Presentación

El módulo de Análisis integral de funciones, se imparte en el sexto semestre y corresponde al núcleo de formación

propedéutica, de las carreras de Profesional Técnico-Bachiller en todas las disciplinas de formación. Tiene como finalidad,

que el alumno aplique los principios del cálculo integral, que favorece al desarrollo de investigaciones en todos los ámbitos

y sus aplicaciones en las ciencias, la ingeniería, así como en áreas económico administrativas. Para ello, el módulo está

conformado por dos unidades de aprendizaje. La primera unidad proporciona la determinación de la integral indefinida que

aborda la determinación de diferenciales, el cálculo de anti derivadas y la solución de aplicaciones de acuerdo con sus

métodos. La segunda unidad considera el cálculo de integrales definidas mediante fórmulas directas y métodos que versa

sobre la aplicación del teorema fundamental del cálculo en áreas de figuras planas de una, dos y tres funciones de interés

en la física, biología, economía y estadística.

La contribución del módulo al perfil de egreso de las carreras en las que está considerado, incluye el desarrollo de

competencias para que el alumno egresado aplique los principios básicos del cálculo integral, reconociendo los alcances de

su uso en la resolución de problemas. Además, estas competencias se complementan con la incorporación de otras

competencias básicas, las profesionales y genéricas que refuerzan la formación tecnológica y científica, y fortalecen la

formación integral de los educandos; que los prepara para comprender los procesos productivos en los que está involucrado

para enriquecerlos, transformarlos, resolver problemas, ejercer la toma de decisiones y desempeñarse en diferentes

ambientes laborales.

Propósito del módulo

Calcular magnitudes físicas, químicas, probabilísticas o de población mediante la aplicación de técnicas de integración

indefinida y definida, para implementar soluciones de modelos matemáticos en contextos diversos.

Propósito de la sesión; solucionara el cálculo de derivadas utilizando regla y formula de derivación, formula 1 a la 9

algebraica, exponencial y trigonométrica.

¿Qué es una derivada de una función?

La derivada calcula el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo.” Por lo que, una derivada nos

ayudará a medir la rapidez con el que se produce el cambio de una magnitud o situación.

para qué sirve una derivada?, ¿las voy a utilizar en algún momento? Pues ya te decimos que son más útiles de lo que te

piensas, debido a sus diversas aplicaciones. En los vídeos siguientes verás realmente su uso.

https://www.youtube.com/watch?v=uK4-s0ojHFg&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__

https://www.youtube.com/watch?v=pMYdSjgzrys&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=2

1

Reglas de derivación Las reglas de derivación son todos lo métodos que se necesitan para realizar cálculo de derivadas de una determinada función. Estas reglas son la base del conocimiento para realizar correctamente las operaciones.

Videos a revisar:

1. https://www.youtube.com/watch?v=U7onW7mMzLM&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=3

2. https://www.youtube.com/watch?v=uLDg8fqsuZg&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=4

3. https://www.youtube.com/watch?v=L0BZlkBbZmI&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=5

Videos en donde te podrás apoyar:

https://www.youtube.com/watch?v=T42-57sojsA&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=6 https://www.youtube.com/watch?v=-PjdQi5Foio&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=7 https://www.youtube.com/watch?v=uKtq7gW3vr8&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=8 https://www.youtube.com/watch?v=KluPb75C60M&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=9 https://www.youtube.com/watch?v=xr0_7dPW-Iw&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=11 https://www.youtube.com/watch?v=RBN1HeRmZlc&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=12 https://www.youtube.com/watch?v=nTY64wRlczA&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=13 https://www.youtube.com/watch?v=DJbEbWC3RMA&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=14 https://www.youtube.com/watch?v=HUq8qmH68x8&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=17 https://www.youtube.com/watch?v=_Hrx6MM9Qo4&list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__&index=18

Evidencia a trabajar

¿Qué es la integración?

Integrar es el proceso recíproco de derivar, es decir, dada una función , busca aquellas funciones que al ser

derivadas conducen a .

Se dice, entonces, que es una primitiva o anti derivada de ; dicho de otro modo las primitivas de son

las funciones derivables tales que:

Si una función tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

¿Qué es la integral indefinida? La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por .

Se lee : integral de de diferencial de .

es el signo de integración.

es el integrando o función a integrar. es diferencial de , e indica cuál es la variable de la función que se integra.

es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si es una primitiva de entonces: Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida 1 La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

2 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Video propuesto

https://www.youtube.com/watch?v=d7Y9Om4KCUM&list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2-TPLWw

https://www.youtube.com/watch?v=Cs5B7Vl_bzM&list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2-TPLWw&index=2

https://www.youtube.com/watch?v=rhPMH7uldGE&list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2-TPLWw&index=3

https://www.youtube.com/watch?v=rbv__ln8E8o&list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2-TPLWw&index=4

https://www.youtube.com/watch?v=FFnHJJD43X8&list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2-TPLWw&index=5

https://www.youtube.com/watch?v=eI2XBh5YahE&list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2-TPLWw&index=6

https://www.youtube.com/watch?v=Q63K8wTpYYc&list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2-TPLWw&index=7

https://www.youtube.com/watch?v=miE0X6RQeXw&list=PLeySRPnY35dEHnMLZGaNEXgHzJ2-TPLWw&index=8

Evidencia a trabajar

Método de integración por partes

Las Integrales indefinidas por partes, tal y como su nombre lo indica, son integrales que no poseen un rango determinado en

la medición del área con respecto a la curva, justo por ello se les conoce como indefinidas, en cuanto al concepto de “por

partes “, se establece cuando se separa la integral con el fin de obtener una respuesta concreta al problema.

Formula que se utiliza en las integrales

indefinidas por partes

En principio esta fórmula logro concretarse ya que se pensó en el hecho de que existieran 2 funciones diferenciables e

integrables en el mismo problema con la finalidad de obtener una respuesta concreta sin la necesidad de realizar un

procedimiento extenso, en base a eso se creó la fórmula:

Figura 1: Integración por partes

Con el fin de crear una formula estándar que no cambiara sus literales con respecto al país en que fuese utilizada, la formula

termino convirtiéndose en lo que hoy conocemos como:

Figura 2: Integración por

¿Cómo saber que termino es u y cual dv?

En la mayoría de instituciones educativas la respuesta siempre es la misma, para saber cuál es u solo debes tomar el término

que parezca más sencillo de resolver, de esta forma el proceso se simplificara.

En teoría esa respuesta no está del todo mal, sin embargo, hoy te enseñaremos un nuevo método para que no tengas que

dejarlo en manos de la suerte.

Este método es conocido como el método del ILATE, esto no es más que un acrónimo que se forma en base a:

I: Inversas trigonométricas

L: Logarítmicas

A: Algebraicas

T: Trigonométricas

E: Exponenciales

Este método se aplica al encontrarnos con una integral indefinida por partes, si dicha integral cuenta con alguna de las

propiedades antes nombradas en el método ILATE, entonces esa variable será u, mientras que el resto de la integral será dv.

Se le conoce como elección de variables a la acción de definir que variable será u y cual se convertirá en dv.

Videos a revisar

https://www.youtube.com/watch?v=93kW5colCAU&t=246s.

https://www.youtube.com/watch?v=hvYDrt_Aq2U

https://www.youtube.com/watch?v=dRhhOjCX4mE&t=380s

Evidencia a trabajar

Integración por substitution

Como indica su nombre, este método de integración consiste en la aplicación de un cambio de variable para simplificar el

integrando. No vamos a explicar el método formalmente, pero los pasos a seguir son los siguientes:

Escoger un cambio de variable z=z= función de xx.

Despejar xx para calcular dx

Sustituir en la integral, resolverla y deshacer el cambio de variable.

Pasos a seguir para realizar una integración por sustitución:

1. Elegir una expresión para u .

2. Calcular du

3. Reemplazar todo por u.

4. Calcular la integral

5. Reemplazar todo por u

6. Activities a realizar:

Videos propuestos:

https://www.youtube.com/watch?v=UZyG4jCBMgU&t=206s

https://www.youtube.com/watch?v=5dREssqdlBM&t=336s

https://www.youtube.com/watch?v=xBRZnhCFcgM&t=277s

https://www.youtube.com/watch?v=Y-tZ2gHWdtw&t=183s

https://www.youtube.com/watch?v=4bKEWdFpFYw&t=391s

https://www.youtube.com/watch?v=aGg3sJLqZbw

Evidencia a trabajar

Resultado de Aprendizaje

2.1 Cálculo de integrales definidas mediante fórmulas directas y métodos.

El progreso en la ciencia y en la técnica procede, en gran parte, de la rama de las matemáticas conocida por

Cálculo integral y diferencial, con las matemáticas se resuelven problemas que surgen en la Física, Astronomía,

Ingeniería, Química, Geología, etc...

El Cálculo contiene una colección de ideas que han ocupado el pensamiento humano durante siglos. Estas ideas

están relacionadas con velocidad, área, volumen, razón de crecimiento, tangente a una línea, etc.

Producto esperado/evidencia a recopilar: Ejercicios resueltos de la integral definida que incluyan fórmulas.

Integral definida.

o Regla de Barrow: La regla dice que la integral definida de una función dada y un

intervalo , la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de , el eje de abscisas, y las rectas verticales y .

La integral definida se representa por .

es el signo de integración.

A es el límite inferior de la integración.

B es el límite superior de la integración.

es el integrando o función a integrar.

es diferencial de , e indica cuál es la variable de la función que se integra.

o Propiedades de la integral definida.

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos

integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Fórmulas básicas de integración: o Se utiliza principalmente en los lugares que se puede sustituir directamente el valor de la fórmula

de integración. o Y finalmente, se reemplaza la variable con los límites superior e inferior respectivamente y se

procede a encontrar la solución.

o Resolviendo la expresión a través del álgebra: 1. En este método, aumentamos a la potencia de cada variable la unidad (uno) y también movemos el nuevo

valor de la potencia al denominador de la variable (xn, integrando xn…. xn= xn+1 / n+1), además se añade una nueva constante al final.

2. El valor de la constante se modifica para la variable de integración con la constante como su coeficiente. Mire el ejemplo ilustrado a continuación para entender el concepto.

(x + 1) (x – 1) dx

= (x2 – 1) dx, utilizando la fórmula de álgebra simple.

= x3/3 – x + c dx

3. Finalmente, esta integral puede ser resuelta para sus límites superior e inferior.

Recordemos que una integral definida se refiere a un intervalo especifico de una integral, por lo que el proceso se puede resumir de una forma muy simple:

Paso 1: Realiza la integración de la función usando las fórmulas definidas.

Paso 2: Evalúa el resultado de tu integración en ambos extremos del intervalo.

Paso 3 : Al resultado del punto mayor del intervalo debes restarle el resultado del punto menor del intervalo.

Las principales fórmulas son:

Ejemplo:

Sea la expresión

1. Usamos las fórmulas definidas para integrar la función :

2. Ahora, lo siguiente es evaluar esa función en los puntos 0 y 2:

3. Ahora, al del extremo mayor, le restamos el del extremo menor del intervalo.

La integral definida en ese intervalo es 6. Lo que quiere decir que el área bajo la curva de esa ecuación en tan solo ese intervalo es de 6 unidades.

Integral definida de un racional

Solución:

Utilizamos la fórmula para integrar fracciones:

Cálculo de integrales definidas por cambio de variable o Integración por sustitución:

Método.

En este método tenemos una función principal y el integrando se define como la multiplicación de la función principal y la

derivada de esta función principal.

Ahora permitimos que la función principal sea representada por cualquier variable, sea z, por tanto, tenemos,

Z = g(x) and dz/ dx = g’(x)

Dz = g’(x) dx

1. Sustituya los valores en la expresión real como 2. Ahora esta expresión puede resolverse como cualquier otra integral y finalmente sustituya el límite superior

e inferior de nuevo en la expresión.

En muchas ocasiones es necesario cambiar los límites de integración ya que la variable de integración se ha

modificado.

Demos un vistazo a un ejemplo.

x sin(x2) dx z = x2 dz

= 2x dx x sin(x2) dx

= ½ sin(x2) 2x dx ½ sin (z) dz -1/2 [cos(x2) + c]05

Nunca está explícitamente fijado para cualquier problema que el mismo sea un problema a resolver por sustitución; sino que esto se encuentra a través de la solución del integrando.

Después de llegar a la etapa final de cada método simplemente sustituimos la variable una sola vez para el límite superior en toda la expresión y luego para el límite inferior en toda la expresión y finalmente restamos las dos para obtener la respuesta final.

Integración por fracciones parciales

Es un método de integración que permite resolver integrales de ciertas funciones racionales que no se pueden

resolver por los otros métodos (formula directa, por partes, cambio de variable, etc.)

Ejemplo:

Deseamos descomponer en fracciones simple la función racional:

(x – 1)/(x3+3x2+2x)

Procedemos a factorizar el denominador, es decir:

x3 + 3x2 + 2x = x(x+1)(x+2)

Luego:

(x – 1)/(x3+3x2+2x) = (x – 1)/ x(x+1)(x+2)

(x – 1)/ x(x+1)(x+2) = A/x + B/(x + 1) + C/(x + 2)

Aplicando mínimo común múltiplo, se puede obtener que:

x – 1 = A(x + 1)(x + 2) + B(x + 2)x + C(x + 1)x.

Deseamos obtener los valores de las constantes A, B y C, los cuales se pueden encontrar sustituyendo las raíces que anulan

cada uno de los términos. Sustituyendo 0 por x tenemos:

0 – 1 = A(0 + 1)(0 + 2) + B(0 + 2)0 + C(0 + 1)0.

– 1 = 2A

A= – 1/2.

Sustituyendo – 1 por x tenemos:

– 1 – 1 = A(– 1 + 1)( – 1 + 2) + B(– 1 + 2) (– 1) + C(– 1 + 1)( – 1).

– 2= – B

B=2.

Sustituyendo – 2 por x tenemos:

– 2 – 1 = A(– 2 + 1)( – 2 + 2) + B(– 2 + 2) (– 2) + C(– 2 + 1)( – 2).

–3 = 2C

C= –3/2.

De esta forma se obtienen los valores A = –1/2 , B = 2 y C = –3/2.

Existe otro método para obtener los valores de A, B y C. Si en el lado derecho de la ecuación x – 1 = A(x + 1)(x + 2) + B(x +

2)x + C(x + 1)x combinamos términos, tenemos:

x – 1 = (A + B + C)x2 + (3A + 2B + C)x + 2A.

Como esto es una igualdad de polinomios, tenemos que los coeficientes del lado izquierdo deben ser iguales a los del lado

derecho. Esto nos da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A= – 1

Al resolver este sistema de ecuaciones, obtenemos los resultados A = –1/2 , B = 2 y C = -3/2.

Finalmente, sustituyendo los valores obtenidos tenemos que:

(x – 1)/ x(x+1)(x+2) = – 1/(2x) + 2/(x + 1) – 3/(2(x + 2)).

Ejercicios:

Actividad de Evaluación:

2.1.1 Resuelve ejercicios de la integral definida planteados por el docente, considerando lo siguiente:

Integrales definidas.

Sigue los pasos

Fórmulas.

Métodos.

Procedimientos.

Resultados

Ejercicio 1.

Ejercicio 2.

Ejercicio 3.

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/ejercicios-resueltos-de-integrales-definidas.html#tema_ejercicio-1-resuelto

Integrales por formulas:

Sigue los pasos

Fórmulas.

Métodos.

Procedimientos.

Resultados

Ejercicio 1.

Ejercicio 2.

Ejercicio 3.

https://ekuatio.com/integrales-inmediatas-ejercicios-resueltos/#Integrales_inmediatas_de_funciones_simples_y_compuestas

Integrales por sustitución Sigue los pasos:

Fórmulas.

Métodos.

Procedimientos.

Resultados

Ejercicio 1.

Ejercicio 2.

Ejercicio 3.

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/ejercicios-resueltos-de-integrales-por-

sustitucion.html

Integrales por fracciones parciales.

Sigue los pasos

Fórmulas.

Métodos.

Procedimientos.

Resultados

Ejercicio 1.

Ejercicio 2.

Ejercicio 3.

A. Cálculo de áreas de figuras planas

CALCULO DE AREA ENTRE DOS GRAFICAS

EJERCICIO 2

EJERCICIO 3

EJERCICIOS DE LA VIDA COTIDIANA

EJEMPLO 1

A partir de los 40 días de nacido y hasta cumplir un año, el aumento en libras por días de un cerdo es f(x)=0,002x+0,4,

donde x indica la edad en días. ¿Cuántas libras aumenta el cerdo entre los 40 y los 100 días de nacido?

ANÁLISIS:

a) La función f está definida y es continua en todo punto del intervalo [40;100].

b) Si la función asociada fuera constante (si fuera una constante C la cantidad de libras por días que aumenta el cerdo),

la solución del problema (la cantidad de libras que aumenta el cerdo en el intervalo [40;100]), podría obtenerse

multiplicando esa constante C por la longitud del intervalo. Es decir, la solución sería: S=C (100- 40).

c) Cuanto mayor sea la imagen de la función asociada (la cantidad de libras por días que aumenta el cerdo), mayor será

la solución del problema (la cantidad de libras que aumenta entre los 40 y los 100 días de nacido).

d) Si se realiza cualquier partición del intervalo [40;100] y se calcula el aumento en libras del cerdo en cada uno de los

subintervalos obtenidos mediante esa partición, la suma de los aumentos producidos en cada uno de los subintervalos,

será siempre igual al aumento total en el intervalo [40;100 ].

Por lo tanto, en este problema se cumplen todas las propiedades necesarias y suficientes para que su solución pueda

obtenerse mediante una integral definida.

El puerco aumenta 32,4 libras entre los 40 y los 100 días de nacido.

EJEMPLO 2

Calcular el área de un rectángulo, que tiene como base al intervalo [2;8 ] del eje de las x; y cuya altura es el máximo de

la función f definida por f(x)=x2 en el propio intervalo [2;8 ].

ANALISIS:

a) La función f está definida y es continua en [2;8 ].

b) Si f fuera constante la solución podría obtenerse mediante el producto de esa constante por la longitud del intervalo.

c) Cuando mayor sea la imagen de la función asociada mayor es la solución del problema.

d) Pero si se realizan determinadas particiones del intervalo [2;8 ], por ejemplo, en [2;4 ] y [4; 8], la suma de las soluciones

en cada uno de esos dos subintervalos no es igual a la solución en el intervalo [2; 8] completo.

S [2;8] = f(8) (8− 2) = 64(6)= 384u que es en realidad la solución del problema.

Por otra parte:

Por lo tanto, la solución de este problema no es equivalente a