Trabajo Practico 1Calculo 3

(1) Probar que para cada  z  =  a + bi ∈ C \ {0}, existe  z  = x + yi  tal que:

zz  = z z  = 1.

Dar una formula expl ıcita para z’ en terminos de  z (2) Encuentre las partes real e imaginaria de (z  + 2)/(z  − 1), donde z  = x + yi  = 1.(3) Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:

(a)  z 4 + 2i = 0.(b) (z  + 1)2 = 3 + 4i.

(4) Sean  z, w ∈ C. Es cierto que:

Re(zw) = (Re z ).(Rew)?

Si es falso, encuentre un contraejemplo.(5) Pruebe que:

zz  =  |z |2,

y concluya que  z −1 = z/|z |2 cuando z  = 0.(6) Use la formula de De Moivre para resolver la ecuaci on:

z 8 = 1.

(7) Exprese  cos5x y  sen 5x en terminos de  cos x  y  senx.(8) Pruebe que si  z  ∈ C es una raız del polinomio:

 p(z ) = a0 + a1z  + · · · + anz n,

con a0,...,an ∈ R, entonces  z  es tambien una ra ız de  p.(9) Usando la relacion  z −1 = z/|z |2,  muestre como obtener  z −1 geometricamente.

(10) Grafique el conjunto de los  z  ∈ C  tal que  Im(z  + 5) = 0.(11) Pruebe las siguientes identidades trigonometricas:

(a) sen2z +cos2z  = 1.(b) cos(z  + w) = cos z  cosw − sen z  senw.

(12) Considere la aplicacion  z  →  senz . Muestre que l ıneas paralelas al eje real tienenpor imagen elipses, y lıneas paralelas al eje imaginario tienen por imagen hiperbolas.

(13) Exprese  z  en la forma  a  + bi, siendo:(a)  z  = e3−i

(b)  z  = cos(2 + 3i)(14) Encuentre todos los valores de:

(a) log (1 + i).(b) log (−i).(c) (1 + i)1+i.(d) 2i.

(15) Examine el comportamiento de  ex+yi cuando x  → ±∞ y cuando  y  → ±∞.

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