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Matemáticas para Economistas (1º GE)Universidad de Cantabria

TEMA IV:

MERCADO DE DINERO

Macroeconomía II2º GE Universidad de Cantabria


4.1 Introducción

4.2 Demanda de dinero: Modelo de Baumol-Tobin

4.3 Demanda de dinero: Modelo de selección de cartera

4.4 La velocidad del dinero y la teoría cuantitativa del dinero

Macroeconomía II2º GE

Universidad de Cantabria


4.1 Introducción



Hasta el momento hemos considerado una economía con un producto (Q) y un activo financiero (B), pero carente de dinero (M).

Definición y funciones del dinero:

o Depósito de valor (imperfecto en presencia de inflación)

o Unidad de cuenta

o Medio de cambio (concepto de liquidez de un activo)

Los tres motivos de Keynes para tener dinero (“preferencia por la liquidez”):

o Motivo transacción (Tª Clásica)

o Motivo especulación

o Motivo precautorio




Teorías convencionales de demanda de dinero:

• Tª clásica: Los individuos demandan una cantidad de dinero proporcional a su nivel de renta (demanda por motivo transacción):

𝐿𝐿(𝑌𝑌) = 𝑘𝑘𝑌𝑌

• Tª Keynesiana:Función de demanda más realista. La demanda de saldos reales depende también del tipo de interés (demanda por motivo transacción y por motivo especulación):

𝐿𝐿(𝑌𝑌, 𝑟𝑟) = 𝑘𝑘𝑌𝑌 − ℎ𝑟𝑟

¿Cómo explica Keynes la relación inversa entre demanda de dinero y tasa de interés?:• La tasa de interés es el costo de oportunidad de mantener dinero. • Si existen expectativas de subida de tipos, el precio de los bonos tenderá a bajar y será

más barato comprar bonos.


4.2 Demanda de dinero: Modelo de Baumol-Tobin



• Modelo de demanda de dinero que determina los niveles óptimos de dinero que minimizan los costes asociados a la tenencia de dinero.

• SUPUESTOS:

1º Una economía con dos tipos de activos: dinero y bonos/depósitos.

2º Un individuo recibe al principio de cada periodo un ingreso nominal P�Q, que se deposita en un banco.

3º El individuo gasta dicha renta de manera uniforme hasta agotarla al final del periodo (consumo constante).

4º Cada vez que se retira dinero del banco se incurre en unos costes de transacción nominales P � b (costes de tiempo y financieros) que suponemos fijos.

5º El banco retribuye el dinero depositado a una tasa de interés nominal 𝒊𝒊: coste de oportunidad del dinero (ver Ecuación de Fisher)

6º El individuo visita el banco en intervalos regulares de tiempo, retirando en cada visita la misma cantidad de dinero M*.




• Ecuación de Fisher:1 + 𝑖𝑖 = (1 + 𝑟𝑟) � (1 + 𝜋𝜋𝑒𝑒)

𝑖𝑖 ≈ 𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝑒𝑒

𝑟𝑟 ≈ 𝑖𝑖 − 𝜋𝜋𝑒𝑒

Los tipos de interés nominales (𝑖𝑖) reflejan anticipadamente los rendimientos reales (𝑟𝑟) ajustados por la inflación esperada (𝜋𝜋𝑒𝑒).




• El individuo debe decidir cuántas veces al mes acudir al banco para retirar dinero, teniendo en cuenta que obtener liquidez comporta dos tipos de costes: Costes de transacción P�b Coste de oportunidad bajo la forma de intereses no percibidos i.

• Trade-off costes de transacción-coste de oportunidad: El individuo sabe que cuantas más veces retire efectivo menor será el coste de oportunidad por intereses, pero también será mayor el coste de transacción.

• Ejemplo de un individuo que retira dinero cada 10 días

• La tenencia media de dinero del individuo determinará la demanda de dinero nominal: Md = M*/2

• Para determinar Md tendremos que hallar el nivel óptimo M* que minimice el coste total resultado de sumar: Costes de transacción totales (CT): Si al cabo de un mes se realizan PQ/M* visitas al

banco, los costes totales de transacción serán Pb ∙ (PQ/M*) Costes de oportunidad totales (CO): sobre una tenencia media de dinero M*/2,

ascenderán a i ∙ (M*/2)




• Problema de minimización de costes totales (C). Pasos:

Min C

Condición de primer orden 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑀𝑀∗ = 0

Solución del problema M* Demanda de dinero nominal Md=M*/2 Demanda de saldos reales (poder de compra): Md/P

𝑀𝑀𝑑𝑑

𝑃𝑃=𝑀𝑀∗

2𝑃𝑃=

12

2𝑏𝑏𝑏𝑏𝑖𝑖

�1 2

𝑀𝑀𝑑𝑑

𝑃𝑃= 𝑓𝑓 ⏟𝑏𝑏

+,⏟𝑖𝑖−

,⏟𝑏𝑏+

𝑀𝑀𝑑𝑑 =𝑀𝑀∗

2=𝑃𝑃2


�1 2




• Determinación de M* gráficamente.

• Deducción de:

Elasticidad renta de la demanda de saldos reales: 𝜀𝜀𝑄𝑄,𝑀𝑀

𝑑𝑑

𝑃𝑃

= 12

Elasticidad interés de la demanda de saldos reales: 𝜀𝜀𝑖𝑖,𝑀𝑀

𝑑𝑑

𝑃𝑃

= −12

Elasticidad coste de transacción de la demanda de saldos reales: 𝜀𝜀𝑏𝑏,𝑀𝑀

𝑑𝑑

𝑃𝑃

= 12




EJERCICIO 1Supongamos que la demanda real de dinero de un individuo asciende a 400 u.m. Si su renta real aumenta de 10 a 20 u.m., ¿cuál será su nueva demanda real de dinero según la Tª de demanda de Baumol-Tobin?

EJERCICIO 2Supongamos que la demanda real de dinero de un individuo asciende a 400 u.m. Si el tipo de interés aumenta del 2% al 3%, ¿cuál será su nueva demanda de saldos reales según la Tª de demanda de Baumol-Tobin?




EJERCICIO 3

En el marco del modelo de demanda de dinero de Baumol-Tobin considere un individuo que gana 1000 euros al mes, siendo el coste nominal de ir al banco y retirar dinero de 2 euros por transacción y la tasa de interés nominal del 10% (Nota: suponer 𝑃𝑃 = 1).

Hallar:a) La cantidad óptima que retirará cada vez que va al bancob) La demanda nominal de dinero.c) La demanda real de dinero.d) El número de viajes que hará el banco cada mes.e) Los costes totales, de transacción y oportunidad óptimos.

Asimismo, analizar qué sucedería si:a) El coste de transacción subiera a 3,125 euros.b) El tipo de interés subiera a 14,4%.


4.3 Demanda de dinero: Modelo de selección de cartera

de Tobin



• Reformulación de la “Teoría de la preferencia por la liquidez” de Keynes incorporando dos elementos adicionales en el análisis:

• Rendimiento• Riesgo

• Cuestiona que un individuo mantenga toda su cartera bien en dinero o bien en bonos: o Los bonos: elevan la rentabilidad media de la cartera, pero están sujetos a riesgo.o El dinero: aunque su rendimiento es nulo, reduce el riesgo global de la cartera

(“activo seguro”).• Argumento principal de Tobin: En presencia de incertidumbre un individuo averso al

riesgo preferirá sacrificar rentabilidad para estar expuesto a menor riesgo. Para ello, distribuirá su cartera entre diferentes activos (dinero y bonos) en una proporción que reporte la máxima utilidad al individuo.


Relación inversa entre precio de un bono y tipo de interés:



o BONO: activo de renta fija que devenga periódicamente una rentabilidad en forma de CUPÓN.

o Son emitidos por empresas y Administraciones Públicas para conseguir financiación externa. Cuanto mayor sea el

riesgo asumido por el inversor (y menores las garantías de cobro), mayor será el cupón ofrecido.

o El inversor tiene dos opciones: (1) mantener el bono hasta el vencimiento

(2) venderlo antes al PRECIO existente en el mercado secundario.

o PRECIO DE UN BONO:

C: Cupón del bono. Es un porcentaje CONSTANTE del valor nominal del bono. Si el bono no se vende, el

último cupón incluirá el valor nominal del bono.

i: tipo de interés de mercado (TIR) para un determinado plazo y nivel de riesgo. Es un indicador de la

rentabilidad media anual del bono si se mantiene hasta vencimiento.

Precio

i




Ejemplo:

Precio actual de un bono a cinco años con valor nominal de 100 euros que devenga un cupón del 2% suponiendo un tipo de interés de mercado del 4%

o Si el inversor decide vender el bono antes del vencimiento, tendrá que venderlo al precio existente en el mercado, el cual dependerá de la evolución del tipo de interés:

↑ 𝑖𝑖 ⟹ ↓ 𝑝𝑝

Explicación:Si sube el tipo de interés, los nuevos bonos emitidos en el mercado se retribuirán con un cupón mayor. Si quiero vender mi bono tendré que venderlo a un precio lo suficientemente bajo como para compensar a un potencial comprador.

ESPAÑA TIR (%)(16 febrero 2018)

Deuda a 10 años 1.502





ALEMANIA TIR (%) (16 febrero 2018)




PRIMA DE RIESGO

ESPAÑOLA




Reflexión: ¿Es posible que algunos bonos españoles se estén retribuyendo actualmente con un cupón del 6%, cuando el tipo de interés de mercado para estos bonos es inferior al 2%?




SUPUESTOS:

1º Un individuo averso al riesgo desea obtener el máximo retorno posible de su riqueza nominal W.

2º Para ello, el individuo decide distribuir su riqueza en:

o DINERO (M)o BONOS (B): suponemos bonos a perpetuidad que devengan un cupón de 1 u.m.

𝑀𝑀: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑑𝑑 𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑑𝑑𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝐶𝐶𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐶𝐶𝑑𝑑𝑡𝑡𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛𝑑𝑑𝑡𝑡𝐵𝐵: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑑𝑑𝐶𝐶𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝐶𝐶𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑟𝑟𝑑𝑑𝐶𝐶𝑛𝑛𝑑𝑑𝑡𝑡1𝑖𝑖

: 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑑𝑑𝑃𝑃𝑖𝑖𝑑𝑑 𝐶𝐶𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑑𝑑𝐶𝐶𝑑𝑑 (demostración en pizarra!!)

𝑊𝑊 = 𝑀𝑀 +𝐵𝐵𝑖𝑖

1 = 𝑀𝑀𝑊𝑊

+ 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑊𝑊

1 = 𝑤𝑤1 + 𝑤𝑤2

𝑤𝑤1:𝑝𝑝𝑟𝑟𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑃𝑃𝑖𝑖𝑝𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑑𝑑𝑡𝑡𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑑𝑑𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑤𝑤2:𝑝𝑝𝑟𝑟𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑃𝑃𝑖𝑖𝑝𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑑𝑑𝑡𝑡𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑑𝑑𝐶𝐶 𝑏𝑏𝑑𝑑𝐶𝐶𝑑𝑑𝑡𝑡




3º El individuo desea maximizar su utilidad, la cual depende positivamente del rendimiento esperado de la cartera y negativamente del riesgo asumido:

𝑅𝑅: 𝑟𝑟𝑑𝑑𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑑𝑑𝐶𝐶𝐶𝐶𝑑𝑑 → 𝐸𝐸 𝑅𝑅 ,𝜎𝜎𝑅𝑅

𝑈𝑈 = 𝑈𝑈 𝐸𝐸 𝑅𝑅 ,𝜎𝜎𝑅𝑅

𝐸𝐸 𝑅𝑅 : rendimiento esperado

𝜎𝜎𝑅𝑅: riesgo total de la cartera (desviación estándar)

• Pendiente positiva de las curvas de indiferencia• Al alejarse del origen aumenta la utilidad. 𝐸𝐸(𝑅𝑅)

𝜎𝜎𝑅𝑅




4º Como el dinero no genera rendimiento:

𝑅𝑅 = 𝑤𝑤1 � 𝑅𝑅𝑀𝑀 + 𝑤𝑤2 � 𝑅𝑅𝐵𝐵𝐸𝐸 𝑅𝑅 = 𝑤𝑤1 � 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑀𝑀) + 𝑤𝑤2 � 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝐵𝐵) = 𝑤𝑤2 � (𝑖𝑖 + �̅�𝑔)

𝑖𝑖 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑑𝑑𝐶𝐶𝐶𝐶𝑑𝑑 𝐶𝐶𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑑𝑑𝐶𝐶𝑑𝑑

𝑔𝑔:𝑔𝑔𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑖𝑖𝐶𝐶/𝑝𝑝𝑡𝑟𝑟𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑝𝑝𝑑𝑑𝐶𝐶𝑑𝑑𝐶𝐶𝑃𝑃𝑖𝑖𝐶𝐶𝑛𝑛𝐶𝐶𝑑𝑑 𝑃𝑃𝐶𝐶𝑝𝑝𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛 =𝑝𝑝𝑒𝑒 − 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

=𝑝𝑝𝑒𝑒 −

1𝑖𝑖

1𝑖𝑖

=

1𝑖𝑖𝑒𝑒− 1𝑖𝑖

1𝑖𝑖

=𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒− 1

�̅�𝑔 = 0

Si suponemos �̅�𝑔 = 0:𝐸𝐸 𝑅𝑅 = 𝑤𝑤2 � 𝑖𝑖

Fuente de riesgo

prob

g

g Bono con riesgo alto




5º El riesgo proviene exclusivamente de los bonos:

𝜎𝜎𝑅𝑅 = 𝑤𝑤1 � 𝜎𝜎𝑀𝑀 + 𝑤𝑤2 � 𝜎𝜎𝐵𝐵 = 𝑤𝑤2 � 𝜎𝜎𝐵𝐵

𝜎𝜎𝑅𝑅: riesgo total de la cartera𝜎𝜎𝐵𝐵: riesgo de los bonos

𝜎𝜎𝑅𝑅

𝑤𝑤2

Pendiente 𝜎𝜎𝐵𝐵 = 𝑃𝑃𝐶𝐶𝑑𝑑

𝑤𝑤2 1

𝑤𝑤1




De las dos ecuaciones anteriores se obtiene:

𝐸𝐸 𝑅𝑅 = 𝑤𝑤2 � 𝑖𝑖 = 𝜎𝜎𝑅𝑅𝜎𝜎𝐵𝐵� 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖

𝜎𝜎𝐵𝐵� 𝜎𝜎𝑅𝑅= 𝑃𝑃𝐶𝐶𝑑𝑑 � 𝜎𝜎𝑅𝑅

El rendimiento total esperado de la cartera dependerá linealmente del

riesgo total asumido: a mayor riesgo mayor rendimiento.

𝐸𝐸(𝑅𝑅)

𝜎𝜎𝑅𝑅

Pendiente𝑖𝑖𝜎𝜎𝐵𝐵

• El individuo deberá resolver el siguiente problema de maximización:




• Determinar distribución óptima de la cartera (Resolución gráfica en pizarra).

• Demostrar relación inversa entre demanda de dinero – tipos de interés a partir del gráfico anterior (en pizarra).


4.4 La velocidad del dinero y la teoría cuantitativa del dinero



• En su versión clásica establece:• Una relación directa entre el comportamiento de los precios y la cantidad de dinero

existente en una economía• Una variación en la oferta monetaria se traslada del mismo modo al nivel de precios.

𝑀𝑀𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 � 𝑃𝑃 � 𝑏𝑏

𝑘𝑘: proporción de renta que se mantienen en efectivo𝑃𝑃: nivel de precios𝑃𝑃 � 𝑏𝑏: renta nominal como proxy del nº transacciones

• Aplicando la condición de equilibrio en el mercado de dinero 𝑀𝑀𝑑𝑑 = 𝑀𝑀𝑠𝑠:

𝑀𝑀𝑠𝑠 = 𝑘𝑘 � 𝑃𝑃 � 𝑏𝑏

• Parte de la hipótesis clásica de que la demanda de dinero es una función de la renta:

• Origen de la teoría.




• Velocidad-renta del dinero (“tasa de rotación del dinero”): nº veces que circula ocambia de manos la cantidad total del dinero para cubrir todas las transacciones que serealizan una economía al cabo del año:

𝑉𝑉 =𝑃𝑃 � 𝑏𝑏𝑀𝑀𝑠𝑠 =

1𝑘𝑘

⇒ 𝑀𝑀𝑠𝑠 �1𝑘𝑘

= 𝑃𝑃 � 𝑏𝑏 ⇒ 𝑀𝑀𝑠𝑠 � 𝑉𝑉 = 𝑃𝑃 � 𝑏𝑏

ECUACIÓN CUANTITATIVA DE FISHER:

EJEMPLOEn una economía con un solo bien se fabrican 60 unidades del mismo que se venden a 0,5 euros la unidad. Suponiendo que en la economía circulan 10 euros, hallar la velocidad-renta del dinero e interpretar su valor.

Para adquirir el valor de todos los bienes y servicios producidos en una economía será necesario utilizar una cantidad de dinero M que se habrá utilizado V veces.




• La ecuación cuantitativa es una identidad, y como tal sólo indica asociación entre variables, pero no causalidad (no sirve para realizar predicciones).

• Para resolverlo se postuló:

Q es estable (la economía está en pleno empleo – volumen de transacciones constante) V es constante al ser un valor de equilibrio al que la economía retorna tras cualquier

perturbación. La oferta monetaria viene dada exógenamente.

• Lo anterior permite pasar de una identidad a la llamada Teoría cuantitativa del dinero, según la cual las variaciones de M aparejarán variaciones proporcionales en los precios:

𝑃𝑃 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 �𝑉𝑉𝑏𝑏

𝑃𝑃 = 𝑓𝑓(𝑀𝑀𝑠𝑠)

• De acuerdo con lo anterior, la inflación es un fenómeno monetario: la cantidad de dinero es lavariable de ajuste ante un desequilibrio, ya que la velocidad del dinero y el ingreso son estables.

• Críticas de Keynes y Milton Friedman (Teoría Neocuantitativa).




𝑉𝑉 =2𝑖𝑖𝑏𝑏𝑏𝑏

�1 2 ⇒

• El nivel de precios no influye en 𝑉𝑉• Relación directa y positiva entre 𝑉𝑉 y 𝑏𝑏 (justificar)• Relación directa y positiva entre 𝑉𝑉 e 𝑖𝑖 (justificar)• Relación inversa entre 𝑉𝑉 y 𝑏𝑏 (justificar)

𝑉𝑉 =𝑃𝑃 � 𝑏𝑏𝑀𝑀𝑠𝑠

𝑀𝑀𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑑𝑑

𝑀𝑀𝑑𝑑

𝑃𝑃=

12


�1 2⇒

𝑉𝑉 = 𝑓𝑓 ⏟𝑏𝑏+

,⏟𝑖𝑖+

,⏟𝑏𝑏−

• Efecto de relajar la hip𝑝tesis de que V es constante aplicando Baumol-Tobin:


TEMA IV:

MERCADO DE DINERO

Macroeconomía II2º GE Universidad de Cantabria

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