PRESENTACIÓN

En el ciclo escolar 2020-2021, la sociedad hizo frente a la contingencia sanitaria por el SARS-CoV2 (COVID 19), las medidas sanitarias que se establecieron para mitigar y reducir la pandemia generaron una oferta educativa que implicó la migración forzada hacia la modalidad no presencial en todos los niveles educativos. Desde marzo de 2020, nuevos retos y desafíos se han tenido en el ámbito educativo, la vida académica ha trascurrido entre pantallas de Zoom, Meet, Classroom, chats de WhatsApp, la programación de “aprende en casa” y diversos recursos digitales. Este periodo de confinamiento marca un antes y un después en la vida educativa. Ante este panorama, Los Servicios Educativos del Estado de Chihuahua, han coadyuvado en la práctica educativa de los docentes, diseñando un cuaderno de actividades en versión digital e impresa, elaborado por el colegiado de Jefes de Enseñanza, ATP´s y el equipo Académico Estatal Multidisciplinario de la Dirección de Educación Secundaria y Superior, con el propósito de fortalecer el proceso educativo del nivel de Secundaria, para cubrir todas las regiones del territorio estatal en donde no hay conectividad, ni acceso a la cobertura del programa de educación a distancia Aprende en casa II. Los cuadernos de actividades de regreso a clases, de los tres grados de educación secundaria correspondientes al tercer periodo del ciclo escolar 2020-2021, atienden a los aprendizajes fundamentales a desarrollarse los meses de abril a julio. Contienen las asignaturas del campo de formación académica: español, matemáticas, inglés, formación cívica y ética, historia, ciencias y geografía. El contenido, apoyará la realización del trabajo académico de 6506 docentes; la versión digital del cuaderno de actividades beneficiará a 131,691 estudiantes y la versión impresa a 71,595, pertenecientes a las tres modalidades del nivel: Secundarias Generales, Secundarias Técnicas y Telesecundarias. Este esfuerzo de planeación, diseño y edición implica que; se le otorgue el crédito a quienes participaron en su elaboración, el destino de un adecuado uso didáctico de aquellos que lo tendrán es sus manos día a día, aunado al compromiso conjunto de los SEECH para la cristalización del proyecto. Con el propósito de facilitar caminos pedagógicos para que el estudiantado construya significado y sentido de sus vidas, de manera autónoma y con mirada crítica acerca de lo que está sucediendo en el mundo actual, deseo que este documento sea de beneficio para nuestros estimados estudiantes que cursan una etapa desafiante en su proceso de formación. Cumpliendo lo anterior, estoy seguro de que el esfuerzo habrá valido la pena.

Maestro Manuel Arias Delgado Director General de SEECH

CRÉDITOS

Coordinación general José Luis García Leos Carmen Julia Aguirre Santana Juan Guillermo Paredes Morín

Edición y diseño Jesús Acevedo Paredes

Coordinador de asignatura Raúl Quiñonez Gutiérrez

Responsables de contenido Luis Enrique Morales Rodríguez José Guillermo Valdizón Arrieta René Holguín Luna Porfirio Loya Ibarbo Juan Guillermo Paredes Morín

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MATEMÁTICAS

Pitágoras de Samos

Probablemente en alguna ocasión hayas escuchado el nombre de Pitágoras. Este personaje Filósofo y Matemático Griego de quien algunos biógrafos establecen su nacimiento en el año 569 A.C. y su muerte en el año 475 A.C., es muy conocido por su aportación a las matemáticas, al haber enunciado el Teorema que lleva su nombre. Te invitamos a que busques en Google más información acerca de este gran matemático de la antigüedad. El teorema de Pitágoras define la relación que hay entre los lados de un triángulo rectángulo, de tal forma que: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado construido en la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos en los catetos”; o bien “en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. En conclusión, En todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos. Vamos a recordar que un triángulo rectángulo, es el que: a. Tiene un ángulo interno de 90°, recordando que la suma de los tres ángulos

internos de todo triángulo es 180°; consecuentemente los otros dos ángulos internos del triángulo rectángulo son agudos y entre ambos suman 90°. Como el ángulo de 90° se llama ángulo recto, de ahí recibe el nombre de triángulo rectángulo.

b. Los lados del triángulo rectángulo tienen un nombre específico. La hipotenusa,

es muy fácil de identificar por ser el lado de mayor longitud del triángulo y además es el lado opuesto al ángulo recto. Los otros dos lados se llaman catetos y son los lados que forman el ángulo recto.

Consigna 1. Observa y analiza el siguiente triángulo, el que más comúnmente se

emplea para ejemplificar el teorema de Pitágoras. Y responde a las preguntas.

1. ¿Cuál es el nombre del lado c?

2. ¿Cuál es el cateto menor?

3. Considerando cada cuadrito como una

unidad cuadrada. ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa?

4. ¿Cuánto mide el cateto mayor?

5. ¿Cuál es el total de cuadritos que obtienes al

sumar las 2 áreas de los cuadrados construidos en cada cateto?

Formula, justifica y usa el teorema de Pitágoras AE

2

MATEMÁTICAS

Consigna 2. Copia a tu cuaderno los dos triángulos rectángulos que se te dan a continuación. Traza en ellos los cuadrados de cada cateto y el de la hipotenusa, tal y como se hizo en el ejemplo anterior. Y responde a las preguntas.

a. ¿Cuál es la medida de la hipotenusa en el triángulo 1? b. ¿Cuánto mide el área del cuadrado construido en el cateto menor del triángulo

1? ¿y cuánto la del cuadrado en el cateto mayor? c. ¿Cuántas unidades mide el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa

del triángulo 1? d. ¿Hay alguna relación entre las dos áreas de los cuadrados construidos en los

catetos y la del cuadrado construido en la hipotenusa? ¿Cuál es la relación que encontraste?

e. ¿Cuánto mide el área del cuadrado construido en el cateto menor del triángulo

2? f. ¿Cuánto mide el área del cuadrado construido en el cateto mayor del triángulo

2? g. ¿Pudiste trazar el cuadrado de la hipotenusa del triángulo 2?

¿Cuánto mide el área del cuadrado que se construye sobre la hipotenusa del triángulo 2?

Muy bien: para evitar el tener que estar trazando cuadrados tomando como lados los catetos y/o la hipotenusa del triángulo rectángulo, se simplifica el proceso con el uso adecuado de la representación algebraica del teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras se expresa de forma algebraica por la ecuación: “en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

a2 + b2 = c2

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MATEMÁTICAS

Donde a y b son los catetos del triángulo y c es la hipotenusa. Cuando conocemos los valores de los catetos, podemos calcular la longitud de la hipotenusa sustituyendo las literales por sus valores en la fórmula: Si conocemos el valor de la hipotenusa y de uno de los catetos, podemos calcular el otro cateto sustituyendo en la formula las literales por los valores conocidos en las siguientes variantes de la fórmula:

𝐚 = √𝐜𝟐 − 𝐛𝟐 𝐛 = √𝐜𝟐 − 𝐚𝟐

EJEMPLOS Encontrar el valor que falta en cada triángulo rectángulo. Complementa lo que falta.

𝒄 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒗 = √𝐰𝟐 − 𝒖𝟐

c = √7.52 + 42 u = √6.52 − 62

c = √ 56.25 + 16 u = √ 42.25 − 36

c = √ u = √

c = 8.5 u=

Consigna 3. Empleando la expresión algebraica correcta y sustituyendo las

literales por los valores correspondientes, encontrar los valores faltantes en los siguientes triángulos. Realiza las operaciones en tu cuaderno.

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MATEMÁTICAS

𝒄 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒙 = √𝒚𝟐 − 𝒛𝟐

c = √ + x = √ −

c = √ + x = √ −

c = √ x = √

c = x =

𝒄 = √ + 𝒖 = √ −

c = √ + u = √ −

c = √ + u = √ −

c = √ u = √

c = u =

APLICACIONES

Consigna 4. Resuelve los siguientes problemas, aplicando el teorema de

Pitágoras. a. Una réplica de la famosa torre Eiffel proyecta a la luz de un foco una sombra

de 16 cm, si la distancia de la parte más alta de la réplica y el punto donde termina la sombra es de 34 cm. ¿Cuál es la altura de la réplica?

16 cm

34cm X

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MATEMÁTICAS

b. Observa el siguiente dibujo. Es el de un poste como los que el dueño de un rancho empleará para llevar electricidad desde la línea principal hasta la casa del rancho. Las dos patas del poste tienen unas placas de fierro en su base y con estas deberán ser fijadas en planchas de concreto por medio de tornillos. La información que dio el proveedor de los postes es que: del vértice donde se unen las dos patas, a la base donde están soldadas a la placa de fierro, la pata vertical mide 10 metros, y la patata inclinada mide 10.25 metros. ¿Cuál es la distancia entre la base de las dos patas del poste, sin tomar en cuenta las placas de fierro?

c. En un rancho, el camino que comunica la casa del encargado (punto C) a las

instalaciones del pozo y la bomba (punto B) que surte de agua a todo el rancho mide 96 metros; formando un ángulo de 90° con el camino de 180 metros, que comunica la casa del encargado con las bodegas (punto A) paras las herramientas, tal y como se muestra en el dibujo. Se quiere trazar un camino que permita transitar del pozo a la bodega. ¿Cuántos metros serán los que mida el nuevo camino?

d. La siguiente figura representa una caja de cartón; con forma de prisma

rectangular, cuya base mide 8 y 6 centímetros de largo y ancho respectivamente, con una altura de 24 centímetros. Se trata de que, aplicando el teorema de Pitágoras encuentres la medida de las 2 diagonales. Recomendación: encuentra primero la diagonal UW, enseguida la diagonal UX.

10 m 10.25 m

y

A C

B

96 m

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MATEMÁTICAS

e. La casita para mascota que se ilustra, tienen en la cubierta del techo las dimensiones que se especifican, encuentra la medida del lado inclinado del techo en uno de sus lados. Se sabe que el lado de 16 cm y el de 63 cm forman un ángulo recto.

f. ¿A qué longitud deberá extenderse la siguiente escalera; para que el pie de la

escalera esté a 1.8 metros de su base y se apoye en el muro a una altura de 8 metros? El siguiente diagrama representa la situación?

g. Al atardecer, un pino proyecta una sombra de 63 metros de longitud. Si la

altura del árbol es de 16 metros. ¿Cuál es la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra?

h. Se quiere colocar un cable desde el punto más alto de una torre de 25 metros

de altura hasta una antena de 10 metros de altura, que se encuentra situada a 36 metros de la base la torre. ¿Cuánto debe medir el cable en total, si se requieren 0.8 metros para sujetarlo por el extremo fijado a la torre y 0.4 m para sujetarlo en el otro extremo?

16 cm

X

63 cm

1.8m

8m

x

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MATEMÁTICAS

Queridos alumnos: Durante tu paso por la primaria y hasta segundo de secundaria has estudiado algunas de las ramas que forman una de las ciencias exactas, la MATEMÁTICA, corresponde, en tercer grado, iniciarte en el estudio de otra de sus ramas, la TRIGONOMETRÍA Hace unos 4000 años en Babilonia y Egipto se establecieron las primeras bases para el estudio y aplicación de la trigonometría, sus registros indican que se utilizaba tanto en agricultura como en la construcción de las pirámides y que fue en Egipto en donde se desarrollaron las medidas de los ángulos en grados, minutos y segundos. Es una de las varias ramas que forman las matemáticas, estudia las relaciones que existen entre los ángulos y la medida de los lados de los triángulos, de ahí el origen de su nombre, Trigonos (triangulo) y metría(medida). Como veras siendo apenas una introducción en la Trigonometría iniciaremos con las relaciones que se forman con los ángulos y la medida de los lados del triángulo rectángulo, triángulo que ya has utilizado en el Teorema de Pitágoras.

Resuelve problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente AE

- + × |÷

√ 𝟐𝟑

NUMEROS Y

VARIABLES

𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 = 𝟏𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟏𝟐

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MATEMÁTICAS

INICIEMOS: Actividad 1. investiga que estudia cada una de las ramas de las matemáticas del

diagrama anterior y agrega las que faltan. Veamos algunas precisiones: La siguiente figura es un triángulo rectángulo ¿Puedes decir por qué se llama así? Los ángulos de un triángulo los Indicaremos con letras mayúsculas (A, B, C) los lados se mostrarán con letras minúsculas y llamaremos catetos a los lados más cortos (a, b) e hipotenusa (c) al lado más largo que está opuesto al ángulo recto (90°). Continuemos….

Como puedes observar si tomamos el ángulo A su amplitud (su medida en grados) depende de… o está en función de… lo que midan los catetos o la hipotenusa.

Actividad 2. Al siguiente triángulo rectángulo le colocamos medidas ¿Cuántas

razones (comparaciones por división) puedes formar? Te ayudo con una razón 3

5, recuerda que las razones se representan en forma de

fracción. ¿Cuántas razones encontraste? ________________ Como te puedes fijar las medidas 3cm y 4cm representan los catetos y 5cm la hipotenusa, al tomar como referencia al ángulo A al cateto que está enfrente le llamaremos cateto opuesto y al cateto que forma el ángulo A lo denominaremos cateto adyacente. Actividad 3. Sustituye las medidas por su cateto o hipotenusa según

corresponda, te ayudo con la 1ª razón.

1ª razón 3

5 2ª razón 3ª razón 4ª razón 5ª razón 6ª razón

1ª razón 3

5

2ª razón

3ª razón

4ª razón

Si tienes curiosidad de saber por qué los lados

de un triángulo rectángulo se llaman catetos e

hipotenusa investígalo y compártelo con tus

compañeros

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MATEMÁTICAS

1ª razón 3

5 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 4ª razón

2ª razón 5ª razón

3ª razón 6ª razón

Actividad 4: Encuentra las razones: Seno(sen), Coseno (cos) y tangente (tg o tan) del ángulo que se indica en cada triángulo.

¿Para qué es importante conocer y utilizar las razones trigonométricas? En temas anteriores utilizaste el teorema de Pitágoras para resolver problemas en los que era necesario encontrar, la hipotenusa o uno de los catetos de un triángulo rectángulo, por ejemplo, en el siguiente reto. Reto: Se quiere colocar cables para detener una torre de comunicaciones a 24 metros de altura, hasta un punto situado a 10 metros de la base la torre. ¿Cuánto debe medir el cable? Resolvamos: Si observas la imagen identificamos un triángulo rectángulo, la altura a la que se sujetará el cable en la torre (24 m) y la distancia de (10 m) son los catetos y (x) uno de los cables que se quieren poner, es la hipotenusa.

Nota: Pide a tu profe que te comente cómo se

llaman las otras razones que encontraste

En este nivel de secundaria para su

estudio y aplicación de la trigonometría sólo se

dará prioridad y se utilizarán tres razones,

que las denominaremos razones trigonomé

tricas y serán:

Senx = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

Cosx =𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒕𝒆

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

Tan x = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

24 m

10 m

x

Es probable que se te haya olvidado despejar,

recuerda que: despejar es dejar sola la literal o variable cuyo valor

queremos encontrar. Si utilizas la trasposición de términos en una igualdad, es pasar de un miembro al

otro de la igualdad, con operación contraria

(suma-resta, multiplicación- división,

potencia-raíz) las variables o los términos

independientes.

Recuerda que un ángulo de depresión es

congruente al ángulo de elevación, por ser alternos

internos

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MATEMÁTICAS

Utilizando el teorema de Pitágoras:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑏2

𝑥2 = 242 + 102 𝒙 = 𝟐𝟔 𝒎

𝑥 = √576 + 100

𝑥 = √676

RAZÓN SENO Pero ¿Qué pasa si cambian los datos del problema? Se quiere colocar cables para detener una torre de comunicaciones a 20 metros de altura, de manera que formen un ángulo de 65 grados con el suelo. ¿Cuánto debe medir el cable? Si te fijas no lo podemos resolver utilizando el teorema de Pitágoras, revisamos los datos que son: ángulo de 65°, cateto opuesto al ángulo (20m) y la hipotenusa que es el cable que se quiere poner (x). ¿Cuál de las razones trigonométricas anteriores lleva esos datos? La razón es seno:

Seno 65° = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 Seno 65° = 𝟐𝟎 𝒎

𝒙

Si despejas 𝒙 quedaría así 𝒙 = 𝟐𝟎 𝒎

𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟓° ahora bien ¿De dónde tomo el valor de

𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟓°? Con la ayuda de una calculadora científica o con una tabla de funciones trigonométricas en donde ya se dan los valores. En la calculadora presionas la tecla (sin) y escribes (65°) presionas la tecla de (=) y te aparece 0.906307787, para facilitar los cálculos sólo utilizamos las primeras 4 cifras decimales. (hasta diezmilésimos) 0.9063

𝑥 =20𝑚

𝑠𝑒𝑛65°=

20𝑚

0.9063= 22.07𝑚

Actividad 5. Utiliza tu calculadora para encontrar las razones trigonométricas de

los ángulos y completa la tabla.

Ángulo Seno Coseno Tangente

15°

25°

30°

40°

60°

70°

sen

cos

tan

Estas tablas se utilizaban antes de que existieran las

calculadoras científicas

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MATEMÁTICAS

RAZÓN TANGENTE Analicemos otra situación. Un herrero quiere saber cuál es la altura de la reja que debe construir para respetar las instrucciones que mando el cliente en una imagen de WhatsApp. Si te fijas los datos que tienes son: un ángulo de 40°, cateto opuesto (x) y el cateto adyacente 2 m, por lo tanto, la razón que debes utilizar es: tan 40°= cateto opuesto

cateto adyacente

tan 40°= x

2 m

2m (tan40°) = x x = 2 m (0.8390) x = 1.68 m

RAZÓN COSENO Otro ejemplo más: Alan está volando su cometa, una corriente de aire lo lleva hasta un poste de alambrado público en donde se atora en la parte más alta de la lampara, él sabe que la cuerda mide 15 m de largo y que, si la coloca en el suelo formando un ángulo de 40° puede calcular la distancia entre él y la base del poste. Ayudemos a Alan: ¿Qué datos tenemos?, tenemos un ángulo de 40°, un cateto adyacente a él (x) y la hipotenusa (la cuerda de 15 m) ¿En cuál de las razones trigonométricas se utilizan esos datos? La razón es Coseno. Cos 40°= 𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

cos 40° = 𝐱

𝟏𝟓 𝐦

(cos 40°) ( 𝟏𝟓 𝐦) = 𝐱 𝐱 = ( 𝟎. 𝟕𝟔𝟔𝟎) ( 𝟏𝟓 𝐦) 𝐱 = 𝟏𝟏. 𝟒𝟗 𝐦

¿Cómo encontramos el ángulo? Un albañil coloca una escalera de 5 m en una barda de 4.33 m de altura. ¿qué ángulo forma la escalera con el suelo si la escalera está apoyada en la parte más alta de la barda? ¿Qué datos tenemos? Un ángulo desconocido (x), un cateto opuesto a él, y la hipotenusa (la escalera). ¿Qué razón trigonométrica contiene estos datos?

2 m 40°

x

15 m

x

40°

4.33 m 5 m

x

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MATEMÁTICAS

La razón Seno. Seno x = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟒.𝟑𝟑 𝒎

𝟓 𝒎

𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟎. 𝟖𝟔𝟔 que es igual a un ángulo de 60°

Ahora practiquemos Actividad 6. Resuelve los siguientes problemas utilizando la razón que

corresponda en cada reto (seno, coseno o tangente), revisa los datos que te da el problema, y donde haya necesidad apóyate con un dibujo

1. Calcula el alto de la torre 2. Ana y Antonio compraron un terreno de forma rectangular quieren

dividirlo con una diagonal y colocar un cerco, como se muestra en el dibujo, con los datos que tienen. ¿Cuánto debe medir de largo el cerco que divide los terrenos?

3. Un excursionista quiere saber cuál es la altura de la montaña que

escaló, la inclinación de la montaña es de 40° y su recorrido por la ladera, desde la base hasta la parte más alta. fue de 650 m ¿Cuál es la altura de la montaña?

4. El equipo de Any quiere construir una estructura para un mega cometa en

forma de rombo cuyos lados midan 2.5 m y que formen con la diagonal menor un ángulo de 63 grados.? ¿Cuánto debe medir la diagonal menor? _______ y ¿Cuánto la diagonal mayor?

5. Un equipo de 3° A quiere Calcular la distancia entre las ciudades A y C

y entre las ciudades B y C si la ciudad B se encuentra a 90km de la ciudad A y la carretera que una A con B forma un ángulo de 35º con la carretera que une A con C. las ciudades A, B y C son los vértices de un triángulo rectángulo:

En tu calculadora presionas la tecla

SHIFT después SIN-1 de 0.866 y obtienes 59.99

que son los grados. redondeando.

60°

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MATEMÁTICAS

6. Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 50º. Calcular el precio del cable si cada metro cuesta $35.00, 7. ¿Qué distancia recorre la silla de ruedas en la siguiente rampa? 8. Calcular la altura de la torre de refrigeración de una central nuclear si se sabe que su sombra mide 250 metros cuando los rayos solares forman un ángulo de 32º. 9. El piloto de un avión comercial, que vuela a 1000m de altura, observa la pista de aterrizaje con un ángulo de depresión de 25° ¿A qué distancia se encuentra el avión de la pista? 10. ¿A qué distancia de la pared se debe colocar una escalera de 7.5 m de longitud de manera que forme un ángulo de 70° con el piso? 11. ¿Cuánto mide el ángulo que forma, un cable que está amarrado a una distancia de 4 m de la base de una antena de 4.8 m de alto? 12. En una casa se quiere construir una rampa para silla de ruedas ¿Cuánto debe medir su ángulo de elevación para que quede en un espacio de 3 m y que la rampa mida 3.45 m de largo?

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MATEMÁTICAS

Orientaciones didácticas

En tercer grado, el estudio de las ecuaciones continúa y concluye en la educación básica con la formulación y la solución de ecuaciones cuadráticas para resolver problemas. En periodos anteriores, ya practicaste técnicas algebraicas de factorización para usar la literal y encontrar la solución o soluciones de la ecuación; de esta manera pretendemos que en situaciones sencillas (como expresiones cuadráticas con coeficientes enteros que se factorizan como producto de binomios lineales de una incógnita), sepas que se puede recurrir a la factorización o, en cualquier caso, a la fórmula general. Corresponde en esta ocasión, conocer y aplicar el procedimiento de resolución de ecuaciones de segundo grado por fórmula general. Ejemplo. Un terreno rectangular mide 2 m más de largo que de ancho y su área es de 80 m2 ¿Cuáles son sus dimensiones?

Datos Ancho= x Largo = x + 2 Área = 80 m2

Ecuación que resulta

x(x + 2) = 80 x2 + 2x – 80 = 0

Resolución por factorización

(x - 8) (x + 10) = 0 x1 = 8 x2 = - 10

Para resolverla por fórmula general, es necesario recordar que la forma general de las ecuaciones cuadráticas es: ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0 y a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. Los términos de la ecuación de segundo grado se nombran de la siguiente manera:

ax2 bx c Término de segundo grado o cuadrático

Término de primer grado o lineal

Término independiente

Conociendo lo anterior, la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado o cuadráticas es la siguiente:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Volviendo a la ecuación resultante del problema planteado x2 + 2x – 80 = 0 sustituimos los valores de los coeficientes en la fórmula general:

𝑥 =−2 ± √22 − 4(1)(−80)

2(1)

Se resuelven las operaciones y obtenemos las soluciones

𝑥 =−2±√ 324

2 𝑥 =

−2±18

2 x1 = 8 x2 = - 10

Resuelve problemas mediante la formulación y la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas AE

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MATEMÁTICAS

¡¡¡A practicar!!!

1. Determina los valores de los coeficientes a, b y c de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

Ecuación a b c

2x2 + 2x + 3 = 0

5x2 + 2x = 0

36x – x2 = 62

2. Calcula el valor numérico de b² - 4ac (discriminante) y las soluciones de cada

ecuación.

Ecuación Valor de la discriminante

b² - 4ac Soluciones

3x² - 7x + 2 = 0

x1= ________, x2 = _______

4x² + 4x + 1 = 0

x1= ________, x2 = _______

3x2 -7x +5 = 0

x1= ________, x2 = _______ 3. De acuerdo con las soluciones obtenidas en cada ecuación, contesta lo que se

te pide. Si el valor del discriminante es mayor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación?

Si el valor del discriminante es igual a cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación?

Si el valor del discriminante es menor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación?

Conclusión:

• La raíz cuadrada de un número negativo pertenece a otro conjunto de número que se llaman imaginarios.

• Con el valor del discriminante se determinan los tipos de soluciones que tendrá la ecuación.

Discriminante Tipo de solución

b2 - 4ac 0 Dos raíces reales, por ejemplo: (3, 7), (-5, 3.2), (√5, 0), (4, -4) etc.

b2 - 4ac = 0 Solución única (dos raíces iguales). Por ejemplo: (3, 3), (-2, -2), etc.

b2 - 4ac 0 Sin solución dentro del conjunto R de los números reales, es decir, su solución es imaginaria i). Por ejemplo ((5 + 4 i) /6, (5 – 4 i) / 6)

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MATEMÁTICAS

Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula general 3x2- 5x+ 2=0 x2+ 11x+ 24=0

9x2- 12x+ 4=0 6x2 = x + 222

8x+ 5 = 36x2 x2+4x+3=0

8x2+24x+16=0 3x2+8x+5=0

5x2−8x+3=0 x2−2x−35=0

x2 – x – 6 = 0 2x2 + 7x – 4 = 0

x2 + 7x = 18 6x2 = 10 – 11x

8x – 65 = - x2 20x2 – 27x = 14

x2 = 108 – 3x 7x = 15 – 30x2

X2 + 12x + 35 = 0 x (x – 1) – 5 (x – 2) = 2

x2 + 3x – 4 = 0 3x2 – 11x – 4 = 0

2x2 + x – 2 = 0 2x2 + 11x – 21 = 0

Lee los siguientes problemas de aplicación y selecciona la expresión algebraica que, al resolverse correctamente, dé respuesta al problema planteado. 1. El cuadrado del número de años de mi edad más 7 es igual a 232. ¿Cuál de las

siguientes ecuaciones modela la situación?

a. x + 7 = 232 b. x² + 7 = 232 c. x² - 7 = 232 d. x² = 232

2. Iván tiene “x” cantidad de canicas y Mario tiene 6 canicas. El cuadrado del

número de canicas de Iván más las canicas que tiene Mario es igual a 150. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones modela la situación?

a. x = 150 b. x² + 150 = 6 c. x² = 150 d. x² + 6 = 150

3. Una cancha rectangular mide de área 96 m² como se muestra en la figura.

¿Con que expresión algebraica se obtiene las medidas de sus lados?

a. x (x + 2) = 96 b. x (x + 4) = 96 c. x2 + 2x = 96 d. 2(x +4) + 2(x) = 96

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MATEMÁTICAS

4. Erick es dos años mayor que su hermano. Si la suma de los cuadrados de sus edades es 340, ¿cuántos años tiene Erick?

a. x2 + (x + 2) = 340 b. x2 + y2 = 340 c. 2x2 + 4x + 336 = 0 d. x2 + 2x = 168

5. Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m2, ¿cuáles son

sus dimensiones?

a. (6x + 4) (2x + 4) = 207 b. 3x2 + 8x - 203 = 0 c. 3x2 + 8x + 4 = 0 d. (3x + 2) (x + 2) = 203

6. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es de 61. Encuentra

los números.

a. x2 + (x + 1)2 = 61 b. x2 + y2 = 61 c. (x2) (x+1)2 = 61 d. 2x2 + x = 61

7. La suma de los cuadrados de dos números reales pares consecutivos es 52.

Encuentra los números.

a. 2(x2 + y2) = 52 b. 102 + 122 = 52 c. 2x2 + 4x – 48 =0 d. x2 + (x + 2) = 52

8. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 181.

Encuentra dichos números.

a. x2 + x – 90 = 0 b. x + (x +1) = 181 c. 2x2 + x +1 = 181 d. 2(x) + 2(x + 1) = 181

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9. El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 metros y el largo aumenta dos metros, el área se duplica. ¿Cuál es el área original de la sala?

a. x2 + 8x + 15 = 0 b. (x)(x + 3)=(x +3)(x +5 ) c. x2 – 2x -15 = 0 d. (x+3) (x + 5) = 0

10. Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base

correspondiente. ¿Cuánto mide la altura?

a. x2 + 2x – 48 = 24 b. x2 + 2x – 48 = 0 c. (x) (x + 2) = 24 d. (x)(2x)/2 = 24

Resuelve en tu cuaderno por fórmula general, la ecuación que elegiste en cada problema y comprueba que el resultado satisface las condiciones del problema. De no ser así, corrige tu ejercicio. Actividad 1. Lee cuidadosamente el siguiente párrafo: En muchas actividades de contabilidad que se realizan por las personas, podemos analizar el comportamiento de los números. El análisis estadístico nos permite comprender mejor la información obtenida y así poder derivar conclusiones de utilidad consecuente. Para afirmar estos aprendizajes es necesario dominar las siguientes definiciones: Media. Es el promedio del conjunto de datos. Mediana. Dato ubicado a la mitad de la serie ordenada. Moda. Es el dato que se repite con mayor frecuencia. Rango. Es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor. Desviación. Es la diferencia entre cada dato con el promedio o media. Desviación media. Es la suma de las desviaciones, dividida entre el número de casos. Practiquemos la obtención de las medidas de tendencia central. Algunos de los estados de la República Mexicana tienen en su población la esperanza de vida siguiente: Zacatecas 74.9, Guerrero 73.2, Chihuahua 75.3, Aguascalientes 75.8, Nayarit 75.2, Sonora 75.3 y la Ciudad de México 76. a. ¿Cuál es la media o promedio de esperanza de vida de estas entidades?

73.2 + 74.9 + 75.2 + 75.3 + 75.3 + 75.8 + 76

Total __________ ÷ 7 = _________

b. ¿Cuál es la mediana en el conjunto de datos? ___________

Compara la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos AE

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c. ¿Cuál es la moda? _________ d. ¿Cuál es el rango? _________ Actividad 2. Ahora obtengamos las desviaciones:

Estado Esperanza de vida Promedio Distancia

Ciudad de México 76 0.9

Aguascalientes

Chihuahua

Sonora 75.1

Nayarit

Zacatecas

Guerrero

Suma 4.2 ¿Cuál es la desviación media o sea el promedio de las desviaciones? 4.2 ÷ 7 = 0.6 Actividad 3. Resuelve la siguiente actividad llenando los cuadros vacíos:

Concepto Serie Media Moda Rango Desviación media

Calificaciones de un alumno 9, 8, 9, 7, 6, 5, 7 y 10.

Dinero gastado por día 150, 170, 75, 80 y 220.

Pasos dados por hora 325, 586, 39, 412 y 127.

Edades de maestros

25, 33, 44, 38, 48, 25, 62, 50 y 19.

Peso comparado en una familia 86, 36, 72, 24, 40 y 41

Actividad 4. Analiza la siguiente información y contesta las preguntas. Los recorridos en kilómetros de un automóvil durante una quincena son los siguientes:

68, 50, 12, 124, 46, 72, 80, 18, 39, 243, 95, 80, 67, 50 y 31.

a. ¿Cuál es el promedio diario? __________

b. ¿Cuál día se desvió más del promedio? __________

c. ¿Cuál es el dato mediano de la serie? __________

d. ¿Cuál es la desviación media? __________

e. ¿Cuál es la moda? __________

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Activa tus conocimientos previos para este aprendizaje... La probabilidad se define como el grado de certeza de que ocurra o no ocurra algún suceso. Para fines de estudio, cada suceso lo llamamos evento el cuál es analizado mediante la experimentación. Así que podemos distinguir dos tipos de experimentos: Experimentos determinísticos: Son aquellos en que tenemos la certeza de lo que va a ocurrir al llevar a cabo un evento en repetidas ocasiones. Experimentos aleatorios: Son aquellos en los que no tenemos la certeza de lo que ocurrirá, pero sí es posible conocer la totalidad de resultados posibles durante su ejecución, lo que se conoce como Espacio muestral. Para que avances en el dominio de analizar datos, es necesario abordar el tema de la Probabilidad. Esto lo haremos por medio de la simulación, o representación y la ejecución de algunos experimentos; pero primero recuerda algunos conceptos necesarios que aparecen a la izquierda de la página. Para continuar con el recordatorio, lee el siguiente caso y responde los cuestionamientos: Un profesor de educación física prepara a un grupo para el desfile del 20 de noviembre, para ello, solicita a sus estudiantes que uno de ellos pase al centro de la cancha para dirigir el calentamiento previo al ensayo. Al ver que ninguno se anima, decide utilizar la lista de asistencia y seleccionar al azar a un estudiante. En la lista encuentra que ese día asistieron en total 48 estudiantes de los cuales, 28 son mujeres y 20 son hombres. Una conclusión que podemos hacer es que es más probable que el maestro elija a una mujer pues al comparar la cantidad de casos favorables con el número de hombres, hay 8 posibilidades más de elección.

La probabilidad de que seleccione a una mujer al azar es: 28

48= 0.58 = 58%

Como puedes observar hay tres formas de representar una probabilidad como fracción, como decimal y como porcentaje. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione a un hombre? ¿Cuánto suman ambas probabilidades?

Eventos singulares y no singulares Actividad 1. Analiza las siguientes situaciones y responde los cuestionamientos

que se incluyen al final de ellas.

Calcula la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes AE

Casos favorables al evento: “seleccionar

una mujer”

Casos favorables al evento: “seleccionar

un hombre”

Espacio muestral Experimento

aleatorio

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Situación 1. Al lanzar un dado de seis caras, marcada cada una con un número distinto del 1 al 6...

a. El evento: “que caiga un dos”, es un evento singular pues, del universo de opciones que hay en el experimento, (1, 2, 3, 4, 5, 6) el 2 sólo aparece una vez.

b. En cambio, el evento; “que caiga un número par” es un evento no singular

pues, del universo de opciones que hay en el experimento, (1, 2, 3, 4, 5, 6) hay tres números que cumplen con dicha característica, el 2, 4 y 6.

Situación 2. En un sorteo se rifará un celular, para ello se han emitido 100 números (del 0 al 99) ... Escribe el tipo de evento (singular o no singular) a que corresponden los incisos siguientes en la línea correspondiente.

a. Adriana compró tres boletos, para ello, eligió los números: 14, 76 y 88. Esto implica que, del total de 100 opciones de números que hay en este universo de probabilidades, a ella le corresponden tres, una por cada número que compró. ____________________________

b. Jorge compró un boleto y eligió su número favorito que es el 17. Esto

implica que, del total de 100 opciones de números que hay, a él le corresponde sólo una con dicho número. ______________________________

Situación 3. Una urna contiene seis esferas de tres colores distintos, tres negras, dos grises y una blanca. Se va a extraer una esfera sin ver, para conocer de qué color sale...

a. Plantea un evento singular para este experimento.

b. Plantea un evento no singular para este experimento. Eventos mutuamente excluyentes dos eventos son mutuamente excluyentes si no tiene elementos favorables en común, en otras palabras, cuando uno ocurre, el otro no puede ocurrir. Para aclarar mejor esta idea analiza las siguientes situaciones del experimento lanzar un dado. Situación 1. Juan, Luis y María juegan a lanzar un dado una sola vez. Juan gana

si ocurre el evento {1, 2}, Luis gana si ocurre el evento {3, 4} y María gana si ocurre el evento {5, 6}. Se lanza el dado y sale 6, ¿quién gano?

Eventos mutuamente excluyentes, las posibilidades de cada evento no se comparten entre los participantes, por ello, sólo hay un ganador, que es María. Situación 2. Al lanzar el dado Juan gana si sale un número par; María si es impar,

y Luis si es múltiplo de 3. Sale un 6, ¿quién ganó? En los eventos descritos hay dos que comparten un mismo resultado. En este caso, al salir un 6, este cumple con la característica de ser número par y a la vez es un múltiplo de 3, por lo que hay dos ganadores, Juan y Luis.

Para saber más sobre eventos singulares y no singulares, escanea este código con la cámara de

tu celular.

O sigue el enlace: https://www.youtube.com/wat

ch?v=RNmh4dOUyOE

Tomada de: https://pixabay.com/es/illustrations/cubilete-dados-cubos-juego-

azar-3261101/

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Actividad 2. Lee detenidamente el siguiente planteamiento y lleva a cabo las tareas que se solicitan.

En la siguiente tabla se registraron los resultados de una encuesta referente a si un grupo de personas ha utilizado o no un producto para sanitizar. Con el registro de los nombres de las personas se sortea un kit de limpieza. Completa la tabla y contesta.

Sí No Total

Frecuencia Probabilidad Frecuencia Probabilidad Frecuencia Probabilidad

Mujer 30 15

Hombre 10 45

Total

Al realizar el sorteo para elegir un ganador... ¿Los eventos: “que sea mujer” y “que sea hombre” son mutuamente excluyentes? ¿Por qué? Cuatro eventos que son distinguibles en estos experimentos son:

A. Que sea mujer B. Que no haya utilizado el producto C. Que sí haya utilizado el producto D. Que sea hombre

1. Escribe dos eventos que pueden ocurrir simultáneamente ___ y ___ 2. Escribe dos eventos que no pueden ocurrir simultáneamente ___ y ___ 3. Escribe dos eventos mutuamente excluyentes: ___ y ___ 4. Escribe dos eventos que no son mutuamente excluyentes: ___ y ___ 5. ¿Cuál es la probabilidad de que el sorteo se lo saque un hombre que no

haya utilizado el producto? ___ 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el kit se lo gane una mujer que sí haya

utilizado el producto? Actividad 3. Se hace girar una ruleta como la que se muestra; considera los

eventos: A) que el número sea menor que 4 y B) que el número sea mayor que cinco.

¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento B? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A o B? ¿Los eventos son mutuamente excluyentes? ¿Por qué? Regla de la suma de las probabilidades. Esta regla es aplicable a los eventos que son mutuamente excluyentes, ahora que ya sabes identificarlos, podemos aplicarla en diferentes situaciones.

Para saber más sobre eventos mutuamente excluyentes, escanea

este código con la cámara de tu celular

O sigue el enlace:

https://www.youtube.com/watch?v=zQvm1qENSOQ

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Actividad 4. Ana, Beto, Carolina y Daniel inventan un juego en el que lanzan una moneda tres veces y definen al ganador de acuerdo con el número de águilas que aparezcan, de la siguiente manera:

A. Ana gana si sale 0 águilas (3 soles) B. Beto gana si sale 1 águila C. Carolina gana si salen 2 águilas D. Daniel gana si salen 3 águilas

¿Cuál es la probabilidad de cada evento? Anote sus respuestas en la siguiente tabla y confirme el total.

Evento A B C D Total

Probabilidad 1

Como podrás darte cuenta, el juego no es justo pues todos deberían tener igual probabilidad de ganar, así que hagamos el siguiente ajuste: Juntemos los eventos de: Equipo 1: Ana y Carolina y Equipo 2: Beto y Daniel Ahora competirán por equipos, considera esta nueva información y completa la siguiente tabla:

Probabilidad de ganar del equipo de Ana y Carolina

Probabilidad de ganar del equipo de Beto y Daniel

A continuación, describe de qué manera calculaste las probabilidades de los dos equipos: Actividad 5. Realiza los siguientes ejercicios. 1. Dentro de una caja se tiene cinco cartas azules, tres rojas y cuatro verdes

numeradas del 1 al 12 como se muestra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una carta azul o roja? ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una carta roja o que tenga un número múltiplo de cinco? ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una tarjeta azul o con el número 7?

Dados dos eventos A y B de una experiencia aleatoria, se

llama la unión de A y B al evento compuesto A U B; se

dice que A U B ocurre, si ocurre A u ocurre B, o

equivalentemente si ocurre al menos uno de ellos. La

probabilidad de que ocurra la unión de A y B se

encuentra mediante la regla de la suma que establece

que: Si dos eventos son mutuamente excluyentes

entonces se cumple:

P (A U B) = P(A) + P (B)

Para saber más sobre la aplicación de la regla de la

suma de las probabilidades, escanea

con la cámara de tu celular el siguiente código.

O sigue el enlace:

https://www.youtube.com/watch?v=vW87Z2EPsUo

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2. Se lanzan dos dados con caras numeradas del uno al seis para ver qué caras caen hacia arriba y sumarlas.

a. Elabora un diagrama donde representes el espacio muestral.

b. Calcula la probabilidad de que la suma sea 4 o 6

c. Calcula la probabilidad de que la suma sea 5 o 10

d. Calcula la probabilidad de que la suma sea 2 o 12

Tomada de: https://pixabay.co

m/es/vectors/dados-juego-juegos-de-azar-cubos-160005/