Teorema

Adjunta de una matriz cuadrada.

Dada una matriz Anxn = (aij) se define la adjunta de A como la traspuesta de la matriz de sus cofactores.

Adj(A)=

Ejemplo:

A31 =1, A32 = -1 , A33 = -2

De donde la adjunta de A es:

Teorema

Sea A una matriz nxn. Entonces A Adj(A) = |A | In

Demostracin:

Sean A = y A = ( | A | = 0, pues A tiene dos filas iguales)

Por un lado | A |, desarrollando por la fila j, es igual a: ai1 Aj1 + ... + ain Ain = 0 (*)

Por otro lado vamos a ver cules son las entradas del producto

A Adj(A)=

EMBED Equation.3 La fila i de A es (ai1, ... , ain) y las columnas i y j de Adj(A) son:

La columna i-sima de Adj(A) es: y la j-sima:

se sigue que las entradas en la diagonal (i, i) del producto A Adj(A) son de la forma:

(a1i ... ain) = ai1 Ai1 + ... + ain Ain = | A |, pues se trata del desarrollo del determinante

de A por la fila i-sima.

y las entradas i, j fuera de la diagonal (i diferente de j):

(a1i ... ain) = ai1 Aj1 + ... + ain Ain = | A | = 0 (ver *), de donde se sigue la tesis de

este teorema.

Lema

i) Sea A ( Mn. Entonces:

ii) Si existen matrices B y C ambas nxn tales que BA = I = AC, entonces B = C y A es invertible (de esta proposicin se sigue que la inversa es nica).iii) Si existe B ( Mn tal que BA = I, entonces A es invertible.

iv) Si existe B ( Mn tal que AB = I, entonces A es invertible.

Demostracin:

i) Sean B y C dos matrices nxn tales que BA = I =AC, entonces B = BI = B(AC) = (BA) C = I C = C.

ii) Si existe B ( Mn tal que BA = I, entonces el sistema homogneo AX = 0 tiene slo la solucin trivial, ya que si Y es solucin de AX = 0, entonces, multiplicando por B por la izquierda a ambos lados de AY = 0, se tiene Y = IY = (BA)Y = B(AY) = B0nx1 = 0nx1. Por el teorema creciente A es invertible.

iii) Si existe B ( Mn tal que AB = I, entonces, por la parte ii) B es invertible y existe

B-1 tal que AB = I = BB-1. Por la parte i) A = B-1, B es invertible y su inversa, tambin invertible, es A.

Corolario

Sea A una matriz nxn. Entonces:

A es invertible ( | A | ( 0

Adems, si A es invertible, entonces A-1 =

Demostracin:

((): Si A es invertible, de A A-1 = I, se sigue | A | | A-1 | = | I | = 1 y de esto | A | ( 0.

(() : Si | A | ( 0, entonces, por el ltimo teorema A Adj(A) = |A | In, de donde

A = I y, por la parte iii) del lema A es invertible .

Ms sobre el teorema creciente.Aadiendo al teorema creciente la equivalencia recin demostrada, ste queda:

Teorema creciente.

Sea A una matriz cuadrada nxn. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:

i) A es invertible

ii) Para toda columna bnx1 el sistema AX = b tiene solucin nica.

iii) El sistema homogneo AX = O tiene solucin nica (la trivial).

iv) La f.e. de A tiene n pivotes

v) La f.e.r. de A es In.

vi) El determinante de A es distinto de cero.

vii) Las filas de A, as como sus columnas, son l.i.

viii) El rango de A es n.

ix) La nulidad de A es cero.

x) La t.l. TA: IRn ( IRn, definida para todo X(IRn por T(X) = AX es biyectiva.

Se recuerda, que escribimos en fuentes negras las equivalencias demostradas y en gris las que an no lo han sido._1278662993.unknown

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