PREPARATORIA T2 - Clculo 1

ASINTOTAS En los siguientes ejercicios halle las asntotas verticales, horizontales, oblicuas y luego grafique la

funcin

1. 1

yx 1

Solucin A) Asntota Vertical Analice los lmites laterales en x=1

a) x 1

1 1lim

x 1 0

b) x 1

1 1lim

x 1 0

Por lo tanto, la funcin racional 1

yx 1

tiene una asntota en x=1

B) Asntota Horizontal

x

1lim 0

x 1; por teorema

Por lo tanto, y = 0 es asntota horizontal

C) Asntota Oblicua

2x x

11x 1m lim lim 0

x x x

Por lo tanto, la funcin 1

yx 1

no tiene asntota oblicua.

2. 1 2x

f(x)x

Solucin A) Asntota Vertical

Analice los lmites laterales en x=0

a)

x 0

1 2x 1lim

x 0

b)

x 0

1 2x 1lim

x 0

Por lo tanto, la funcin racional 1 2x

f(x)x

tiene una asntota en x=0

B) Asntota Horizontal

x x

1 2x 1lim lim[ 2] 2

x x

Por lo tanto, la funcin racional 1 2x

f(x)x

tiene una asntota horizontal en y=2

C) Asntota Oblicua

2x x

1 2x1 2xxm lim lim 0

x x

Por lo tanto, la funcin 1 2x

f(x)x

no tiene asntota oblicua

3. 2x

yx 1

Solucin A) Asntota Vertical

Analice los lmites laterales en x=1

a) 2

x 1

x 1lim

x 1 0

b) 2

x 1

x 1lim

x 1 0

Por lo tanto la funcin 2x

yx 1

tiene una asntota vertical en x=1

B) Asntota Horizontal

2

x x

2

x 1 1lim lim

1 1x 1 0x x

Por lo tanto, la funcin 2x

yx 1

no tiene asntota horizontal

C) Asntota Oblicua

2

x x

xxx 1m lim lim 1

x x 1

2 2 2 2

x x x x

x x x x x xn lim[ mx] lim[ x] lim[ ] lim[ ] 1

x 1 x 1 x 1 x 1

Por lo tanto, la asntota oblicua es:

y x 1

CONTINUIDAD I. Dadas las funciones, determine si es continua en el valor de x especificado. Si es discontinua indica el tipo de discontinuidad.

1. f(x) = x 1

x 1

; x=1

Solucin Use el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir: a) f(1) = 0

b) x 1

x 1 0lim 0

x 1 2

c) x 1lim f(x) f(1) 0

Por lo tanto, la funcin f es continua en x=1.

2. f(x) = x 1

x 1

; x=1

Solucin Use el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir:

a) f(1) = no existe b)

x 1 x 1

x 1 x 1lim lim

x 1 x 1

Por lo tanto, la funcin f presenta discontinuidad de segunda clase en x=1.

3. f(x) = x 1; x 2

2 ;x 2

; x = 2

Solucin

Aplique el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir: a) f(2) = 3

b) Analice los lmites laterales.

x 2

lim f(x) 2

x 2 x 2

lim f(x) lim (x 1) 3

Entonces, x 2lim f(x)

no existe.

Por lo tanto, la funcin f tiene discontinuidad de segunda clase en x= 2.

III. En los siguientes ejercicios determine las constantes A, B, C y D de modo que la funcin f sea continua en todo su dominio.

1.

2Ax Bx 1 ; x 1

f(x) 2Ax B ;1 x 2

x 1 ;x 2

Solucin En este caso es suficiente exigir que los lmites en x=1 y x=2 existan. Es decir, analice los lmites laterales en cada caso. a) x=1

2

x 1 x 1 x 1 x 1

lim f(x) lim f(x) lim (2Ax B) lim (Ax Bx 1)

2A B A B 1 A 2B 1 (1)

b) x=2

x 2 x 2 x 2 x 2

lim f(x) lim f(x) lim (x 1) lim (2Ax B)

3 4A B B 4A 3 (2)

De (2) en (1) se tiene

A 2(4A 3) 1 8A 5 5

A7

Luego, reemplace el valor de A en 2 y se obtiene: 1

B7

DERIVADAS Halle las derivadas de las siguientes funciones

1. f(x) = 4

Solucin

f '(x) (4)' 0

2. 2

f(x) x

Solucin

2 1f '(x) 2x 2x

3. 5 3

f(x) 3x 5x 15x

Solucin

5 3 4 2

15x 15f '(x) (3x )' (5x )' (15x)' 15x

4. f(x) 3x sen(x)

Solucin

f '(x) (3x sen(x))' (3x)' (sen(x))' 3x' cos(x) 3 cos(x)

5. f '(x) x cos(x) 4

Solucin

1/2 1

f'(x) ( x)' [cos(x)]' (4)' (x )' sen(x) sen(x)2 x

6. 3 2

f(x) 3 x 4 x 5

Solucin

Use la siguiente derivada:

n n 1

[x ]' nx

Luego,

2/3 1/2 1/3 1/2

3

2 2f'(x) 3(x )' 4(x )' (5)' 2x 2x

x x

7.

3 202x 4x5

f(x) 3x 712012

Solucin

Derive cada trmino y se tiene

2 19

2x 2xf '(x) 15x2 3

8. 2 3f(x) 5(x x 2)

Solucin

Aplique la derivada slo a cada trmino del parntesis

3 2

f '(x) 5(2x1

)3 x

9. 3 2 3f(x) x(x 5x ) x

Solucin

Antes de derivar se debe aplicar la propiedad distributiva y luego aplique las reglas de

derivacin. Es decir:

7/2 5/2 1/3 5/2 3/2 2/37 25 1f'(x) (x 5x x )' x x x

2 2 3

5 3

3 2

7 25 1f'(x) x x

2 2 3 x

10.

33 2 5

x 5x xf(x)

x

Solucin

Antes de derivar divida cada factor entre x y luego aplique la derivada a cada trmino

33 2 52 2/3

3

x 5x x 2f '(x) ( )' (x 5x x )' 2x 5

x 3 x

11. 3 2 3f(x) (2x 5x ) x

Solucin

Aplique la propiedad distributiva y luego las reglas de las derivadas

3 37 4

3 2 10/3 7/33 3 20 x 35 xf '(x) (2x x 5x x)' (2x 5x )'3 3

12. f(x) = (sen(x) + tg(x))(x8 2x)

Solucin

Use la derivada del producto

8 8''f '(x) *sen(x) tg(x)+ x 2x *sen(x) tg(x)+ x 2x

2 8 7f '(x) *cos(x) sec (x)+ x 2x *sen(x) tg(x)+ 8x 2 13. f(x) = xln(x) x

Solucin

Use la derivada del producto

1

f (x) x ln x +x ln x x ln x +x 1 ln(x) 1 1 ln(x)x

14.

xf(x)

x 1

Solucin

Use la derivada del cociente

2 2

x x 1 x x 1 1f (x)

(x 1)x 1

15.

2

3

x 4f(x)

x 4

Solucin

Use la derivada del cociente

2 3 2 3 4 4 23

2 2 3 23 3

x 4 x 4 x 4 x 4 2x 8x 3x 12x x(x 12x 8)f (x)

(x 4)x 4 x 4

16. 2

sen(x) cos(x)f(x)

3x 4x 2

Solucin

Use la derivada del cociente

2 2

22

senx cosx 3x 4x 2 senx cosx 3x 4x 2f (x)

3x 4x 2

2

22

cos(x) sen(x) 3x 4x 2 senx cosx (6x 4)f (x)

3x 4x 2

2 2

2 2

(3x 10x 2)cosx (3x 2x 6)senxf '(x)

(3x 4x 2)

17. csc(x)

f(x)sec(x)

Solucin

Use identidades trigonomtricas

1

cos(x)sen(x)f(x)

1 sen(x)cos(x)

Aplique la derivada del cociente

2

2 2

cos(x) sen(x) cos(x) sen(x) 1f (x) csc (x)

sen (x) sen (x)

18.

x2 1

f(x)x

x3 1

x

Solucin

Use la derivada de un cociente y la derivada de la funcin exponencial

x x x xx x x x x x

2 2

' 2 3 x 2 3 x2 3 2 xln(2) 3 xln(3) 2 3f (x)

x x x

x x

2 2

ln(2) 1 1 ln(3)f '(x) 2 3

x xx x

PROBLEMAS DE DERIVADAS 1. Balstica. Los expertos en Balstica pueden identificar el arma que dispar cierta bala

estudiando las marcas en el proyectil. Las pruebas se realizan disparando en un bulto de papel. Si la distancia S, en centmetros, que la bala recorre en el papel est dada por

3s(t) 27 (3 10t) para 0 t 0,3 segundos, encuentre la velocidad de la bala en un dcimo

de segundo despus de que golpea el papel.

Solucin

Derive la funcin s(t)

3s(t) 27 (3 10t) 2 2s'(t) 3(3 10t) ( 10) 30(3 10t)

Analice la derivada en el dcimo segundo

21 1s'( ) 30(3 10 ) 120

10 10

La velocidad es de 120 cm/s

2. En el instante t 0 , un saltador se lanza desde un trampoln que est a 16 metros sobre el

nivel del agua de la piscina. La posicin del saltador viene dada por 2

s(t) 8t 8t 16 ; con

s en metros y t en segundos. a) Cundo entra el saltador en el agua? b) Cul es su velocidad en ese momento?

Solucin

a) Saltador entra al agua significa que s(t)=0. Es decir:

2

s(t) 8t 8t 16 2

0 8(t t 2) 8(t 2)(t 1) t=2 segundos

b) La velocidad es la derivada de la posicin. Es decir:

s'(t) 16t 8 s'(2) 16(2) 8 24

El saltador entra al agua con una velocidad de 24 m/s

3. Velocidad promedio. Si se lanza un objeto hacia arriba a 64 pies / seg desde una altura de 20 pies, su altura S despus de x segundos se determina por S(x) = 20 + 64x 16x2. Cul es la velocidad promedio de los a) primeros 2 segundos despus de que se lanz?

b) Siguientes 2 segundos?

Solucin

La velocidad es la derivada de la funcin altura S. Es decir:

S'(x) 64 32x

La velocidad promedio en los dos primeros segundos es:

S'(2) S'(0) 0 6432

2 0 2 0

La velocidad promedio en los dos segundos siguientes es:

S'(4) S'(2) 64 032

4 2 4 2

4. Si la funcin del costo total de un fabricante est dado por 26q

C 6000q 2

encuentre la

funcin del costo marginal.

Solucin

El costo marginal es la derivada del costo entonces aplicar la drivada de un cociente para el

primer trmino y la derivada de una constante para el segundo trmino.

2 2 2 2

2 2 2 2

dC 12q(q 2) 6q 12q 24q 6q 6q 24q 6q(q 4)CM

dq (q 2) (q 2) (q 2) (q 2)

5. Si q 12

pq 5

es una ecuacin de demanda, encuentre la razn de cambio del precio p con

respecto a la cantidad q.

Solucin

Se sabe que el ingreso I es el precio p por la cantidad q, entonces el ingreso marginal se calcula:

2 2 2

2 2

dI d q 12q (2q 12)(q 5) (q 12q) q 10q 60IM

dq dq q 5 (q 5) (q 5)

6. Una escalera de 10pies de largo est apoyada contra una pared de un edificio. La parte superior de la escalera se desliza por la pared a razn de 3pies/seg. Con qu rapidez se aleja del edificio la parte inferior de la escalera cuando la parte superior est a 6 pies del suelo?

Solucin

La escalera se desliza (hacia abajo) a razn de 3pies/seg

significa que:

dy3 pies / seg

dt

Del grfico se tiene: 2 2x y 100

Si y=6 entonces x=8

El problema pide calcular dx

dt. Entonces, por la regla de la cadena se tiene:

x 8x 8y 6y 6

dx dx dy y 6 9( 3) ( )(3) 2,025

dt dy dt x 8 4

La escalera se desliza en el piso a razn de 2,025 pies / segundo en el instante que la

escalera est a 6 pies del suelo.

L=10

y

x