presentación de powerpoint · 2020. 8. 23. · bg = 2gm. • ap: mediana ... las tres medianas...
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DÍA 4
Estimada y estimado estudiante, te invitamos a dar solución a la siguiente situación para que continúes
desarrollando tus aprendizajes
Para contribuir con la economía familiar y disminuir los gastos,
Paty ha decidido cultivar tomates, apios, lentejas, frejoles,
cebollas y papas por igual en toda la extensión del terreno
triangular que tiene detrás de su casa.
1. ¿Cómo podría hacer Paty la distribución uniforme del terreno para cultivar estos seis productos?
2. ¿Dónde deben estar instaladas las regaderas de modo que cubran todos los rincones de cada sector?
Para regar el terreno ha pensado instalar regaderas giratorias
caseras para cada sector de cultivo y así gastar la menor
cantidad de agua. Sin embargo, aún no sabe cómo distribuir
uniformemente el terreno en seis sectores, ni el lugar donde
debe ubicar las regaderas.
Antes de resolver las preguntas de la situación debo recordar sobre la mediana y el baricentro.
Mediana. Es el segmento determinado por un
vértice del triángulo y el punto medio del lado
opuesto.
Triángulo
obtusánguloTriángulo
acutángulo
Triángulo
rectángulo
En cualquier triángulo se pueden trazar tres
medianas.
B
A CMa a
En el ΔABC:
BM: mediana relativa a AC.
M: punto medio de AC.
AM = MC = = a.
B
A A
B B
C C A C
El punto donde se intersectan las tres
medianas se llama baricentro.
AC
2
Baricentro (G). Es el punto de concurrencia de las
medianas de un triángulo.
B
A CM
b
2b
G
PR
En el ΔABC:
G: baricentro del triángulo ABC:
M: punto medio de AC AM = MC.
P: punto medio de BC BP = PC.
R: punto medio de AB AR = RB.
1. El baricentro divide cada mediana en dos
segmentos de modo que la distancia del
baricentro al vértice es el doble de la distancia
del baricentro al punto medio del lado opuesto.
Propiedades del baricentro
• BM: mediana relativa a AC, entonces
BG = 2GM.
• AP: mediana relativa a BC, entonces
AG = 2GP.
• CR: mediana relativa a AB, entonces
CG = 2GR.
En el ΔABC:
G: baricentro del triángulo ABC:
B
CM
G
PR
A
3. Las tres medianas dividen el triángulo ABC
en seis triángulos de igual área.
2. Una mediana divide el triángulo ABC en dos
triángulos de igual área.
BM: mediana relativa a AC
B
A CMa a
A1 A2
A1 = A2 A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6
A2A1
A3
A4A5
A6
1. ¿Cómo podría hacer Paty la distribución uniforme del terreno para cultivar estosseis productos?
• Represento el terreno de cultivo utilizando elementos geométricos.
B
A CM
PR
B
A C
Superficie
del
terreno de cultivo
• Ubico el punto medio de cada lado.
En el triángulo ABC:
M: punto medio de AC AM = MC.
P: punto medio de BC BP = PC.
R: punto medio de AB AR = RB.
Superficie
del
terreno de cultivo
Resolución
En el triángulo ABC:
Vértices: A, B y C
Lados: AB, BC y AC
• Trazo las medianas en el triángulo.
BM: mediana relativa a AC.
AP: mediana relativa a BC.
CR: mediana relativa a AB.
• Determino la distribución del terreno de cultivo.
Uno con una línea recta cada vértice con el
punto medio de su lado opuesto, obteniendo
las tres medianas.
Las tres medianas dividen el terreno en seis
regiones triangulares de igual área.
B
A CM
PR
G
A
Respuesta: Patty debe realizar la distribucióndel terreno trazando las medianas desde cadaesquina del terreno hacia su lado opuesto.
A
A A
A A
B
A CM
PR Superficie
del
terreno de cultivo
2. ¿Dónde deben estar instaladas las regaderas de modo que cubran todos los rincones de cada sector?
En el ΔABC:
L : recta mediatriz relativa a AC.
F: punto medio del AC.
AF = FC = .
A
B
CF
L
• Para dar solución a esta pregunta es necesario recordar sobre la mediatriz y el circuncentro.
Circuncentro. Es el punto
de concurrencia de las
mediatrices de los lados
de un triángulo.
Su ubicación dependerá
de la naturaleza del
triángulo (acutángulo,
obtusángulo o
rectángulo).
Resolución
Mediatriz. Es la recta que biseca
perpendicularmente a un lado.
AC
2
B
C
A
O
F E
D
• Analizo la segunda pregunta. • Determino el circuncentro del triángulo 1.
Ubico los puntos medios de cada uno de los
lados del triángulo 1, trazo las mediatrices y su
intersección me da la ubicación de la primera
regadera giratoria R1.
La segunda pregunta pide identificar los lugares
donde deban ubicarse las regaderas giratorias para
que realmente se pueda regar todo el terreno.
Entonces, para cada triángulo se hace necesario
determinar un punto equidistante a sus vértices.
Esos puntos vendrían a ser los lugares donde
deben ubicarse las regaderas.
1
B
A C
R1
1
1
B
A C
1
23
4
5 6
• Determino el circuncentro del triángulo 2.
Trazo las tres mediatrices del triángulo 2 y el punto
R2 es la ubicación de una segunda regadera.
• Grafico el circuncentro de los triángulos 1 y 2.
Observo que con dos regaderas giratorias se
puede regar una gran parte del terreno de cultivo.
1
B
A C
R1
1
2
R2
1
B
A C
R1
1
2
R2
Circuncentro 1
Circuncentro 2
• Ubico en el terreno los cuatro circuncentros que faltaban.
• Grafico los circuncentros R1, R2, R3, R4, R5.
Observo en el gráfico que con 5 regaderas
giratorias se logra regar todo el terreno. Por
ello, no es necesario la regadera 6.
Respuesta: La ubicación de los 5 circuncentros corresponde al lugar donde se debe instalar las 5 regaderas giratorias.
B
A C
R2
R6
R1
R5
R3
R4
B
AC
R2
R1
Circuncentro 1
R5
R3
R4
Gracias