La Probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que sepueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas.

Dado un experimento y cualquier evento A:La expresión P(A) denota la probabilidad de que ocurra el evento AP(A) constituye la proporción de veces que se presenta el evento A en el tiempo, si esque el experimento se realiza una y otra vez.

Axiomas de probabilidad

Espacio muestral. Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Elespacio muestral suele denotarse por la letra S. Los elementos del espacio muestral, sedenominan puntos muestrales.

Evento. Subconjunto del espacio muestral

Por ejemplo, se puede tener interés en la probabilidad de que un dado caiga en un numeropar. El espacio muestral para el experimento es 1,2,3,4,5,6 y el correspondiente a que caigaen un numero par es el subconjunto 2,4,6.

Combinacion de eventos

La union de dos eventos A y B, se denota por A U B, es el conjunto de resultados quepertenecen ya sea a A o B, o a ambos.

La interseccion de dos eventos A y B se denota como A ∩ B; es decir, constituye elconjunto de resultados que pertenece tanto a A como a B. Por consecuencia elevento A ∩ B se presenta siempre que A y B ocurren.

El complemento de un evento A se denota por A’. Por consiguiente, el evento A’ sepresenta siempre que no ocurra A.

Eventos mutuamente excluyentes

Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen resultados en común.

Ejemplo. Es imposible que una moneda que se arroje al aire caiga a la vez en cruz y cara.

Ejercicio. Un ingeniero eléctrico tiene en sus manos dos cajas de resistores, cada cajacon cuatro de estos. Los resistores de la primera caja están etiquetados con 10 Ω(ohms), pero, de hecho, sus resistencias son de 9, 10, 11 y 12. Los resitores de lasegunda caja tienen una etiqueta de 20 Ω (ohms), pero sus resistencias son de 18, 19,20 y 21. El ingeniero elige un resistor de cada caja y determina la resistencia de cadauno.

Sea A el evento para el cual el primer resistor tiene una resistencia mayor a 10Sea B el evento en el que el segundo resistor tiene una resistencia menor a 19.Sea C el evento en el cual la suma de las resistencias es igual a 28.

Solución.S=(9,18),(9,19),(9,20),(9,21),(10,18),(10,19),(10,20),(10,21),(11,18),(11,19),(11,20),(11,21), (12,18),(12,19),(12,20),(12,21)

A=(11,18),(11,19),(11,20),(11,21),(12,18),(12,19),(12,20),(12,21)

B=(9,18),(10,18),(11,18),(12,18)

C=(9,19),(10,18)

Ejercicio. Un sistema contiene dos componentes C1 y C2 y se conecta de tal manera que

este funciona si cualesquiera de los componentes funcionan. Se sabe que la probabilidad

de que el sistema funcione con solo el componente C1 es 0,8 y la probabilidad de que

funcione con solo el componente C2 es 0,7; y la probabilidad de que funcione con ambos

componentes es 0,71. Calcular la probabilidad de que el sistema funcione.

Solución:

P(A): El evento de que solo C1 funcione

P(B): El evento de que solo C2 funcione

Sea A ∩ B : El evento que ambos funcionen

P(AuB)=P(A)+P(B) - P(A ∩ B)

P(AuB)= 0,8+0,7-0,71 = 0,79

Ejemplo. Se tiene 8 tarjetas de computadoras de la marca T1, 5 tarjetas de la marca T2 y

4 tarjetas de la marca T3. Cual es la probabilidad que se escoja una tarjeta de la marca T1

o una de la marca T2?

Solución.

Evento A. Seleccionar una tarjeta de la marca T1 P(A) = 8 / 17 = 0.47

Evento B. Seleccionar una tarjeta de la marca T2 P(B) = 5 / 17 = 0.29

Los dos eventos son mutuamente excluyentes, ya que al tomar una tarjeta de una marca,elimina la posibilidad de escogencia de la otra.

La probabilidad de escogencia de una tarjeta de una de estas dos marcas es:

P(AUB) = 0.47 + 0.29 = 0.76

Teorema Complemento. Si A y A’ son eventos complementarios, entonces

P(A) + P(A’) = 1

Ejercicio. Las probabilidades de que en una estación de servicio srivan gasolina a 0, 1, 2, 3,

4, 5 o mas automóviles durante un periodo de 30 minutos, son de: 0,03 – 0,18 – 0,24 – 0,28

– 0,10 – 0,17 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que, en un periodo de 30

minutos, 4 o mas automóviles reciban gasolina.

Solución:

A: Es el evento de que 4 o mas reciban gasolina

A’: Es el complemento del evento A

P(A’)=0.03+0.18+0.24+0.28

P(A’)= 0.73

P(A) = 1-P(A’) = 1-0.73 = 0.27

La probabilidad condicional de un evento A, dado que el evento B ha ocurrido, es igual a:

P(A\B) = P(A ∩ B) / P(B)

Siempre que P(A) > 0. El símbolo P(A\B) se lee “la probabilidad de A dada la ocurrencia de B.

Ejemplo. Considere el experimento siguiente: en una empresa existe una grúa que tiene unsistema de guayas, las cuales requieren ser reemplazadas cada cierto tiempo de uso. Paraprobar si se debe cambiar, se somete el sistema a una tensión exagerada, si se rompen 2 o máshilos, se dice que la guaya no sobrevive y por lo tanto debe serreemplazada.

Codifiquemoscomo cero (0) si no se rompe algún hilo y uno (1) si se rompe un hilo

Espacio MuestralS=0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1

Evento

En el ejemplo, un evento puede estar definido por los puntos muestrales en los cuales serompan dos o más hilos. Este evento se puede denotar por:

A=0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,1.

Complemento de un Evento.Es el conjunto de puntos muestrales, del espacio muestral, que no están en el evento. Si el evento lo denotamos por A, el complemento esta denotado por A’

En el ejemplo 3.5, el complemento de este evento sería definido por los puntos muestralesen los cuales se rompan menos de dos hilos. Este evento se puededenotar por:

A’=0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0.

Intersección de dos Eventos.Es el evento que contiene los puntos muestrales comunes de los dos eventos. Si denotamos por A y por B los dos eventos, entonces la intersección se denota por A∩B

Sea el evento A definido A=0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,1 y sea el evento C definido por los puntos muestrales de que se rompan dos hilos. Este evento se denota por: C= 0,1,1, 1,0,1, 1,1,0

La intersección de estos dos eventos sería: A∩C= C

La unión de dos eventos A y B, se denota por A U B, es el conjunto de resultados que pertenecen ya a A o B, o ambos.

𝑃𝑛,𝑟 =𝑛!

𝑛 − 𝑟 !

PERMUTACIONEs el numero de arreglos diferentes en un orden especifico.

El numero de permutaciones de n objetos distintos esN! = n(n-1)(n-2)(n-3)…1

El numero de permutaciones de n objetos diferentes, tomados r a la vez es:

Ejemplo. En relacion con el ejemplo 3.14. Supongase que los circuitos son tomados dos a la vez. De cuantas maneras puede ser armado el mecanismo?

𝑃6,2 =6!

6 − 2 != 30

Conteo

Permutacion

Combinacion

𝑛𝑟

=𝑛!

𝑟! 𝑛 − 𝑟 !

Conteo

Permutacion

Combinacion