14 . 3 21 216= = =C fXC = + = + = 88 . 1066 47 . 942 5002 2 2 21 L LX R ZFigura N 23.Comparacin entre el circuito serie y paralelo*or tratarse de un rama inductiva, la intensidad estretrasada respecto a la tensin.Clculo de te!&io!e& pa#ciale& e! #aa de la$o$i!a.02 3 5L 6 2L 3 %.%$787 6 9%% 3 :...; 00L 3 5L6 racias63