pres 2 mf 2013

MATEMATICA FINANCIERA 01/05/2013

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA

LOPEZ 1

RJAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE CIENCIAS Y SISTEMA

INGENIERIA DE SISTEMAS

UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA

EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO

MSC.ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

RJAL

ING. ROBERTO AGUILERA LOPEZ

FLUJOS DE EFECTIVO O FLUJOS DE CAJA

El movimiento de dinero (ingresos o pagos) de una entidad física o moral, que se dan en cierto intervalo de tiempo se denomina flujo de efectivo.

Los flujos de caja pueden ser de dos tipos:

Flujos de caja positivos: representan todas las entradas de dinero independientemente de donde provengan.

Flujos de caja negativos: representan todas las salidas o egresos de dinero independientemente del concepto que los origine



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FLUJOS DE EFECTIVO O DE CAJA

Diagrama de flujo de caja: es la representación gráfica de un flujo de caja en una escala de tiempo. Representa el planteamiento del problema y muestra lo que es dado y lo que debe encontrarse.

$100 $700

$45

0 1 2 3 4 5 6 Períodos

$95 $115

$145

$180

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FLUJOS DE EFECTIVO O DE CAJA

Un flujo de caja normalmente toma lugar en diferentes

intervalos de tiempo dentro de un período de interés, un

supuesto para simplificar es el de que todos los flujos de

caja ocurren al final de cada periodo de interés. Esto se

conoce como convención de fin de periodo.

Escala de tiempo típica para flujos de caja

inicio fin inicio fin Años ├─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼───────

0 1 2 3 4 5

│ │ │ │

└─────────┘ └─────────┘

Año 1 Año 3



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EQUIVALENCIA

Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta

indiferente recibir una suma de dinero hoy o recibir otra

diferente de mayor cantidad transcurrido un período

Hay dos reglas básicas en la preferencia de liquidez,

sustentadas en el sacrificio de consumo:

1. Ante dos capitales de igual valor en distintos momentos,

preferimos aquel más cercano.

2. Ante dos capitales presentes en el mismo momento pero

de diferente valor, preferimos aquel de importe más

elevado.

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EQUIVALENCIA

Equivalencia no quiere decir ausencia de utilidad o costos;

justamente ésta permite cuantificar el beneficio o pérdida

que significa el sacrificio de llevar a cabo una operación

financiera.

Un modelo matemático representativo de estas ideas,

consiste en la siguiente ecuación:

F = P + COMPENSACIÓN POR APLAZAR CONSUMO

Donde: F = Suma futura poseída al final de n períodos (Valor Futuro)

P = Suma de dinero colocado en el período 0 (Valor Actual)



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INTERES

Interés: es la cantidad convenida que se paga por utilizar dinero de otro agente económico o que se gana por invertir el dinero propio.

Interés: precio del dinero en el tiempo o sea es la compensación financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero.

El interés es un precio, el cual expresa el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio, es la renta pagada por el uso de recursos prestados, por período determinado. Es un factor de equilibrio, hace que el dinero tenga el mismo valor en el tiempo.

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INTERES

Interés: medida del aumento entre el capital inicial y el valor futuro.

Interés = Valor futuro - Valor presente

Cuando el interés se expresa como porcentaje del monto original por unidad de tiempo, el resultado es la tasa de interés

i = (I / P)100%



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TASAS DE INTERÉS UTILIZADAS EN LA BANCA

NACIONAL

A) DE ACUERDO A COMO SE FIJA EL INTERÉS

EN EL TIEMPO

Interés fijo: Es cuando la tasa de interés

permanece constante en el tiempo.

Interés variable: Es cuando la tasa de interés la

calculamos sobre una base fija más un índice de

referencia. El índice de referencia varía según

las condiciones del mercado.

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NACIONAL

B) DE ACUERDO A LOS PLAZOS DE LAS

TASAS DE INTERÉS

Interés de corto plazo: Es cuando los

intereses que se devengan o se liquidan se

dan en un período inferior a 12 meses

Interés de largo plazo: Son intereses

devengados o liquidados en períodos

superiores a un año.



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NACIONAL

C) DE ACUERDO A SI SE COBRAN O PAGAN INTERESES

Tasa de interés activa: es la tasa de interés cobrada

por los bancos y las instituciones financieras en la

colocación de dinero, o sea aquella tasa cobrada a las

personas naturales y jurídicas a las cuales les ha sido

otorgado financiamiento.

Tasa de interés moratoria: Es el porcentaje de recargo

que se adiciona a la tasa de interés pactada por

incumplimiento de pago en la fecha establecida. Esta se

aplica únicamente al principal de dicha cuota vencida,

durante el tiempo en mora.

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NACIONAL

Tasa de interés pasiva: es la tasa de interés pagada por los bancos a sus ahorrantes y depositantes en sus diferentes formas.

TASAS DE INTERES ACTIVAS Y PASIVAS PROMEDIO

PONDERADO A MARZO 2013



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CAPITALIZACIÓN DE LOS INTERESES

El período de capitalización es el período mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés, se llama así por que a su término ya se tiene o ya se forma más capital.

Ej: Si una persona presta $2,000 al 10% de interés semanal, pasado el período de capitalización de una semana, tendrá $2,200 en una semana.

Ej: Si otra persona deposita $5,000 en un banco que paga 20% de interés anual, pasado el período de capitalización de un año, su capital habrá aumentado a $6,000.

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CAPITALIZACIÓN DE LOS INTERESES

INTERES SIMPLE

Se llama interés simple al que, por el uso del dinero a

través de varios períodos de capitalización, no se cobra

interés sobre el interés que se debe.

Se define como un porcentaje fijo del valor presente

multiplicado por el tiempo de duración de la actividad

económica.

I = Pin



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INTERES SIMPLE

El valor futuro a interés simple de una cantidad P

F = P + I = P(1 + in)

El valor presente a interés simple de una suma F

P = F .

(1 + in)

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INTERES SIMPLE

1. Encuentre el valor futuro a interés simple si el

principal es de $10,000, a una tasa de interés

del 8.5% anual durante un periodo de 16 meses

2. Encuentre el valor presente a interés simple de

un valor futuro de $125,000, a una tasa de

interés del 12.5% anual durante un periodo de 8

trimestres.



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INTERESES MORATORIOS

Cálculo del interés moratorio

Im = Pcv (im) (tm)

Ajuste del interés corriente

Icoa = Sk (ic) (tm)

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Ejemplo:

Una empresa esta amortizando una deuda a un banco

y paga al final de cada mes una cuota de valor

C$ 17,666.67 la cual esta vencida y tiene 18 días de

mora. El principal de la cuota es de C$ 15,000 y los

intereses corrientes del mes son de C$ 2,666.67. El

último saldo es de C$ 45,000. La tasa de interés

corriente sobre el préstamo es del 15% anual sobre

saldos y la tasa de interés moratoria es del 18% anual.

¿Qué cantidad deberá pagar la empresa para ponerse

al día?

INTERESES MORATORIOS



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INTERES COMPUESTO

INTERÉS COMPUESTO.

El interés compuesto es el interés de un

período calculado sobre el principal más la

cantidad acumulada de intereses ganados

en periodos anteriores. Es decir se cobra

interés sobre intereses.

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INTERES COMPUESTO

Ejemplo: Una persona deposita en un banco

$1,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un

año. El banco capitaliza el interés mensual a una

tasa del 3%, ¿Cuál será el valor de la cuenta final

del quinto mes?

Período Valor Presente Intereses Valor Futuro

1 2 3 4 5

1,000.00 1,030.00 1,060.90 1,092.73 1,125.51

1,000.00(0.03) 1,030.00(0.03) 1,060.90(0.03) 1,092.73(0.03) 1,125.51(0.03)

1,030.00 1,060.90 1,092.73 1,125.51 1,159.27



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INTERES COMPUESTO

Período Valor Presente Intereses Valor Futuro

1 2 3 4

n

P

P(1 + i) P(1 + i)2

P(1 + i)3

P(1 + i)n-1

Pi

P(1 + i) * i P(1 + i)2 * i P(1 + i)3 * i

P(1 + i)n-1 * i

P(1 + i)

P(1 + i)2

P(1 + i)3 P(1 + i)4

P(1 + i)n

A B A + B

De acuerdo al ejemplo anterior lo que hemos hecho

es lo siguiente:

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INTERES COMPUESTO

El valor futuro de una cantidad (P) a interés compuesto

F = P (1 + i)n

F : Valor futuro o monto P : Principal o valor presente i : tasa de interés efectiva que se capitaliza una vez en el periodo. n : Plazo de la transacción medido de acuerdo a la tasa de interés.



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INTERES COMPUESTO

El valor futuro de una cantidad (P) a interés compuesto

F = P (1 + j/m)m.n

F : Valor futuro o monto P : Principal o valor presente j : tasa de interés nominal que se capitaliza más de una vez al año. m : frecuencia de capitalización de la tasa j m.n : número total de capitalizaciones

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INTERES COMPUESTO

El valor presente a interés compuesto de una

suma F

P = F . = F (1 + i)-n (1 + i)n

P = F (1 + j/m)-m.n



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INTERES COMPUESTO

1. Encuentre el valor futuro si de un capital inicial

de $25,000, a una tasa de interés del 15% anual

durante un período de 3 años.

2. Encuentre el valor presente de un monto de

$150,000, a una tasa de interés del 10%

trimestral durante un período de 5 trimestres.

3. Encuentre el tiempo necesario para tener al final

un valor de $36,780 si se depositan el día de hoy

15,000 a una tasa de interés del 12% semestral

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INTERES NOMINAL Y EFECTIVO

TASA DE INTERES NOMINAL

La tasa nominal es la tasa de interés que la

denominaremos "j” o iNOM , que se pacta a un año y el

pago de interés se puede acordar que se realice cada

día, cada mes, cada 2 meses, cada 3 meses, cada 6

meses etc.

De ahí, que una tasa nominal es aquella que se expresa

sobre la base de un año con períodos de capitalización

diario, mensual, trimestral etc.

j = ip * m o ip = j / m



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TASA DE INTERES EFECTIVA

Esta tasa determina la cantidad de utilidad periódica que

realmente se adiciona al capital en el instante que se

liquida. La tasa efectiva también puede ser diaria,

mensual, bimensual, trimestral etc.

Refleja el rendimiento que se habría recibido al final de un

período de inversión si los intereses se hubiesen

capitalizado, independientemente que se paguen o se

capitalicen.

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TASAS EQUIVALENTES

Las tasas equivalentes son aquellas que, en

condiciones diferentes, producen la misma

tasa efectiva anual. Esto significa que si una

misma cantidad de dinero gana intereses a dos

tasas diferentes pero equivalentes, estas

producirán la misma cantidad de dinero al final

del año



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EQUIVALENCIAS ENTRE DIFERENTES TASAS DE

INTERES

Equivalencia entre una tasa de interés nominal y una

tasa de interés efectiva

ie = ( 1 + j /m)m - 1

j = [ ( 1 + ie)1/m - 1 ] * m

Equivalencia entre dos tasas de interés nominal.

j2 = [ (1 + j1/m1) m

1 / m

2 - 1 ] * m2

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