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Luz Polarizada A. Patiño
luz Polarizada
Alberto Patiño Vanegas
Grupo de Óptica Moderna
Universidad de Pamplona
2007
Luz Polarizada A. Patiño
Contenido
1. Representación de estados de polarización.
2. Polarizadores.
3. Representación de dispositivos polarizadores.
Luz Polarizada
1.Representación de estados de polarización
A. Patiño
Concepto de PolarizaciónComportamiento en el tiempo de cualquiera de los vectores de campo asociado a esa onda observado en un punto fijo del espacio.
Polarización de cualquier tipo de onda
Para las ondas de luz
Describen completamente su naturaleza electromagnética E, D, H, B
Se escoge para definir el estado de polarización de las ondas de luz .
Vector de campo eléctrico E
Cuando la luz interactúa con la materia, la fuerza sobre los electrones por el campo eléctrico es mucho más grande que la ejercida por el campo magnético.
Polarización de una onda luminosa monocromática plana
Luz Polarizada A. Patiño
Consideremos una onda plana propagándose en la dirección del eje z de un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal y a mano derecha xyz. El campo eléctrico se puede considerar separadamente como la suma de dos campos perpendiculares que se propagan en la dirección normal al plano xy que los contiene:
yyxx etzEetzEtzE ˆ),(ˆ),(),( +=r
)cos( xxx kzwtAE ϕ−−= )cos( yyy kzwtAE ϕ−−=
Cambiando el origen del tiempo se introduce un retardo de fase ϕ de Ey respecto a Ex :
)cos( ϕ−−= kzwtAE yy)cos( kzwtAE xx −=
xy ϕϕϕ −=
...Elipse de polarizaciónLuz Polarizada A. Patiño
Escogiendo un punto cualquiera del espacio, tenemos:
wtAtE xx cos)( = )cos()( ϕ−= wtAtE yy
Que son las ecuaciones paramétricas de la elipse:
ϕϕ 22
2
2
2 cos2 senEEAAA
EAE
yxyxy
y
x
x =−+
Elipse de polarización
...Polarización elíptica Luz Polarizada A. Patiño
La punta del vector de campo eléctrico de la onda de luz en un punto fijo del espacio, rota periódicamente en el plano xy trazando una elipse.
La ecuación de la elipse muestra que la polarización elíptica es el estado más general de polarización de cualquier campo óptico estrictamente monocromático.
Completa especificación de la polarización elíptica
1. La orientación, forma y sentido de rotación de la elipse.
2. El tamaño de la elipse.
Parámetros geométricos que describen la elipse de polarización
Luz PolarizadaA. Patiño
• El azimut ψ.
• La elipticidad e.
• Polarización derecha . si rota en el sentido del reloj cuando se mira en dirección contraria a la propagación.
πψπ21
21
≤≤−
abe =
21
22 )( baA +=
• Polarización izquierda . si rota en el sentido contrario del reloj.bae −=
11 ≤≤− e
bae =
y
xA
x
ψη
yA
ab
YX
• La amplitud A .
Luz Polarizada
Relación entre y ),,( ϕyx AA ),,( ψba
xy XYRotación ψ
22222 baAAAI yx +=+=≡
A. Patiño
• Amplitud invariante ante la rotación (A)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
y
x
Y
X
EEsen
senEE
ψψ
ψψ
coscos
12
2
2
2
=+bE
aE YX• Reemplazando en la ecuación canónica de la elipse
las ecuaciones de transformación
ϕψψϕψψϕψψϕ 222
222
2
2
222
2
2
2
22 )11(cos2)cos()cos( sen
basensenEEE
basensenE
bsen
asen yxyx =−++++
Comparando con la elipse de polarización:
ϕϕ 222
22 )cos(211 sen
AAEEE
AE
A yxyxy
yx
x
=−++
Luz Polarizada
...Relación entre y ),,( ϕyx AA ),,( ψbaA. Patiño
yx
y
x
AAbasensen
Abasensen
Absen
asen
ϕψψϕ
ψψϕ
ψψϕ
cos)11(cos
1)cos(
1)cos(
222
22
2
2
22
22
2
2
22
−=−
=+
=+ (B)
(C)
(D)
22
222
yx AAbasen =ϕ
2I
x
y
AA
=γtan ab
±=ηtan
(B) + (C) (1)
ϕγη sensensen )2()2( = (2)Dividiendo (1) por
Donde ( ángulo de elipticidad)η(3)
da el sentido de recorrido deη ϕ0)2( >γsenComo
Luz Polarizada
...Relación entre y ),,( ϕyx AA ),,( ψbaA. Patiño
(1) en (D)22
cos2)2(
baAA
sen yx
−=
ϕψ (4)
(5)Utilizando (A) y (3) 2/1222222 )4( ϕsenAAIba yx−=−
(5) en (4) 2/12222 )4(
cos2)2(
φϕ
ψsenAAI
AAsen
yx
yx
−=
Igualmente haciendo (B) - (C)
2/12222
22
)4()2cos(
φψ
senAAIAA
yx
yx
−
−=
Luz Polarizada
...Relación entre y ),,( ϕyx AA ),,( ψbaA. Patiño
CONCUSIÓN:
2)4(
2)4(
2/1222222
2/1222222
ϕ
ϕ
senAAIIb
senAAIIa
yx
yx
−+−=
−+=
Ejes propios de la elipse de polarización conociendo las amplitudes de las componentes del campo eléctrico y el desfase relativo entre ellas.
22
cos2)2tan(
yx
yx
AAAA−
=ϕ
ψ
Inclinación de la elipse de polarización conociendo las amplitudes de las componentes del campo eléctrico y el desfase relativo entre ellas.
abe ±== ηtan Elipticidad conociendo los ejes
propios de la elipse
Luz Polarizada
...Casos particularesA. Patiño
POLARIZACIÓN LINEAL
Caso Ecuación Amplitud Ejes propios
Elipticidad Inclinación
0==
bAa x
yx
yx E
AA
E ±= 22yx AAA +=
0==
bAa xxA
0=yA ⎩⎨⎧
=2/
0π
ψ0=yE 0=exAA =
221 2
tan21
yx
yx
AAAA
−±= −ψ
⎩⎨⎧
=π
ϕ0 0=e
yx AA =⎩⎨⎧
=π
ϕ0
yx EE ±=0=
=b
Ia4πψ ±=xAA 2= 0=e
La polarización lineal es un caso particular de la polarización elíptica cuando la elipticidad es cero.
Luz Polarizada
...Casos particularesA. Patiño
POLARIZACIÓN CIRCULAR
Ejes propios
IndefinidaIzquierda
indefinidaDerecha
InclinaciónElipticidadAmplitudEcuaciónCaso
2πϕ =
AAA yx ==222 AEE yx =+ A2 Aba ==
1=e
2πϕ −=
AAA yx ==222 AEE yx =+ A2 Aba == 1−=e
La polarización circular es un caso particular de la polarización elíptica cuando la elipticidad es 1±
Luz Polarizada
Representación de estados de polarización
A. Patiño
A. ESFERA DE POINCARE
1892, H. Poincaré propuso la tripleta:
QU
V
x
y
z
η2
ψ2
ηψI Intensidad de la onda
Angulo de inclinación de la elipse
Angulo de elipticidad
ab
ee
AAI
Xx
yx
±=
=
+=
η
ψ
tan
),(
22
))
Luz Polarizada
...Esfera de poincaréA. Patiño
Cada punto (Q,U,V) sobre la esfera representa un estado de polarización de una onda de intensidad I dada por:
2222 VUQI ++=
Donde las coordenadas cartesianas del punto (Q,U,V) sobre la esfera de azimut y latitud son: ψ2 η2
donde,
)2()2()2cos()2cos()2cos(
ψψηψη
IsenVsenIU
IQ
===
IsenAA
sen yx ϕη
2)2( =
Luz Polarizada
...casos particularesA. Patiño
12 =ISe considera la intensidad normalizada:
Caso Elipticidad Vector de Poincaré
Estado
Polarización lineal a un ángulo
Polarización circular(+) derecha(-) izquierda
Polarización elíptica (+) derecha(-) izquierda
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
±100
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0)2cos()2cos(
ψψ
02 =η 0=eψ
22 πη ±= 1±=e
022
220
<<−
<<
ηπ
πη
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ψψηψη
2()2()2cos()2cos()2cos(
sensen
10 << e
01 <<− e
Luz Polarizada
casos particulares (esfera Poincaré)
Puntos diametralmente opuestos representan pares de polarizaciones ortogonales
z
x
y
A. Patiño
Luz Polarizada
B.Parámetros de StokesA. Patiño
En 1852 G. G. Stokes introduce los parámetros ( I, Q, U, V ) para caracterizar el estado de polarización de una onda.
ϕψ
ϕψη
ψη
senAAIsenV
AAsenIU
AAIQ
yx
yx
yx
2)2(
cos2)2()2cos(
)2cos()2cos( 22
==
==
−==Determinación de los parámetros de Stokes.
Los parámetros se aplican igualmente a la luz polarizada, parcialmente polarizada y no polarizada. Proporciona el método más sencillo de superponer dos haces incoherentes.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
VUQI • para un haz completamente polarizado
• Para un haz parcialmente polarizado
Grado de polarización
2222 VUQI ++=2222 VUQI ++>
IVUQ 2/1222 )( ++
Luz Polarizada
...Parámetros de Stokes(algunos casos)A. Patiño
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0001
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0011
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
001
1Polarización lineal vertical
No polarizado Polarización lineal horizontal
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−01
01
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1001
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0101
Polarización circular derecha
Polarización lineal a 45º
Polarización lineal a -45º
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−1001 Los valores de Q, U, V comprendidos en [-1,1].
Q preferencia por polarización horizontal.
U preferencia por polarización a +45º.
V preferencia por polarización circular.
Polarización circular izquierda
Luz Polarizada
...Parámetros de Stokes(aplicaciones)A. Patiño
Combinación de dos haces incoherentes
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0001
2
001
1
0011
lineal horizontal
circular derecha
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4/304/1
1
4
3003
0011
Resultado
• Intensidad 4.
• Grado de polarización del 70%.
• V es cercano a +1, aproximación polarización circular y derecha.
• U positivo, La elipse es más horizontal que vertical.
Resultado
• Haz no polarizado.
• si fuesen coherentes con la misma fase, resultaría un haz polarizado lineal a 45º.
Lineal horizontal
Lineal vertical
Los vectores de Stokes solo pueden sumarse cuando los haces son incoherentes.
Luz Polarizada
c.Vectores de JonesA. Patiño
Podemos escribir las componentes perpendiculares del campo eléctrico así:
{ })exp(Re wtE xx Λ= { })exp(Re wtE yx Λ=
Donde,
)exp()exp(
yyy
xxx
iAiAϕϕ
=Λ=Λ Envolventes
complejas
El estado de polarización de una onda se puede determinar a través de las envolventes complejas:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΛΛ
= ϕiy
x
y
x
eA
AJ Vector de Jones
xy ϕϕϕ −=donde
Luz Polarizada
...Vectores de JonesA. Patiño
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΛΛ
=y
xJDado el vector de Jones de un estado de polarización,
Se puede determinar de la onda:22
yxI Λ+Λ=• Intensidad total
• Estado de polarización
comparando las magnitudes de los elementos complejos del vector y analizando el valor y signo de la fase del segundo elemento del vector.
• Ejes propios • Orientación
( )[ ]
( )[ ]2
4
24
2/122222
2/122222
ΛΛ−+−=
ΛΛ−+=
imagIIb
imagIIa
x
x{ }22
Re2)2tan(
yx
yx
Λ−Λ
ΛΛ=ψ
Luz Polarizada
...casos particulares(vectores Jones)A. Patiño
12 =ISe considera la intensidad normalizada:
Vector de Jones Estado
Polarización lineal a un ángulo
Polarización circular(+) derecha(-) izquierda
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ψψ
sencos
ψ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡±
2
1
21
πie
Luz Polarizada
Polarizaciones ortogonalesA. Patiño
Sean ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΛΛ
=y
xJ1
11
dos vectores de Jones que representan estados de polarización con intensidad normalizada.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΛΛ
=y
xJ2
22
Estos estados de polarización son ortogonales si el producto interno entre ellos es cero.
( ) 0, *21
*2121 =ΛΛ+ΛΛ= yyxxJJ Condición de
ortonormalidad
ejemplo:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
21
1
21
πie
J
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
−2
2
1
21
πie
J
Son ortogonales
Luz Polarizada
Expansión de una polarización arbitraria en polarizaciones ortogonales
A. Patiño
→J Polarización arbitraria
→21, JJ Polarizaciones ortogonales
2211 JJJ αα += Expansión de J
),( 11 JJ=α ),( 22 JJ=αDonde, y
ejemplo:
Polarización lineal como la suma de dos polarizaciones circulares⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
22
1
211
21cos
πψ
πψ
ψψ
ii
ii
ee
ee
sen
2. Polarizadores
1. Producir luz polarizada ordinaria.
2. Dividirla en dos componentes polarizadas ortogonales.
3. Eliminar una de las componente.
Artefacto que divide la luz no polarizada en dos componentes y descarta una (divisor y selector)Polarizador
ProducciónLuz polarizada
• Estructural interna• Oblicuidad• Armadura• Visión del haz incidente
•Absorción•Reflexión
•Refracción•Dispersión
Métodos para resolver un haz en componentes
polarizadas
A. PatiñoLuz Polarizada
Asimetrías claves para el proceso de polarización.
Luz Polarizada
A. Polarizadores dicroicos (Asimetría de absorción)
A. Patiño
Ey
Ex
Ey produce corriente es los alambres que absorben su energía.
Ex no produce corrientes y atraviesa libremente.
• Polarizador de rejilla de alambre
Ex
Solución:
G.R. Bird y M. Parrish (1963) evaporaron metal en los canales de una red de difracción transparente de 50.000 líneas/pul
Dificultad:
Diámetro y separación de los alambres deben ser pequeños comparados con la longitud de onda de luz
Luz Polarizada
...Polarizadores dicroicos A. Patiño
• La lamina H (E. H. Land 1938)Es una versión química de la rejilla de alambre. Moléculas polimerías largas y delgadas que contienen muchos átomos de yodo se alinean paralelamente una a otra y, debido a la conductividad de los átomos de yodo, se absorbe fuertemente la componente de la vibración eléctrica paralela a la la alineación. Y la perpendicular pasa a través de ella con poca absorción.
Especificaciones:
Condición ideal transmite el 50% de la luz incidente
HN-38 transmite alrededor del 38% de la luz incidente
HN-32 transmite alrededor del 32% de la luz incidente
HN-22 transmite alrededor del 22% de la luz incidente Pol
aroi
d
Luz Polarizada
...Polarizadores dicroicos A. Patiño
. . . La lamina H
Rendimiento: Se mide por la fracción de la componente deseada (k1) y no deseada (k2) que se transmite. Estas fracciones depende de la longitud de onda de la luz y difieren por casi seis ordenes de magnitud.
• La lamina J (E. H. Land 1928)Primer polarizador de lamina en el mundo. Utiliza cristales reales (millones). El cristal individual es dicroico, absorbe la luz en diferentes grados dependiendo de la dirección de vibración. Land escogió lo cristales de Herapatita por manifestar gran dicroísmo. Una larga hoja de plástico que contiene millones de cristales de herapatita alineadosmecánicamente, actúa como un solo cristal de gran longitud y anchura y de poco espesor (0.0005 pulgadas) y proporciona una buena relación entre la gran absorción de la componente que no se desea y la alta transmisión de la componente que se desea.
Defecto: cristales de diámetro mayor que una longitud de onda de luz, disipaban la luz. Impedimento para cierta aplicaciones.
Luz Polarizada
...Polarizadores dicroicos A. Patiño
• La lamina K (Land y H.G. Rogers 1939)Esta hecha de alcohol polivinilico como la H. Pero, en lugar de añadir los átomos a la hoja, se le quitan. Utilizando cloruro de hidrogeno como catalizador y un horno a alta temperatura se le quitan 2N átomos de hidrogeno y N átomos de oxigeno, dejando un tipo diferente de molécula polímera llamada polivinileno. Para alinearlas se estira en una sola dirección.
Es superior a la lámina H en que puede aguantar una alta temperatura sin descomponerse.
• La lamina HR Se hace combinando las técnicas utilizadas para hacer la lamina K y la H. Es superior en cuanto permite gran absorción y resulta un buen polarizador cerca del infrarrojo.
Luz Polarizada
B. Polarizadores de reflexión (Asimetría de oblicuidad)
A. Patiño
• Reflexión en la frontera plana entre dos dieléctricos (Malus 1808)
Se examina la reflexión y refracción de una onda monocromática plana de polarización arbitraria incidiendo en la frontera plana entre dos dieléctricos (lineales, homogéneos, isotópicos, no dispersivos y no magnéticos) de índices de refracción n1 y n2.
θ1
θ2θ3
x
yk1
k2k3
n1 n2
z
xy
x
y
Luz Polarizada
...Polarizadores de reflexión A. Patiño
•... Reflexión en la frontera plana entre dos dieléctricos
De las condiciones de frontera, las relaciones entre las magnitudes del campo eléctrico y el magnético y las leyes de reflexión y de Snell, se obtienen las relaciones entre las componentes del campo eléctrico de las tres ondas (incidente, reflejada y transmitida).
Los cálculos algebraicos se pueden reducir observado que los modos normales son ondas linealmente polarizadas a lo largo del eje x y del eje y.
S modo x-polarizado Polarización TE
P modo y-polarizado Polarización TM
yx tt ,
yx rr ,
Reflectancia de amplitud
yyy
xxx
EEtEEt
21
21
==
yyy
xxx
EErEEr
31
31
==
Transmitancía de amplitud
Luz Polarizada
...Polarizadores de reflexión A. Patiño
•... Reflexión en la frontera plana entre dos dieléctricos
Aplicando las condiciones de frontera a las polarizaciones TE y TM separadamente resulta:
xx
x
rtnnnnr
+=+−
=
1coscoscoscos
2211
2211
θθθθ
Ecuaciones de Fresnel
(Polarización TE)
yy
y
rtnnnnr
−=+−
=
1coscoscoscos
2112
2112
θθθθ Ecuaciones de Fresnel
(Polarización TM)
Luz Polarizada
...Polarizadores de reflexión A. Patiño
• Análisis de la polarización TM (ry)
El coeficiente de reflexión es real. Decrece desde un valor positivo a una incidencia normal y desvanece hasta un ángulo Bθθ =1
12
121 0
nnnnry +
−=⇒=θ Positivo (incidencia normal)
0tan1
211 =⇒== −
yrnn
Bθθ La componente polarizada TM no se refleja. La onda reflejada esta polarizada a lo largo del eje x. La onda transmitida también esta polarizada pero en un grado menor
Angulo de Brewster o de polarización
Los polarizadores de reflexión pueden usarse en cualquier intervalo del espectro, pero no cumplen adecuadamente ya que los valores de k1 no son suficientemente grandes y los de k2 no son suficientemente pequeños.
Luz Polarizada
...Polarizadores de reflexión A. Patiño
• ejemplo
Un polarizador de reflexión puede ser una placa de vidrio montada oblicuamente en forma adecuada en un haz de luz no polarizado. Cuando se monta la placa perpendicular al haz no hay polarización; todas las componentes de la luz se transmiten con igual eficiencia (cerca 92%) y el haz transmitido esta no polarizado. Cerca del 8% se refleja y también esta no polarizado.
Cuando la placa esta inclinada de modo que la asimetría del proceso de reflexión queda destruida, el haz transmitido queda parcialmente polarizado y el haz reflejado aun más. Las formas de polarización de los dos haces son ortogonales.
Caso particular: Cuando un haz de luz incide a 56.3º de la normal en una placa de vidrio cuyo índice de refracción es de 1.5, la placa divide el haz en dos componentes una reflejada y la otra transmitida, vibrando, respectivamente, perpendicular y paralela al plano determinado por los tres haces. El haz reflejado tiene una polarización del 100%. El haz transmitido también se polariza pero en un grado menor.
Luz Polarizada
C. Polarizadores de doble refracción (Asimetría de refracción)
A. Patiño
La polarización se descubrió con aparatos que poseían asimetría de refracción por Huygens (1690) con el estudio del cristal de calcita.
Principales hechos de la óptica de cristales:
• cuando se dirige un haz de luz a un cristal de doble refracción uniaxial, se halla generalmente que en el interior del cristal hay dos haces que son invariables en su carácter.
• Generalmente uno de los haces tiene una dirección de energía oblicua que perpendicular a los frentes de onda.
• los dos haces tienen diferentes velocidades de propagación.
• Casi siempre diferentes direcciones de propagación.
• cada haz esta 100% polarizado.
• Las dos formas de polarización son ortogonales.
Luz Polarizada
...Polarizadores de doble refracción A. Patiño
Las intensidades y las fases pueden variar pero las direcciones de vibración son invariables. Los dos haces se reducen a uno cuando la luz atraviesa el cristal en la dirección única llamada eje óptico.
La velocidad normal de un haz refractado depende solamente solamente de la dirección de vibración del haz. No de la dirección perpendicular a la onda ni de la dirección del rayo.
Uno de los haces refractados dentro de un cristal uniaxial siempre tiene la misma velocidad (Haz ordinario) y al índice de refracción en esa dirección se le llama indice ordinario no. La otra velocidad normal varia, pues depende de la vibración perpendicular de vibración y al mayor valor del índice de refracción en esa dirección se le llama índice extraordinario ne. A estos índices se les llama índices principales mayor y menor. A la diferencia se le llama birrefringencia:
oe nnn −=∆
Luz Polarizada
...Polarizador de Glan FoucaultA. Patiño
Problema:
Cualquier superficie lisa de calcita es un polarizador. Dentro del cristal viajan en direcciones ligeramente diferentes y emergen en lugares apenas distantes uno del otro con direcciones de vibración mutuamente perpendiculares.
A menos que el haz incidente sea muy delgado o que el cristal sea muy grade, los dos haces que emergen pueden superponerse bastante. En la región de superposición no hay polarización ya que las dos formas ortogonales se suman sin ninguna relación de fase sistemática.
Solución: Polarizador de Glan y Foulcault
Se utilizan dos piezas de calcita, cada una se divide en una sección triangular (forma de prisma) con un ángulo ápice de aproximadamente 38.5º. Cada uno se ha cortado de modo que el eje geométrico del prisma sea paralelo al eje óptico. Las dos piezas se unen de modo que solo quede una delgadísima capa de aire entre las respectivas hipotenusas. Cuando un haz delgado de luz incide normalmente a la cara del prisma, uno de los dos haces transmitidos se refleja y se absorbe en una cara pintada de negro. El otro continua para incidir en el otro prisma emergiendo paralelo a la dirección inicial con grado de polarización prácticamente el 100%
Luz Polarizada
...Polarizador de Glan-ThompsonA. Patiño
Trabaja adecuadamente en una escala espectral muy amplia ya que la calcita es transparente desde cerca de 2300A en el ultravioleta a cerca de 5 micrones en el infrarrojo. Pero, solo trabaja adecuadamente cuando el haz incidente choca perpendicularmente con la cara de entrada y no tiene rayos con ángulos mayores de 7º.
Polarizador de Glan – Thompson
Se consigue pegando los dos prismas del polarizador de Glan –Foucault eliminando la pequeña capa de aire. Tiene una aceptancia que excede los 7º, pero la pegadura que se utiliza es generalmente opaca a la luz ultravioleta.
Luz Polarizada
D. RetardadoresA. Patiño
Son convertidores de forma de polarización.
Proceso: se divide el haz incidente en dos componentes, cambia la fasedel uno en relación con la del otro y los vuelve a combinar.
Retardador típico: haz incidente polarizado linealmente horizontal sobre una placa de calcita con su eje óptico paralelo al plano de la placa.
Retardancia: diferencia de fase relativa que sufren los dos haces al atravesar la calcita.
La retardancia de una placa depende de su birrefringencia.
λd
n∆ birrefringencia
λδ nd∆= Espesor de la placa
Longitud de onda de la luz
Luz Polarizada
3. Descripción de dispositivos de polarización
A. Patiño
Propósito: conocer dos cosas de la luz que emerge de uno o más polarizadores o retardadores: la forma de polarización y la intensidad relativa a la del haz incidente.
Características de un polarizador
• Trasmitancias principales: Relación entre la intensidad del haz emergente respecto al incidente.
1k Trasmitancia máxima al situar de cierta forma el polarizador en un haz polarizado linealmente (eje de transmisión).
2k Trasmitancia mínima al situar de cierta forma el polarizador en un haz polarizado linealmente (eje de absorción).
11 =k 02 =kCaso ideal
Los ejes de transmisión y absorción son ortogonales.
Las trasmitancias principales para un polarizador típico varían ligeramentecon la longitud de onda.
Luz Polarizada
Dispositivos de polarizaciónA. Patiño
• Orientación de un polarizador lineal se .indica por su acimut (ángulo θ) de su eje de transmisión medido a partir de un eje de referencia escogido.
Ley de Malus (1908)
Relación para encontrar la trasmitancia de intensidad T de un polarizador al colocarlo en un haz polarizado linealmente de amplitud Ai formando un ángulo θ con su eje de transmisión.
θθ senkAkAA iit 21 cos +=
• Tramitancia de intensidad
k1
k2
θθ 22
221
22 cos senkAkAAT iit +==
• Tramitancia de Amplitud
θ
PolarizadorHaz incidente
Polarizado lineal
Luz Polarizada
Dispositivos de polarizaciónA. Patiño
• vectores característicos: son las formas de polarización del haz incidente que no se alteran al insertar el polarizador en el haz con una cierta orientación. Para cualquier polarizador pueden hallarse dos formas de polarización con esta propiedad. El vector propio asociado a la tramitancia característica mayor se le llama vector característico mayor y al otro vector característico menor.
Luz Polarizada
A. Esfera de poincarè de dispositivos de polarización
A. Patiño
• La esfera de Poincaré es un natural para los retardadores. Proporciona un método rápido para hallar el efecto de cualquier retardador sobre cualquier haz monocromático de luz completamente polarizada.
El efecto se halla marcando el punto P que indica la forma de polarización del haz incidente y el punto R que designa el vector característico rápido del retardador y trazando el arco apropiado. El eje del arco es el radio vector que parte del centro de la esfera al punto R. El punto inicial del arco es el punto P. La longitud del arco en grados es la retardancia y la respuesta es el punto P´’.
Luz Polarizada
Esfera de poincarè de dispositivos de polarización
A. Patiño
Ejemplo. Efecto de un retardador de media onda (90º)
PR
p’
δ
Vector característico principal lineal a
22.5º
retardancia
Haz emergente elíptico a izquierda
45ºHaz incidente lineal
45º
Luz Polarizada
B. Matrices de Jones de dispositivos de polarización
A. Patiño
Onda plana polarización arbitraria
SISTEMA OPTICOLINEAL
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΛΛ
y
x
1
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
TTTT Onda plana
polarización alterada ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΛΛ
y
x
2
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΛΛ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΛΛ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
y
x
y
x
TT
TT
2
2
1
1
22
12
21
11 Relación lineal que todo dispositivo de polarización óptica debe cumplir
21 JTJ =
Matriz de Jones que describe el sistema óptico. Determina el cambio en la intensidad y en el estado de polarización de la onda incidente.
Luz Polarizada
Matrices de JonesA. Patiño
⎢⎣
⎡010
⎥⎦
⎤10
0• Polarizador lineal
ejemplos
⎢⎣
⎡00
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΛΛ
y
x⎥⎦
⎤10
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Λ0
x Polarizada a lo largo del eje x
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΛΛ
y
x⎥⎦
⎤00
⎢⎣
⎡01
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Λ0
x Polarizada a lo largo del eje y
Luz Polarizada
...Matrices de JonesA. Patiño
⎥⎦
⎤ϕie
0⎢⎣
⎡01• Retardador de onda
2π
−=ϕ
⎢⎣
⎡01
• retardador de cuarto de onda
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
1πi
e⎥⎥⎦
⎤−
2
0πi
e⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
11
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡11
⎥⎥⎦
⎤−
2
0πi
e ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
−2
1πi
e⎢⎣
⎡01
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
1πi
e⎥⎦
⎤−10
⎢⎣
⎡01
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
−2
1πi
e
πϕ =• retardador media de onda
⎢⎣
⎡01
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡11
⎥⎦
⎤−10
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1
1
Luz Polarizada
...Matrices de JonesA. Patiño
• Rotador de polarización
⎥⎦
⎤−θθ
cossen
⎢⎣
⎡θθ
sencos
ejemplo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
=)()cos(
θψθψ
sen⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ψψ
sencos
⎥⎦
⎤−θθ
cossen
⎢⎣
⎡θθ
sencos
Luz Polarizada
...Matrices de JonesA. Patiño
• Dispositivos de polarización en cascada
322 JJT =211 JJT =
21 JJTT =12Ejemplo
⎥⎥⎦
⎤−
2
0πi
e⎢⎣
⎡01
⎥⎦
⎤−10
⎢⎣
⎡01
⎥⎥⎦
⎤−
2
0πi
e⎢⎣
⎡01
Retardadores de ¼ de onda con ejes rápidos paralelos Retardador de ½ onda
Luz Polarizada
Transformación de coordenadas
θ
y
⇒TJ,⇒′′ T,J
⎢⎣
⎡−
=θθ
θsen
Rcos
)( ⎥⎦
⎤θθ
cossen
A. Patiño
y’x’ En el sistema xy
xEn el sistema x’y’
Matriz de Transformación
)()()()(
)()(
θθθθ
θθ
RTRTTRRTJRJ
JRJ
′−=−=′′−=
=′Ecuaciones de Transformación
Luz Polarizada
...Transformación de coordenadasA. Patiño
θ x
y
Ejemplo:
Polarizador lineal con el eje de transmisión a un ángulo θ con el eje x.
⎢⎣
⎡=′
01
T ⎥⎦
⎤00
Polarizador lineal en el eje x’
⎥⎦
⎤−θθ
cossen
⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤θθ
cossen
⎢⎣
⎡=
θθ
sencos
T01
⎥⎦
⎤00⎢⎣
⎡− θ
θsen
cos Ecuación de transformación
⎥⎦
⎤
θ
θθ2
cossensen
⎢⎣
⎡=
θθθ
coscos2
senT Polarizador lineal a un
ángulo θ
Luz Polarizada
Modos normalesA. Patiño
Los modos normales de un sistema de polarización son los estados de polarización que no cambian cuando la onda es transmitida a través del sistema. Estos estados tienen vectores de Jones que satisfacen:
JTJ µ=Vectores propios(modos normales) Valores propios
Cada sistema de polarización tiene solamente dos modos normales independientes.
111 JTJ µ= 222 JTJ µ=si T es Hermitica sus modos normales son ortogonales.
Los modos normales pueden ser usados como una base en una expansión.
Si se conocen los valores propios de un dispositivo y la expansión del estado de polarización de entrada, se puede hallar su respuesta fácilmente:
0)( =⇒= 21*2112 J,JTT
2211 JαJαJ +=
22211122112211 JµαJµαTJαTJα)JαJT(αTJ +=+=+=
Luz Polarizada
...Modos normalesA. Patiño
Ejemplo: Modos normales de un polarizador lineal.
JTJ µ=Modos normales Valores
propiosPolarizador lineal
• Calculo de los valores propios
10
2
1
==
µµ
0)( =− JIT µ 0)det( =− IT µ
• Calculo de los modos normales
Para 10 =µ 1=TJ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΛΛ
=θtanx
xJ
Con la condición de normalización 1=*JJ θcos±=Λ x
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
θθ
senJ
cos1 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=θθ
senJ
cos2
Modos normales de un polarizador lineal
Luz Polarizada
C. Matrices de Muller de dispositivos de polarización
A. Patiño
• Calculo de Muller (1930-1940) .
Emplea los vectores de Stokes para representar el haz incidente y matrices 4x4 para los polarizadores o retardadores.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
NOPQJKLMFGHIABDE
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
2
2
2
1
1
1
1
VUQI
VUQI
polarizador Haz emergenteHaz incidente
Luz Polarizada
...Matrices de MullerA. Patiño
ORIGEN DE LAS MATRICES.
Las matrices de Muller tienen una fundamentación fenomenológica, es decir , provienen del experimento. Se basan en la relación lineal entre los haces incidentes y emergentes. El experimento muestra que en todas las circunstancias normales cada propiedad del haz emergente depende de las primeras potencias de las propiedades del haz incidente. Entonces, se puede escribir un conjunto de cuatro ecuaciones lineales que relacione las propiedades de los haces. En cada ecuación intervienen cuatro constantes. Debido a la relación lineal, se obtienen las mismas 16 constantes independientemente de la forma de polarización del haz incidente.
Luz Polarizada
...Matrices de MullerA. Patiño
• EJEMPLO. Efecto de un polarizador
Polarizador ideal con eje de transmisión a –45º
Haz incidente parcialmente polarizado elípticamente derecho
Haz emergente 100% polarizado linealmente a 45º
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
0000
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
02
02
1236
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
05.0
05.0
0000
05.0
05.0−
Luz Polarizada
...Matrices de MullerA. Patiño
• EJEMPLO. Efecto de un retardador
Placa lineal de cuarto de onda (retardador de 90º) con eje rápido a 45º
Haz incidente parcialmente polarizado elípticamente derecho
Haz emergente parcialmente polarizado preferencia polarización circular
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤−
001
0
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
321
6
1236
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0001
1000
0100
Efecto del retardador: intercambiar posición y cambiar signo.
Luz Polarizada
Importancia de la luz polarizadaA. Patiño
La polarización juega un papel importante en la interacción de la luz con la materia:
la cantidad de luz reflejada en la frontera entre dos materiales depende del estado de polarización de la onda incidente.
La cantidad de luz absorbida por ciertos materiales es dependiente de la polarización.
Luz dispersada desde la materia es generalmente sensible a la polarización.
El índice de refracción de materiales anisotrópicos depende de la polarización.
El índice de refracción de materiales anisotrópicos depende de la polarización. Ondas con diferentes polarizaciones atravesaran a diferentes velocidades y experimentaran diferentes cambios de fase y la elipse de polarización es modificada a medida que la onda avanza.
Los materiales ópticamente activos tienen la habilidad natural de rotar el plano de la luz polarizada linealmente. Cuando se organizan en ciertas configuraciones, cristales líquidos actúan como rotadores de polarización. Fin