Optimización

- Es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función, generalmente

sin la ayuda de gráficos.

- Método para determinar los valores de las variables que intervienen en un proceso

o sistema para que el resultado sea el mejor posible.

Formulación de un Problema de Optimización

-Para que una función como z = f (x,y) tenga un mínimo o máximo relativo, tres

condiciones deben ser satisfechas:

1. Las derivadas parciales de primer orden deben simultáneamente ser iguales a

cero. Ello indica que en un punto dado (a,b) llamado “punto critico”, la función no

esta creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una

superficie relativa.

2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son

evaluadas en el punto critico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un

mínimo relativo. Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo

en relación a los ejes principales en el caso de un máximo relativo y la función es

convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de

un mínimo relativo.

Formulación de un Problema de Optimización

3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto

crítico deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también

evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un punto

de inflexión o punto de silla (ver gráfico 4-6). En resumen:

Formulación de un Problema de Optimización

- En la situación que fxx fyy < (fxy)2, cuando fxx y fyy tienen el mismo signo, la

función esta en un punto de inflexión. Caso contrario, la función estará en un punto

de silla. Si fxx fyy = (fxy)2 entonces se requeriría mayor información.

Formulación de un Problema de Optimización

EJERCICIO =

En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si éstos son

máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:

f(x, y) = 3x3 – 5y2 – 225x + 70y + 23

Formulación de un Problema de Optimización

- Solución.

- Calculando la primera derivada e igualándola a 0:

fx = 9x2 – 225 = 0 fy = -10y + 70 = 0

- Resulta: x = 5, ±y7=. Entonces los puntos críticos serán: (5,7) y (5,-7)

- Las segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)

fxx = 18 x fyy = -10 fxy = fyx = 0

- Evaluando el punto crítico (5,7): fxx ( 5, 7 ) = 18 (5) = 90 fyy ( 5, 7 ) = -10

¿Cumple fxx ( 5, 7 ). fyy ( 5, 7 ) > [ fxy(5,7) ]2 ? 90. (-10) < [ 0 ]2 (no cumple!)

Formulación de un Problema de Optimización

-Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que fxx y fyy

(evaluadas en este punto crítico) tienen signo diferente, se concluye que este punto

es un punto de silla.

-Evaluando el punto crítico (-5,7)

fxx ( -5, 7 ) = 18 (-5) = -90 fyy ( -5, 7 ) = -10

¿Cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 ? -90. (-10) > 0 (Si cumple!)

-Dado que se cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 y además, fxx, fyy < 0

entonces el punto en análisis es un máximo.

Formas de la Función Objetivo

Funciones crecientes y decrecientes.

Concavidad y Convexidad.

Extremo Relativo.

Puntos de Inflexión

Funciones objetivos de una Variable

Funciones objetivos de dos Variables

Funciones objetivos con mas de dos Variables

Funciones con Igualdades

Funciones con Desigualdades

Formas de la Función Objetivo

-Sea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s) o mínimo(s) relativo(s) serán:

1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada a 0.

2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto critico es “a”, entonces:

• f (a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo. ′′

• f (a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo. ′′

• f (a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas ′′sucesivas”:

Formas de la Función Objetivo

- Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando se

evalúa un punto critico es una derivada de grado impar (tercer, quinto, etc.) la función

es un punto de inflexión.

- Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando es

evaluado en un punto crítico es una derivada de grado par, entonces la función es un

extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene valor negativo entonces la función es

cóncava en “a” (y por ende, es un máximo relativo). Caso contrario, la función es

convexa y presenta un mínimo relativo en “a”.

Función Objetivo

-La función objetivo de un modelo de optimización es una representación

matemática de los logros industriales que se desean conseguir.

- Las funciones objetivos son de maximización o minimización y suelen involucrar un

objeto simple o una expresión compleja que involucra varios objetivos industriales.

- Algunos ejemplos de objetivos son los siguientes:

Maximizar un beneficio.

Minimizar un coste.

Minimizar retrasos.

Maximizar el servicio a los clientes.

Métodos de Optimización

- Los métodos de optimización es una rama de las matemáticas que consistente en el

uso de modelos matemáticos, estadísticos y algoritmos con objeto de realizar un

proceso de toma de decisiones. Frecuentemente trata del estudio de complejos

sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La

investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en

cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo

definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costos.

Procedimiento general para resolver un problema de optimización.

a) Identificar los hechos dados y las cantidades desconocidas que se tratan de

encontrar.

b) Realizar un croquis o diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo

variables para las cantidades desconocidas.

c) Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.

d) Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o el mínimo y

expresa resta variable como función de una de las otras variables.

e) Encontrar los valores críticos de la función obtenida.

f) Utilizar el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar si esos

valores críticos son máximos o mínimos.

g) Verificar si hay máximos o mínimos en la frontera del dominio de la función que se

Obtuvo anteriormente.