preparaciÓn de la sesion docente · problemas propuestos 2.2.9.6. ... problemas modelos resueltos...
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PREPARACIÓN DE LA SESION DOCENTE 2012
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1. TITULO: INTERFERENCIA ÓPTICA.
2. PROPÓSITOS Y FUNDAMENTACION TEÓRICA
2.1. PROPÓSITOS 2.1.1. Comprender el fenómeno de interferencia óptica.
2.1.2. Identificar las condiciones para que se dé el fenómeno de la interferencia óptica.
2.1.3. Conocer la clasificación de los sistemas interferométricos.
2.1.4. Comprender el funcionamiento, clasificación y aplicaciones de los principales interferómetros.
2.1.5. Entender el fenómeno de interferencia en películas dieléctricas con dos y múltiples haces.
2.2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA (ver anexo 1.). 2.2.1. INTRODUCCIÓN.
2.2.2. CONSIDERACIONES GENERALES
2.2.3. CONDICIONES PARA LA INTERFERENCIA
2.2.4. INTERFEROMETROS DE DIVISION DE FRENTE DE ONDA.
2.2.4.1. Experimento de Young
2.2.4.2. Espejo doble de Fresnel.
2.2.4.3. Prisma de Fresnel.
2.2.4.4. Espejo Lloyd.
2.2.5. INTERFEROMETROS DE DIVISION DE AMPLITUD.
2.2.5.1. Interferómetro de Michelson.
2.2.5.2. Interferómetro de Mach-Zehnder
2.2.5.3. Interferómetro de Sagnac.
2.2.5.4. Interferómetro de Pohl.
2.2.6. PELÍCULAS DIELÉCTRICAS – INTERFERENCIA DE DOS HACES.
2.2.6.1. Franjas de igual inclinación.
2.2.6.2. Franjas de igual espesor.
2.2.7. TIPOS Y LOCALIZACIÓN DE LAS FRANJAS DE INTERFERENCIA.
2.2.8. INTERFERENCIA CON HACES MULTIPLES.
2.2.8.1. Interferómetro de Fabry –Perot.
2.2.9. ACTIVIDADES
2.2.9.1. Resumen de Fórmulas.
2.2.9.2. Preguntas Tipo Selección Múltiple con Única Respuesta
2.2.9.3. Crucigramas.
2.2.9.4. Problemas Resueltos
2.2.9.5. Problemas Propuestos
2.2.9.6. Experimentos.
3. ESTRATEGIA PEDAGÓGICA.
Este tema se desarrollará con una exposición por parte del profesor, con ayuda de un proyector (Video Beam) y el tablero según
sea necesario, en donde se expondrán los conceptos más importantes, deducciones, demostraciones, problemas aplicativos y
actividades de refuerzo y de síntesis. Adicionalmente se realizarán algunos experimentos prácticos que contribuyan a
comprender con mayor facilidad los conceptos de este tema.
El estudiante contará con notas de clase del profesor facilitadas por él en donde se encuentra el tema desarrollado junto con las
actividades a desarrollar en clase, igualmente las actividades extraclase. Adicionalmente habrá dentro de las actividades
problemas modelos resueltos para que el estudiante los analice y tenga recursos que le permita enfrentarse a los problemas
propuestos.
4. RECURSOS DIDÁCTICOS 4.1. PROYECTOR – VIDEO BEAM
4.2. EXPERIMENTOS DIDÁCTICOS
4.3. SIMULACIONES.
4.4. VIDEOS.
PREPARACIÓN DE LA SESION DOCENTE 2012
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5. EVALUACION Y ACTIVIDADES DE RETROALIMENTACION. (ver anexo 2.) 5.1. RESUMEN DE FÓRMULAS.
5.2. PREGUNTAS TIPO SELECCIÓN MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA
5.3. CRUCIGRAMAS.
5.4. PROBLEMAS RESUELTOS
5.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
5.6. EXPERIMENTOS
6. BIBLIOGRAFIA.
6.1. Libros 6.2. EUGENE HECHT. Optics. Ed. Addison –Wesley. ISBN 0-321-18878-0. pp. 385-438. 2002.
6.3. MAX BORN and EMIL WOLF. Principles of Optics. Ed. Cambrige University Press. ISBN 0-521-64222-1. pp. 286-409.
2005.
6.4. BAHAA E. A. SALEH and MALVIN CARL TEICH. Fundamentals of Photonics. Ed. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-2-1374-
8. pp. 63-77. 1991.
6.5. HNABOOK OF OPTICS –VOLUME I. Fundamentals, techniques and Design. Sponsored by the OSA. Part 2. Chapter 2.
Ed. McGraw-Hill. ISBN 0-07-047740-7. 1995.
6.6. P. HARIHARAN. Optical Interferometry. Ed. Academy Press(An Imprint of Elsevier Science). ISBN 0-12-311630-9. 2003.
6.7. DANIEL MALACARA et. al. Interferogram Analysis for Optical testing. Ed. Taylor & Francis. ISBN 1-57444-682-7. 2005.
6.8. Artículos.
6.8.1. R. N. Wolfe y F. C. Eisen, Irradiance Distribution in a Lloyd Mirror Interference Pattern. Opt. Soc. Am. 38, 706 (1948).
6.8.2. H. D. Polster, Multiple Beam Interferometry. Appl Opt. 8, 522 (1969).
6.8.3. J. M. Burch. Nature, 171,889 (1953).
6.8.4. J. M. Burch. J. Opt. Soc. Am., 52, 600 (1962).
6.8.5. R. M. Scott, Scatter Plate Interferometry, Appl. Opt. 8, 531 (1969).
6.8.6. J. B. Houston, Jr. How to Make and Use a Scatterplate Interferometer, Optical Spectra, pag. 32, Junio, 1970.
6.9. Link de internet 6.9.1. http://www.fisica.ru/dfmg/viewhw3.php?proj_ID=881&t_id=2137&title=%D3PTICA
6.9.2. http://www.ub.edu/javaoptics/
6.9.3. http://en.wikipedia.org/wiki/Interference_%28wave_propagation%29
6.9.4. http://fismoderna.wikispaces.com/Experimento+de+Michelson-Morley
6.9.5. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/interferencia_0/interferencia_0.htm
6.9.6. http://www.olympusmicro.com/primer/java/doubleslit/index.html
6.9.7. http://www.olympusmicro.com/primer/java/interference/index.html
APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012
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1. INTRODUCCIÓN.
Una de las manifestaciones más comunes de la interferencia óptica son los
intrincados colores que resplandecen sobre una mancha de aceite en el
pavimento asfaltico mojado o también los presentes en una pompa de
jabón.
Figura 1. Interferencia óptica en pompas de jabón(a), película de aceite (b). (Las imágenes del texto se tomaron de la Bibliografía relacionada)
Este problema esta de alguna manera relacionado con la interacción de
varias ondas en el agua (ver figura 1), en donde estas al superponerse se
pueden anular completamente. Dependiendo de la frecuencia y la
separación de la dos fuentes puntuales puede generarse un patrón muy
particular (ver figura 2).
Figura 2. Interferencia de dos fuentes puntuales.
Los fenómenos que provienen de la interferencia óptica son mucho más
fáciles interpretarlos desde la teoría ondulatoria de la naturaleza
electromagnética de la luz. La expresión que describe la perturbación
óptica es la ecuación diferencial parcial homogénea de segundo orden, la
cual obedece al importante principio de superposición
2 22 2
2 2
1; ;o o o o
o o
E BE B c
t t
Por tanto, la inestabilidad del campo eléctrico resultante E , en punto
del espacio donde dos o más ondas de luz se superponen, es igual a
la suma vectorial de las perturbaciones constitutivas individuales.
Así mismo, la interferencia óptica es una interacción de dos o más
ondas de luz que producen una irradiancia resultante, la cual no es
igual a la suma de la irradiancias de sus componentes.
2. CONSIDERACIONES GENERALES
De acuerdo con el principio de superposición, la intensidad del campo
eléctrico E , en un punto en el espacio, está dada por
1 2 3E E E E , pero la perturbación óptica (campo eléctrico),
varia en un tiempo sumamente rápido de 14 144.3 10 7.5 10Hz a Hz haciendo que el campo real sea
una cantidad prácticamente indetectable. Por otro parte la existencia de
una gran cantidad de detectores (fotoceldas, bolómetros, emulsiones
fotográficas, ojos), que detectan la irradiancia (promedio en el tiempo de la
intensidad luminosa), en un tiempo conocido como tiempo de integración
que varía dependiendo de la rapidez de este dispositivo. Por tanto, es
conveniente para el estudio de la interferencia óptica atacar el problema
por medio de la irradiancia.
En gran parte el estudio de la interferencia óptica se puede realizar sin
especificar la forma del frente de onda, pues sus resultados pueden ser
aplicados en forma general.
Consideremos dos fuentes puntuales 1S y 2S emitiendo ondas
monocromáticas (una frecuencia) de la misma frecuencia en un medio
homogéneo. Además, consideramos que la separación a sea mucho
más grande que . Coloquemos el punto P lo mas lejos de las fuentes
de tal forma que podamos considerar que los frentes de ondas sean
planos en P .
Figura 3. Dos fuentes puntuales superpuestas espacialmente.
Por facilidad consideraremos ondas linealmente polarizadas de la forma
1 01 1 1 2 02 2 2( , ) cos( ) ( , ) cos( )E r t E k r wt y E r t E k r wt
La irradiancia en P esta dada por 2I v E , como solo nos
concierne la irradiancias relativas en el mismo medio, no tendremos en
cuenta por el momento el factor v puesto que es solo un factor
multiplicativo y trabajaremos como
2I E , promedio en el tiempo de la magnitud de la intensidad
2
1 2 1 2I E E E E E E E
Por lo tanto 2 2 2
1 2 1 22I E E E E E
Quedando 2 2 2
1 2 1 22I E E E E E
La irradiancia queda 1 2 12I I I I
El último término de la irradiancia resultante se conoce como término de
interferencia, para evaluarlo
1 2 01 02 1 1 2 2cos( ) cos( )E E E E k r wt k r wt o
1 2 01 02 1 1 1 1
2 2 2 2
cos( )cos( ) ( ) ( )
cos( )cos( ) ( ) ( )
E E E E k r wt sen k r sen wt
k r wt sen k r sen wt
Teniendo en cuenta que el promedio en el tiempo de una función f t ,
sobre un intervalo T es
' '1( ) ( )
t T
t
f t f t dtT
El periodo de la función armónica es muy pequeño
comparado con T .
Después de multiplicar y sacar promedio del término de interferencia
queda
11 2 01 02 1 1 2 22
cos( )E E E E k r k r
Donde se utilizó el hecho de que 2 21 1
2 2cos , cos 0,wt sen wt y senwt wt por tanto el
término de interferencia queda.
(a) (b)
APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012
2
12 01 02 cosI E E , donde 1 1 2 2k r k r , es la
diferencia de fase. La cual proviene de combinar una diferencia de
longitud de trayectoria y una diferencia de fase inicial. Analizaremos por
ahora el caso donde 01E es paralela a
02E , bajo esta condición se puede
dar un tratamiento escalar
12 01 02 cosI E E , esta ecuación se puede escribir de una forma más
conveniente, si
2 22 201 02
1 1 2 22 2
E EI E y I E
Por tanto el término de interferencia queda
12 1 22 cosI I I
En donde la irradiancia total es
1 2 1 22 cosI I I I I
Figura 4. Variación de la intensidad como una función de la diferencia de fase entre dos ondas interfiriendo.
Un máximo de irradiancia se obtiene cuando cos 1
Osea cuando 0, 2 , 4 , max 1 2 1 22I I I I I
Vemos que la diferencia de fase es un múltiplo entero de 2 y por tanto
las perturbaciones están en fase. Se habla entonces de interferencia
constructiva total.
Un mínimo de irradiancia se obtiene cuando cos 1
Osea cuando , 3 , 5 , min 1 2 1 22I I I I I
Vemos que la diferencia de fase es un número impar de y por tanto las
perturbaciones están 180o fuera de fase. Se habla entonces de
interferencia destructiva total.
Cuando cos 0
Ósea cuando , 3 , 5 ,2 2 2
1 2I I I
Para valores intermedios fuera de fase.
1 2 max0 cos 1 I I I I Interferencia constructiva
1 2 min0 cos 1 I I I I Interferencia destructiva
Cuando las amplitudes de las ondas que llegan a P son iguales, es decir
01 02E E entonces 1 2 0I I I , la ecuación de se puede escribir
02 1 cosI I 2
04 cos2
I I
De la cual se deduce que min 0I y max 04I I
Lo visto anteriormente es igualmente valido para las ondas esféricas
emitidas por 1S y 2S . Tales ondas se pueden expresar como
1 1 01 1 1 1 2 2 02 2 2 2( , ) ( )exp[ ( )] ( , ) ( )exp[ ( )]E r t E r i kr wt y E r t E r i kr wt
Los termino 1r y 2r son los radios de los frentes de onda esféricos que se
superponen en P . En este caso
1 2 1 2( ) ( )k r r
Bajo las condiciones en que la separación entre 1S y 2S sea pequeña
comparada con 1r y 2r y cuando además la región de interferencia sea
pequeña en el mismo sentido. Bajo esta circunstancias puede considerarse
que las amplitudes de los campos sean independientes de la posición y si
además las fuentes emisoras son de igual intensidad 1 2 0I I I
tenemos que
2 10 1 2 1 22
4 cos ( ) ( )I I k r r
Los máximos de irradiancia ocurren cuando
2m Siempre que 0, 1, 2, 3,m
Los mínimos de irradiancia ocurren cuando
(2 1)m Siempre que 0, 1, 2, 3,m
Teniendo en cuenta la definición de , las ecuaciones anteriores se
pueden rescribir.
Máximo cuando: 2 11 2
[2 ( )]( )
mr r
k
Mínimo cuando: 2 11 2
[ (2 1) ( )]( )
mr r
k
Cualquiera de estas ecuaciones define una familia de superficies, cada
una de las cuales es un hiperboloide de revolución. Los vértices de los
hiperboloide están separados por distancias iguales. Los focos están
localizados en 1S y 2S . Si la ondas están en fase al salir del emisor
2 1 0 , las ecuaciones anteriores se simplifican a,
1 2
2( )
mr r m
k
, superficies de irradiancia máxima
1 2
(2 1)( ) (2 1)
2
mr r m
k
, superficies de irradiancia mínima.
En la siguiente figura5(a) se muestra unas pocas superficies de irradiancia
máximas (ver Si colocamos una pantalla de observación en cualquier
dirección de corte, en la región de interferencia, se verán zonas claras y
oscuras, conocidas como franjas de interferencia, su forma dependerá de
Figura 5. Superficies de interferencias de dos ondas esféricas.
APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012
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la dirección de corte. En la figura 5(b) se observan franjas de interferencia
cuya dirección de corte contiene las dos fuentes.
3. CONDICIONES PARA LA INTERFERENCIA
Las fuentes deben ser coherentes. Que la diferencia de fase se
mantenga constante.
Las dos fuentes deben tener casi la misma frecuencia.
Es muy conveniente utilizar una fuente para producir de ella dos
fuentes secundarias coherentes.
Se obtendrán patrones más claros (máximo contraste) si las
amplitudes de las ondas son iguales.
La interferencia de la luz polarizada. Leyes de Fresnel –Arago.
Dos estados de polarización lineal coherentes ortogonales no
pueden interferir en el sentido de que 12 0I y no resultan franjas.
Dos estados de polarización lineal coherentes paralelos
pueden interferir en una misma región del espacio.
Dos estados linealmente polarizados de luz natural (no
coherente) no pueden interferir.
4. INTERFEROMETROS DE DIVISION DE FRENTE DE ONDA.
4.1. Experimento de Young
Consideremos una onda plana monocromática iluminando una
rendija larga y angosta.
De esa rendija primaria emergerá una onda cilíndrica; y supongamos que
esta onda, a su vez, cae en don rendijas 1S y
2S muy juntas, angostas y
paralelas, como se muestra en la figura 7. Cuando exista simetría los
segmentos del frente de onda primario que llegan a las dos rendijas
estarán exactamente en fase, y las rendijas constituirán dos fuentes
secundarias coherentes. Se espera que donde quiera que las ondas que
vienen de 1S y
2S se superpongan, ocurrirá interferencia (siempre que la
diferencia de camino óptico sea menor que la longitud de coherencia).
Consideremos la construcción que se muestra en la figura 8.
En una situación realista la distancia de las fuentes hasta las pantallas
sería larga en comparación con las distancia a entre las dos rendijas, y
todas las franjas estarían bastante cerca del centro O de la pantalla. La
diferencia de camino entre los rayos a lo largo de 1S P y
2S P se puede
obtener, con buena aproximación, trazando una línea perpendicular desde
2S hasta 1S P (B). Esta diferencia de camino está dada por
1 1 2S B S P S P o 1 1 2S B r r
Teniendo en cuenta la aproximación la distancia de la pantalla a la fuente
la diferencia de camino se puede expresar como
1 2r r a ya que sen
Observemos que
tany
sens
y así 1 2
ar r y
s
Conocemos que la interferencia constructiva ocurre cuando
1 2r r m m
sy m
a
La anterior relación da la posición de la m-ésima franja brillante sobre la
pantalla, si contamos como el máximo en 0 como la franja cero.
La posición angular de la franjas es m
m
a
Si obtenemos el espacio entre franjas consecutivas en la pantalla.
1 ( 1)m m
s sy y m m
a a
sy
a
Si tenemos en cuenta la diferencia de fase 1 2( )k r r y la
intensidad para la interferencia de dos ondas esféricas en el infinito, la
cual podemos reescribir como 2 1 2( )
4 cos2
o
k r rI I
Siempre que
los dos haces sean coherentes y tengan irradiancia iguales oI . Con
1 2
ar r y
s
La irradiancia resultante queda
24 coso
yaI I
s
El comportamiento de esta ecuación, se puede observar en la figura 10(a),
donde los máximos consecutivos están separados por y . El
comportamiento de esta función puede ser obtenida si realizamos un
barrido con un detector, como en la figura 9.
Figura 9. Franjas de interferencia en el experimento de young.
Figura 8. Diagrama de Experimento de Young.
Figura 7. Esquema del experimeto de Young.
Figura 6. Interferencia de luz polarizada
APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012
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Para el m-ésimo orden de interferencia m longitudes de onda enteras
caben dentro de la distancia 1 2r r . Por ejemplo para 1m la
diferencia de camino es igual una longitud de onda , como se muestra
en la figura 9.
Este interferómetro se puede montar con relativa facilidad. Las partes
necesarias son: una fuente intensa de luz, seguida de una celda de agua
con el propósito de refrigerar si es necesario. La luz de la lámpara sino es
monocromática (un solo color) se puede obtener con un filtro de color
colocado en frente de la lámpara. Pero si contamos con un láser de no
habría necesidad de un filtro de color. Ver figura 11.
El principio físico y las consideraciones matemáticas se aplican
directamente a otros interferómetros de división de frente de onda. Entre
ellos están los siguientes:
4.2. Espejo doble de Fresnel.
Este consiste en dos espejos planos metalizados al frente e inclinados
uno con respecto al otro, con un ángulo muy pequeño, como se ve en la
figura 9. Una porción de onda cilíndrica que proviene de la rendija S se
refleja en el primer espejo, mientras que otra porción del frente de onda
se refleja en el segundo espejo. Un campo de interferencia existe en la
región donde las dos ondas se superponen una sobre la otra. Las
imágenes ( 1S y 2S ) de la rendija S en los dos espejos se pueden
considerar como fuentes coherentes separadas una distancia a . De la
ley de reflexión, se muestra en la figura 9 que 1SA S A , 2SB S B
, de tal forma que 1SA AP r y 2SB BP r . La diferencia de
camino óptico entre los rayos es simplemente 1 2r r . Los máximos
ocurre cuando 1 2r r m . De tal forma que la separación entre
franjas es nuevamente
sy
a
Donde s es la distancia entre el plano de las dos fuentes virtuales ( 1S y
2S ) y la pantalla de observación.
4.3. Prisma de Fresnel.
Este interferómetro consiste en dos prismas unidos en las bases como se
muestra en la Figura 13. El frente de onda cilíndrico llega a ambos
prismas. La porción superior del frente de onda se refracta hacia abajo,
mientras que el segmento inferior se refracta hacia arriba. En la región
de superposición ocurre la interferencia. Aquí de nuevo, existen dos
fuentes virtuales, 1S y 2S , separadas por una distancia a . La
separación de las franjas es la misma que para los anteriores
interferómetros.
4.4. Espejo Lloyd.
Consta de una pieza de dieléctrico o metal que sirve como espejo, del
cual se refleja una porción del frente de onda cilíndrico que sale de la
rendija S , como muestra la figura 14. La otra porción del frente de onda
viaja directamente de la rendija a la pantalla. Para la separación a ,
entre las dos ondas coherentes, tomamos la distancia entre la rendija
real y su imagen 1S en el espejo. El espacio entre las franjas es
también s a . La característica que distingue este dispositivo es
que a incidencia rasante 90o
i el haz reflejado sufre un cambio de
fase de 180o , por tanto la diferencia de fase entre los dos haces es
1 2( )k r r
Y por tanto la irradiancia queda
24 o
ayI I sen
s
El patrón de franjas para el espejo de Lloyd es complementario del
interferómetro de Young; es decir, los máximos del patrón corresponde a
valores de y que corresponden a los mínimos del otro patrón, así la cara
reflectiva del espejo es equivalente a 0y , la cual corresponde al centro
de una franja oscura. La mitad inferior del patrón será obstruída por la
presencia del espejo.
5. INTEREFEROMETROS DE DIVISION DE AMPLITUD.
Supóngase que una onda luminosa incide sobre un espejo semi-plateado.
Parte de la onda será transmitida y parte de la onda será reflejada. Tanto
la onda trasmitida como la onda reflejada tendrán amplitudes más bajas
que la original. Se puede decir en forma figurada que la amplitud de la
onda ha sido dividida. Si las dos ondas producidas por división pueden ser
reunidas de alguna manera sobre un detector, habrá interferencia, en
tanto la coherencia original entre los dos haces no haya sido afectada.
Existirá un patrón de franjas estable cuando la diferencia de camino sea
menor a la longitud de coherencia.
Figura 14. Espejo Lloyd
Figura 13. Biprisma de Fresnel.
Figura 12. Espejo doble de Fresnel.
Figura 11. Montaje para estudiar el experimento de Young.
Figura 10. (a) Irradiancia versus separacion del las franjas. (b) separacion de la
franjas versus separación de las aberturas.
APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012
5
5.1. Interferómetro de Michelson.
El más conocido e históricamente importante de todos los interferómetros
de división de amplitud es el interferómetro de Michelson, mostrado en la
figura 15.
Una fuente extensa (placa difusora de vidrio esmerilado iluminada por
una lámpara) emite una onda, parte de la cual viaja hacia la derecha. El
divisor de haz O divide la onda en dos, una parte de la onda viaja a 1M
y otra hacia 2M . Las dos ondas serán reflejadas por los espejos 1M
y 2M , y regresadas al divisor de haz. Parte de la onda que viene de
2M pasa a través del divisor de haz hacia el detector y parte de la onda
proveniente de 1M es desviada o reflejada por el divisor también hacia
el detector. Por lo tanto las dos ondas se unen y es posible que se
produzca interferencia.
Obsérvese que un haz pasa a través de O tres veces mientras que el
otro para una vez únicamente. En consecuencia, cada haz cruzara igual
espesor de vidrio únicamente cuando una placa compensadora C se
introduzca en el brazo 1OM . El compensador es un duplicado exacto
del divisor de haz con la excepción de un recubrimiento plateado sobre el
divisor de haz. Este es colocado a un ángulo de 45o tal que O y C
sean paralelas una respecto a la otra. Con el compensador en su lugar
cualquier diferencia de camino óptico aparece de la diferencia de camino
real.
Para entender cómo se forman las franjas, se hace referencia a la
construcción mostrada en la figura 16, donde los componentes físicos
son representados mas como superficies matemáticas. Un observador
en la posición del detector vera simultáneamente ambos espejos 1M y
2M junto con la fuente en el divisor del haz. De acuerdo a esto
podemos redibujar el interferómetro como si todos los elementos
estuvieran en línea recta. En este '
1M corresponde a la imagen de 1M
en el divisor y ha sido girada para estar alineada con O y 2M .
Las posiciones de estos elementos en el diagrama dependen de sus
distancias relativas respecto O . Por ejemplo los espejos pueden estar
delante, en el mismo sitio o detrás el uno del otro. Las superficies 1 y
2 son las imágenes de la fuente en los espejos 1M y 2M
respectivamente.
Considere un punto S sobre la fuente emitiendo luz en todas las
direcciones; y sigamos el curso de uno de los rayos salientes. En
realidad una onda de S se dividirá en O y sus componentes se
reflejaran posteriormente en 1M y 2M . En nuestro diagrama
esquemático, se representa reflejando el rayo en 2M y '
1M . Para un
observador en D los dos rayos reflejados aparecerán provenientes de
los puntos imagen 1S y 2S . Como se puede ver en la figura, la
diferencia de camino óptico para estos rayos esta cerca de 2 cosd
que representa una diferencia de fase 2 cosok d . Existe un término
adicional de fase proveniente del hecho, que la onda que atraviesa el
brazo 2OM es reflejado internamente en el divisor de haz, mientras
que la onda del brazo 1OM es reflejada externamente en O .
Si el divisor de haz es simplemente una placa de vidrio no recubierta, el
cambio de fase relativo proveniente de las dos reflexiones será de
radianes. Habrá interferencia destructiva cuando
2 cos m od m
Donde m es un entero. Si esta condición se satisface para el punto S
entonces, será igualmente bien satisfecha para cualquier punto sobre
que este sobre el circulo 'O S , donde
'O está localizado sobre el eje
del detector. Un observador verá un patrón de franjas circulares
concéntricas con el eje central de su cristalino.
La dependencia de m con respecto a
o en la ecuación anterior nos dice
que si usamos una fuente que contenga un número dado de
componentes de frecuencia (una lámpara de mercurio – luz blanca),
cada uno de tales componentes generara un sistema propio de franjas
(franjas concéntricas de colores).
Un patrón de interferencia de luz cuasimonocromatica consiste
típicamente en un número grande de anillos brillantes y oscuros,
alternados. Un anillo en particular corresponde a un orden fijo m .
Conforme 2M se mueve hacia '
1M , d decrece y de acuerdo a la
ecuación anterior cos m aumenta y m por tanto decrece. Luego los
anillos se comprimen hacia el centro, con el orden mayor desapareciendo
siempre y cuando d decrezca por 2o . Cada anillo de los que queda
se va haciendo cada vez más ancho conforme las franjas van
desapareciendo en el centro, hasta que únicamente unas pocas llenan
toda la pantalla. En el momento en que 0d , la franja central se
habrá expandido, llenando totalmente el campo de visión. Debido al
corrimiento de fase en , resultante de la reflexión en divisor de haz,
toda la pantalla tendrá un mínimo de interferencia. Se continua moviendo
2M aun mas las franjas reaparecerán en el centro y se moverán hacia
afuera.
La posición angular de cualquier anillo del p-esimo anillo oscuro está
dada por
1
2o
p
p
d
Las franjas resultantes de igual inclinación (m const ) localizadas al
infinito (rayo saliendo en forma paralela, observables a ojo), son
algunas veces llamadas franjas de Haidinger en honor al físico
austriaco Wilhelm Karl Haidinger (1795-1871). Cuando los espejos del
interferómetro están inclinados el uno respecto al otro haciendo un
ángulo pequeño, es decir, cuando 1M y
2M no son totalmente
perpendiculares entre sí, se observan franjas de Fizeau. La cuña de aire
formada entre 2M y '
1M produce un patrón de franjas rectas y paralelas
(franjas de Fizeau).
Figura 16. Un rearreglo conceptual del interferometro de Michelson.
Figura 15. El interferometro de Michelson.
APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012
6
Es evidente que el interferómetro de Michelson se puede usar para hacer
medidas de longitud bastante precisas. Cuando el espejo móvil es
desplazado en 2o , cada franja se moverá a la posición previamente
ocupada por una franja adyacente. Por tanto únicamente se necesita
contar el número de franjas N , que pasan por cierto punto de
referencia, para determinar la distancia recorrida d por el espejo móvil,
o sea
2
od N
Michelson uso este método para medir el número de longitudes de ondas
de la línea roja de Cadmio que correspondían al metro patrón de Sevres,
cerca de Paris.
5.2. Interferómetro de Mach-Zehnder
Este interferómetro consta de dos espejos y dos divisores de haz, como
muestra la figura 17. Las dos ondas dentro del aparato viajan a lo largo
de caminos separados. Una pequeña diferencia entre los caminos se
puede producir por un ligero giro de uno de los divisores de haz. Dado
que los caminos están separados, el interferómetro es relativamente
difícil de alinear.
Interponiendo un objeto en uno de los haces, se alterará la diferencia de
camino óptico y por lo tanto cambiará el patrón de franjas. Una aplicación
común de este instrumento consiste en observar la variación de densidad
de flujo de gases dentro de cámaras, por ejemplo de túneles de viento.
Un haz pasa a través de las ventanas ópticamente plana de las cámaras
de prueba, por donde fluye el gas, mientras que el otro haz cruza placas
compensadoras apropiadas.
5.3. Interferómetro de Sagnac.
Este interferómetro es relativamente fácil de alinear, bastante estable y a
pesar de todo tiene poco uso práctico.
En la figura 18 se muestra dos formas posibles de interferómetros de
Sagnac. La característica particular de este dispositivo es que existen
dos caminos idénticos pero opuestos en la dirección de la trayectoria, y
que ambos forman caminos cerrados antes que se unan para formar
interferencia. Un pequeño cambio en uno de los espejos producirá una
diferencia de camino óptico y se obtendrán franjas. Puesto que los haces
están superpuestos y por lo tanto son inseparables, el interferómetro no
puede se usado para los usos convencionales, que en general dependen
de la posibilidad de imponer variaciones sobre únicamente uno de los
brazos del interferómetro.
5.4. Interferómetro de Pohl.
Este interferómetro es simplemente una película semitransparente
iluminada por la luz proveniente de una fuente puntual. En este caso las
franjas son reales y se pueden producir sobre una franja colocada en
cualquier lugar pero en la vecindad del interferómetro y sin usar una lente
condensadora. Se utiliza una fuente de luz conveniente (luz blanca o luz
laser), cuya luz sale por un pequeño orificio y una película delgada la
cual es una pieza de mica ordinaria pegada sobre una cubierta de libro
negra la cual sirve de fondo opaco.
6. PELICULAS DIELÉCTRICAS – INTERFERENCIA DE DOS
HACES.
Se dice que una capa de algún material transparente es una película
delgada para cierta longitud de onda de radiación electromagnética cuando
su espesor es del orden de la longitud de onda.
6.1. Franjas de igual inclinación.
Inicialmente , consideramos el caso sencillo de una placa transparente y
paralela de material dieléctrico con un espesor d . Supongamos que es
no absorbente y que los coeficientes de reflexión de amplitud en las
caras son tan bajos, que únicamente vale la pena considerarse los dos
primeros haces reflejados 1rE y 2rE (ambas han sufrido solo una
reflexión).
De acuerdo a la figura 21(a) la diferencia de camino óptico para los dos
primeros rayos reflejados está dada por
1fn AB BC n AD
Y puesto que cos tAB BC d ,
Consideremos a S como una fuente puntual monocromática. La película
sirve como un dispositivo de división de amplitud, tal que1rE y
2rE
pueden ser considerados como provenientes de dos fuentes coherentes
virtuales colocadas atrás de la película. Los rayos reflejados son
Figura 21. Franjas de igual inclinación. Franjas vistas sobre una
pequeña porción de la película.
Figura 20. Luz reflejada de la parte superior e inferior de
una película delgada.
Figura 19. Interferómetro de Pohl.
Figura 18. Interferómetro de Sagnac.
Figura 17. El interferómetro de Mach-Zender.
APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012
7
paralelos cuando dejan la película y se pueden unir cuando en un punto
P sobre el plano focal de un una lente convergente o sobre la retina del
ojo cuando está enfocado en el infinito ver figura 21(a).
Luego 1
2
cos
f
t
n dn AD
Ahora para encontrar la expresión para AD ,
iAD AC sen
Si hacemos uso de la ley de Snell, esto se transforma en
1
f
t
nAD AC sen
n
Donde
2 tan tAC d
La expresión para ahora es
22
1cos
f
t
t
nsen
O finalmente
La diferencia de fase correspondiente es el producto del número de onda
en el vacio con , es decir, ok . Si la película está sumergida en un
solo medio, el índice de refracción se puede escribir simplemente como
1 2n n n ; hay que darse cuenta que n puede ser menor que fn ,
como en el caso de la pompa de jabón en el aire; o mayor que fn ,
como ocurre en una capa de aire dentro de dos placas delgadas de
vidrio. En cualquier caso habrá un corrimiento adicional en la fase como
resultado de las reflexiones mismas. Recordemos que
independientemente de la polarización de la luz incidente, los haces, uno
reflejado interna y otro externamente, sufrirán un cambio relativo de fase
de radianes. De acuerdo a ello
ok
Y más simplemente
4cos
f
t
o
nd
O
1 2
2 2 24f i
o
dn n sen
El signo del corrimiento no es relevante, de tal modo que escogeremos el
signo negativo para hacer las ecuaciones un poco más simples.
Los máximos en luz reflejada de interferencia, un punto brillante
aparecerá en P cuando 2m , ósea un múltiplo par de . En
este caso la ecuación inicial de la fase queda
(Máximos) cos 2 1 0,1,2,4
f
td m m
Donde se ha usado el hecho de que f o fn . Esto
corresponde a mínimos de luz trasmitida.
Los mínimos de interferencia en luz reflejada(máximos en
transmitida) resultan cuando 2 1m , es decir
múltiplos impares de . Para tal caso en la ecuación inicial de la fase
queda
(Mínimos) cos 2 0,1,2,4
f
td m m
El ángulo i o equivalentemente t , determinado por la
posición de P , a su vez controlará . Las franjas que
aparezcan en los puntos 1P y 2P de la figura 21(c) son
correspondientemente, conocidas como franjas de igual
inclinación. Recordemos que cada fuente puntual sobre la
fuente extendida es incoherente con respecto a las otras.
Observese que conforme la película se hace más gruesa, la
separación AC entre 1rE y 2rE también aumenta ya que
2 tan tAC d
Cuando solo uno de los rayos puede entrar a la pupila del ojo, el
patrón de interferencia desaparecerá. Puede ser usada una lente
de mayor diámetro para atrapar ambos rayos, haciendo una vez
más posible la observación del patrón. La separación puede
disminuirse reduciendo t y por tanto i , o sea, observando la
película casi a incidencia normal. La franjas de igual inclinación
observadas en esta forma para placas gruesas se conocen como
franjas de Haidinger . Con una fuente extendida ellas consiste
de una serie de bandas circulares concéntricas centradas sobre la
perpendicular del ojo(o de la lente), Como se puede observar en la
figura 22.
6.2. Franjas de igual espesor.
Existe toda una clase de franjas de interferencia para los cuales el
espesor óptico, fn d , es el parámetro dominante más que i . Estas se
llaman franjas de igual espesor. Bajo iluminación con luz blanca la
iridiscencia con pompas de jabón, capas de aceite (con unas pocas
longitudes de onda de gruesa), todas ellas son resultado de variaciones
en el espesor de la película. Las bandas de interferencia de este tipo
son análogas al contorno de líneas de altura constante de un mapa
topográfico. Cada franja es un lugar geométrico de todos los puntos en
la película para el cual el espesor óptico es constante. Si fn no varía, de
tal modo que las franjas en realidad corresponden a regiones de igual
espesor en la película. Estas pueden ser útiles para determinar aspectos
bien importantes de la superficie de elementos ópticos: lentes, prismas,
etc. Por ejemplo una superficie que va a ser examinada se pone en
contacto con un plano óptico (Una superficie que esta ópticamente
plana que se desvía no más de 4 respecto a un plano perfecto o
más pequeño).
El aire entre el espacio de las dos superficies genera un patrón de
interferencia de películas delgadas. Si la superficie bajo prueba es
plana, una serie de bandas rectas e igualmente espaciadas indicará que
hay una película de aire en forma de cuña, tal como se muestra en la
figura 23. Cuando se observa casi a incidencia normal, en la forma
ilustrada en la figura 23, los contornos provenientes de una película no
uniforme (cuña de aire) se llaman franjas de Fizeau.
Figura 22. Franjas circulares de Haidinger centrales sobre el eje
de la lente.
2 cosf tn d
APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012
8
Para una cuña delgada de ángulo pequeño (ver figura 23), la
diferencia de camino óptico entre los dos rayos puede ser aproximada
por
2 cosf tn d , donde d es el espesor para un punto en
particular, es decir
d x
Para ángulos pequeños de i la condición para interferencia máxima es
12
2o f mm n d
O
12
2o m fm x n
Puesto que f f on , mx puede escribirse como
1 2
2m f
mx
Los máximos ocurren a distancias desde el vértice dadas por 4f ,
3 4f , etc. y las franjas consecutivas están separadas por una
distancia x , dada por
2fx
Obsérvese que la diferencia de espesor de la película es 2f .
Puesto que el haz reflejado en la superficie inferior cruza la película dos
veces ( 0i t ), los máximos adyacentes difieren en longitud de
camino óptico por f . También se observa que el espesor de la
película para varios máximos esta dado por
12
f
md m
Cruzando la película dos veces se obtiene un cambio de fase de el
cual, cuando se suma al corrimiento de resultante de la reflexión,
pone a los dos rayos en fase.
Examinemos ahora los llamados anillos de Newton que se presentan
en una configuración parecida a la de la figura 24.
Aquí la lente se coloca sobre un plano óptico e iluminado a incidencia
normal con luz cuasimonocromatica. La cantidad de uniformidad en
el patrón de círculos concéntricos es una medida del grado de
perfección de la lente. Siendo R el radio de curvatura de una lente
convexa, la relación entre la distancia x y el espesor d de la
película está dada por
22 2x R R d
O más simplemente por
2 22x Rd d
Puesto que R d esto se convierte en
2 2x Rd
Nuevamente necesitaremos suponiendo que necesitamos
únicamente examinar los primeros dos haces reflejados 1rE y 2rE .
El m-esimo orden de interferencia para un máximo ocurrirá en la
película delgada cuando su espesor esté de acuerdo con la relación 12
2 ( )f m on d m
El radio del m-esimo anillo brillante se encuentra por lo tanto
combinando las dos últimas expresiones para obtener 1 2
12
( )m fx m R
Igualmente el radio del m-esimo anillo negro es
1 2( )m fx m R
Si las dos piezas están en contacto (sin polvo), la franja central en
ese punto ( 0ox ) claramente será el mínimo de orden cero, un
resultado comprensible puesto que d se hace cero en ese punto.
En luz trasmitida, el patrón observado será el complementario de la
luz reflejada, de tal modo que ahora el centro aparecerá brillante.
7. TIPOS Y LOCALIZACION DE LAS FRANJAS DE
INTERFERENCIA.
Frecuentemente es importante conocer dónde estarán localizadas las
franjas producidas en un sistema interferométrico. Es decir, en qué lugar
necesitamos posicionar nuestro detector. En general, el problema de
localizar las franjas es característico de un interferómetro dado, es decir, se
tiene que resolver para cada dispositivo por separado.
Las franjas se pueden clasificar en dos categorías:
Reales
o Localizadas: Que se pueden ver en una pantalla sin el
uso de un sistema adicional de enfoque, y se pueden
observar sobre una superficie particular del espacio.
Ver figura 25.
o No localizadas: Que se pueden ver en una pantalla sin
el uso de un sistema adicional de enfoque, y se pueden
observar en cualquier lugar del espacio. Ej. El
experimento Young. Así mismo el interferómetro de
Michelson con cuña de aire.
Virtuales
o Localizadas: Que no se pueden ver en una pantalla, y
se pueden observar sobre una superficie particular del
espacio. El experimento de Michelson con espejos
paralelos, las franjas circulares serán virtuales
localizadas al infinito. Ver también figura 25.
8. INTEREFERENCIA CON HACES MULTIPLES.
Figura 25. Localización de la franjas.
Figura 24. Anillos de newton.
Figura 23. Franjas de una película en forma de cuña.
APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012
9
Existen circunstancias bajo las cuales un gran número de ondas
mutuamente coherentes pueden interferir. De hecho, si los coeficientes de
reflexión de amplitud r , para la placa de caras paralelas ilustrada en la
figura 21(a) no son pequeños como en los casos anteriores, las ondas
reflejadas de alto orden 3 4, , ,r rE E llegan a ser importantes. Una
placa de vidrio ligeramente plateada sobre ambos lados tal que los r se
aproximen a la unidad, generará un número grande de rayos reflejados
internamente. Consideremos únicamente situaciones donde la película,
sustrato y medio externo son dieléctricos transparentes. Esto evita los
cambios de fase más complicados que resultan de superficies recubiertas
con metales.
Supondremos que la película es no absorbente y 1 2n n de acuerdo a
la figura 26 . Los coeficientes de transmisión de amplitud estarán
representados por t (fracción de la amplitud trasmitida al entrar a la
película) y 't (fracción trasmitida cuando una onda sale de la película).
Como se muestra en la figura, las amplitudes escalares de las ondas
reflejadas 1 2 3, , , ,r r rE E E son respectivamente
, '3, , , ,o o oE r E trt E tr t donde oE es la amplitud de la onda inicial
incidente y 'r r . El signo menos indica un corrimiento de fase de
180o. De igual forma las ondas trasmitidas 1 2 3, , , ,t t tE E E tendrán
amplitudes ' '2 ' '4 ', , , .o o oE tt E tr t E tr t
Consideremos el conjunto de rayos paralelos reflejados, cada rayo posee
su propia relación fija de fase con respecto a los otros rayos reflejados. La
diferencia de fase surge como una combinación de la diferencia en el
camino óptico y los cambios de fase debido a las varias reflexiones. A
pesar de ello, las ondas son mutuamente coherentes y si se recogen y se
ponen en foco sobre el punto P con una lente, todas ellas interferirán.
Es necesario tener en cuenta lo siguiente:
Todas las ondas excepto la primera, 1rE sufren un número
impar de reflexiones dentro de la película.
Se deduce que para cada reflexión interna la componente del
campo paralelo al plano de incidencia cambia de fase, ya sea en
o 0 , dependiendo del ángulo interno incidente (i p o
p i c ).
La componente del campo perpendicular al plano de incidencia
no sufre cambio en la fase para la reflexión interna. Por tanto, no
existe un cambio de fase relativo entre las ondas resultantes de
un número impar de tales reflexiones. Ver figura 27.
Por tanto la onda 1rE , debido a su reflexión en la primera superficie,
estará fuera de fase en 180o con respecto a las otras ondas. El cambio
de fase está incluido en el hecho que 'r r y
'r ocurre con potencias
impares.
Los campos ópticos en P están dados por
1
' ' ( )
2
'3 ' ( 2 )
3
'5 ' ( 3 )
4
'(2 3) ' [ ( 1) ]
iwt
r o
i wt
r o
i wt
r o
i wt
r o
N i wt N
Nr o
E E re
E E tr t e
E E tr t e
E E tr t e
E E tr t e
Donde iwt
oE e es la onda incidente.
Los términos , 2 , , ( 1)N son las contribuciones a la fase
provenientes de una diferencia de camino óptico entre rayos adyacentes
( ok ). Existe una contribución adicional proveniente de la distancia
óptica recorrida para llegar a P. Pero como es común a todos los rayos, ha
sido omitida. El corrimiento relativo de fase sufrido por el primer rayo como
resultado de la reflexión está incluido en la cantidad 'r .
La onda escalar reflejada resultante es entonces
1 2 3r r r r NrE E E E E , sustituyendo (Figura 28)
' ' ( ) '(2 3) ' [ ( 1) ]iwt i wt N i wt N
r o o oE E re E tr t e E tr t e
Esto se puede reescribir
' ' '2 '2 2 '2 2{ [1 ( ) ( ) ( ) ]}iwt i i i i N
r oE E e r r tt e r e r e r e
Si '2 1ir e , y si el numero de términos en la serie se aproxima al
infinito, la serie converge a '21 1 ir e . La onda resultante llega a
ser
' '
'21
iiwt
r o i
r tt eE E e r
r e
En el caso de absorción cero, cuando no se saca energía de las ondas,
podemos usar las relaciones 'r r y
' 21tt r , para escribir la
ecuación anterior como
2
1
1
i
iwt
r o i
r eE E e
r e
Figura 28. Diagrama de fasores.
Figura 27. Corrimiento de fase producido únicamente de las reflexiones.
(internas '
i p ).
Figura 26. Interferencia con haces múltiples
APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012
10
La densidad de flujo reflejada en P es entonces * 2r r rI E E o sea
2 2
2 2
1 1
2 1 1
i i
o
r i i
E r e eI
r e r e
La cual se puede transformar en
2
4 2
2 1 cos
1 2 cosr i
rI I
r r
Donde 2 2i oI E . Si usamos la identidad trigonométrica
2cos 1 22
sen
, la anterior ecuación se transforma en
22 2
22 2
2 1 2
1 2 1 2r i
r r senI I
r r sen
Si introducimos una cantidad nueva conocida como coeficiente de finura
F , de modo que
2
2
2
1
rF
r
La ecuación anterior queda
2
2
2
1 2
r
i
FsenI
I Fsen
Por otro lado, la onda escalar trasmitida es
'
1
' '2 ( )
2
' '4 ( 2 )
3
' '6 ( 3 )
4
' '(2 1) [ ( 1) ]
iwt
t o
i wt
t o
i wt
t o
i wt
t o
N i wt N
Nt o
E E tt e
E E tt r e
E E tt r e
E E tt r e
E E tt r e
Que al sumarlas dan
'
21
iwt
t o i
ttE E e
r e
La densidad de flujo en el punto 'P es
' 2
4 2
( )
(1 ) 2 cost i
ttI I
r r
Si usamos la identidad trigonométrica 2cos 1 2 2sen , y
consideramos que la energía de la onda no es absorbida (' 21tt r ),
entonces la anterior ecuación se transforma en
2
2 2
1
1 2 1 2t iI I
r r sen
Si tenemos en cuenta el coeficiente de finura, la ecuación anterior se
reduce a
El término 1
2( ) 1 2A Fsen
es conocido como la función
de Airy. Representa la distribución de la densidad de flujo trasmitida (figura
29(a)). La función complementaria 1 ( )A , representa la distribución
de la densidad de flujo reflejada (figura 29(b)). Cuando 2 m la
función de Airy toma el valor de uno, para todos los valores de F y por lo
tanto r , lo cual significa que para luz trasmitida nos encontramos los
máximos. Lo contrario ocurre para la luz reflejada. Mientras r se acerca
más al valor de 1, la densidad de flujo trasmitida es pequeña excepto en
los puntos donde se encuentran los máximos, los cuales son más agudos.
8.1. INTERFEROMETRO DE FABRY –PEROT.
El interferómetro de haces múltiples construido por Charles
Fabry y Alfred Perot, es de suma importancia en la óptica
moderna. Su valor radica en el hecho de que además de ser
un dispositivo espectroscópico de alto poder de resolución,
también sirve como cavidad resonante básica para el laser.
En principio, el instrumento consta de dos superficies planas,
paralelas, altamente reflectantes y separadas una distancia
d . En la práctica, dos planos ópticos de vidrio
semiplateados o aluminizados forman las superficies
reflectoras. El espacio de aire, entre las placas, generalmente
varía de algunos milímetros a varios centímetros cuando el
aparato se usa para interferometría y frecuentemente la
distancia aumenta considerablemente cuando se usa como
cavidad resonante del laser. Cuando el espacio d puede
variarse mecánicamente con el movimiento de uno de los
espejos se llama interferómetro. Cuando los espejos se
mantienen fijos se ajustan con algún tipo de tornillo suele
llamarse etalón.
En la figura 30 se muestra iluminado por una fuente
extendida. A través del etalón se traza únicamente un rayo
emitido desde algún punto 1S sobre la fuente. Entrando por
la placa parcialmente plateada, se refleja varias veces dentro
del espacio d . Los rayos trasmitidos son recogidos por una
lente y enfocados sobre una pantalla, donde interfieren
para formar un punto brillante o oscuro. Todos los rayos
incidentes sobre el mismo espacio separador con un ángulo
dado resultarán en una sola franja brillante. Con una fuente
Figura 30. Etalón de Fabry-Perot
Figura 29. (a) Función de Airy. (b) uno menos la función de Airy,
2
1
1 2
t
i
I
I Fsen
APUNTES DE INTERFERENCIA ÓPTICA - ANEXO 1 2012
11
difusa ancha, las bandas de interferencia serán anillos
concéntricos delgados, correspondientes al patrón de
trasmisión de haces múltiples.
El interferómetro de Fabry-Perot se usa frecuentemente para
examinar la estructura detallada de las líneas espectrales. Las
ondas de luz hipotéticamente monocromáticas puras
generan una patrón de franjas circulares. Pero es una función
de , de tal manera que si la fuente estuviera formada por
dos componentes monocromáticas tendríamos dos sistemas
de anillos superpuestos.
RESUMEN – INTERFERENCIA ÓPTICA PROFESOR – NÉSTOR ALONSO ARIAS HERNÁNDEZ ÓPTICA
1
1. RESUMEN - INTERFERENCIA ÓPTICA
Ecuación de onda electromagnética en el vacio
2 22 2
2 2
1; ;o o o o
o o
E BE B c
t t
2. CONSIDERACIONES GENERALES
Ecuación de onda monocromática
1 01 1 1 2 02 2 2( , ) cos( ) ( , ) cos( )E r t E k r wt y E r t E k r wt
La irradiancia en P esta dada por 2I v E ,
La irradiancia total para dos ondas electromagnéticas 1 2 12I I I I
promedio en el tiempo de una función ' '1( ) ( )
t T
t
f t f t dtT
Valor medio de algunas funciones importantes:
2 21 12 2
cos ; cos 0,wt sen wt y senwt wt
la diferencia de fase. 1 1 2 2k r k r
Irradiancia de cada onda
2 22 201 02
1 1 2 22 2
E EI E y I E
Irradiancia total :
1 2 1 22 cosI I I I I
Un máximo de irradiancia se obtiene cuando cos 1
Interferencia constructiva total.
O sea cuando 0, 2 , 4 , max 1 2 1 22I I I I I
Un mínimo de irradiancia se obtiene cuando cos 1
interferencia destructiva total.
O sea cuando , 3 , 5 , min 1 2 1 22I I I I I
Cuando cos 0
Ósea cuando , 3 , 5 ,2 2 2
1 2I I I
Para valores intermedios fuera de fase.
1 2 max0 cos 1 I I I I Interferencia constructiva
1 2 min0 cos 1 I I I I Interferencia destructiva
Cuando 1 2 0I I I , la ecuación de se puede escribir
02 1 cosI I 2
04 cos2
I I
Si se considera ondas esféricas emitidas por 1S y 2S .
1 1 01 1 1 1 2 2 02 2 2 2( , ) ( )exp[ ( )] ( , ) ( )exp[ ( )]E r t E r i kr wt y E r t E r i kr wt
Si 1 2 0I I I tenemos que 2 10 1 2 1 22
4 cos ( ) (I I k r r
Los máximos de irradiancia ocurren cuando
2m Siempre que 0, 1, 2, 3,m
Los mínimos de irradiancia ocurren cuando
(2 1)m Siempre que 0, 1, 2, 3,m
Teniendo en cuenta la definición de , las ecuaciones anteriores se pueden rescribir.
Máximo cuando: 2 1
1 2
[2 ( )]( )
mr r
k
Minimo cuando: 2 1
1 2
[ (2 1) ( )]( )
mr r
k
Si las ondas están en fase 2 1 0
1 2
2( )
mr r m
k
, superficies de irradiancia máxima
1 2
(2 1)( ) (2 1)
2
mr r m
k
, superficie de irradiancia mínima.
2. CONDICIONES PARA LA INTERFERENCIA Las fuentes deben ser coherentes. Que la diferencia de fase se mantenga constante.
Las dos fuentes deben tener casi la misma frecuencia.
Es muy conveniente utilizar una fuente para producir de ella dos fuentes secundarias
coherentes.
Se obtendrán patrones más claros (máximo contraste) si las amplitudes de las ondas son
iguales.
La interferencia de la luz polarizada. Leyes de Fresnel –Arago.
Dos estados de polarización lineal coherentes ortogonales no pueden interferir
en el sentido de que 12 0I y no resultan franjas.
Dos estados de polarización lineal coherentes paralelos pueden interferir en una
misma región del espacio.
Dos estados linealmente polarizados de luz natural (no coherente) no pueden
interferir.
RESUMEN – INTERFERENCIA ÓPTICA PROFESOR – NÉSTOR ALONSO ARIAS HERNÁNDEZ ÓPTICA
2
3. INTERFEROMETROS DE DIVISION DE FRENTE DE ONDA. 3.1. Experimento de Young
La interferencia constructiva ocurre cuando
1 2r r m m
sy m
a
La posición angular de la franjas es m
m
a
Espacio entre franjas consecutivas
sy
a
La irradiancia resultante 24 coso
yaI I
s
3.2. Espejo doble de Fresnel. s
ya
3.3. Espejo Lloyd.
1 2( )k r r
la irradiancia queda 24 o
ayI I sen
s
4. INTEREFEROMETROS DE DIVISION DE AMPLITUD. 4.1. Interferómetro de Michelson.
Habrá interferencia destructiva cuando
2 cos m od m
Donde m es un entero.
La posición angular del p-esimo anillo oscuro
1
2o
p
p
d
Distancia recorrida d por el espejo móvil 2
od N
5. PELICULAS DIELECTRIAS – INTERFERENCIA DE DOS HACES. 5.1. Franjas de igual inclinación.
cambio de fase
1 2
2 2 24f i
o
dn n sen
Los máximos en luz reflejada de interferencia,
(Máximos) cos 2 1 0,1,2,4
f
td m m
Donde se ha usado el hecho de que f o fn . Esto corresponde a mínimos de luz
trasmitida.
Los mínimos de interferencia en luz reflejada(máximos en transmitida)
(Mínimos) cos 2 0,1,2,4
f
td m m
5.2. Franjas de igual espesor.
1 2
2m f
mx
Las franjas consecutivas están separadas por una distancia x , dada por
2fx
Espesor de la película para varios máximos 12
f
md m
Anillos de Newton
Si R d 2 2x Rd
El m-ésimo orden de interferencia 12
2 ( )f m on d m
El radio del m-ésimo anillo brillante
1 212
( )m fx m R
El radio del m-ésimo anillo negro es 1 2( )m fx m R
6. TIPOS Y LOCALIZACION DE LAS FRANJAS DE INTERFERENCIA
Las franjas se pueden clasificar en dos categorías:
o Reales: (Localizadas y No localizadas)
o Virtuales Localizadas:
7. INTEREFERENCIA CON HACES MULTIPLES.
La onda resultante reflejada
2
1
1
i
iwt
r o i
r eE E e
r e
La densidad de flujo reflejada en P
2
4 2
2 1 cos
1 2 cosr i
rI I
r r
Coeficiente de finura 2
2
2
1
rF
r
Razón entre la onda reflejada y la onda incidente
2
2
2
1 2
r
i
FsenI
I Fsen
La onda trasmitida '
21
iwt
t o i
ttE E e
r e
La densidad de flujo en el punto 'P es
2
2 2
1
1 2 1 2t iI I
r r sen
2
1
1 2
t
i
I
I Fsen
.
La función Airy. 1
2( ) 1 2A Fsen
La función complementaria 1 ( )A ,
2 cosf tn d
ACTIVIDADES - ANEXO 2 2012
1
1. PREGUNTAS TIPO SELECCIÓN MULTIPLE CON UNICA
RESPUESTA 1.1.1. Sobre una recta se sitúa una fuente luminosa puntual, una lámina
con dos pequeños huecos muy cercanos una pantalla. Sobre la pantalla
se verá:
a) Una iluminación uniforme
b) Un punto luminoso
c) Dos puntos luminosos
d) Círculos concéntricos luminosos y oscuros
e) Franjas luminosas
1.1.2. Los colores que se ven sobre las burbujas de jabón se deben al
fenómeno de:
a) Polarización
b) Difracción
c) Interferencia
d) Dispersión
e) Difusión.
Las preguntas 9.2.3 y 9.2.4 se refieren a la siguiente información.
Una onda plana de longitud de onda llega sobre dos rendijas separadas
una distancia a , como muestra la figura.
1.1.3. El primer mínimo de interferencia se produce en la dirección de la
flechas. La distancia s es:
a) 4
b) 2
c)
d) 3 2
e) 2
1.1.4. El segundo mínimo de interferencia se produce en la dirección de
las flechas. La distancia s es:
a) 4
b) 2
c)
d) 3 2
e) 2
1.1.5. En la pantalla P situada a la distancia d , la distancia entre dos
franjas oscuras es:
a) 2d a
b) d a
c) 3 2d a
d) 2 d a
e) 4 d a
Las preguntas 1.2.6 a 1.2.8 se refieren a la siguiente información:
Se dirige un haz de longitud de onda perpendicular a una lámina de aire
de espesor e , producida por dos placas de vidrio.
1.1.6. Cuál es la diferencia de camino entre los dos rayos que se
reflejan?
a) e
b) 2e
c) 22
e
d) 2e
e) 2 2e
1.1.7. Cuál es el espesor mínimo para que haya interferencia constructiva?
a) 0
b) 4
c) 2
d)
e) 2
1.1.8. Cuál es el espesor mínimo para que haya interferencia destructiva?
f) 0
g) 4
h) 2
i)
j) 2
2. CRUCIGRAMA
1
1 2
4 3
2 5
6 3
4 5
6
7
7
8
9
HORIZONTAL 1. Se presenta en forma total cuando la
diferencia de fase entre dos ondas es de
un número impar de . 2. Es la función que describe el patrón de
interferencia en la interferencia de haces múltiples.
3. Dispositivo que permite medir
longitudes con buena resolución, utilizando la interferencia de dos o más
haces luminosos 4. Interferómetro conformado por un
espejo. cuyo patrón de interferencia se presenta cuando se ilumina sobre él en
forma rasante con luz coherente. 5. Uno de los autores del Interferómetro
que consta de dos espejos y dos divisores de haz. Las dos ondas dentro del aparato viajan a lo largo de caminos
separados. 6. Uno de los autores del Interferómetro
que consta de un divisor de haz y dos o
tres espejos. Los caminos son idénticos pero opuestos en la dirección de la trayectoria, formando caminos cerrados antes que se unan.
7. Patrón de Interferencia formado debido a una película de aire entre una interface plana y otra esférica.
8. Se presenta en forma total cuando la diferencia de fase entre dos ondas es de
un número par de 2 . 9. Franjas de igual inclinación formadas
en el interferómetro de Michelson.
VERTICAL 1. Fenómeno que se presenta
como resultado de la superposición de dos ondas coherentes.
2. Diferencia que permite
establecer el tipo de interferencia entre dos ondas
luminosas 3. Interferómetro conformado por
una película semitransparente iluminada por la luz proveniente
de una fuente puntual. 4. Se observan cuando los
espejos en un interferómetro de Michelson sus espejos son
perpendiculares. 5. Se observan como resultado de
la superposición de dos ondas luminosas coherentes en el
espacio. 6. Uno de los diseñadores del
experimento que pretendía corroborar la existencia del éter.
7. Participo en las condiciones necesarias para que se presente interferencia.
s
a
P
ACTIVIDADES - ANEXO 2 2012
2
3. PROBLEMAS RESUELTOS
3.1 Considere el patrón de franjas circulares de las franjas de Haidinger que resultan de una película de 2 mm de espesor e índice de refracción 1,5. Para iluminación monocromática
de = 600 nm, encuentre el orden de la franja central ( = 0). ¿Será brillante u oscura? Desarrollo
De la cos 2 0,1,2,4
f
td m m
que
corresponde a los mínimos de interferencia para luz
reflejada en una película delgada con franjas de igual
inclinación, despejando m
2 cos0f om n d 2 f om n d
2(1.5)(2 ) (600 )m mm nm
3 92(1.5) (2 10 ) (600 10 ) 10.000m mts mts
Un mínimo, por lo tanto, una región central oscura.
3.2 Imagínese que tenemos una antena a la orilla de un lago recogiendo una señal de una radio estrella lejana que está llegando justamente arriba del horizonte. Escriba
expresiones para y para la posición angular de la estrella cuando la antena detecta su primer mínimo.
Desarrollo
Esta configuración corresponde a un espejo de Lloyd
{ 2 [ (90 2 )] }k a sen sen a sen
(1 cos2 ) / 2ka sen
El máximo ocurre para 2 cuando 2( ) (1 cos2 ) 2sen a sen
El primer máximo 1( 2 )sen a
3.3 Se observan franjas cuando un haz paralelo de luz de longitud de onda 500 nm está incidiendo perpendicularmente sobre una película de forma de cuña y con índice de refracción 1.5 ¿Cuál es el ángulo de la cuña si la separación de franjas es de 1/3 cm? Desarrollo
2
fx
,
2
o
fn x
3.4 Considere el patrón de interferencia del interferómetro de
Michelson como proveniente de dos haces con igual
densidad de flujo. Usando la ec. 2
04 cos2
I I
calcule el
ancho. ¿Cuál es la separación, en , entre dos máximos adyacentes? ¿Cuál es entonces la finura? Desarrollo
El ancho medio de la franja se da cuando
21
cos2 2
2cos
2 2
2 2
por lo tanto
La separación entre máximos es de
La finura se defina como
4. PROBLEMAS PROPUESTOS
4.1 Sea
y
Donde los frentes de onda no están especificados
explícitamente y E1 y E2 son vectores complejos
dependiendo del espacio y la fase inicial. Demuestre que el
término de interferencia está dado por
(1)
Usted tendrá que evaluar términos de la forma
para T Demostrar que la ec. (1) conduce a la ec.
12 01 02 cosI E E para ondas planas.
4.2 Si se considera la distribución espacial de energía para dos fuentes puntuales. Se Menciona que para el caso donde la
separación promedia espacialmente cero. ¿Por qué esto es cierto? ¿Qué sucede cuando a es mucho
menor que ?
4.3 ¿Obtendremos un patrón de interferencia en el experimento de Young (fig. 7) si reemplazamos la fuente rendija S por un solo filamento largo de una ampolla? ¿Qué ocurrirá si reemplazamos las rendijas y por esas mismas ampollas?
4.4 Al examinar las condiciones bajo las cuales las
aproximaciones de la ec. 1 2r r a son válidas:
a) Aplique la ley de los cosenos al triángulo en la fig. 8 para obtener
b) Desarrolle esto en series de Maclaurin obteniéndose
ACTIVIDADES - ANEXO 2 2012
3
c) A la luz de la ec. 2
04 cos2
I I
demuestre que si
es igual a sen es necesario que
.
4.5 ¿Cuál es la expresión general para la separación de las franjas de un biprisma de Fresnel de índice n sumergido en un medio que tiene un índice de refracción n?
4.6 Usando el espejo de Lloyd se observaron franjas de rayo X, la separación de las cuales se encontró que era igual a
0,0025 cm. La longitud de onda usada fue 8,33 . Si la
distancia fuente-pantalla es 3 m, ¿qué tan arriba del plano del espejo estuvo la fuente puntual de rayos X?
4.7 La fig. 9.72 ilustra la disposición usada para probar lentes.
Demuestre que
Cuando son despreciables en comparación con
, respectivamente. (Recuerde el teorema de
geometría plana que relaciona los productos de los
segmentos de las cuerdas intersectantes.) Pruebe que el
radio de la m - ésima franja oscura es entonces
¿Cómo se relaciona esto con la ec. 1 2( ) ?m fx m R
4.8. Dibuje la configuración que usted usaría para ver anillos de Newton en un interferómetro Twyman – Green.
Empezando con la ec.
'
21
iwt
t o i
ttE E e
r e
para las ondas
transmitidas, calcule la densidad de flujo, o sea, ' 2
4 2
( )
(1 ) 2 cost i
ttI I
r r
4.9. Determine el índice de refracción y espesor de una película
depositada sobre una superficie de vidrio tal que
la luz que incide normalmente con longitud de onda 540 nm no es reflejada.
4.10. Ilumine el portaobjetos de microscopio (o mejor un portaobjetos de vidrio recubierto delgado). Franjas coloreadas se pueden ver fácilmente con una lámpara fluorescente ordinaria que sirve como fuente ancha o una luz de mercurio
de la calle como una fuente puntual. Describa las franjas. Ahora rote el vidrio. ¿Cambia el patrón? Pruebe de nuevo con una hoja de plástico, de las utilizadas para preservar alimentos, estirada a lo largo de la parte superior de una copa.
4. EXPERIMENTOS 4.1. EXPERIMENTO DE YOUNG
Tome un espejo de 5cmX5cm y con dos hojas de afeitar muy juntas
(puede inclinarlas para logra que sus bordes (filos) queden aun mas
unidos) trace dos líneas paralelas sobre el espejo de tal forma que la
separación entre ellas sea lo más pequeña posible (de esto depende
la calidad del experimento). Ilumine con un diodo laser comercial por
la parte plateada del espejo de tal forma que se cubra las dos
ranuras con el haz y observe sobre una pantalla (blanca
preferiblemente) ubicada a una distancia determinada el patrón de
interferencia. Observe que sucede si usted se aleja o se acerca de
la pantalla. Realice diferentes ranuras con separaciones diferentes y
observe la dependencia de la separación de las ranuras con el paso
de las franjas. Si le es posible tener dos láseres de diferentes
longitudes de onda (color, en el mercado se consiguen con relativa
facilidad los láseres verdes, violetas y rojos), evalué la dependencia
de la longitud de onda con el paso de las franjas.
4.2. EXPERIMENTO DE LA CUÑA DE AIRE
Adquiera dos láminas de portaobjetos, un diodo laser comercial y un
cabello. Posicione el cabello en medio de las dos láminas en uno de
sus extremos, de tal forma que se genere una cuña de aire. En un
cuarto oscuro al iluminar el sistema creado se podrá observar el
patrón de interferencia por trasmisión. Cómo podría utilizar este
experimento para medir el espesor del cabello.
4.3. EXPERIMENTO DE FRANJAS DE IGUAL ESPESOR DE
COLORES
Con la ayuda de dos láminas de portaobjetos y una cartulina negra,
se pueden observar franjas de interferencia de igual espesor.
Coloque sobre la cartulina negra las dos láminas de portaobjeto, una
encima de la otra. En el intermedio de las dos láminas quedara una
capa de aire muy pequeña. Si iluminamos con luz blanca (el de una
bombilla común) en un ambiente con baja luminosidad, se
observarán franjas coloreadas. Presione con la punta de un esfero y
observe los cambios en el sistema de franjas.