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Teora de Circuitos y Sistemas

SISTEMAS ELECTROMECANICOS

ADRIAN KISIELEWSKY - 2013

Hay varios sistemas (mecnicos, trmicos, hidrulicos, acsticos,etc. ) que pueden ser reducidos a sistemas elctricos anlogos porestar descriptos por iguales ecuaciones diferenciales.

Desarrollado el problema elctrico, sus resultados pueden sertrasladados en forma directa e inmediata al problema real.

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METODO DE ANALISIS

SISTEMA MECANICO

ANALOGIA ELECTRICA

PLANTEO DE CIRCUITO ELECTRICO

SOLUCION DE CIRCUITO

TRASLADO DE LA

SOLUCION AL SISTEMA

MECANICO

PLANTEO DE

SISTEMA DE ED

MECANICAS CON EL

DCL

SIMULACION

Los sistemas mecnicos pueden ser:

Rotacionales

Traslacionales

Mixtos

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Elementos Pasivos de 2 terminales de traslacin

Amortiguador Viscoso

Donde:

Constante de friccin viscosa [N.seg/m]

Velocidad relativa entre terminales ba vvv =

B

El amortiguador ejerce una fuerza que se opone a que exista diferentevelocidad en cada uno de sus extremos.

fax

av

bv

x+

0=x

bx

b

a

vBtf .)( =

=

dtdx

dtdx

Btf 21.)(

Con f medido en la direccin x,fuerza externa aplicada.

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f

v

Consideramos una relacin

lineal entre f y v

(no integrodiferencial)

B

f+

-

v

B

Resorte

f

x

Consideramos una relacin

lineal entre f y x (no integrodiferencial)

Ley de Hook

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f = k . x

k [N/m]constante del resorte

21 xxx = alargamiento

Cuando el resorte es extendido, ejerce la fuerza f para recuperar su longitud original.

k

f+

-

vk

Smbolo

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Masa

x y v se miden respecto de unsistema inercial

x+

vx

0=x

Sistema inercial de referencia

f

a

Consideramos una relacin lineal entre f y a (no integrodiferencial)

=== 2

2

dtxd

dtdv

m.m.af .m

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Smbolo

M

f+

-

vM

Terminal de referencia(siempre sistema inercial)

Elementos Pasivos de 2 terminales de Rotacin

Amortiguador rotatorio

Donde:

Constante de friccin viscosa [N.seg/m]Velocidad relativa entre terminales ba =

BEl amortiguador ejerce una fuerza que se opone a que exista diferentevelocidad en cada uno de sus extremos.

+

dtd

=

T=cupla externa aplicada

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T= cupla externa aplicada= BT

B

T+

-

Resorte torsional

( ) == dtkkT ... 0 dtdT

.

k1

=

pTk1

=

,T

con k = rigidez elstica

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k

T+

-

k

Smbolo

Volante

.. JJpJT ===

= TdtJ1

xTf vJM

La analoga con la traslacin es inmediata, poniendo:

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Smbolo

J

T+

-

J

Terminal de referencia(siempre sistema inercial)

Sea el siguiente sistema mecnico masa-resorte:

La analoga sistema mecnico sistema elctrico

Del DCL tenemos:

MakxBvF =

Notar que la fuerza Ma sesimboliza como opuesta a F

M

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Es decir:

2

2

dtxdMkx

dtdxBF =

Examinemos ahora el siguiente circuito elctrico RLC paralelo:

+

i C

RL

dtdvMvdtkBvF =

Mpvvp

kBvF = 1

La ED que lo representa, usando la ley de Kirchoff en el nodo:

idtduCudt

LRu

=++ 1

Comparemos ambas ecuaciones, reordenando trminos:

idtduCudt

LRu

=++ 1

FdtdvMvdtkBv =++ Observamos que la analoga esperfecta (*).

La misma ED para ambossistemas totalmente distintos.

iCpuupLR

u=++

1

(*) En realidad para el caso de la masa, en realidad no es tan perfecta. como lo veremos mas adelante.

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Esta analoga se llama directa

Esto que acabamos de ver nos da pie para utilizar esta analoga pararesolver sistemas mecnicos con su equivalente elctrico.

B

f+

-

vR

i+

-

u

L

i+

-

u

C

i+

-

u

B

T+

-

k

f+

-

v k

T+

-

Riu =

Lpiu =

Cpui =

fB

v1

=

pfk

v1

=

Mpvf =

TB1

=

pTk1

=

= JpT

ELECTRICO MECANICOTRASLACION ROTACION

M

f+

-

v

SIST. INERCIAL

J

T+

-

SIST. INERCIAL

RESUMEN

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[ ]mNsB /

[ ]Nmk[ ]kgM

[ ]B

R 1

[ ]Hk

L 1

[ ]FMC

ELEMENTO O MAGNITUD MECANICA EQUIVALENCIA ELECTRICA

EQUIVALENCIAS MECANICO-ELECTRICAS ANALOGIA DIRECTA

[ ]Nf[ ]smv /

[ ]Ai[ ]Vu

RELACIONES CIRCUITALES

En la analoga elctrico-mecnica anterior relacionamos variablestrans elctricas con variables trans mecnicas (analoga directa):

Definimos las variables como:

Transvariables o entre 2 puntos: u, x, v, etc.

Pervariables o por 1 punto: i , f , T , etc.

Entonces, slo para esta analoga, podemos definir las impedanciasoperacionales como:

PER f i PER TRANS v u TRANS

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fvZ t =

v

fYt =

Impedancias operacionales de Traslacin:

Impedancias operacionales de Rotacin

TZr

=

=

TYr

Utilizando estas definiciones podemos resumir las impedanciasoperacionales de los elementos ya vistos:

ELECTRICO MECANICOTRASLACION ROTACION

IMPEDANCIAS OPERACIONALES

fB

v1

= B1)p(Z t =

B)p(Yt =Riu =

RpZ = )(

BpY 1)( =

TB1

=BpZ r

1)( =

BpYr =)(

pfk

v1

=

kp)p(Z t =

pk)p(Yt =

pTk1

=kppZ

r=)(

pkpYr =)(

Mpvf = MppZ t

1)( =

MppYt =)(= JpTJp

pZt1)( =

JppYt =)(

Lpiu =LppZ = )(

LppY 1)( =

Cpui =Cp

pZ 1)( =

CppY =)(

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FdtdvMvdtkBv =++

La analoga directa o paralelo no es la nica posible

Podramos comparar la ED del sistema mecnico anterior con la ED deun circuito elctrico serie:

UdtdiLdti

CiR =++ ..

1.

Esta analoga, relaciona variables trans como v con variables percomo i. Es una analoga inversa o serie.

Esto hace a esta analoga inversa no muy conveniente para nosotros,por lo que no la usaremos.

Desde el punto de vista histrico primero surgi la analoga inversa opero esta claro que la definicin de impedancias operacionales en estecaso no coincide con la definicin de las mismas en el caso elctrico.

Por qu surgi primero esta analoga? Porque los primerosinvestigadores eran del campo de la mecnica y prefirieron (o vieronmas natural) definir como impedancia (o resistencia a) la causa delmovimiento, la fuerza f, dividido por la magnitud que es laconsecuencia del movimiento, es decir, la velocidad v. Lean elexcelente paper:

ON THE ORIGINS AND DEVELOPMENT OF MOBILITY AND IMPEDANCE METHODS IN

STRUCTURAL DYNAMICS, P. GARDONIO AND M. J. BRENNAN, Journal of Sound and

Vibration, 2002

ACLARACION IMPORTANTE: Por razones histricas, en la bibliografaen ingles a la analoga paralelo le llaman inversa o mobility method ya la analoga serie le llaman directa (contrario a lo que hemos definidoaqu, que preferimos usar un nombre mas intuitivo para los elctricos).

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Ubicar puntos rgidos con un

sistema inercial de referencia

Ubicar fuentes de fuerza y/o

velocidad entre los nodos que

corresponda

Ubicar los puntos mviles (con

velocidades distintas)

Ubicar entre nodos

amortiguadores y resortes

Ubicar las masas entre el nodo

que corresponda y nodo de

referencia

En casos simples e/ nodo y

referencia, pero en otros casos

e/ nodos c/ distinta velocidad

Si hay desplazamientos

verticales, ubicar Fte. de fuerza

Mg e/ nodo y referencia

Sentidos de ftes. Segn si la velocidad

CIRCUITO MECANICO, ELECTRICO Y LA CONSTRUCCION DE SU ANALOGIA

ELEMENTOS PASIVOS DE 4 TERMINALES

ENTR

ADA

TRASLACION

ELEC

TRIC

AM

ECAN

ICA

TRAS

LACI

ON

RO

TACI

ON

ROTACION

SALIDAMECANICA

ELECTRICA

Transductor de Traslacin

(parlante), Rel

Motor de CC (control en inducido o en campo), Instrumento de imn permanente y bob. mvil

Transductor de Traslacin

Generador de CC

TRANSDUCTORES

Palanca Polea

EngranajesSin fin y corona

Poleas con correas

Tr. ideal

Polea

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ELEMENTOS PASIVOS DE 4 TERMINALES

El equivalente circuital de estos elementos siempre es un TRANSFORMADOR IDEAL.

Antes de estudiar los elementos de 4 terminales, vamos a analizar brevemente este elemento circuital, dada su importancia en este contexto.

TRANSFORMADOR IDEAL

SECUNDARIO EN CONVENCION CONSUMIDORA

SECUNDARIO EN CONVENCION GENERADORA

au

u=

2

1

aii 12

1= a

u

u=

2

1

aii 12

1=

2i+

-

2u

1i+

-

1u

1:a

* *1N 2N

2i+

-

2u

1i+

-

1u

1:a

* *1N 2N

SIEMPRE aNN

=

2

1

IMPORTANTE: La relacin de transformacin a es el cociente entre la tensin primariay la secundaria, pero para las corrientes el cociente es inverso!

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POLEA(transformacintraslacin-rotacin)

Rv =Velocidad tangencial

Fuerza

fTR =

=

vR

fRT =Ra =

(es reversible)

SISTEMAS MECANICOS DE 4 TERMINALES

,TR

fv,

T+

-

f+

-

v

1:a

* *

Analoga elctrica

PALANCA

2211 lflf =Momento

Vel. angular 21 =2

1

2

1

1

2

ll

av

v

ff

===

(es reversible)

2

2

1

1

lv

lv

=

2

1

1

2

ll

ff

=

ojosentidos!

2f+

-

2v

1f+

-

1v

1:a

* *

1f

1v

2f

2v2l1lv+

Analoga elctrica

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Si los sentidos de la fuerza aplicada a la palanca son como lossiguientes, los sentidos en el modelo de Tr ideal cambian:

1f

1v

2f

2v

2l1l

v+

ojo sentido!

2f+

-

2v

1f+

-

1v

1:a

* *

Analoga elctrica

ENGRANAJES IDEALES (J=B=0)

El mdulo de unengranaje es larelacin entere supaso circular P y pi.

pi

PM =

El paso debe ser mltiplo de pi, medido sobre el dimetro primitivo:

ZDP Ppi=

Para que 2 engranajes engranen deben tener igual M

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22MZDR P ==

1

2

1

2

1

2

ZZ

DD

RR

P

P==

Si tenemos 2 engranajes de distinto cantidad de dientes Z (pero igual M):

11,T1R

22 ,T

2R

corona

pion

21 vv =Velocidad tangencial

Fuerza

2

2

1

1

RT

RT

=21 ff =

1

2

RR

a =

2211 RR =2

1

1

2

RR

=

1

2

1

2

RR

TT

=

2T+

-

2

1T+

-

1

1:a

* *

Analoga elctrica

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SIN FIN Y CREMALLERA

1 Entrada

2 Entradas

3 Entradas

AVANCEPASO

Caractersticas de un Tornillo

Avance: Es la distancia lineal que recorre el tornillo al dar unavuelta completa

Paso: Es la distancia lineal entre dos filos consecutivos de lahlice NpA =

Si la hlice que describe el filete tiene un paso suficientemente grande, dejar espacio para arrollar sobre el cilindro otro filete, obtenindose una rosca de doble entrada, o triple si los filetes aadidos son dos.Por ejemplo, un tornillo de 3 mm de paso y una entrada, cuando gira una vuelta completa sobre una tuerca, produce un avance de sta de 3 mm.

En cambio un tornillo con el mismo paso y dos entradas, produce un avance de la tuerca en el mismo tiempo de 6 mm.

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Entonces, poniendo al elemento 1 como el sin fin:

Z1 pasa a ser el N1, nmero de entradas del sin fin:

22T

2Z

1N1 1T

1

2

NZ

a =1

2

1

2

2

1

NZ

ZZ

==

1

2

1

2

1

2

NZ

ZZ

TT

==

2T+

-

2

1T+

-

1

1:a

* *

2Z1N

Analoga elctrica

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POLEAS (TRANSMISION POR CORREAS)

222

21

1DD =Velocidad tangencial

Fuerza2

2

1

1

RT

RT

= 1

2

DD

a =

21 vv =

21 ff =

11,T

1R

22 ,T

2R

De manera que el modelo circuital queda:

2T+

-

2

1T+

-

1

1:a

* *

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ELEMENTOS PASIVOS DE 4 TERMINALESTRANSDUCTORES MECANICO-ELECTRICOS

aikT 1=fik2=

.ctei f = af iikkT 21= aT ikT =Si.cteia =Si af iikkT 21= fT ikT =

Motor de CC

,T

ai+

-

au

fE

fi

a

a

iTuka =

==

De manera que se puede utilizar el modelo del Tr ideal:

Pero: == fa ikkku 233= ma ku

En general: kkk mT ==

T+

-

ai+

-

au

1:a

* *

MOTOR

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TRANSDUCTOR DE TRASLACION

)(___

BdLidf =NiLBf =

S

S

fBiN v

( ) NBLvdx

NBLxdu ==

av

u

ifNBL ===

(es reversible)

f+

-

v

i+

-

u

1:a

* *

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Para pensar:

DEMOSTRAR QUE UNA PALANCA CON 2 FUERZAS EN UN SOLO BRAZO EQUIVALE A 2 TRANSFORMADORES IDEALES EN CASCADA CON RELACIONES DE TR a=L1/L2 Y a=L1/(L2+L3)

L1

L2

L3

F1

V1,1

V2, 2V3, 3

F2F3

El increble xito de la aplicacin de las analogas electromecnicas a la Frmula 1

En el ao 2005 Kimi Raikkonen gan el Grand Prix espaol manejando el McLaren MP4-20

Diario La Nacin 9 de Mayo 2005

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La carrera de 2005 fue la primera vez que este nuevo elemento mecnico se utiliz como suspensin de un Frmula 1

En el 2008 dos artculos en la revista Autosport revelaron detalles de una nueva suspensin mecnica que implic una mejora en la performance de la maniobra y el agarre en los autos de Frmula 1

En el 2007 se desencaden el famoso spy scandal cuando un dibujo de Mac Laren de un nuevo elemento de suspensin J-damper lleg a las manos del equipo de ingeniera de Renault

Los artculos de Autosport revelaron que el J-damper era en realidad el elemento mecnico inerter que tiene su origen en el trabajo acadmico en teora de circuitos elctricos y mecnicos en Cambridge University.

Este apartado tiene la intensin de mostrarles las ideas y los fundamentos y aplicaciones del inerter y su intima conexin con la teora de analogas electromecnicas

Antes expusimos el elemento masa y su casi equivalencia elctrica con un capacitor:

x+

vx

0=x

Sistema inercial de referencia

M

Terminal de referencia(siempre sistema inercial)

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Sin embargo vemos que el elemento masa tiene 1 slo terminal (su centro de masa) mientras que el otro terminal es fijo a la tierra mecnica (sistema inercial)

Los terminales de elementos mecnicos son los puntos de agarre que se mueven libre e independientemente en el espacio

Entonces, la equivalencia exacta sera:

MASA CAPACITOR A TIERRA

dtudCi )0( 2 =

dtvdMf )0( 2 =

2v

Mf

01 =v

Ci

2u

01 =u

Pero entonces, Cul es el equivalente mecnico de un capacitor conectado entre una diferencia de potencial v2-v1?

MASA INERTER (INERTOR)

Ci

2u

1u

dtuudCi )( 12 =

dtvvdbf )( 12 =

.No existi!!!...hasta el 2002

En el 2002, Malcom Smith public un paper: Synthesis of mechanical networks: the inerter IEEE Trans. Automat. Control, vol. 47, no. 10, pp. 16481662

All se plantea y fundamenta la equivalencia mecnica EXACTA de un capacitor:

Mf

2v

1v

donde b es la inertancia en kg

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Cmo se poda realizar mecnicamente un capacitor entre una diferencia de potencial v2-v1, antes del desarrollo del inerter?

A travs de palancas flotantes (floating levers):

Entonces, en el inertor, la fuerza desarrollada es proporcional a la aceleracin entre los dos terminales

1v 21vv

11

2v

11

Una masa M en el

punto A estar

sometida a la

velocidad v1-v2 y

la fuerza ser:

dtvvdMf )( 12 =

Ver Linear Circuit Analysis Ley-Lutz-Rehberg (1959)

REALIZACION MECANICA REAL DE UN INERTOR

Sin entrar en detalles, los diagramas constructivos del inertor pueden ser:

pionescremallera

volanteengranaje

tornillovolanteTuerca

Realizacin con pion y cremallera

Realizacin con tornillo sin fin

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Inertor real (con tornillo sin fin):

(a) Inertor real completo

(b) Inertor sin el casquete exterior (tornillo, tuerca y volante)

(d) Inertor, vista del cojinete de empuje

(c) Inertor sin el volante

Inertor real (con pin y cremallera):

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quieren saber mas?:

http://www.youtube.com/watch?v=vjYtf8jJzdQ

Malcom Smith public un Synthesis of mechanical networks: the inerter IEEE Trans. Automat. Control, vol. 47, no. 10, pp. 16481662, 2002

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BIBLOGRAFIA COMENTADA

- Ingeniera de Control Moderno, Ogata. Como todo libro decontrol bsico, este contiene una introduccin al tema en losprimeros captulos. Bsico, pero con varios ejemplos.- Linear Circuits Analisis, Ley-Lutz-Rehberg, 1959. Excelentey claro tratamiento del tema. Tiene la ventaja de que es un librode circuitos y no de control.

- Linear Control System Analysis and Design, Dazo-Houpis 2003. Otro libro de control con una muy buena intro a sistemas electromecnicos.

LIBROS

- Electrical and Mechanical Networks, W. W. Harman and D. W. Lytle, McGraw-Hill, 1962: Un ejemplo de texto con una fuerte integracin entre sistemas mecnicos y elctricos

PAPERS- P. GARDONIO AND M. J. BRENNAN, On the origins and development of mobility and impedance methods in structural dynamics, Journal of Sound and Vibration (2002) 249(3), 557-573- A. BLOCH, Electromechanical analogies and their use for the analysis of mechanical and electromechanical systems, Journal of the Institution of Electrical Engineers 92, 157-169, 1945