MATEMTICA Y METODOLOGA PARA SU ESTUDIO 2015

EJERCITACIN PREPARCIAL. SEGUNDO EXAMEN PARCIAL INGENIERAS (SALVO INGENIERA AMBIENTAL)

La ejercitacin preparcial tiene como propsito poner en juego los conocimientos que us-ted ha construido durante el desarrollo de las sucesivas unidades. Adems, esta ejercitacin tiene una estructura similar a la del propio examen parcial, con el fin de que usted conozca el tipo de preguntas con las que ser evaluado y se familiarice con el modo de responderlas. Confiamos en que resolviendo la ejercitacin preparcial usted conseguir avanzar en la construccin de sus conocimientos, y, a la vez, podr simular la situacin de examen. La ejercitacin preparcial consta de dos partes, que identificaremos como Parte I y Parte II. La Parte I est conformada por preguntas seguidas de cuatro posibles respuestas, slo una de las cuales es correcta. La Parte II est conformada por preguntas cuyas respues-tas usted debe desarrollar. El examen parcial constar, tambin, de Parte I y Parte II; el formato de los ejercicios y problemas de cada Parte sern similares a los de esta ejercitacin, aunque, desde ya, los ejercicios y problemas no sern los mismos, ni tampoco lo ser necesariamente su canti-dad. Para reconocer la respuesta correcta a los tems de la Parte I, en muchos casos usted va a necesitar hacer clculos, dibujos, planteos, etctera (el da del examen usar para eso papeles borradores, que NO deber entregar junto con el examen). Una vez que haya encontrado la respuesta, consignar la letra que la identifica (a, b, c o d) en el casillero correspondiente de la Hoja de Respuestas que aparece al final (el da del examen es in-dispensable que no olvide transcribir sus respuestas a esa Hoja, y que lo haga cuidando no cometer errores en la transcripcin; tenga en cuenta que su profesor corregir sobre esa Hoja). En cuanto a la Parte II: sus desarrollos debern ser claros y estar acompaados de las explicaciones necesarias para justificarlos (el da del examen, usted deber entregar esos desarrollos junto con el examen).

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PARTE I 1. Preste atencin a las siguientes frmulas:

f1(x) = 5x3 2x + 3x 1 f2(x) = 2 f3(x) = 31

x 52

Cul o cules de ellas puede ser la frmula de una funcin polinmica? a) Ninguna de las tres. b) Slo f3(x). c) Slo f2(x) y f3(x). d) Las tres. 2. Los grficos de dos funciones polinmicas son:

La frmula de una de las funciones es f(x) = x3. La frmula de la otra es una de las si-guientes. De cul se trata? a) g(x) = (x 2)3 + 1 b) g(x) = (x 2)3 + 1 c) g(x) = (x + 2)3 + 1 d) g(x) = (x + 2)3 1 3. La frmula de una funcin polinmica es: f(x) = 2 . x3 . (x 1) . (x2 + 9) . (x 4)5 Dante, un estudiante del Curso de Ingreso, afirma que el grado de la funcin es 11, que su conjunto de ceros es C0 = {0 , 1 , 4} y que el coeficiente principal de su frmula es 2. Federico, otro estudiante, sostiene que la funcin slo es negativa en el intervalo (1 ; 4). Quin o quines estn EQUIVOCADOS? a) Ni Dante ni Federico. b) Tanto Dante como Federico. c) Slo Dante. d) Slo Federico. 4. La cantidad de agua (en miles de metros cbicos) contenida en una pequea represa desde dos semanas antes de la ltima lluvia, y hasta dos semanas despus, evolucion

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segn una funcin par de frmula polinmica; el trmino independiente de la frmula es 72; la funcin es decreciente en el intervalo [ 2 ; 0]. Felipe, uno de los ingenieros que controlan la represa, afirma que la informacin disponi-ble permite asegurar que la cantidad de agua en la represa 1 semana despus de la lti-ma lluvia era la misma que 1 semana antes de esa lluvia. Gracia, una ingeniera, sostiene que la informacin disponible permite garantizar que en el lapso considerado nunca hubo menos de 72 mil metros cbicos de agua en la represa. Quin o quines tienen razn? a) Los dos. b) Slo Felipe. c) Slo Gracia. d) Ni Felipe ni Gracia. 5. Cul de los siguientes puede ser el grfico de la funcin polinmica de frmula f(x) = (x + 1) . (x 2)2? a) b)

c) d)

6. Lea con atencin las siguientes afirmaciones: Afirmacin I: Si n es un nmero natural impar, entonces x + a es un factor en la factoriza-cin de xn + an. Afirmacin II: Si n es un nmero natural impar, entonces x a es un factor en la factoriza-cin de xn an. Afirmacin III: Si n es un nmero natural par, entonces x + a es un factor en la factoriza-cin de xn an. Afirmacin IV: Si n es un nmero natural par, entonces x a es un factor en la factoriza-cin de xn an. Cuntas de las afirmaciones anteriores son ciertas? a) Slo una.

4

b) Slo dos. c) Slo tres. d) Las cuatro.

7. El dominio natural de f(x) = 3 2 x x

1 x2 +

+

es

a) R { 2} b) R {0} c) R { 1, 2} d) R { 2, 1} 8. El dimetro de las ruedas traseras de un tractor es el doble del de las ruedas delante-ras. Mientras las ruedas traseras dan 8 vueltas, cuntas vueltas dan las ruedas delante-ras? a) 4 b) 12 c) 16 d) La informacin disponible no permite saberlo.

9. Considere la funcin f : Dn f R / f(x) = 1 x

1

. Cul de las siguientes afirmaciones

referidas a f es correcta? a) f es una funcin creciente en todo su dominio. b) C+ = Dn f c) C0 = {1} d) f es inyectiva.

10. Uno de los siguientes grficos representa a la funcin f : Dn f R / f(x) = 1 x

x4

2

+. De

cul de ellos se trata? a) b)

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c) d)

11. Cules son las ecuaciones de la asntota horizontal y de la asntota vertical (en ese orden) de la funcin r : Dn r R / r(x) =

1 x 1 2x

+

?

a) y = 2, x = 1 b) y = 2, x = 1 c) y = 1, x = 2 d) y = 2, x = 1 12. F : Dn F R es una funcin racional impar, y x = 0 NO es asntota vertical de F. Cul de las siguientes puede ser la frmula de F?

a) F(x) = 3

4 2x

x 4x

b) F(x) = 2

4 2x

x 4x

c) F(x) = 4 2x

x 4x

d) F(x) = 4 21

x 4x

13. Durante el desarrollo de una experiencia de laboratorio, la cantidad C de lactobacilos de una colonia de tales bacterias evoluciona segn la frmula C(t) = k . bt, en la que t es el tiempo (en horas) transcurrido desde el inicio de la experiencia, y k y b son dos nmeros reales. Al cabo de 6 horas, la colonia tena 1.036.800 lactobacilos; al cabo de 9 horas, 8.294.400 lactobacilos. De cuntos lactobacilos constaba la colonia al comenzar la experiencia? a) La informacin disponible no permite averiguarlo. b) De 16.200 lactobacilos. c) De 172.800 lactobacilos. d) De 921.600 lactobacilos.

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14. f es una funcin logartmica de frmula f(x) = log b x (por supuesto, b es un nmero real positivo y distinto de 1). Cul de las siguientes es la frmula de una funcin logart-mica g que tiene una asntota de ecuacin x = 2? a) g(x) = f(x) + 2 b) g(x) = f(x) 2 c) g(x) = f(x 2) d) g(x) = f(x + 2) 15. Si b, p, q y r son nmeros reales positivos, y b es distinto de 1, una expresin equiva-

lente a logb 2r

3 p . q es

a) 31 (logb p + logb q) 2 logb r

b) r 2log

q)log p (log 31

b

bb +

c) 2b

3bb

r) (logq log . p log

d) 2 logb r 31 (logb p + logb q)

16. Alcira y Montse, otras dos estudiantes del Curso de Ingreso, analizan la funcin f : R R cuya frmula es

f(x) =

>

0 x si x

b0 x si

xa

, siendo a y b dos nmeros reales positivos.

Alcira dice que si b = a

1 la funcin f es par.

Montse dice que si a > 1 y b < 1 la funcin f presenta un mximo en x = 0. Quin o quines tienen razn? a) Ninguna de las dos. b) Slo Alcira. c) Slo Montse. d) Las dos. 17. Cul es el conjunto solucin de la inecuacin 1) (x 2log > 3?

a) (89

; 9)

b) (1 ; 89 ) U (9 ; + )

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c) (1 ; 161 ) U (16 ; + )

d) Ninguno de los anteriores. 18. El grfico de la funcin exponencial f : R R / f(x) = a . bx + c es:

La informacin con la que se cuenta permite asegurar que a) 0 < b < 1 b) c > 0 c) a = c d) a = c 19. Carlos estaba en la puerta de su casa esperando a su novia. Como la novia no llega-ba, Carlos se puso nervioso, y empez a caminar hacia una esquina y hacia la otra, y as estuvo hasta que lleg la novia, al cabo de media hora. La puerta de la casa de Carlos est justo a mitad de cuadra. La posicin x de Carlos res-pecto de la puerta de su casa, medida en metros, en funcin del tiempo t, medido en mi-nutos a partir del momento en que Carlos empez a caminar, responde a la frmula

x = 62 . sen 21

pi t

Cul de las siguientes afirmaciones es FALSA? a) La cuadra de Carlos mide 124 metros. b) Carlos tardaba 2 minutos en ir de una esquina a la otra. c) Carlos se encontraba frente a la puerta de su casa cuando lleg la novia. d) Mientras esperaba a su novia, Carlos estuvo la misma cantidad de veces en cada es-quina.

20. Cul de los siguientes puede ser el grfico de la funcin f : R R cuya frmula es f(x) = 3 . cos [2 (x

2pi )] + 1?

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a)

b)

c)

d)

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21. Cul de las siguientes ecuaciones admite como solucin un valor de x tal que 0 < x <

2pi ?

a) 2 . sen x + 1 = 0 b) 2 . cos x + 1 = cos x c) cos x = 1 cos x d) 5 . sen x 9 = 1 22. es un arco mayor que 0 y menor que

2pi

. Cul de las siguientes afirmaciones es

FALSA? a) sen ( pi ) = sen b) cos ( pi + ) = cos c) sen ( pi + ) = sen d) cos (2 pi ) = cos 23. Cul de las siguientes expresiones es una identidad trigonomtrica (es decir, una igualdad que se verifica para cualquier valor permisible de la variable que en ella intervie-ne)? a) sen x = cos x b) 2 sen2 x = 3 sen x c) sen ( x) = sen x d) tg x 1 = 0 24. Las siguientes son las frmulas de funciones de R en R; en ellas, P representa a un nmero real: f(x) = 2 sen x + 3 g(x) = 2 cos x + P h(x) = 3 cos x + P i(x) = 2 cos x + P j(x) = P cos x + 3 No existe ningn nmero real P tal que el conjunto imagen de f sea igual al conjunto ima-gen de a) g b) h c) i d) j

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PARTE II 1. f, g y h son tres funciones polinmicas, sobre las que se cuenta con la siguiente infor-macin: f(x) = g(x) . h(x) g(x) es un cuatrinomio cubo perfecto. El conjunto de negatividad de g es C- = ( ; 2). h es una funcin cuadrtica. El vrtice del grfico de h es (3 ; 1). Los ceros de h, x1 y x2, verifican d(x1 ; x2) = 4. Determine: a) El grado de f. b) El signo del coeficiente principal de f. c) El conjunto de los ceros de f. 2. Considere la funcin f : [ 3 ; 3] R cuya frmula es f(x) = x4 8x2 + 16. a) Determine C0, C- y C+. b) Averige f(0). c) En base a la informacin que obtuvo en a) y b), trace el grfico (aproximado) de f. d) Cules son los intervalos de decrecimiento de f? Y los de crecimiento? e) Cules son los valores mnimos y mximos de f, si los hubiera? En qu valores de x los alcanza? f) Lo invitamos, ahora, a imaginar Suponga que f(x) representa el flujo luminoso (en mi-les de lmenes) en cada instante x (en horas), en las oficinas de una empresa que posee un sistema automtico de iluminacin. Qu relacin podran tener los ceros de f, sus in-tervalos de decrecimiento y de crecimiento y sus valores mnimos y mximos con la acti-vidad en esas oficinas? Proponga una interpretacin en la que estos elementos (ceros, intervalos de decrecimiento y crecimiento, valores extremos) tengan sentido. g) Siga imaginando Suponga que f(x) representa la cantidad de hogares por debajo de la lnea de pobreza en un pas (en miles) en funcin del tiempo x (en aos), durante tres aos. Qu relacin podran tener los ceros de f, sus intervalos de decrecimiento y de crecimiento y sus valores mnimos y mximos con los acontecimientos de la historia del pas en esos tres aos? Proponga una interpretacin en la que estos elementos (ceros, intervalos de decrecimiento y crecimiento, valores extremos) tengan sentido. 3. En un laboratorio estudian cmo vara la altura de un objeto sometido a la accin del calor en un hornillo. La altura h (cm) del objeto al cabo de t horas de haber encendido el hornillo est dada por la frmula h(t) =

50 t 50) (t 12 100

+

++. Cul debera ser, como m-

nimo, la altura del gabinete del hornillo, para que dicho gabinete no resulte daado si el proceso de calentamiento se prolonga en el tiempo?

4. La frmula de cierta funcin racional es f(x) = )x(q)x(p

, donde p y q son funciones polin-

micas.

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a) Qu puede decir de q(a) si a es un cero de p y f(a) = 0? b) Qu puede decir de p(k) y q(k) si x = k es la ecuacin de una asntota vertical de f? c) Analice el valor de verdad de la siguiente afirmacin: Si p fuera una funcin cuadrtica con dos ceros reales distintos, y q fuera una funcin lineal cuyo nico cero coincide con uno de los de p, el grfico de f sera una recta.

5. Cuando un haz de fotones de intensidad I0 atraviesa una plancha de plomo de espesor x (centmetros), emerge de la plancha con una intensidad I dada por la frmula:

I = I0 . 2 0,69 . x

Determine qu espesor debe tener la plancha de plomo para reducir la intensidad del haz a la mitad.

6. Considere la funcin f : Dn f R / f(x) = log2 l x l. a) Identifique Dn f. b) Cules son los ceros de f? c) Cules son los intervalos de positividad y de negatividad de f? d) Cules son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f? e) Si f tiene alguna asntota, d su ecuacin. f) Estudie la paridad de f. g) Es f inyectiva? Y sobreyectiva? Y biyectiva? 7. Un sensor ubicado en el mar, a 105 km de la costa, detecta la ola de un tsunami, que avanza hacia la costa a una velocidad constante de 50 metros por segundo. La altura h de la ola (en metros respecto del nivel del mar) al cabo de t segundos de haber pasado por el punto en el que est emplazado el sensor es h(t) = 2,5 . cos (

900pi t).

a) Cuando la ola llegue a la costa, podr ser contenida por un muro rompeolas que so-bresale 2 metros por sobre el nivel del mar? b) Considere la funcin que da la altura de la ola a cada instante, desde que la ola pasa por el punto en que es detectada, y hasta que llega a la costa. Cul es el dominio de esa funcin? Y su conjunto imagen? Y su amplitud? Y su perodo? Cules son los ceros de la funcin? Y sus mximos? Y sus mnimos? c) Interprete las respuestas que dio en b) en trminos de la situacin real. 8. a) Determine cunto debe valer el nmero real c para que tg2 x + c = sec2 x sea una iden-tidad trigonomtrica en [0 ; 2 pi ] {

2pi

,

23 pi }.

b) Resuelva la ecuacin sen (2x) . cos (3x) = 0 en [0 ; 2 pi ]. Cules son, si los hay, los valores de x que anulan simultneamente a ambos factores en el primer miembro de la ecuacin?

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HOJA DE RESPUESTAS PARTE I Vuelque aqu sus respuestas. En el casillero correspondiente a cada pregunta, con-signe con nitidez la letra que identifica la respuesta que Ud. eligi.

Pregunta Respuesta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24