practica+tubos+sonoros+_4-2-14_
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Práctica
Tubos Sonoros A) Repaso teórico Tubos sonoros
Si en un instante dado se comprime una masa de gas en el interior de un recipiente cerrado y se abandona (no se ejerce más perturbación), se observaría que, en ausencia de amortiguamiento, las partículas de la masa de gas entrarían en vibración (movimiento periódico). Las frecuencias asociadas al movimiento vibratorio resultante dependen de las características mecánicas del sistema (gas – recipiente). A estas frecuencias se les denomina propias (o características).
En esta práctica se estudian las características de la vibración sonora armónica (senoidal) de una cantidad de gas en un tubo producido por una excitación externa. La vibración la produce un altavoz que ocupa la totalidad de la sección interior del tubo acoplado a un generador de ondas senoidales y se registran mediante un micrófono acoplado a un osciloscopio.
De acuerdo a la teoría de Bernouilli, en el tubo de longitud infinita se propagarán ondas planas en el sentido longitudinal del mismo.
La ecuación de ondas para el caso unidimensional (eje X) para una perturbación Y de una onda con velocidad de propagación V es
2
22
2
2
x
YV
t
Y
Cuya solución general es
)xKtn(2cosa)xKtn(2cosaY 21
Cuyas constantes a1 y a2 se determinan con las condiciones de contorno del caso particular. En un tubo de longitud finita, L, pueden darse las siguientes condiciones de contorno: a) Abierto por ambos extremos Así para x=0 y x=L la sobrepresión en la sección es nula
0x
YQ
0
x
Y
Donde Q es coeficiente de compresibilidad del gas. Derivando en la solución general
)xKtn(2senak2)xKtn(2senak2x
Y21
Y la condición de contorno para x=0 queda
0tn2senak2tn2senak2 21
0tn2sen)aa(k2 21 aaa 21
Teniendo en cuenta el anterior resultado en la condición de contorno para x=L queda
0)LKtn(2senak2)LKtn(2senak2
0)LKtn(2sen)LKtn(2sen
Que teniendo en cuenta las expresiones del seno de la suma
LK2sentn2cosLK2costn2sen)LKtn(2sen
LK2sentn2cosLK2costn2sen)LKtn(2sen
Queda
0LK2sentn2cos2
Que como tiene que cumplirse para todo t
0kL2sen 2
p2Lk2
Donde p=1,2,3, … Teniendo en cuenta que
1k
p
L2
k
1
Vn
L2
VpVn
Para cada uno de los valores de p se obtienen las frecuencias propias (características) del tubo. Para p=1 se obtiene la frecuencia fundamental y para p= 2, 3, … la de los armónicos. De las expresiones anteriores, en los tubos abiertos, la frecuencia fundamental es proporcional a V en inversamente proporcional a la longitud del tubo, siendo su longitud de onda 2L.
La ecuación de los armónicos será
)xktn(2cosa)xktn(2cosaY pppp
Que es un conjunto de ondas estacionarias con los vientres de elongación y los nodos de sobrepresión en los extremos.
b) Abierto en un extremo y cerrado en el otro Si para x=0 es abierto, se obtiene análogamente a lo expuesto en a) que a sobrepresión en la sección es nula.
0x
YQ
0
x
Y
Y resulta que aaa 21
En el extremo cerrado, la elongación en la sección es nula (rigidez del extremo), Y=0. Se tiene pues que
0)xKtn(2cosa)xKtn(2cosa
0)xKtn(2cos)xKtn(2cos
Que teniendo en cuenta las expresiones del seno de la suma
LK2sentn2senLK2costn2cos)LKtn(2cos
LK2sentn2senLK2costn2cos)LKtn(2cos
Se tiene que
0LK2costn2cos2
Que como tiene que cumplirse para todo t
0LK2cos 2
1p2Lk2
Donde p=0,1,2,3, … Teniendo en cuenta que
1k
1p2
L4
k
1
Vn
L4
V1p2Vn
Para cada uno de los valores de p se obtienen las frecuencias propias (características). Para p=0 se obtiene la frecuencia fundamental y para p= 1, 2, 3, … la de los armónicos. Los armónicos en este caso corresponden a un conjunto de ondas estacionarias con los vientres de sobrepresión en el lado cerrado (nodo de elongación) y los nodos de sobrepresión en el abierto (vientre de elongación).
c) Cerrado por ambos extremos Si para x=0 la elongación en la sección es nula, Y=0,
0)tn(2cosa)tn(2cosa 21
0)tn(2cosaa 21
Que como tiene que cumplirse para todo t
21 aaa
Teniendo en cuenta la anterior y la segunda condición, para x=L Y=0 se tiene
0)LKtn(2cosa)LKtn(2cosa
0)LKtn(2cos)LKtn(2cos
Que teniendo en cuenta las anteriores expresiones vistas para el coseno de la suma (que se repiten aquí)
LK2sentn2senLK2costn2cos)LKtn(2cos
LK2sentn2senLK2costn2cos)LKtn(2cos
Se tiene que
0LK2sentn2cos2
Que como tiene que cumplirse para todo t
0kL2sen 2
p2Lk2
Donde p=1,2,3, … Teniendo en cuenta que
1k
p
L2
k
1
Vn
L2
VpVn
Para cada uno de los valores de p se obtienen las frecuencias propias (características). Para p=1 se obtiene la frecuencia fundamental y para p= 2, 3, … la de los armónicos. De las expresiones anteriores, en los tubos cerrados, la frecuencia fundamental es proporcional a V en inversamente proporcional a la longitud del tubo, siendo su longitud de onda 2L.
Los armónicos en este caso corresponden a un conjunto de ondas estacionarias con los vientres de sobrepresión en ambos lados cerrados (nodos de elongación).
Resonancia
Si la masa de gas en el tubo se excita con un movimiento vibratorio externo (vibración forzada) de frecuencia ne que, en general no corresponderá con una frecuencia característica, que en este apartado llamaremos nc , la amplitud del movimiento oscilatorio para la masa de gas, A , dependerá,
además de la amplitud del movimiento excitador Ae , del cociente ce n/n .
El valor de ne que hace máxima la amplitud de la vibración (en este caso
en el gas) se denomina frecuencia de resonancia y al modo de vibración, de resonancia. Si el amortiguamiento es pequeño, pueden darse amplitudes de oscilación muy grandes y se verifica que la frecuencia de resonancia es un
valor próximo a la frecuencia característica del sistema, cr nn .
En el estudio de vibraciones resulta útil el coeficiente
eA
Ar
En la figura se muestra un gráfico típico de r frente ce n/n para distintas
amplitudes de excitación
Velocidad del sonido La velocidad de propagación de la perturbación (en este caso del sonido) en el gas será función de la temperatura del mismo y puede obtenerse com
0
oT
TVV
Donde T es la temperatura en grados Kelvin T0=273,15 K y V0= 330 m/s.
B) Objeto de la práctica Para el caso de tubos cerrados por ambos extremos a) Fijando una frecuencia de excitación
Obtener la longitud de resonancia (Que será próxima a la propia del tubo).
Longitud de onda de la onda en el tubo. Tanto teórica como experimental para su comparación. b) Fijando una longitud de tubo
Longitud de onda de la onda en el tubo. Frecuencias de resonancia.
Tanto teórica como experimental para su comparación. En el apartado a), con una frecuencia n fija ( entre 500 y 600 Hz) y el micrófono en un extremo, se va modificando la longitud del tubo moviendo el extremo del altavoz. Cuando se vea un máximo en el osciloscopio (ya que mide sobrepresiones), se tendrá la longitud de resonancia para esa frecuencia. Se hace para varias frecuencias. Será útil la siguiente tabla
En el apartado b), con una longitud fija (pruebe 1,2 m), sin modificar el altavoz y el micrófono en el otro extremo, se va modificando la frecuencia n en el generador de funciones. Cuando se vea un máximo en el osciloscopio (ya que mide sobrepresiones), se tendrá la frecuencia de resonancia para esa
Al haber ajustado el orden de armónicos a un número entero, con este valor de longitud de onda eliminamos errores de la medida de d
longitud. Se buscan varias frecuencias, y el orden de armónico de cada una de ellas.. Será útil la siguiente tabla
Recordar que, registrando sobrepresión en tubos cerrados por ambos extremos, número de nodos en el tubo coincide con el orden de armónico. c) Memoria Carátula identificadora del grupo normalizada Cálculos varios necesarios Tablas