Problema 1: relación de inclusión

Dadas las siguientes proposiciones, una de ellas es falsa se-ñálela:

a) Todo número natural es entero

b) Todo racional es entero o todo entero es racional

c) El sistema de los números reales es un conjunto no vacío dotado de 4 operaciones.

d) 5∈

e) { }0− += ∪ ∪

Problema 2: relación de inclusión

De las siguientes proposiciones, diga Ud. Cuantas son ver-daderas.

I. Todo número natural es entero

II. Todo racional es entero o todo entero es racional

III. Existe algún elemento tal que ∩Ι ≠ ∅

IV. 5∈

V. − += ∪

01 Números racionales

Problemas resueltos

Ing. Del Carpio

Academia Bryce Aritmética - pre 2do 1

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Experto En Aritmética Ing del Carpio

Sesión

Resolución:

Resolvemos proposición por proposición:

c) Es verdadera ( )v

En el gráfico vemos que todos los naturales son enteros, es decir todo natural es un número entero.

Ι

a) Es verdadera ( )v Porque según el grafico anterior, todo número entero es racional. Ahora como el conectivo es o minúscula, (inclu-sión) basta que una proposición atómica sea correcta para que toda la proposición (b) sea correcta.

b) Es falsa ( )F

Porque en los números reales se pueden realizar más de 4 operaciones como por ejemplo (la suma, la resta, la multiplicación, la división, la radicación, etc.) R: c

e)

d)

c)

b)

a)

Ι

Problema 3: cuantificadores

De las siguientes proposiciones, diga Ud. Cuantas son ver-daderas.

I. ,a b +∀ ∈ , ab∈

II. /a a∃ ∈ ∈Ι

III. /a a∃ ∈ ∈

IV. 70

es número real

V. La división es cerrada en

Resolución:

Resolvemos proposición por proposición:

I. Es verdadera ( )v

II. Es verdadera ( )v

III. Es verdadera ( )v

Porque según el grafico del problema 1, son dos conjun-tos sin intersección, es decir son disyuntos y como tales su intersección es el conjunto vacío. IV. Es verdadera ( )v Porque 5 es un elemento que pertenece al conjunto de los números enteros. V. Es falsa ( )F Porque el cero también es un número entero, y la ecua-ción indicada solo dice que los números enteros son la unión de los enteros positivos y negativos, sin incluir el cero lo cual es falso. De lo anterior concluimos que son cuatro las proposicio-nes verdaderas.

R: d

Ing. Del Carpio Aritmética - pre 2do 2

a)

b)

c)

d)

e)

Resolución:

Resolvemos proposición por proposición:

I. Es verdadera ( )v

Porque implica la definición de un número racional, todo número racional es el cociente de dos números enteros ya sean positivos o negativos, la única restricción es que el denominador no puede ser cero.

II. Es falsa ( )F

Porque ningún número puede ser racional e irracional a la vez, son conjuntos disyuntos.

III. Es verdadera ( )v

De acuerdo al grafico del problema 1, todo número na-tural es un número real, por lo tanto se deduce que exis-ten números reales que son números naturales.

IV. Es falsa ( )F

Porque 70

, no es un número.

V. Es falsa ( )F

Porque no toda división indicada de dos números enteros resulta ser un numero entero, sino más bien un numero racional.

De lo anterior concluimos que son dos las proposiciones verdaderas.

R: b

Problema 4: habilidad aritmética

Si: 2;a = − 3;b = − 16;c = 8d = − y 4e = +

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:

1) ab c d+ +

2) c abcd e− +

3) 2 4ab cd e c− + −

4) 2 3 5a b c+ −

5) 7 8c e ad+ +

6) 33 5 1d a d− + −

7) { }32ab cd e d a b+ − + + −

8) 3 ( )cde a b c d a b c + + + − − − −

9) 2 3( ) ( )ab e d abcd+ + −

10) 2 2 2b ae cd a b c − − − + + +

6) 33 5 1d a d− + −

33( 8) 5( 2) ( 8) 1 17− − − + − − = −

32 1 15= − −

7) { }32ab cd e d a b+ − + + −

{ }3( 2)( 3) (16)( 8) 2( 4) ( 8) ( 2) ( 3) 129− − + − − + + − + − − − = −

{ }3131 2 1− − −=

8) 3 ( )cde a b c d a b c + + + − − − −

3

(16)( 8)( 4)

( 2) ( 3) (16) ( 8) (( 2) ( 3) (16)) 484

− + +

− + − + − − − − − − − = −

3486 2 1− − −=

9) 2 3( ) ( )ab e d abcd+ + −

2

3

(( 2)( 3) ( 4))

( 8) (( 2)( 3)(16)( 8)) 776

− − + + +

− − − − − =

3790 2 1+ −=

10) 2 2 2b ae cd a b c − − − + + +

2 2 2( 3) ( 2)( 4) (16)( 8) ( 2) ( 3) (16) 386 − − − − + − − + − + − + = −

Las respuestas están respaldadas por

Wolfram Mathematica 9.0

Ing. Del Carpio Aritmética - pre 2do 3

Resolución:

1) ab c d+ + (-2)(-3) 16 (-8) 14+ + =

2) c abcd e− +

16 ( 2)( 3)(16)( 8) ( 4) 776− − − − + + =

3) 2 4ab cd e c− + −

2 4( 2)( 3) (16)( 8) ( 4) 16 148− − − − + + − =

4) 2 3 5a b c+ −

2( 2) 3( 3) 5(16) 93− + − − = −

5) 7 8c e ad+ +

7 16 8 ( 4) ( 2)( 4) 60+ + + − + =