Precalculo

2017

Tema

Numeros reales y sus propiedades

Desigualdades e intervalos

Resolucion de desigualdades

Numeros naturales N

Numero 999,999 escrito con jeroglıficos egipcios.

Numeros naturales

Se utilizo en un inicio para contar objetos. El conjunto de

numeros naturales es:

N = {1, 2, 3, 4, ...}

Numeros enteros Z

Numero 3661 escrito en base 60. Aun hay influenciade la base 60 ennuestros dıas.

Numeros enteros

En este conjunto se suman el cero y los numeros negativos al

conjunto N.

Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}

Numeros racionales Q

Problemas cotidianos en elantiguo Egipto implicabanusar fracciones.

El ojo de Horus se usabapara expresar fracciones.

Numeros racionales

Son los numeros que pueden escribirse en forma de fraccion.

Q ={ a

b

∣∣∣ a, b ∈ Z y b 6= 0}

Numeros irracionales R−Q

Pitagoras descubrio que√2 no se podıa expresar como fraccion.

Numeros irracionales

Son los numeros que no pueden escribirse en forma de

fraccion. √2,√

3, π, e, φ

Numeros reales R

Numeros reales

Son los numeros que pueden escribirse en forma decimal. Se

representan con sımbolos como:

−8 0 1.75 3 2.33... 0.3685

√3 3

√16 e π φ

Recta real

Recta real

Recta en la que cada punto corresponde a un numero real.

La recta de los numeros reales.

Variable

La temperatura t varıadurante el ano.

La cantidad de habitantes en el mundoh varıa a lo largo del tiempo.

Variable

Es un caracterıstica o propiedad que puede variar de un objeto

o situacion. En algebra se utiliza una letra o sımbolo para

representar una variable (por ejemplo, x , y , z , θ).

Constante

1 metro es equivalente ac = 100 centımetros.

Al nivel del mar, el punto de ebulliciondel agua es p = 100 gradoscentıgrados.

Constante

Es un caracterıstica o propiedad que se mantiene constante

de un objeto o situacion. En algebra se utiliza una le-

tra o sımbolo para representar una constante (por ejemplo,

10,−2,√

3, π, a).

Identificacion de variables y constantes

Ejemplo 1

Identifica y explica el significado de las variables y con-stantes en el objeto o situacion.

El cuerpo de un ser humano

Variables:

I e = edad

I m = masa

I a = estatura

Constantes:

I s = sexo

Expresion

El area de un cırculose obtiene mediante

la expresion πr 2

El IMC de una persona se obtiene

usando la expresionma2

Expresion algebraica

Es una combinacion de variables y constantes que incluyen

suma, resta, multiplicacion, division, potencias y raıces.

Construccion de una expresion

Ejemplo 2

Escribe la expresion algebraica necesaria para calcular el valor dela magnitud.

Duracion en horas de un curso de este semestre

Variables y constantes:

I m = duracion en horas de un modulo del curso(5060

)I s = modulos del curso a la semana

I z = semanas que tiene el semestre (15)

Expresion:

m ∗ s ∗ z =50

60∗ s ∗ 15 =

50

4∗ s

Opuesto y recıproco

La resta y la division se definen en terminos de la suma y lamultiplicacion.

I La resta es una suma: a − b = a + (−b)

I La division es multiplicacion:ab = a

(1b

)Ejemplo 3

Determinar el opuesto y el recıproco del numero.

Un numero Su inverso Su recıproco

3 −313

b −b 1b

− 23

23 − 3

2

Distributividad

Multiplicacion sobre la suma:

u(v + w) = uv + uwfactorizada desarrollada

Ejemplo 4

a) Escriba la forma desarrollada de (a + 2)x .

b) Escriba la forma factorizada de 3y − by

a) (a + 2)x = ax + 2x

b) 3y − by = y(3− b)

Tema

Numeros reales y sus propiedades

Desigualdades e intervalos

Resolucion de desigualdades

Orden de los reales

Propiedad de tricotomıa

Sean a y b cualesquiera dos numeros reales. Solo una delas siguientes expresiones es verdadera:

a < b a = b a > b

donde

I a < b indica que a es menor que b.

I a ≤ b indica que a es menor o igual que b.

Interpretacion de desigualdades

Las desigualdades pueden utilizarse para describir intervalos denumeros reales.

Ejemplo 5

Describa y grafique el intervalo de numeros reales para ladesigualdad.

x < 3

Descripcion: Todos los numeros reales menores que 3.

Grafica:

Escritura de desigualdades

Ejemplo 6

Escriba un intervalo de numeros reales mediante una de-sigualdad y dibuje su grafica.

Los numeros reales entre −1 y 4, excluyendo a −1 eincluyendo a 4.

Desigualdad: −1 < x ≤ 4

Grafica:

Intervalos

Las desigualdades definen intervalos en la recta numerica.

Intervalos acotados

Sean a y b numeros reales con a < b.

Desigualdad Intervalo Grafica Tipo

a < x < b (a, b) abierto

a ≤ x ≤ b [a, b] cerrado

Los numeros a y b son los extremos de cada intervalo.

Intervalos

Intervalos no acotados

Sean a y b numeros reales.

Desigualdad Intervalo Grafica Tipo

a < x <∞ (a,∞) abierto

∞ < x ≤ b (∞, b] cerrado

Cada intervalo tiene exactamente un extremo, a o b.

Tema

Numeros reales y sus propiedades

Desigualdades e intervalos

Resolucion de desigualdades

Desigualdades lineales en una variable

Desigualdad lineal

Es aquella que puede escribirse en la forma

ax + b < 0

Resolver una desigualdad en x significa determinar todoslos valores de x para los que la desigualdad es verdadera.

El conjunto de soluciones de una desigualdad lineal enuna variable forma un intervalo de numeros reales.

Resolucion de una desigualdad lineal

Ejemplo 7

Resuelva 3(x − 1) + 2 ≤ 5x + 6.

3(x − 1) + 2 ≤ 5x + 6 Copiar

3x − 3 + 2 ≤ 5x + 6 Desarrollar

3x − 1 ≤ 5x + 6 Simplificar

3x ≤ 5x + 7 Sumar 1

−2x ≤ 7 Sumar -5x

x ≥ − 7

2Multiplicar − 1

2

Conjunto solucion: los reales mayores o iguales que −72.

Itervalo:[−7

2,∞)

Grafica:

Resolucion de una desigualdad doble

Ejemplo 8

Resuelva −3 < 2x+53≤ 5.

−3 <2x + 5

3≤5 Copiar

−9 < 2x + 5 ≤15 Multiplicar 3

−14 < 2x ≤10 Restar 5

−7 < x ≤5 Dividir 2

Conjunto solucion: los numeros reales mayores que −7 ymenores o iguales a 5.

Itervalo: (−7, 5] Grafica: