Preliminares: Lenguaje y

Matemáticas. Números complejos

Supondremos que se sabe qué son los números (naturales, enteros, racionales yreales), y que conocemos las propiedades elementales de la suma y el producto denúmeros (asociativa, conmutativa, distributiva,..). La notación que usaremos a lolargo de estas notas será:

• Los números naturales, N.

• Los números enteros, Z.

• Los números racionales, Q.

• Los números reales, R.

El cero, 0, no se considera un número natural

1 Introducción a la lógica proposicional

En este tema trataremos de desarrollar el uso del lenguaje en el contexto de lasmatemáticas. A lo largo del mismo, por una proposición o sentencia lógica en-tenderemos una declaración que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo:1) Hoy es lunes.2) 3 es mayor que 7.3) He nacido en Sevilla.

En los tres ejemplos es claro (aunque el 3 sea más complicado comprobarlo)que la declaración correspondiente es verdadera o falsa. Ésta es la característicafundamental de las proposiciones. La siguiente declaración (paradoja) “esta frasees falsa" no puede ser ni verdadera ni falsa, por tanto no la consideraremos comoproposición.

Otros ejemplos de declaraciones que no son proposiciones son:1) El color azul es bonito.

1

2) n es un número par.3) ¿Quién ha llegado?

Consideremos el conjunto P de todas la proposiciones posibles. Este conjuntoestá dividido en dos partes: las proposiciones que son verdaderas y las proposi-ciones que son falsas. Lo que pretendemos ver ahora es cómo podemos combinarproposiciones para obtener otras nuevas y, además, estudiar cómo se traduce laveracidad o falsedad de las proposiciones combinadas en la proposición resultan-te. Generalmente usaremos las letras p, q, r, ... para representar las proposiciones.Por ejemplo

p : hoy es lunes.

Negación

Dada una proposición p, definimos la proposición ¬p (no p) comola proposición que es falsa cuando p es verdadera, y verdadera sip es falsa.

Esta definición se puede ilustrar en su tabla de verdad

p ¬pV FF V

Conjunción

Dadas dos proposiciones p y q, definimos p ∧ q (p y q) comola proposición que es verdadera sólo cuando ambas, p y q, sonverdaderas.

Su tabla de verdad es:p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

2

Disyunción

Dadas dos proposiciones p y q, definimos la proposición p ∨ q (po q) como aquélla que es verdadera cuando una o ambas proposi-ciones son verdaderas.

Su tabla de verdad es:

p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

Implicación

Dadas dos proposiciones p y q, definimos la proposición p → q (pimplica q) como la proposición que es falsa cuando p es verdaderay q falsa, y verdadera en los demás casos. Llamaremos a p lahipótesis y a q la conclusión.

Su tabla de verdad es:

p q p → qV V VV F FF V VF F V

Ya podemos construir todo tipo de proposiciones, y sus tablas de verdad. Porejemplo, la tabla de verdad de la proposición ¬p ∨ q es

p q ¬p ∨ qV V VV F FF V VF F V

Otro ejemplo algo más complicado: la tabla de verdad de (p ∧ q) → r

3

p q r p ∧ q (p ∧ q) → rV V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V F VF V F F VF F V F VF F F F V

Se observa que las tablas de verdad de la implicación y del primer ejemplocoinciden.

Definición 1.1. Diremos que dos proposiciones son lógicamente equivalentes sitienen la misma tabla de verdad.

Ejemplo 1.2. Los siguientes pares de proposiciones son lógicamente equivalen-tes:a) p ∨ (q ∧ r), (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (propiedad distributiva)b) p ∨ (q ∨ r), (p ∨ q) ∨ r (propiedad asociativa)

Tautología

Diremos que una proposición es una tautología si los valores desu tabla de verdad son todos verdaderos.

Por ejemplo p ∨ ¬p. La negación de una tautología se denomina contradic-ción. Es decir, una contradicción es una proposición en cuya tabla de verdad sóloaparece el valor falso. Por ejemplo p ∧ ¬p.

Definición 1.3. Dadas dos proposiciones p y q definimos la proposición p ↔ q(p sí y sólo si q) como la proposición que es verdadera cuando p y q son ambasverdaderas ó ambas falsas.

Su tabla de verdad es:

p q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

4

Con esta definición se puede comprobar que dos proposiciones p y q son lógi-camente equivalentes (⇔) si la proposición p ↔ q es una tautología.

Para terminar esta sección veamos cómo actúa la negación sobre ∨, ∧ y → .Es un fácil ejercicio comprobar que:1) ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q.2) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q.

Estas propiedades se conocen con el nombre de las leyes de DeMorgan. Paraver cómo actúa la negación sobre → basta tener en cuenta que p → q ⇔ ¬p ∨ q,y aplicando las leyes de DeMorgan, tenemos que:

¬(p → q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ⇔ (¬¬p) ∧ ¬q ⇔ p ∧ ¬q

2 Cuantificadores universales y existenciales

Comenzaremos escribiendo una proposición de distintas formas. Por ejemplo,sabemos (lo probaremos más adelante) que:

la desigualdad n2 < 2n es cierta para todos los números naturales mayores oiguales que 5.

Podemos expresar (escribir) esta proposición de distintas formas:

• Para todo número natural n, si n ≥ 5, entonces n2 < 2n.

• Para todo n, si n ∈ N y n ≥ 5, entonces n2 < 2n.

• (∀n)[(n ∈ N ∧ n ≥ 5) → (n2 < 2n)].

Cada vez que hemos escrito la proposición, hemos aumentado el grado deformalidad. En la última aparece el símbolo ∀ (para todo), que denominaremos“cuantificador universal". Veamos otro ejemplo:

• Todos los elementos del conjunto B son negativos.

• Para todo x ∈ B, x < 0.

• (∀x ∈ B)(x < 0).

• Para todo x, si x ∈ B, entonces x < 0.

• (∀x)(x ∈ B → x < 0).

5

La forma más general para una proposición conteniendo en cuantificador uni-versal sería como sigue. Si P (x) es una propiedad expresada en términos de x,entonces una proposición general con el cuantificador universal sería:

(∀x)(P (x)),

que leeríamos: para todo x, P (x).Volvamos al primer ejemplo. Sabemos que la desigualdad n2 < 2n es cierta si

n ≥ 5, pero no lo es si 2 ≤ n ≤ 4. Es decir, sabemos que

• Existe un número natural n tal que n2 ≥ 2n.

• Existe n tal que n ∈ N y n2 ≥ 2n.

• (∃n)(n ∈ N ∧ n2 ≥ 2n).

El símbolo ∃ se lee como “existe” y se denomina cuantificador existencial.Otro ejemplo:

• Algún elemento del conjunto B es positivo.

• Existe x ∈ B, x > 0.

• (∃x ∈ B)(x > 0).

• Existe x tal que x ∈ B y x > 0.

• (∃x)(x ∈ B ∧ x > 0).

Si P (x) es una propiedad expresada en términos de x, entonces una proposi-ción general con el cuantificador existencial sería:

(∃x)(P (x)),

que leeríamos: existe un x tal que P (x).Veamos un ejemplo con los dos cuantificadores:

• Existe un elemento del conjunto A que es menor que todos los elementosdel conjunto B.

• Existe x ∈ A tal que x < y para todo y ∈ B.

• Existe x ∈ A tal que, para todo y ∈ B, x < y.

• (∃x ∈ A)(∀y ∈ B)(x < y).

6

En matemáticas también usamos el símbolo ∃!, que significa “existe un único".La expresión (∃!x)(P (x)) se lee: “existe un único x tal que P (x)". Por ejemplo:∃!n ∈ N tal que n3 = 8.

Las proposiciones con cuantificadores se niegan siguiendo las dos reglas si-guientes:

¬[(∀x)(P (x))] ⇔ (∃x)(¬P (x))

¬[(∃x)(P (x))] ⇔ (∀x)(¬P (x)).

Un ejemplo con los dos cuantificadores: la negación de (∀ǫ > 0)(∃n ∈N)(1/n < ǫ) es (∃ǫ > 0)(∀n ∈ N)(1/n ≥ ǫ).

3 Demostraciones

En esta sección veremos los cuatro tipos de demostraciones que usaremos a lolargo de todo el curso.Prueba directa.

Esquema:

Teorema Si p entonces q.

Demostración: Supongamos p. Entonces [...], se tiene q.

Ejemplo.- Sea n un número natural. Probar que si n es impar entonces n2 esimpar.Demostración: Si n es impar, es de la forma n = 2k + 1. Por tanto n2 = (2k +1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1, es decir, n2 es impar.Prueba de una proposición lógicamente equivalente.

Consiste en sustituir la proposición a demostrar por otra que sea lógicamenteequivalente y tratar de probar esta última. Por ejemplo, si queremos probar quep → (q ∨ r) podemos usar que es lógicamente equivalente a (p ∧ ¬q) → r.

Esquema:

Teorema p → (q ∨ r).

Demostración: Supongamos p ∧ ¬q. Entonces [...], se tiene r.

Prueba del contrarrecíproco.

Es un caso particular de la anterior. Si se quiere probar p → q, usamos que eslógicamente equivalente a ¬q → ¬p, y

7

Esquema:

Teorema p → q.

Demostración: Supongamos ¬q. Entonces [...], se tiene ¬p.

Ejemplo.- Sea n un número natural. Probar que si n2 es impar entonces n esimpar.Demostración: Supongamos que n es par, es decir n = 2k. Entonces n2 = 4k2

es par.Prueba por reducción al absurdo.

Si queremos probar que p es un teorema (es verdadero), lo que queremos veres que p es una tautología. Por tanto ¬p es una contradicción.

Esquema:

Teorema p.

Demostración: Supongamos ¬p. Entonces [...] FALSO. Luego es unacontradicción. Se tiene p.

Ejemplo.- Proposición (Pitágoras).-√2 no es racional.

Demostración.- Haremos la demostración por reducción al absurdo. Supongamosque

√2 es racional, es decir,

√2 = m

n, y suponemos que m y n no tienen ningún

factor común. Elevando al cuadrado tenemos 2 = m2/n2, luego m2 = 2n2. Comom2 es un número par, se deduce (probarlo) que m es par, m = 2r. Sustituyendotenemos 4r2 = 2n2, luego 2r2 = n2, de donde deducimos que n2, y por tanton, es un número par. Esto contradice el hecho de que m y n no tenían factorescomunes.Contraejemplos.-

Supongamos que tenemos una proposición y queremos saber si es verdaderao falsa. Por ejemplo, sea P (n) una propiedad que tratamos probar que se verificapara todos los números naturales n. Entonces:

• Si P (n) es verdadera, tenemos que dar una prueba general.

• Si P (n) es falsa, basta dar un valor de n en el que no se verifique la propie-dad.

Ejemplo.- Si nuestra propiedad P (n) es: “todo número impar es primo", bastacomprobar que para n = 9 no se verifica la propiedad, luego es falsa.Prueba por inducción.-

Supongamos que tratamos de probar una propiedad (un enunciado) sobre losnúmeros naturales n ≥ n0, para un n0 dado. Si denotamos por P (n) dicha pro-piedad, la prueba por inducción funciona de la siguiente manera:

8

• 1) Probar que P (n0) es cierta

• 2) Suponer que P (n) es cierta (hipótesis de inducción)

• 3) Probar que P (n+ 1) es cierta.

El segundo paso se puede sustituir por2’) Suponer que P (k) es cierta ∀k, n0 ≤ k ≤ n.Ejemplo.- ∀n ∈ N se verifica que

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

Demostración:

1) El resultado se verifica para n = 1, pues 1 = 1(1+1)2

.

2) Suponemos el resultado cierto para n, es decir, 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

.

3) Tenemos que probar que 1 + 2 + · · ·+ n+ (n+ 1) = (n+1)(n+2)2

. En efecto,

1+2+· · ·+n+(n+1) = [1+2+· · ·+n]+(n+1) =n(n + 1)

2+(n+1) =

(n+ 1)(n+ 2)

2.

Ejemplo.- Todo número natural n > 1 tiene un divisor primo.Demostración:

1) El resultado se verifica para n = 2, pues 2 es un divisor primo de 2.2’) Suponemos el resultado cierto ∀k, n0 ≤ k < n.3) Tenemos que probar que n tiene un divisor primo. Si n es primo, n es el divisorbuscado. Si n no es primo entonces n = rs, con 1 < r, s < n. Luego r (y s) tieneun divisor primo.

4 Los números complejos

Números complejos

Un número complejo es un número de la forma a+ b · i, donde ay b son números reales e i es un símbolo que verifica la propiedadi2 = −1.

Dado un complejo en forma binómica z = a+b i, el número real a se denomi-na parte real de z, notado R(z), mientras que b se denomina parte imaginaria de

9

z, notado I(z). Dos números complejos son iguales si y sólo si tienen la mismaparte real y la misma parte imaginaria.

En C definimos las siguientes operaciones internas:

(a+ b i) + (c+ d i) = (a+ c) + (b+ d) i,

(a + b i)(c+ d i) = (ac− bd) + (ad+ bc) i,

Proposición 4.1. (C,+, ·) es un cuerpo.

PRUEBA: Comprobar que C con estas dos operaciones es un cuerpo es algotedioso. Simplemente notaremos que el elemento neutro de la suma es 0 = 0+0 iy el neutro del producto es 1 = 1+ 0 i. Así mismo, dado a+ b i el inverso aditivoes −a+ (−b) i y, si es distinto de 0, el inverso multiplicativo es precisamente

a/(a2 + b2)− (b/(a2 + b2)) i.

�

Nota 4.2. Si consideramos los números complejos de la forma a+ 0 i vemos quepodemos suponer R ⊂ C, identificando a ∈ R con a+ 0 i ∈ C.

Definición 4.3. Dado un número complejo z = a + b i, llamaremos complejo

conjugado de z, y lo notaremos z, al número complejo z = a− b i.

La operación de conjugación, a pesar de su inofensivo aspecto, tiene una im-portancia enorme, incluso en el estudio de objetos reales. Un par de propiedadesinmediatas, a partir de la definición, son las siguientes:

z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2,

de donde a su vez se deducen

−z = −z, 1/z = 1/z.

Sea z ∈ C. Es fácil ver que z ∈ R si y sólo si z = z.

Módulo

Sea z = a+ bi ∈ C. Llamaremos módulo de z, denotado |z|, a laraíz cuadrada del número real positivo z · z = a2 + b2,

|z| =√a2 + b2

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Nota 4.4. La expresión del inverso multiplicativo de z resulta más sencilla usandoel conjugado y el módulo:

1

z=

z

z· 1z=

z

|z|2 .

Gráficamente, podemos representar C como un plano:

1 2 3-3 -2 -1

1

2

3

-3

-2

-1

z=2+3i

z=2-3i-z=-2-3i

|z|

Figura 1: Representación gráfica

1 2 3-3 -2 -1

1

2

3

-3

-2

-1

z1=-1+2i

z2=3-i

z=z1+z2=2+i

Figura 2: Suma de complejos

Forma polar o módulo-argumento Todo número complejo z se puede escribirde forma

z = |z|(a+ b i),

11

donde a2+b2 = 1 y, en consecuencia, existe un único ángulo α ∈ [0, 2π), llamadoargumento de z, tal que

z = |z|(cos(α) + sen(α) i).

Dos números complejos, representados en forma polar, son iguales si y sólo sisus módulos y sus argumentos son iguales.

Con esta notación es fácil ver que para multiplicar dos números complejos hayque multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos. Para dividir, por tanto, sedividen sus módulos y se restan sus argumentos. En efecto: sean

z1 = r1(cos(α1) + isen(α1)), z2 = r2(cos(α2) + isen(α2)).

Entonces

z1z2 = r1r2 · [(cos(α1) + isen(α1))(cos(α2) + isen(α2)]

= r1r2 · [ (cos(α1)cos(α2)− sen(α1)sen(α2))+

(cos(α1)sen(α2) + cos(α2)sen(α1)) i ]

= r1r2 · [cos(α1 + α2) + isen(α1 + α2)] .

1 2 3-3 -2 -1

1

2

3

-3

-2

-1

=2(cos 30 + i sen 30)√z= 3+ i

r=|z

|=2

θ=30

x=r cos(θ)

y=r sen(θ)

Figura 3: Forma polar

De aquí se obtiene la fórmula de De Moivre:

Fórmula de De Moivre

Para todo número entero n, se tiene

(cos(α) + isen(α))n = cos(nα) + isen(nα).

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1 2 3-3 -2 -1

1

2

3

-3

-2

-1

z1=2(cos 30 + i sen 30)

z2=3/2(cos 75 + i sen 75)

z1z2=3(cos 105 + i sen 105)

Figura 4: Producto

PRUEBA: Si n ≥ 0 lo probaremos por inducción. Para n = 0 se verifica, pues

(cos(α) + isen(α))0 = 1 = cos(0) + isen(0).

Supongamos que se verifica para n, es decir,

(cos(α) + isen(α))n = cos(nα) + isen(nα).

Entonces,

(cos(α) + isen(α))n+1 = (cos(α) + isen(α))n(cos(α) + isen(α)) =

= (cos(nα) + isen(nα)(cos(α) + isen(α)) = cos(n+ 1)α+ isen(n+ 1)α.

Sea ahora n < 0. Pongamos n = −m. Entonces,

(cos(α) + isen(α))n = (cos(α) + isen(α))−m =1

(cos(α) + isen(α))m=

=1

(cos(mα) + isen(mα)= cos(mα)−isen(mα) = cos(−m)α+isen(−m)α = cos(nα)+isen(nα).

�

Forma exponencial Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuentala fórmula de Euler:

eiα = cos(α) + isen(α).

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denomi-nada forma exponencial:

z = |z|eiα.

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Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocien-tes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial(para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, parapotencias con exponentes enteros se tiene

zn = |z|neinα.

Raíces n-ésimas de un número complejo Estudiemos ahora las potencias conexponente racional de un número complejo. Sean z = |z|eiα ∈ C y n un númeronatural. Consideremos ω = |ω|eiβ = n

√z = z1/n una raíz n-ésima de z. Se tiene

queωn = |ω|neinβ = |z|eiα = z.

Por tanto,

|ω| = n

√

|z| y β = (α + 2kπ)/n, con k ∈ Z.

De todos estos valores sólo n consecutivos son distintos. Por tanto, un númerocomplejo z tiene siempre n raíces n-ésimas distintas

ωk =n

√

|z|ei(α+2kπ)/n, con k = 0, 1, . . . , n− 1.

Observamos que las n raíces n-ésimas tienen todas el mismo módulo, y susargumentos se diferencian en 2π/n cada uno del siguiente, esto es, las raíces n-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de n lados inscrito enla circunferencia de centro 0 y radio n

√

|z|. Como ejemplo, en la siguiente figurapodemos ver las raíces sextas de z = 8(cos30 + isen30)

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1 2 3

-3 -2 -1

1

2

3

-3

-2

-1

z=8(cos 30 + i sen 30)

4 5 6 7

z1= 2 (cos 5 + i sen 5)√

z2= 2 (cos 65 + i sen 65)√ 2 (cos 125 + i sen 125)=z3√

z6= 2 (cos 305 + i sen 305)√

2 (cos 185 + i sen 185)=z4√

2 (cos 245 + i sen 245)=z5√

Figura 5: Raíces

15

16