República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Popular para la Educación Superior

Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño

Algebra Lineal

Vanessa Infante

C.I. 17182424

Maracaibo, 13/06/2014

Sustitución: El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente o base, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

Igualación: El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita

en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Reducción: Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema:

Resolver aplicando Sustitución, Igualación y Reducción.

3X - Y + Z = 10 -X+ Y - 3Z = 4X + 2Y +Z = 0-X - Y +2Z = 1

3X - Y + Z = 10 -X+ Y - 3Z = 4X + 2Y +Z = 0-X - Y +2Z = 1

3y – y – z = 10

Z = 10 – 3x + y

Sustituyendo z.

-x + y – 3 (10 – 3x + y)= 4 -x + y – 30 + 9 – 3y = 4

-8x – 2y = 30+4

2y = 34+8x

-2y+34 = x

8

Sustituyendo x.

-2y+34 = x + 2y+z = 0

8

34 + z = 0

8

17 + 10 – 3x + y = 0

4

17 + 10 – 3x + y = 0

4

17 + 10 – 3 (-zy+34) + y = 0

4 8

17 + 10 + 6y – 102 + y = 0

4

17 + 10 + 6y – 102 + y = 0.8

4

17 + 10 + zy-102 = 0

4

-351 + 7y = 0

4

7y = 351

4

y = 351

4

7

y = 351

28

Sustituyendo x

x = -2y + 34

8

x = -2(351)+ 34

8

28

X= 125

112

Sustituyendo x, y

z = 10 – 3y + y

z = 10 – 3 (125) + (351)

(112) (28)

z = 307

16

(3)

3x – y + z = 10

- x + y – 3 z = 4

- 3x + 3y – 9z = 12

3x - y + z = 10

2y + z = 22

(-2)

2y + 8z = 22

y – 3 z = 1

- 2y – 6z = -2

2y - 8z = 22

-14z = 20

-14z – 20 = 0

-20 = 14z

Z = - 20

14

Sustituyendo z

2y – 8z = 1

2y = 1+8z

Y= 1+8z

2

Y= 1+8 (-20)

(14)

2

Y = -73

14

3x – y + z = 10

3x = 10 + y – z

X = 10 + y – z

3

X = 10 + (-73) – (-20)

(4) (14)

3

X = 29

14

3X - Y + Z = 10 -X+ Y - 3Z = 4X + 2Y +Z = 0-X - Y +2Z = 1

3X - Y + Z = 10 3X – Y = 10

3X= 10 - z + y

X = 10 - z + y

3

-x + y – 3z = 4

y – 3z = 4 + x

y – 3z – 4 = x

y – 3z – 4 = 10 – z + y

10 – z + y = y – 3z – 4*3

10 – z + y – y = -3z – 12

10 – z = - 3z – 12

-z + 3z = -12 – 10

2z = -22

Z = -22

2

X + 2y + z = 0

Z = - x – 2y

-x – y + 2 z = 1

2 z = x + y

Z = x + y

2

-x – 2y = - 2 (x + y)

-x – 2y = - 2x – 2y

- x – 2y + 2y = - 2x

-x + 2x = 0

X = 0

3x – y + z = 10

3x + z = 10 + y

3x + z – 10 = y

3(0) + (-22) - 10 = y

(2)

Y = - 21