prácticas y exámenes de control estocastico y de mínima varianza

1. Objetivos

• Poner de manifiesto la problemática del control cuando la salida del proceso a controlar se ve afectada por una perturbación de naturaleza estocástica.

• Aplicar al caso anterior reguladores de mínima varianza cuando los procesos a controlar no presentan retardos adicionales

• Analizar las acciones de control generadas mediante este tipo de reguladores • Analizar la estabilidad de los sistemas controlados en virtud de algunos

parámetros del regulador • Eliminar el error en régimen permanente mediante la adición de un término

integral

2. Realización de la práctica Se desea realizar el control de un sistema continuo cuya discretización a T = 0.1 seg. genera la función de transferencia discreta siguiente:

21

21

1

11

225.095.0109.0137.0

)()(

)( −−

−−

−

−−

+−+

==zz

zzzAzB

zG

La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente:

21

21

1

1

1

1

225.095.0125.05.01

)()(

)()(

−−

−−

−

−

−

−

+−++

==zz

zzzAzD

zCzD

CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS 4º INGENIERÍA INDUSTRIAL

PRÁCTICA 1

REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN

RETARDO

Curso 2001-2002

Se pide:

a) Realizar el esquema Simulink correspondiente al sistema ARMAX en bucle cerrado. Simular tomando como entrada al sistema un escalón unitario y visualizar el ruido introducido así como la salida obtenida. El bloque Simulink que proporciona un ruido blanco encuentra en la categoría Sources y se denomina Band – Limited white noise. El esquema, por tanto, que se debe realizar es el siguiente:

b) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un factor de ponderación de la acción de control, r = 0. Simular el sistema y visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada

c) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y

comprobar que realmente es la obtenida en la simulación.

d) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la acción de control r = 0.02. Simular el sistema y obtener las señales de ruido, salida y acción de control. Calcular la primera acción de control generada y comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0?

e) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control obtenida

sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los resultados obtenidos.

f) Para cada uno de los reguladores calculados (distintos valores de r), obtener la ecuación característica del sistema y sus polos. Comentar a partir de los resultados obtenidos la estabilidad de dichos sistemas.

g) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que

elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α = 0, 0.5, 0.8 y 1. Comentar las respuestas obtenidas.

NOTA: Se debe presentar un informe de la práctica realizada que incluya las respuestas obtenidas así como los comentarios detallados pertinentes a cada uno de los apartados.

PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO CAV

Jaime Martínez Verdú

1 - 1

El sistema físico.

El proceso físico para el cual se desea realizar el control es un sistema continuo por

lo que se precisa discretizarlo. Un sistema muestreado o discretizado es aquel que, partiendo

de una señal o magnitud analógica (o continua) es capaz de generar una secuencia de valores

discretos, separados a intervalos de tiempo. Para el sistema que nos atañe se ha utilizado una

discretización de período de muestreo T = 0.1 segundos generando la función de transferencia

siguiente:

21

211

225.0950.0000.1

090.0137.0)(

zz

zzzG

En clase de teoría, Rafael Puerto nos explicó que la forma general de una función de

transferencia para procesos sin retardo que tendremos en cuenta tenía la siguiente forma:

n

n

m

m

zazaza

zbzbzbzG

2

2

1

1

2

2

1

11

1)(

n

n

n

i

i

i

m

m

m

i

i

i

zazazazazA

zbzbzbzbzB

2

2

1

11

1

2

2

1

11

1

11)(

)(

de donde el numerador es un polinomio B(z-1) que presenta un grado m mientras que

el numerador es un polinomio A(z-1) de grado n. De la comparación entre la expresión (1) y

(2), obtenemos el siguiente resultado:

21

211

225.0950.0000.1

090.0137.0)(

zz

zzzG

;090.0;137.0

090.0137.0)(

2)(

21

211

1

bb

zzzB

zBgradm

;225.0;950.0

225.0950.0000.1)(

2)(

21

211

1

aa

zzzA

zAgradn

(1)

(2)



1 - 2

La perturbación.

Sabemos, según enuncia la práctica, que la salida de dicho sistema se ve afectada

por una perturbación de carácter estocástico cuyo comportamiento se puede modelar

mediante un proceso de tipo ARMAX. Por tanto, el modelo de la perturbación corresponde

a un ruido blanco transformado por el filtro siguiente:

21

211

225.0950.0000.1

250.0500.0000.1)(

zz

zzzP

De forma análoga al caso anterior, Rafael nos propuso como modelo general del

filtro del ruido blanco una función de transferencia discreta cuya expresión matemática

viene dada de la siguiente manera:

n

n

m

m

zczczc

zdzdzdzP

2

2

1

1

2

2

1

11

1

1)(

n

n

n

i

i

i

m

m

m

i

i

i

zczczczczC

zdzdzdzdzD

2

2

1

11

1

2

2

1

11

1

11)(

1)(

De esta expresión, al igual que anteriormente, podemos obtener los respectivos

grados de sus polinomios y los cocientes de capa potencia negativa de z. De hecho,

comparando las ecuaciones (3) y (4) tenemos el siguiente resultado:

21

211

225.0950.0000.1

250.0500.0000.1)(

zz

zzzP

;250.0;500.0

250.0500.0000.1)(

2)(

21

211

1

dd

zzzD

zDgradm

;225.0;950.0

225.0950.0000.1)(

2)(

21

211

1

cc

zzzC

zCgradm

(3)

(4)



1 - 3

(6)

b) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un

factor de ponderación de la acción de control, r = 0. Simular el sistema y

visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada.

De clases teóricas conocemos que la forma general de un regulador de mínima

varianza (recuerde que la siguiente expresión fue deducida para procesos sin retardo)

responde a la siguiente expresión:

)()()()(

)]()([)()(

11

1

11

1111

zDzAb

rzCzBz

zzCzDzAzG

RMV

de donde es posible una simplificación debido a que la perturbación estocástica

viene determinada por un comportamiento modelado mediante un proceso ARMAX

C(z-1) = A(z-1) y, también, debido a que en este apartado se nos exige calcular el regulador

para un factor de ponderación de la acción de control nulo. De estas premisas, podemos

obtener que el regulador buscado es del tipo GRMV4 (z-1) que se muestra a continuación.

ESTABILIDAD EN BULCE ABIERTO: Cancelación de polos y/o de ceros.

Con el fin de que este tipo de regulador nos sirva para el control del sistema debe

verificar que, en caso de error por apertura del lazo cerrado, no se inestabilice. Lo que

pretendemos es evitar que cuando se cancelen polos o ceros de la planta con los

correspondientes al regulador, por motivos de mala identificación del sistema, se produzcan

malas cancelaciones de los polos o ceros que se encuentran fuera del círculo unidad. Para

investigar esta posibilidad debemos analizar la ecuación característica del sistema:

)(

)(

)(

)]()([)()(

1*

1*

1

111*1

4

zA

zB

zBz

zzAzDzGzG

PRMV

Es totalmente válida la utilización de este regulador pues nuestro sistema no

constituye un proceso de fase no mínima ya que todos sus ceros se encuentran dentro del

círculo unidad:

unidad círculo delinterior elen encuentra se cero El1657.0

657.0137.0

090.00090.0137.0

225.0950.0000.1

090.0137.0

)(

)(2

zz

zz

z

zA

zBzG

Por lo tanto, la cancelación de polos o ceros no va a darnos problemas y, a pesar de

que nuestro sistema se deteriore y rompa el lazo, no se convertirá a priori en inestable.

(5)

)(

)]()([)(

1

111

4

zBz

zzAzDzG

RMV

(7)



1 - 4

ESTABILIDAD EN BULCE CERRADO: Ecuación Característica.

Con respecto a la estabilidad del sistema vista desde el bucle cerrado, el regulador

será totalmente válido si las raíces de los polinomios B(z-1) y D(z-1) se encuentran en el

interior del círculo unidad tal como podemos demostrar a continuación:

0)()(0)()()()()()(

0)()]()([)()(0)()(

)()]()([)()(

0)(

)(

)(

)]()([10)()(1

11111111

11111

11

11111

1

1

1

111*1

4

zzBzDzzBzAzzBzDzBzAz

zzBzAzDzBzAzzBzAz

zzBzAzDzBzAz

zA

zB

zBz

zzAzDzGzG PRMV

Veamos donde se encuentran las raíces de los polinomios B(z-1) y D(z-1):

unidad círculo delinterior elen encuentran se raices Las1500.0433.0250.0

433.0250.0

657.04

3

4

10250.0500.0000.1

225.0950.0000.1

250.0500.0000.1)(

unidad círculo delinterior elen encuentra se raiz La1675.0657.0

657.0137.0

090.00090.0137.0

225.0950.0000.1

090.0137.0

)(

)(

2

21

211

2

i

iz

izzzzz

zzzP

zzzz

z

zA

zBzG

OBTENCIÓN DEL REGULADOR: Obtención de la expresión analítica.

Una vez verificada la viabilidad de la utilización de este regulador, podemos realizar

las operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador:

211211211

250.0500.0000.1)(225.0950.0000.1)(090.0137.0)(

zzzDzzzAzzzB

1

111

4

)]()([)(

zBz

zzAzDzG

RMV

1

11

41

211

4

1

21211

4

21

21211

4

090.0137.0

025.0450.1

090.0137.0

)025.0450.1()(

090.0137.0

]225.0950.0000.1250.0500.0000.1[)(

)090.0137.0(

)]225.0950.0000.1(250.0500.0000.1[)(

z

zzG

z

zzzzG

z

zzzzzzG

zzz

zzzzzzG

RMVRMV

RMV

RMV

(8)



1 - 5

Por tanto, el regulador de mínima varianza buscado para un factor de ponderación

nulo es:

1

11

4 090.0137.0

025.0450.1)(

z

zzG

RMV

Simulando el sistema y visualizando la señal de ruido la salida, tenemos las gráficas

que se muestran en páginas posteriores. A continuación analizaremos cada una de las

gráficas:

FIGURA 1.

Comportamiento antes del escalón.

Tal y como podemos observar en la gráfica, la salida no es nula antes de aplicar el

escalón y esto es debido a que el ruido si perturba la salida cuando la entrada aún no está

activa. De este modo, la salida es justo el resultado de minimizar la varianza de la señal

estocástica:

)()(

)]()([)()()(

)(

)]()([)(

)()(

)()(

)(

)()(

1

1100)(

1

11

1

1

1

1

kyzBz

zzAzDkukykw

zBz

zzAzDku

kvzA

zDku

zA

zBky

kkw

Si sustituimos el valor de la señal que hace referencia a la acción de control en la

expresión de la salida tenemos el siguiente resultado:

)()(

)()(

)(

)]()([

)(

)()(

1

1

1

11

1

1

kvzA

zDky

zBz

zzAzD

zA

zBky

Si operamos con dichas expresiones podremos encontrar una relación entre el ruido

y la salida:

)()(

)()()]()()([

)()()()]()([)(

)(

)()(

)(

)(

)]()([)()()(

)(

)(

)(

)]()([1)(

)()(

)()(

)(

)]()([)()(

)(

)()(

)(

)]()([)(

1111

1111

1

1

1

111

1

1

1

11

1

1

1

11

1

1

1

11

kvky

kvzDz

zAzDzAzkykvzD

z

zzAzDzAzky

kvzA

zD

zAz

zzAzDzAzkykv

zA

zD

zAz

zzAzDky

kvzA

zDky

zAz

zzAzDkykv

zA

zDky

zAz

zzAzDky

(9)



1 - 6

Tal y como podemos observar en la Figura 1, tenemos que el regulador de mínima

varianza calculado "intenta" minimizar la varianza de la señal estocástica sin lograrlo y

obtenemos a la salida directamente el ruido blanco. De aquí se puede observar que cuando

no aplicamos entrada, el sistema no minimiza el ruido sino que lo que hace es "desfiltrar" el

ruido blanco lo cual parece bastante lógico pues si no aplicamos ninguna entrada, a la salida

obtendremos ruido y sólo ruido. En el siguiente gráfico se puede observar un solapamiento

entre salida y ruido blando antes del instante de activación del escalón:

Comportamiento en régimen permanente.

Con respecto al error en régimen permanente, podemos decir que el sistema

presenta un error de régimen permanente puesto que sigue a la señal pero siempre con un

error de aproximación. El error se puede calcular de dos maneras distintas: gráficamente y

analíticamente.

Gráficamente: Si sumamos las amplitudes de la salida desde, por ejemplo, la

muestra 20 hasta la 100 y dividimos dicho resultado por la cantidad de muestras entre

ambos puntos (es decir, 80 muestras) obtenemos que el valor medio de la señal de salida en

régimen permanente es de aproximadamente 0.841 y, por lo tanto, el del error en régimen

permanente es de 1 – 0.841 = 0.159.

Analíticamente: Para calcularlo analíticamente, necesitamos aplicar por un lado el

teorema del valor final a la señal de error ante una entrada escalón, es decir:

)()1()(11

1limlim

zezkezk

de donde necesitamos encontrar una expresión que relacione la señal de error con la

entrada.



1 - 7

A continuación, realizaremos una serie de operaciones que nos llevará a una

expresión que defina tal necesidad:

)()()(111

zyzwze

)()(

)]()([)(

1

1

111

ze

zBz

zzAzDzu )(

)(

)()(

)(

)()(

1

1

11

1

11

zvzA

zDzu

zA

zBzy

Tal y como podemos pensar, el término de la señal de ruido blanco v(z-1) tiene

media nula por lo que en régimen permanente podemos eliminar este término ya que no

influye en el valor medio. Por tanto tenemos que, a efectos de régimen permanente, la

salida es:

)()(

)()(

1

1

11

zuzA

zBzy

)()(

)]()([)()(

)(

)]()([

)(

)()(

1

1

1111

1

11

1

11

ze

zAz

zzAzDzyze

zBz

zzAzD

zA

zBzy

)()(

)()()(

)(

)()()()(

)()(

)]()([1)()(

)(

)]()([)()(

1

1

111

1

1111

1

1

1111

1

1111

zwzDz

zAzzezw

zAz

zAzzDzzAzze

zwzAz

zzAzDzeze

zAz

zzAzDzwze

Llegados a este punto, ya estamos en condiciones de calcular el error en régimen

permanente:

157.0250.0500.0000.1

225.0950.0000.1

)250.0500.0000.1(

)225.0950.0000.1(

)(

)(

1

1

)(

)(1)(

)(

)(1)(1

21

21

11

1

1

11

11

1

1

1

11

1

11

1

limlim

limlimlim

zzz

zzz

zDz

zAz

zzDz

zAzzzw

zDz

zAzzzez

zz

zzz

De donde podemos observar que el valor teórico de 0.157 se acerca al calculado

gráficamente de 0.159.

Esta diferencia en las milésimas entre el teórico y el gráfico se debe principalmente

a que al calcularlo gráficamente no escogimos un número suficiente de muestras. De hecho,

si sumamos las amplitudes de la salida desde, por ejemplo, la muestra 20 hasta la 1.020 y

dividimos dicho resultado por la cantidad de muestras entre ambos puntos (es decir, 1.000

muestras) obtenemos que el valor medio de la señal de salida en régimen permanente es de

0.843 y, por lo tanto, el del error en régimen permanente es de 1 – 0.843 = 0.157.

0)( kvE



1 - 8

FIGURA 2.

Con respecto a esta figura, sólo podemos decir que se trata de una acción de control

caracterizada por no ser nula para muestras negativas, lo cual es lógico, ya que para valores

negativos no está activa la señal de entrada escalón pero si la del ruido, por lo que el

regulador intentará minimizar dicha señal y por ello existen acciones de control.

Figura 1. Referencia w(k ), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)>.

Figura 2. Acción de control u(k).

Figura 3. Representación de cada una de las señales requeridas por el enunciado.



1 - 12

c) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y


5839.10137.0

450.10

0090.0137.0

0025.0450.100

4

uGu

RMV

En la ampliación del gráfico de la señal de la acción de control u(k), se puede

observar que la primera muestra obtenida corresponde a un valor de 10,9351 cercano a

10,5839, que era el obtenido teóricamente. A pesar de que no se active la entrada el

regulador responde ante el ruido y por eso existe esta diferencia.



1 - 13

Del apartado anterior conocemos que la acción de control se relacionaba con la

salida de la siguiente manera:

)()(

)]()([)(

1

11

kyzBz

zzAzDku

De donde conocemos que la salida antes de activar la entrada escalón es juste la

señal de ruido blanco. Por tanto, tenemos que la acción de control y el ruido blanco se

relacionan de la siguiente manera:

)()(

)]()([)(

1

11

kvzBz

zzAzDku

→ )(

090.0137.0

025.0450.1)(

1

1

kvz

zku

Si modificamos nuestro sistema en simulink añadiendo una salida j(k) de la

siguiente manera:

Una vez simulado, buscamos entre los valores de la señal j(k) el que se da cuando

aplicamos el escalón de modo que si este valor se los restamos al que presenta la señal de

control tendremos justo el calculado teóricamente. En la gráfica de la siguiente página

podemos comprobar que para antes del escalón se verifica que el comportamiento de la

acción de control es justo el deducido en la expresión:

)(090.0137.0

025.0450.1)(

1

1

kvz

zku



1 - 14

u = j =

-0.1193 -0.1193

-0.7225 -0.7225

0.7478 0.7478

-0.9165 -0.9165

0.5290 0.5290

-0.2188 -0.2188

0.4538 0.4538

-0.3390 -0.3390

0.0287 0.0287

-0.1066 -0.1066

-0.1025 -0.1025

-0.1018 -0.1018

0.1104 0.1104

-0.4912 -0.4912

0.4885 0.4885

0.3925 0.3925

0.2720 0.2720

-0.7763 -0.7763

0.6434 0.6434

-0.0989 -0.0989

10.9351 0.3512

-11.5093 0.0239

10.2907 0.1502

-3.7691 0.0686

3.4583 0.0293

-0.9688 -0.5171

2.4366 0.3064

-0.4353 -0.6298

1.7264 0.1487

0.4586 -0.2145

1.5726 0.3352

0.8177 -0.0630

1.2382 0.1227

1.2999 0.3424

Estos valores corresponden justo al

momento en el cual actúa la entrada

escalón de modo que si restamos

ambos valores obtenemos como

resultado el valor calculado

teóricamente:

10.9351 – 0.3512 = 10.5839



1 - 15

d) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la

acción de control r = 0.02. Simular el sistema y obtener las señales de ruido,

salida y acción de control. Calcular la primera acción de control generada y

comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué

diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0?




)()()()(

)]()([)()(

11

1

11

1111

zDzAb

rzCzBz

zzCzDzAzG

RMV



C(z-1) = A(z-1). La simplificación nos da la siguiente expresión que corresponde al regulador

de mínima varianza GRMV3 (z-1), es decir,

)()(

)]()([)(

1

1

1

111

3

zDb

rzBz

zzCzDzG

RMV

En este caso, no sería necesario calcular nada más para verificar si podemos usar

este tipo de regulador puesto que de clases de teoría obtuvimos como resultado que este

tipo de regulador era válido para cualquier sistema. A continuación, realizaremos las

operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador:

211211211250.0500.0000.1)(225.0950.0000.1)(090.0137.0)(

zzzDzzzAzzzB

21

11

3

21

211

3

211

21211

3

2121

21211

3

1

1

1

111

3

036.0163.0283.0

025.0450.1)(

036.0163.0283.0

)025.0450.1()(

036.0073.0146.0090.0137.0

)225.0950.0000.1250.0500.0000.1()(

)250.0500.0000.1(137.0

02.0)090.0137.0(

)]225.0950.0000.1(250.0500.0000.1[)(

)()(

)]()([)(

zz

zzG

zz

zzzzG

zzz

zzzzzzG

zzzzz

zzzzzzG

zDb

rzBz

zzAzDzG

RMV

RMV

RMV

RMV

RMV

(8)



1 - 16

Por tanto, el regulador de mínima varianza buscado es:

21

11

3 036.0163.0283.0

025.0450.1)(

zz

zzG

RMV

La acción de control para el instante inicial corresponde al siguiente valor:

124.5283.0

450.1)0(

0036.00163.0283.0

0025.0450.1)0()0(

3

uGu

RMV



gráficas:

FIGURA 4.





estocástica:

)(

)()(

)]()([)()()(

)()(

)]()([)(

)()(

)()(

)(

)()(

1

1

1

1100)(

1

1

1

11

1

1

1

1

ky

zDb

rzBz

zzAzDkukykw

zDb

rzBz

zzAzDku

kvzA

zDku

zA

zBky

kkw



)()(

)()(

)()(

)]()([

)(

)()(

1

1

1

1

1

11

1

1

kvzA

zDky

zDb

rzBz

zzAzD

zA

zBky


y la salida:

)()()(

)()(

)()]()([)()(

1

1

1

1

1111

kvzDky

zDb

rzBz

zzBzAzDkyzA

(9)



1 - 17

)()()(

)()(

)()]()([)()(

1

1

1

1

1111

kvzDky

zDb

rzBz

zzBzAzDkyzA

)(

)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

)()()()()()()()(

)(

)()(

)()(

)()]()([)()]()([

)(

)()(

)()(

)()]()([)()(

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

111111

1

11

1

1

1

1

11111

1

1

1

1

1

1

1111

kv

zzGb

r

zGb

rzGz

ky

kv

zzA

zB

b

r

zA

zD

b

r

zA

zBz

ky

zA

zD

b

r

zA

zBz

zzA

zB

b

r

ky

kvzD

zDb

rzBz

zzBzAzzBzDzAzDb

rzAzBz

ky

kvzD

zDb

rzBz

zzBzAzDzAzDb

rzBz

ky

kvzD

zDb

rzBz

zzBzAzDzAky

P

PPV



1 - 18

Tal y como podemos observar en la figura, tenemos que el regulador de mínima

varianza calculado presenta una salida con un ruido blanco que no es el que introducimos

puesto que éste se ve modificado por existir ahora un factor de ponderación no nulo. De

aquí se puede observar que cuando no aplicamos entrada, el regulador modifica el valor del

ruido blanco. En el anterior gráfico se puede observar una diferencia entre salida y ruido

blando antes del instante de activación del escalón. Esa diferencia se debe a que, a

diferencia del caso anterior, la salida no es justo el ruido blanco, sino que en la salida

obtenemos un ruido blanco modificado.





analíticamente.





permanente es de 1 – 0.711 = 0.289.



)()1()(11

1limlim

zezkezk


entrada.


expresión que defina tal necesidad:

)()()(111

zyzwze

)(

)()(

)]()([)(

1

1

1

1

111

ze

zDb

rzBz

zzAzDzu )(

)(

)()(

)(

)()(

1

1

11

1

11

zvzA

zDzu

zA

zBzy


media nula por lo que en régimen permanente podemos eliminar este término. Por tanto

tenemos que, a efectos de régimen permanente, la salida es:

)()(

)()(

1

1

11

zuzA

zBzy

0)( kvE



1 - 19

)(

)()()()(

)()]()([)()(

)()(

)]()([

)(

)()(

1

11

1

11

11111

1

1

1

11

1

11

ze

zDzAb

rzBzAz

zzBzAzDzyze

zDb

rzBz

zzAzD

zA

zBzy

)(

)(1

)(

)(1

)()(

)(

)(1

)(

)(1

)(

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(1

)(

)(

)()()()(

)()()()(

)(

)(

)()()()(

)()()()()()()()(

)(

)(

)()()()(

)()]()([)()()()(

)(

)(

)()()()(

)()]()([1)(

)(

)()()()(

)()]()([)()(

1

11

1

1

1

11

1

11

1

11

1

1

11

1

11

1

11

1

11

11

1

11

1

1

11

1

11

1111

11

1

11

1

11

111111

1

11

1

1

11

1

11

11111

1

11

1

1

11

1

11

1111

1

11

1

11

11111

zw

zzGr

b

zzG

zG

r

b

zezw

zzD

zB

r

b

zzA

zB

r

b

ze

zw

zDzAb

r

zDzAb

r

zDzAb

r

zBzAz

zDzAb

r

zzBzD

ze

zw

zDzAb

rzBzAz

zzBzDzDzAb

r

ze

zw

zDzAb

rzBzAz

zzBzAzzBzDzDzAb

rzBzAz

ze

zw

zDzAb

rzBzAz

zzBzAzDzDzAb

rzBzAz

ze

zw

zDzAb

rzBzAz

zzBzAzDze

ze

zDzAb

rzBzAz

zzBzAzDzwze

P

P

P

V



1 - 20


permanente:

284.0

225.0950.0000.1

090.0137.0

02.0

137.01

250.0500.0000.1

090.0137.0

02.0

137.01

225.0950.0000.1

090.0137.0

02.0

137.01

250.0500.0000.1

090.0137.0

02.0

137.01

225.0950.0000.1

090.0137.0

02.0

137.01

225.0950.0000.1

250.0500.0000.1

225.0950.0000.1

090.0137.0

02.0

137.01

)(1

)(

)(1

1

1

)(1

)(

)(1

1)(

)(1

)(

)(1

1)(1

21

21

21

21

1

21

21

21

21

21

21

111

1

1

1

1

111

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

11

1

lim

limlim

limlimlim

zzz

zz

zzz

zz

zzz

zz

z

zz

zz

zz

zz

zzGr

b

zzG

zG

r

b

zzzG

r

b

zzG

zG

r

b

zzw

zzGr

b

zzG

zG

r

b

zzez

z

z

P

P

P

z

P

P

P

z

P

P

P

zz

V

VV









FIGURA 5.




regulador intentará minimizar dicha señal y por ello existen acciones de control. De esta

podemos observar que el valor 5.297 se aproxima a los 5.127 teóricos. Esta diferencia se

debe al ruido que hay en el momento de aplicar el escalón (análogo al caso anterior).



1 - 21

FIGURA 7.

Para poder analizar la diferencia de rizado entre ambas salidas creamos una función

que nos ayudará a este cometido. Con el siguiente programa analizaremos el rizado de cada

señal:

function mifuncion(x,a,b)

max=0;

min=200;

i=a;

while i<=b

if x(i)>max

max=x(i);

end

if x(i)<min

min=x(i);

end

i=i+1;

end

max

min

riz=max-min

return

mifuncion(y,25,120) mifuncion(yy,25,120)

max = max =

0.9406 0.8256

min = min =

0.7671 0.6070

Riz = Riz =

0.1735 0.2186

Tal y como podemos observar la segunda señal (que es justo la señal con factor de

ponderación no nulo) presenta un mayor rizado que la primera (con r = 0).

FIGURA 8.

En esta figura observamos una diferencia apreciable entre ambas acciones de

control puesto que al aumentar el factor de ponderación se disminuye el esfuerzo de control

y las acciones de control con r = 0.02 son menores.

Figura 4. Referencia w(k ), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)>.

Figura 5. Acción de control u(k).

Figura 6. Representación de cada una de las señales requeridas por el enunciado.

Figura 7. Representación gráfica de la señal de referencia, la de salida y la señal estocástica.

Figura 8. Representación gráfica donde se compara la salida con un factor r = 0 y con r = 0.02.



1 - 27

e) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control

obtenida sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los

resultados obtenidos.

Para que se verifique esta condición tenemos que:

21

1

11

1

11

1

1

11

1

11

1

1

11

233

10

3

10

0

0

brb

rbb

b

ad

b

rb

aduu

b

adu

b

rb

adu

be

b

e

037538.0137.02222

1 br

21

11

3

21

211

3

211

21211

3

2121

21211

3

1

1

211

111

3

069.0227.0411.0

025.0450.1

069.0227.0411.0

025.0450.1

069.0137.0274.0090.0137.0

225.0950.0000.1250.0500.0000.1

250.0500.0000.1137.02090.0137.0

225.0950.0000.1250.0500.0000.1

2

zz

zzG

zz

zzzzG

zzz

zzzzzzG

zzzzz

zzzzzzG

zDb

bzBz

zzAzDzG

RMV

RMV

RMV

RMV

RMV


21

11

3069.0227.0411.0

025.0450.1

zz

zzGRMV

528.3411.0

450.10

0069.00227.0411.0

0025.0450.100 3

uGu RMV

Tal y como podemos observar en las gráficas que se muestran a continuación, el

valor de la amplitud de las acciones de control va disminuyendo a medida que aumentamos

el factor de ponderación del esfuerzo de control.

1 - 28

Figura e.1. Zoom de la representación gráfica de las tres señales de control para r = 0, 0.02 y 0.037.



1 - 29

f) Para cada uno de los reguladores calculados (distintos valores de r), obtener la

ecuación característica del sistema y sus polos. Comentar a partir de los

resultados obtenidos la estabilidad de dichos sistemas.

Regulador 1: r = 0.

1

11

090.0137.0

025.0450.1)(

z

zzG

RMV


657.0137.0

090.00090.0137.00090.0137.0

unidad círculo delinterior elen encuentran se raices Las1500.0433.0250.0

433.0250.0

657.04

3

4

10250.0500.00250.0500.0000.1

0)090.0137.0)(250.0500.0000.1(

0)090.0137.0(025.0450.1225.0950.0000.1

0)090.0137.0)(025.0450.1()225.0950.0000.1)(090.0137.0(

0)225.0950.0000.1)(090.0137.0(

)090.0137.0)(025.0450.1()225.0950.0000.1)(090.0137.0(

0225.0950.0000.1

090.0137.0

090.0137.0

025.0450.11

21

221

2121

212121

211211

211

211211

21

21

1

1

zzzz

i

iz

izzzzz

zzzz

zzzzzz

zzzzzz

zzz

zzzzzz

zz

zz

z

z

Regulador 2: r = 0.02.

21

11

036.0163.0283.0

025.0450.1)(

zz

zzG

RMV

unidad círculo delinterior elen encuentra se raiz La10.495030.42834 0.24816-0.42834 0.24816- = z

unidad círculo delinterior elen encuentra se raiz La10.341750.331210.084210.331210.08421

00081.0004725.007875.00928.0283.0

0)00225.0133925.019865.0()0081.0002475.0055175.010585.0283.0(

0)00225.0003425.01305.019865.0(

)0081.00342.0036.0036675.015485.0163.0063675.026885.0283.0(

0)090.0137.0)(025.0450.1()225.0950.0000.1)(036.0163.0283.0(

0)225.0950.0000.1)(036.0163.0283.0(

)090.0137.0)(025.0450.1()225.0950.0000.1)(036.0163.0283.0(

0225.0950.0000.1

090.0137.0

036.0163.0283.0

025.0450.11

4321

3214321

3221

43232121

2112121

2121

2112121

21

21

21

1

ii

iiz

zzzz

zzzzzzz

zzzz

zzzzzzzz

zzzzzzz

zzzz

zzzzzzz

zz

zz

zz

z



1 - 30

Regulador 3: r = 0.03.

21

11

069.0227.0411.0

025.0450.1

zz

zzG

RMV

unidad círculo delinterior elen encuentra se raiz La10.502260.43537 0.25043-0.43537 0.25043- = z

unidad círculo delinterior elen encuentra se raiz La10.386960.331210.084210.32656 0.20761

0015525.00012225.007975.00352.00.411

0)00225.0133925.019865.0()0.0155250.0144750.0541750.163450.411(

0)00225.0003425.01305.019865.0(

)015525.006555.0069.0051075.021565.0227.0092475.039045.0411.0(

0)090.0137.0)(025.0450.1()225.0950.0000.1)(069.0227.0411.0(

0)225.0950.0000.1)(069.0227.0411.0(

)090.0137.0)(025.0450.1()225.0950.0000.1)(069.0227.0411.0(

0225.0950.0000.1

090.0137.0

069.0227.0411.0

025.0450.11

4321

3214321

3221

43232121

2112121

2121

2112121

21

21

21

1

ii

iiz

zzzz

zzzzzzz

zzzz

zzzzzzzz

zzzzzzz

zzzz

zzzzzzz

zz

zz

zz

z

Todos son estables pues presentan todos sus polos dentro del círculo unidad.



1 - 31

g) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que

elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α

y 1. Comentar las respuestas obtenidas.

Caso 1: α = 0. y1(k)

Caso 2: α = 0,5. y2(k)



1 - 32

Caso 3: α = 0,8. y3(k)

Caso 4: α = 1. y4(k)



1 - 33

Tal y como podemos observar, a medida que vamos dando valores de α mayores, el

sistema deja de tener error en régimen permanente pero posee un mayor rizado debido a

que el efecto de acercarse a ser un integrador puro es desestabilizador:

mifuncion(y1,40,100) mifuncion(y2,40,100)

max = max =

0.7506 1.1354

min = min =

0.5127 0.8679

Riz = Riz =

0.2378 0.2675

valorfinal = valorfinal =

0.6468 1.10167

mifuncion(y3,40,100) mifuncion(y4,40,100)

max = max =

1.1694 1.1986

min = min =

0.8094 0. 7437

Riz = Riz =

0.3600 0.4549

valorfinal = valorfinal =

1.0178 1.0163

En la siguiente tabla podemos observar como a medida que aumenta el valor de α

disminuye el error hacia cero y como aumenta el rizado de la señal de salida:

Error en régimen permanente Rizado o varianza de la señal

0 |1-0.6468| = 0.3532 0.2378

5.0 |1-1.1017 | = 0.1017 0.2675

8.0 |1-1.0178| = 0.0178 0.3600

1 |1-1.0163| = 0.0163 0. 4549

1. Objetivos

• Poner de manifiesto la problemática del control cuando la salida del proceso a controlar se ve afectada por una perturbación de naturaleza estocástica.

• Aplicar al caso anterior reguladores de mínima varianza cuando los procesos a controlar presentan retardos adicionales

• Analizar las acciones de control generadas mediante este tipo de reguladores • Analizar la estabilidad de los sistemas controlados en virtud de algunos

parámetros del regulador • Eliminar el error en régimen permanente mediante la adición de un término

integral

2. Realización de la práctica Se desea realizar el control de un sistema continuo cuya discretización a T = 0.1 seg. genera la función de transferencia discreta siguiente:

21

12

1

11

819.081.11)995.01(

)()()( −−

−−

−

−−

+−−==

zzzz

zAzBzG

La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente:

21

21

1

1

1

1

819.081.1185.081.11

)()(

)()(

−−

−−

−

−

−

−

+−+−==

zzzz

zAzD

zCzD


PRÁCTICA 2

REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS

CON RETARDO

Curso 2001-2002

Se pide:

a) Realizar el esquema Simulink correspondiente al sistema ARMAX en bucle cerrado. Simular tomando como entrada al sistema un escalón unitario y visualizar el ruido introducido así como la salida obtenida. El bloque Simulink que proporciona un ruido blanco encuentra en la categoría Sources y se denomina Band – Limited white noise. El esquema, por tanto, que se debe realizar es el siguiente:

b) Realizar la misma simulación sustituyendo el filtro del ruido por la descomposición equivalente a fin de comprobar si se obtienen idénticos resultados.

c) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un

factor de ponderación de la acción de control, r = 0. Simular el sistema y visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada. Repetir la simulación para una entrada de la forma u(t) = sen (0.2t). ¿Qué efecto se puede constatar en la representación de las señales obtenidas en esta última simulación?

d) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y


e) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la acción de control r = 0.02. Simular el sistema y obtener las señales de ruido, salida y acción de control. Calcular la primera acción de control generada y comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0?

f) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control obtenida

sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los resultados obtenidos.

g) Para cada uno de los reguladores calculados (distintos valores de r), obtener la ecuación característica del sistema y sus polos. Comentar a partir de los resultados obtenidos la estabilidad de dichos sistemas.

h) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α = 0, 0.5, 0.8 y 1. Comentar las respuestas obtenidas.

NOTA: Se debe presentar un informe de la práctica realizada que incluya las respuestas obtenidas así como los comentarios detallados pertinentes a cada uno de los apartados.

PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO CAV


2 - 1

21

12

1

11

819.0810.1000.1

995.01

zz

zz

zA

zBzG

21

21

1

11

819.0810.1000.1

850.0800.1000.1

zz

zz

zA

zDzP

A continuación, mostramos el diagrama de bloques del sistema donde vienen

representadas las siguientes señales:

Salida. de Señal

Físico. Sistema del Salida de Señal

Control. de Señal

.Referencia de o Entrada de Señal

a.Estocástic Señal

Blanco. Ruido de Señal

ky

ky

ku

kr

kn

kv

u

zA

zB

ky

zA

zD

zQ

zP

ku + +

Regulador de

Mínima Varianza

Planta o

Proceso Físico

Filtro de Ruido

ARMAX

kv

+

kn

kyu ku



2 - 2

b) Realizar la misma simulación sustituyendo el filtro del ruido por la

descomposición equivalente a fin de comprobar si se obtienen idénticos

resultados.

De clases teóricas, se propuso una descomposición del filtro del ruido blanco de

modo que cambiábamos de un diagrama de bloques a otro distinto:

Diagrama de bloques del filtro sin descomponer.

Diagrama de bloques del filtro sin descomponer.

)(1

zE kv kn

1

1

1

)(

)(

d

zzC

zF +

)(

)(1

1

zC

zD

kv kn



2 - 3

332

3321

21

21

2121

1019.80491.0

1019.80181.0010.0

031.0010.0

819.0810.1000.1

819.0810.1000.1850.0800.1000.1

zz

zzz

zz

zz

zzzz

11131

010.0000.1)(10·19.80491.0)(

zzEzzF

A continuación mostramos las salidas obtenidas en los diagramas de simulink

anteriores:

Tal como podemos observar, tanto para un caso como para el otro, tenemos que

coinciden ambas salidas, obviamente.

1010.0000.1

z



2 - 4

c) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un

factor de ponderación de la acción de control, r = 0. Simular el sistema y

visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada. Repetir la

simulación para una entrada de la forma u(t) = sen (0.2t). ¿Qué efecto se puede

constatar en la representación de las señales obtenidas en esta última

simulación?


varianza (recuerde que la siguiente expresión fue deducida para procesos con retardo)


)()()()()(

)()()(

11

1

111

111

zDzAb

rzEzCzBz

zFzAzGRMVd



C(z-1) = A(z-1) y, también, debido a que en este apartado

se nos exige calcular el regulador para una factor de

ponderación de la acción de control nulo. De estas

premisas, podemos obtener que el regulador buscado es

del tipo GRMVd4 (z-1) que se muestra a la derecha.

ESTABILIDAD EN BULCE ABIERTO: Cancelación de polos y/o de ceros.

Con el fin de que este tipo de regulador nos sirva para el control del sistema debe

verificar que, en caso de error por apertura del lazo cerrado, no se inestabilice. Lo que

pretendemos es evitar que cuando se cancelen polos o ceros de la planta con los

correspondientes al regulador, por motivos de mala identificación del sistema, se produzcan

malas cancelaciones de los polos o ceros que se encuentran fuera del círculo unidad. Para

investigar esta posibilidad debemos analizar la ecuación característica del sistema:

)(

)(

)()(

)()()(

1*

1*

11

11*1

4

zA

zB

zEzBz

zFzGzG PRMV

Es totalmente válida la utilización de este regulador pues nuestro sistema no

constituye un proceso de fase no mínima ya que todos sus ceros se encuentran dentro del

círculo unidad:

unidad círculo delinterior elen encuentra se cero El1995.0

995.00995.0819.0810.1000.1

995.0 1

21

21

zzzzz

zz

zA

zBzG

Por lo tanto, la cancelación de polos o ceros no va a darnos problemas y, a pesar de

que nuestro sistema se deteriore y rompa el lazo, no se convertirá en inestable a priori.

)()(

)(11

11

4

zEzBz

zFzGRMVd



2 - 5

ESTABILIDAD EN BULCE CERRADO: Estabilidad propiamente dicha.

Con respecto a la estabilidad del sistema vista desde el bucle cerrado, el regulador

será totalmente válido si las raíces de los polinomios B(z-1) y D(z-1) se encuentran en el

interior del círculo unidad tal como podemos demostrar a continuación:

0)()()()(

0)()()()()(0)()(

)()()()()(

0)(

)(

)()(

)(10)()(1

1111

11111

11

11111

1

1

11

11*1

4

zBzFzEzAz

zFzBzEzBzAzzBzAz

zFzBzEzBzAz

zA

zB

zEzBz

zFzGzG PRMVd

Veamos donde se encuentran las raíces de B(z-1) y z·A(z-1)·E(z-1) + F(z-1):

unidad círculo delinterior elen encuentran se raices Las10101.00101.0

unidad círculo delinterior elen encuentran se raices Las19003.00.1876 0.8805

0101.00.1876 0.8805

01019.879271.07509.1

01019.879271.07509.1000.1

01019.80491.01019.88009.0800.1000.1

0)1019.80491.0()010.0000.1()819.0810.1000.1(

01019.80491.0)010.0000.1()819.0810.1000.1(

0)()()(


995.00995.0819.0810.1000.1

995.0

)(

)()(

323

3321

2313321

131121

13121

111

1

21

21

1

11

i

ziz

zzz

zzz

zzzzz

zzzzz

zzzzz

zFzEzAz

zzzzz

zzz

zA

zBzG

d

Una vez verificada la viabilidad de la utilización de este regulador, podemos realizar

las operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador:

211211211850.0800.1000.1819.0810.1000.1995.0

zzzDzzzAzzzB

11131010.0000.1)(10·19.8049.0)(

zzEzzF

21

131

411

131

4

121

131

4

11

11

4

00995.0985.0000.1

10·19.80491.0

)010.0000.1)·(995.0000.1(

10·19.80491.0

)010.0000.1)·(995.0(

10·19.80491.0

)()(

)(

zz

zzG

zz

zzG

zzzz

zzG

zEzBz

zFzG

RMVdRMVd

RMVd

RMVd



2 - 6


21

131

400995.0985.0000.1

10·19.8049.0

zz

zzGRMVd



gráficas:

FIGURA 1.





estocástica:

)()()(

)()()()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

11

100)(

11

1

1

1

1

1

kyzEzBz

zFkukykw

zEzBz

zFku

kvzA

zDkuz

zA

zBky

kkw

d



)()(

)()(

)()(

)(

)(

)()(

1

1

11

1

1

1

kvzA

zDky

zEzBz

zFz

zA

zBky

d


y la salida:

)()()(

)()()(

)()()()(

)(

)()()()(

)()(

)(

)()(

)()()()()(

)(

)(

)()(

)(1)(

)()(

)()(

)()(

)()()(

)(

)()(

)()(

)()(

1

1

1

11

1

1111

1

1

11

1111

1

1

11

11

1

1

11

11

1

1

11

11

kvzEky

kvzDzE

zDkykvzD

zE

zzFzEzAky

kvzA

zD

zEzAz

zzFzEzAkykv

zA

zD

zEzA

zzFky

kvzA

zDky

zEzA

zzFkykv

zA

zDky

zEzA

zzFky

d

dd

dd

Tal y como podemos observar en la Figura 1, tenemos que el regulador de mínima



2 - 7

varianza calculado "intenta" minimizar la varianza de la señal estocástica sin lograrlo y

obtenemos a la salida casi directamente el ruido blanco.. En el siguiente gráfico se puede

observar un solapamiento entre salida y ruido blando multiplicado por el polinomio E(z-1)

antes del instante de activación del escalón:





analíticamente.





permanente es de 1 – 0.8586 = 0.14014.



)()1()(11

1limlim

zezkezk


entrada.


expresión que defina tal necesidad: 0)( kvE



2 - 8

)()()(111

zyzwze

)()()(

)()(

1

11

11

ze

zEzBz

zFzu )(

)(

)()(

)(

)()(

1

1

11

1

11

zvzA

zDzuz

zA

zBzy

d


media nula por lo que en régimen permanente podemos eliminar este término ya que no

influye en el valor medio. Por tanto tenemos que, a efectos de régimen permanente, la

salida es:

)()(

)()(

1

1

11

zuzzA

zBzy

d

)()()(

)()()(

)()(

)(

)(

)()(

1

11

1111

11

1

1

11

ze

zEzA

zzFzyze

zEzBz

zFz

zA

zBzy

dd

)()(

)()()()(

)()(

)()()()(

)()()(

)(1)()(

)()(

)()()(

1

1

1111

11

11111

1

11

1111

11

1111

zwzD

zEzAzezw

zEzA

zzFzEzAze

zwzEzA

zzFzeze

zEzA

zzFzwze

d

dd


permanente:

1313.0250.0500.0000.1

)010.0000.1)(090.0137.0(

250.0500.0000.1

)010.0000.1)(090.0137.0(

)(

)()(

1

1

)(

)()(1)(

)(

)()(1)(1

21

121

11

11

1

11

111

1

1

1

111

1

11

1

limlim

limlimlim

zz

zzz

zD

zEzA

zzD

zEzAzzw

zD

zEzAzzez

zz

zzz











2 - 9

FIGURA 2.




regulador intentará minimizar dicha señal y por ello existen acciones de control.

FIGURA 3 y 4.

Tanto la señal de salida como la acción de control adquieren formas senoidales. Se

puede ver como la salida trata de seguir a la entrada, pero no llega a igualarla debido al

retardo que sufre de por si ya la planta. Por lo que nunca llegará a igualarla. Se puede

observar que la salida está retrasada respecto a la entrada.

Figura 1. Referencia w(k), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)> ante entrada escalón.

Figura 2. Acción de control u(k) ante entrada escalón.

Figura 3. Referencia w(k), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)> ante entrada senoidal.

Figura 2. Acción de control u(k) ante entrada senoidal.



2 - 14

d) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y


049.0000.1

049.00

000995.00985.0000.1

010·19.8049.000

3

4

uGu RMV

En la ampliación del gráfico de la señal de la acción de control u(k), se puede

observar que la primera muestra obtenida corresponde a un valor cercano a 0.049, que era

el obtenido teóricamente.



2 - 15

Del apartado anterior conocemos que la acción de control se relacionaba con la

salida de la siguiente manera:

)()()(

)()(

11

1

kyzEzBz

zFku

)()()(

1kvzEky

De donde conocemos que la salida antes de activar la entrada escalón es juste la

señal de ruido blanco. Por tanto, tenemos que la acción de control y el ruido blanco se

relacionan de la siguiente manera:

)()(

)()()()(

)()(

)()(

1

11

11

1

kvzBz

zFkukvzE

zEzBz

zFku

)(995.0000.1

10·19.80491.0)(

1

13

kvz

zku

Si modificamos nuestro sistema en simulink añadiendo una salida j(k) de la

siguiente manera:

Una vez simulado, buscamos entre los valores de la señal j(k) el que se da cuando

aplicamos el escalón de modo que si este valor se los restamos al que presenta la señal de

control tendremos justo el calculado teóricamente. En la gráfica de la siguiente página

podemos comprobar que para antes del escalón se verifica que el comportamiento de la

acción de control es justo el deducido en la expresión:

)(995.0000.1

10·19.80491.0)(

1

13

kvz

zku



2 - 16

u = j =

-0.0006 -0.0006

-0.0042 -0.0042

-0.0022 -0.0022

-0.0044 -0.0044

-0.0044 -0.0044

-0.0037 -0.0037

-0.0023 -0.0023

-0.0028 -0.0028

-0.0036 -0.0036

-0.0038 -0.0038

-0.0045 -0.0045

-0.0052 -0.0052

-0.0048 -0.0048

-0.0068 -0.0068

-0.0056 -0.0056

-0.0024 -0.0024

-0.0005 -0.0005

-0.0038 -0.0038

-0.0026 -0.0026

-0.0012 -0.0012

0.0489 -0.0001

0.0901 0.0008

0.1283 0.0014

0.1629 0.0020

0.1925 0.0022

0.2145 -0.0002

0.2341 0.0001

0.2465 -0.0019

0.2553 -0.0028

0.2605 -0.0031

0.2636 -0.0020

0.2635 -0.0015

0.2611 -0.0012

0.2591 0.0007

Estos valores corresponden justo al

momento en el cual actúa la entrada

escalón de modo que si restamos

ambos valores obtenemos como

resultado el valor calculado

teóricamente:

0.0489 – (–0.0001) = 0.049



2 - 17

e) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la

acción de control r = 0.02. Simular el sistema y obtener las señales de ruido,

salida y acción de control. Calcular la primera acción de control generada y

comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué

diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0?




)()()()()(

)()()(

11

1

111

111

zDzAb

rzEzCzBz

zFzAzGRMVd



C(z-1) = A(z-1). La simplificación nos da la siguiente expresión que corresponde al regulador

de mínima varianza GRMV3 (z-1), es decir,

)()()(

)(

1

1

11

11

3

zDb

rzEzBz

zFzGRMVd

En este caso, no sería necesario calcular nada más para verificar si podemos usar

este tipo de regulador puesto que de clases de teoría obtuvimos como resultado que este

tipo de regulador era válido para cualquier sistema. A continuación, realizaremos las

operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador:

211211850.0800.1000.1995.0

zzzDzzzB

11131010.0000.1)(10·19.80491.0)(

zzEzzF

21

11

3

2121

131

3

2111

131

3

21121

131

3

1

1

11

11

3

00705.0021.102.1

00819.00491.0

)017.0036.0020.0()00995.0985.0000.1(

10·19.80491.0

)850.0800.1000.1(02.0)010.0000.1()995.0000.1(

10·19.80491.0

)850.0800.1000.1(1

02.0)010.0000.1()995.0(

10·19.80491.0

)()()(

)(

zz

zzG

zzzz

zzG

zzzz

zzG

zzzzzz

zzG

zDb

rzEzBz

zFzG

RMVd

RMVd

RMVd

RMVd

RMVd



2 - 18


21

11

300705.0021.102.1

00819.00491.0

zz

zzGRMVd

0481.0020.1

0491.00

000705.00021.1020.1

000819.00491.000 3

uGu RMVd

A continuación se muestran las gráficas que se han considerado más interesantes

donde se puede apreciar lo siguiente:

GRÁFICA D.1. A un primer golpe de vista no se puede apreciar fácilmente las

diferencias con respecto al regulador anterior. No obstante puede apreciarse un poco de

aumento con respecto a la varianza de la señal puesto que los picos están más alejados entre

si. Además, podemos ver que ha aumentado el error en régimen permanente puesto que la

señal de salida se "estabiliza" sobre los 0.7.

GRÁFICA D.2. En esta gráfica podemos determinar claramente las diferencias

entre la señal de salida de r = 0 y la de r = 0.02. La señal con factor de ponderación nulo

presenta un primer pico mucho más alto que la otra pero posteriormente se minimiza

mucho más la varianza. Con respecto a los errores de régimen permanente, podemos

observar que entre una señal y otra en régimen permanente existe una diferencia de 0.1

unidades de amplitud.

GRÁFICA D.3. A partir de esta representación gráfica obtenemos como resultado

que la primera acción de control, observando en la gráfica, es cercana a las 0.0428 unidades

obtenidas teóricamente.

GRÁFICA D.4-5. En estas gráficas podemos observar que no existe mucha

diferencia.

2 - 19

GRÁFICA D.1. Representación gráfica de la señal de referencia, la de salida y la señal estocástica.

2 - 20

GRÁFICA D.2. Representación gráfica donde se compara la salida con un factor r = 0 y con r = 0.02.



GRÁFICA D.3. Representación gráfica de la señal de acción de control u(k).

GRÁFICA D.4. Representación gráfica donde se compara la salida con un factor r = 0 y con r = 0.02.

GRÁFICA D.4. Representación gráfica donde se compara la acción de control con un factor r = 0 y con r = 0.02.



2 - 24

f) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control

obtenida sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los

resultados obtenidos.

Para que se verifique esta condición tenemos que:

21

1

11

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

233

10

3

10

0

0

brb

rbb

b

f

b

rb

fuu

b

fu

b

rb

fu

be

b

e

212222

1 br

21

11

3

2121

131

3

2111

131

3

21121

131

3

1

1

11

11

3

69005.1585.4000.3

00819.00491.0

)700.1600.3000.2()00995.0985.0000.1(

10·19.80491.0

)850.0800.1000.1(2)010.0000.1()995.0000.1(

10·19.80491.0

)850.0800.1000.1(1

2)010.0000.1()995.0(

10·19.80491.0

)()()(

)(

zz

zzG

zzzz

zzG

zzzz

zzG

zzzzzz

zzG

zDb

rzEzBz

zFzG

RMVd

RMVd

RMVd

RMVd

RMVd


21

11

369005.1585.4000.3

00819.00491.0

zz

zzGRMVd

016.0000.3

0491.00

069005.10585.4000.3

000819.00491.000 3

uGu RMVd

En esta ocasión se ve que a la salida le

cuesta llegar a régimen permanente, luego

hemos empeorado el sistema. El ruido en la

salida se ha mejorado grandemente, pero aún

así es mejor que no poner nada. La primera

acción de control simulada en Matlab tiene un

valor de u0 = 0.0162, que es casi la misma a la

teórica. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8



2 - 25

h) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que

elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α

y 1. Comentar las respuestas obtenidas.

Caso 1: α = 0. y1(k)

Caso 2: α = 0,5. y2(k)

Caso 3: α = 0,8. y3(k)



2 - 26

Caso 4: α = 1. y4(k)

A medida que el parámetro alfa se aproxima al valor la unidad, el sistema se va

desestabilizando cada vez más.


PRÁCTICA 3

DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS

Curso 2001-2002

1. Objetivos En el desarrollo teórico del tema, se ha estudiado que el cálculo de un Controlador Predictivo Generalizado (GPC), se realiza en base a unos parámetros de diseño: horizontes de predicción y control, parámetros de ponderación en el índice de coste, etc. Dichos parámetros condicionarán el comportamiento del mismo. Mediante la realización de esta práctica se pretenden tratar los siguientes aspectos:

• Diseño: Llegar a deducir cómo influye cada uno de estos parámetros en el controlador y cual es su efecto sobre la acción de control y sobre la variable de salida controlada del sistema. Estos dos aspectos son muy importantes a la hora de diseñar este tipo de controladores.

• Simulación: Es interesante poder comprobar en todo momento si el controlador

se comporta adecuadamente incluso con los fenómenos que se producen el los procesos reales (discrepancia entre modelo y proceso real).

2. Realización de la Práctica Para calcular el Controlador Predictivo Generalizado, se facilitará al alumno la función Matlab descrita a continuación: Function calcugpc

[H, R, S, TpRDelta] = calcugpc(BB, AA, T, param_gpc)

siendo:

• BB un vector que contiene los coeficientes del numerador del proceso en potencias decrecientes de z-1 (incluido el retardo estructural del proceso).

• AA un vector que contiene los coeficientes del numerador del proceso en potencias decrecientes de z-1.

• Param_gpc es un vector que contiene:

o param_gpc(1) = N1 o param_gpc(2) = N2 o param_gpc(2) = Nu o param_gpc(4) = coeficiente αi de ponderación de los errores o param_gpc(5) = coeficiente λj de ponderación del esfuerzo de control o param_gpc(6): si es igual a 0, se asume que no se conocen las

referencias futuras (w(k) = w(k+1) = w(k+2) = ….= w(k+N)). En el caso de que sea igual a 1, se asume que se conocen las referencias futuras

Los tres últimos parámetros no son obligatorios y en caso de omisión de los mismos se asume:

o param_gpc(4) = 1 o param_gpc(5) = 0 o param_gpc(6) = 0

Los valores que devuelve la función son:

• H: es un escalar si no se conocen las referencias futuras. En caso contrario es un vector que contiene los coeficientes de un polinomio en potencias crecientes de z.

• R: es un vector que contiene los coeficientes del polinomio R(z-1) en potencias

crecientes de z-1.

• S: es un vector que contiene los coeficientes del polinomio S(z-1) en potencias crecientes de z-1.

• TpRDelta: es un vector que contiene los coeficientes de (T(z-1) + R(z-1))∆

EJEMPLO Dado el modelo del proceso

21

211

5488.0003.111180.01368.0)( −−

−−−

+−+=

zzzzzG

Calcular el controlador GPC para un horizonte de predicción desde N1 = 3 hasta N2 =5. Los coeficientes para las matrices de ponderación serán: αi = 0.1 y λj = 2. El polinomio T(z-1) será 1-0.85z-1, y no se conocen las referencias futuras. En Matlab haremos: >> B = [0 0.1368 0.1180]; %Se incluyen los retardos

>> A = [1 -1.303 0.5488];>> T = 1;>> param = [3 20 5 0.1 2 0];>> [H, R, S, TpRDelta] = calcugpc(B, A, T, param)

3. Simulación del bucle de control Para simular el bucle de control hay que construir el diagrama de bloques del controlador (ver figura 1) en un diagrama Simulink al cual se añadirá el resto del sistema (ver figura 2).

Figura 1. Diagrama de bloques del controlador GPC

Step

y

Salida

ref

Referencia

B(z)

A(z)Proceso

H

Gain

S(z)

T(z)

Discrete Filter2

T(z)

TpRDelta(z)Discrete Filter

u

Acción de Control

Figura 2. Esquema básico para simulación

Para rellenar cada uno de los parámetros que se nos piden en los diferentes bloques del diagrama Simulink: numerador, denominador, periodo de muestreo, etc., podemos utilizar nombres de variables que tengamos definidas en el workspace de Matlab. Así, las variables que contienen los polinomios de salida de la función calcugpc. los podemos escribir en las ventanas de parámetros de los bloques Simulink tal y como se muestra en la figura siguiente:

4. Ejercicios propuestos de diseño y simulación 1. Dado el modelo del proceso definido por:

)968.0)(507.0()2(6.0)(

+++=ss

ssG

Discretizar1 dicha función de transferencia para un periodo de muestreo de 0.5 seg. Calcular y simular un GPC para cada uno de los siguientes casos (se asume que no se conocen las referencias futuras y T(z-1) = 1):

Caso N1 N2 Nu α i λi

1 1 40 1 1 0 2 1 40 3 1 0 3 1 40 1 1 1 4 1 20 1 1 1500 5 1 20 1 0.001 1

PREGUNTA

Desde el punto de vista de la acción de control generada y de la salida del proceso:

• ¿Cuál es el efecto de aumentar el horizonte de control Nu? • ¿Cuál sería el efecto de variar los parámetros de ponderación?

2. Dado el modelo definido por

966.00484.08)( 2 ++

=ss

sG

Discretizar la función de transferencia con un periodo de muestreo de 10 ms. Calcular y simular el controlador GPC con el modelo del proceso para los siguientes parámetros de diseño (no se conocen las referencias futuras):

1 Utilizar para ello la función c2dm de Matlab eligiendo como método de discretización la anteposición de un retenedor de orden cero (ZOH). Para más información teclear help c2dm.

T(z-1) N1 N2 Nu α i λi

1 1 10 1 1 0 Supongamos ahora que el proceso real no está identificado correctamente mediante la función de transferencia G(s), y que el comportamiento real del sistema viene definido por la siguiente función de transferencia:

4.955.00361.03.7)( 2

008.0*

++=

−

ssesG

s

Simular ahora el bucle cerrado para el controlador calculado anteriormente pero con el proceso real G*(s) en lugar de G(s). Para incluir el retardo continuo utilizar un bloque Transport Delay. Observar cómo se ve afectado el control por las diferencias sustanciales que aparecen cuando en lugar de controlar el modelo del proceso con el que el controlador fue calculado, se controla el proceso real. Diseñar ahora y simular un GPC para G(s), con los mismos parámetros de diseño anteriores pero eligiendo T(z-1) de la forma:

11 9.01)( −− −= zzT Observar el comportamiento de la salida del proceso.

PREGUNTA A la vista de los resultados:

• ¿Cuál es el principal objetivo del polinomio T(z-1)? 3. Suponiendo que G(s) modela perfectamente al proceso, y teniendo un ruido de

medida en el sensor tal y como se muestra en la figura 3, comparar las respuestas simulando los dos controladores calculados anteriormente (para distintos valores de T(z-1)) y observar cómo influye la perturbación en la salida2.

Salida

B(z)

A(z)Proceso

S(z)

T(z)

Discrete Filter2

Band-LimitedWhite Noise

Figura 3. Adición de un ruido blanco (sin filtrar) a la medida de la salida

2 Al parámetro Noise power del bloque Band – Limited White Noise se le debe asignar el valor 0.00001

4. En este caso se tiene una perturbación senoidal de frecuencia aproximada 100

rad./seg. y de amplitud 0.25. Este tipo de perturbaciones, muy habituales, puede presentarse a la salida del proceso. Por ejemplo en un sistema de control de altura de líquido en un depósito, un motor que girase a velocidad constante y que esté situado lo suficientemente cerca del proceso, produciría un campo electromagnético, influyendo en la lectura de la salida del proceso. Simular el bucle de control con los dos controladores anteriores (para los dos valores de T(z-1) y observar el comportamiento de la salida. Diseñar y simular ahora un GPC con los siguientes parámetros:

T(z-1) N1 N2 Nu α i λi )95.01)(99.01( 11 −− −− zz 1 10 1 1 0

PREGUNTA

• ¿Cuál sería otro de los principales objetivos del polinomio T(z-1)? • ¿Qué ocurriría si el polinomio de diseño T(z-1) se fijara a 1 – 1.1z-1?

Justificar numéricamente la respuesta.

5. Informe de práctica a entregar

Se debe entregar un informe con todos los valores de los reguladores calculados y con las gráficas que se crean oportunas. Asimismo se debe adjuntar la respuesta razonada a todas las preguntas propuestas y todos aquellos aspectos de la práctica que se deseen hacer notar.

PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS


1 - 1

Ejercicio 1.

En este ejercicio calcularemos un Controlador Predictivo Generalizado (GPC,

del inglés Generalized Predictive Controller). El diagrama de bloques del controlador

GPC es el siguiente:

GPC

Figura 3.1.1: Diagrama de bloques del controlador GPC.

Para la realización del ejercicio primeramente introduciremos en MatLab® todos

los valores necesarios para poder trabajar tales como:

El valor Ts donde almacenaremos el período de muestreo que es de 0.5

segundos.

El vector T que contenga los coeficientes del polinomio T(z-1) en potencias

negativas de z-1.

El vector N1 que contenga el valor mínimo del horizonte de predicción de

cada caso.

El vector N2 que contenga el valor máximo del horizonte de predicción de

cada caso.

El vector Nu que contenga el horizonte de control Representa el máximo

número de acciones de control de cada caso.

El vector alfa que contenga el Coeficiente del factor de ponderación del

error de cada caso.

El vector lambda que contenga el Coeficiente del factor de esfuerzo de

control de cada caso.

El vector Bc que contenga los coeficientes del numerador del proceso en

potencias decrecientes de s.

El vector Ac que contenga los coeficientes del denominador del proceso en

potencias decrecientes de s.

T

(T+Rz-1)Δ H Proceso

S

T

W(z) U(z)

+

-



1 - 2

Dado el siguiente modelo,

)9680.0)(5070.0(

)0000.2(6000.0)(

ss

ssG

Se discretiza para T = 0.5 segundos (tal y como se verá en el fragmento de

código posterior), utilizando la función c2dm de MatLab®, obteniendo la siguiente

función de transferencia:

21

211

4783.03924.11

1137.03258.0)(

zz

zzzG

También calcularemos y simularemos un GPC, utilizando la función calcugpc

que nos proporcionó Rafael Puerto, asumiendo que no se conocen las referencias futuras

y que T(z-1) = 1, para cada uno de los siguientes casos:

Caso N1 N2 Nu αi λi

1 1 40 1 1 0

2 1 40 3 1 0

3 1 40 1 1 1

4 1 20 1 1 1500

5 1 20 1 0.001 1

Tabla 3.1.1. Tabla de parámetros del modelo predictivo.

Para implementar estas asignaciones en MatLab® introducimos las siguientes

líneas de código:

Ts=0.5;

T=[1];

N1=[1 1 1 1 1];

N2=[40 40 40 20 20];

Nu=[1 3 1 1 1];

alfa=[1 1 1 1 0.001];

lambda=[0 0 1 1500 1];

Ac=[1 1.475 0.490776];

Bc=[0.6 1.2];

[B,A] = C2DM(Bc,Ac,Ts,'zoh')

B =

0 0.3258 -0.1157

A =

1.0000 -1.3924 0.4783

De esto obtenemos como resultado, para continuar trabajando, A y B:

El vector B contiene los coeficientes del numerador del proceso, una vez

discretizado, en potencias decrecientes de z-1.

El vector A contiene los coeficientes del denominador del proceso, una vez

discretizado, en potencias decrecientes de z-1.

3.1

3.2



1 - 3

A continuación diseñamos el siguiente diagrama de bloques:

Figura 3.1.2: Esquema básico para la simulación.

Posteriormente, para cada caso tomamos los valores de param_gpc y

ejecutamos la función calcugpc() guardando los valores de la acción de control y la

salida en cada iteración. Las líneas que introduciremos serán las siguientes:

param_gpc=[N1(1), N2(1), Nu(1), alfa(1), lambda(1), 0];

[H, R, S, TpRDelta]=calcugpc(B, A, T, param_gpc);

%Simulamos el proceso para obtener salidas y acciones de control.

y1=y;

u1=u;




y2=y;

u2=u;




y3=y;

u3=u;




y4=y;

u4=u;




y5=y;

u5=u;



1 - 4

Dibujando las gráficas podemos obtener dos gráficas donde vienen

representadas, por un lado, los valores de la salida para cada uno de los casos y, por otro

lado, las acciones de control para cada caso. En páginas precedentes se expondrán las

gráficas junto con sus respectivas preguntas.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 3.1.3: Salida y acción de control para el caso 1.

En la figura 3.1.3 podemos como no existe error en régimen permanente pues la

salida sigue fielmente la referencia. También podemos darnos cuenta de el momento

cuando dicho error se hace nulo y que es en el instante k = 12 casi la mitad de N2 = 20.

Con respecto a la señal de control, sólo hacer hincapié en su bajo esfuerzo de control.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Tal y como se observa en el gráfico de arriba, si aumentamos el horizonte de

control Nu estamos dando más libertad al sistema de modo que el error se anula mucho

más rápido que en el caso anterior (ahora se anula para k = 1 y antes para k = 12). De

hecho, la idea de aumentar el horizonte de control tiene un efecto negativo con respecto

al esfuerzo de control pues la señal de control, tal y como podemos ver, es mucho

mayor que la del caso 1 (ahora es de casi 3 unidades y en el caso anterior de 0.42)

aunque esto se da para los primeros instantes pues se estabiliza rápidamente.



1 - 5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Como se puede observar la diferencia entre la gráfica 3.1.5 y la gráfica 3.1.3 son

muy pequeñas. No existe gran diferencia aunque si nos fijamos bastante, el error en

régimen permanente tarda un poco más que en el caso anterior pues ahora estamos

ponderando el esfuerzo de control (con un valor de 1 que es bajo) y en el caso 1 no lo

ponderábamos.

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Como se puede observar, el efecto de aumentar λ es disminuir los valores de la

acción de control provocaré que tarde más en anularse el error. Para ver esto podemos

usar la función de coste que definimos en clases de teoría y que era la siguiente:

N

j

i

N

Ni

iu jkuikikyENNNJ1

2221 )1()()(,,,,

2

1

3.3



1 - 6

Por tanto, si aumentamos el valor del parámetro λ conseguiremos provocar que,

para que se siga minimizando el índice de coste, debe disminuir el valor de la acción de

control. Como está restringido el esfuerzo de control, al sistema le "costará" más llevar

la salida a la referencia.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Si disminuimos α le estamos restando importancia a que llegue ha existir un

error en régimen permanente puesto que estamos siendo más permisivos en este sentido.

Esta situación la podemos analizar mejor si nos volvemos a centra para la explicación

en el índice de coste que será la ecuación 3.3:

N

j

i

N

Ni

iu jkuikikyENNNJ1

2221 )1()()(,,,,

2

1

Si hubiésemos aumentado α se obtiene directamente del índice de coste que la

diferencia entre la referencia y la salida debe de disminuir para hacer mínimo el índice

de coste, siendo menos permisivos con el error en régimen permanente que el error se

elimine antes. En este caso 5, al disminuir α, estimulamos a que dicha diferencia ya no

sea tan trascendental para hacer mínimo el índice de coste, por lo que se tardará más en

llegar al régimen permanente (en el caso se anulaba el error en régimen permanente para

k = 18 y ahora la hace para k = 35).



1 - 7

¿Cual es el efecto de aumentar el horizonte de control?

Para contestar a esta pregunta analizaremos la señal de salida y la señal de

acciones de control aparecidas en el caso 1 y 2 puesto que en éstos, todos los valores

permanecen constantes excepto el horizonte de control:

CASO N1 N2 Nu αi λi

1 1 40 1 1 0

2 1 40 3 1 0

Nosotros sabemos que el valor de Nu determina la cantidad de oportunidades que

"tiene" nuestro controlador para hacer que se cumpla su objetivo: Seguir la señal de

referencia. De este modo, podríamos expresar el valor del horizonte de control Nu como

la cantidad de grados de libertad disponibles para llevar la señal de referencia a la salida

del sistema. La filosofía de esta familia de controladores es la siguiente:

Si aumentamos el valor del horizonte de control: Se generan

acciones de control de gran amplitud. Por lo tanto, el método de

funcionamiento es tal que si aumentamos el número de

oportunidades, para llevar la referencia a la salida el controlador

generará acciones de control grandes bruscamente pues tiene muchas

oportunidades para rectificar su comportamiento si se ha excedido de

valores.

Si disminuimos el valor del horizonte de control: Se generan

acciones de control de pequeña amplitud. Por lo tanto, para llevar la

referencia a la salida el controlador generará acciones de control de

poca amplitud y de forma suave pues con pocas oportunidades debe

intenta llevar la referencia a la salida sin excederse.

Figura 3.1.8: Comparación entre las señales de salida del caso 1 y 2.



1 - 8

Con respecto a las señales de salida representadas en la figura 3.1.8, podemos

decir que la salida del caso 1 tiene una forma mucho más suave que la señal de salida

del caso 2 debido a que en éste segundo caso, el controlador "intenta" llevar la

referencia a la salida lo antes posible y rectificar si se excede. La rectificación se puede

observar en el pico donde se aprecia que la señal de control ha llevado a la salida a un

valor por encima de la referencia y las siguientes acciones de control proceden a

rectificar este valor llevándolo al de referencia.

Figura 3.1.9: Comparación entre las señales de control del caso 1 y 2.

En la figura 3.1.9 se puede apreciar el mecanismo que rige a este tipo de

controladores. Se observa claramente para el caso 2 la variación brusca de la señal de

acción de control inicial y la rectificación en las posteriores acciones de control. Por

otro lado, podemos observar la forma suave que presenta la acción de control en el caso

1.



1 - 9

¿Cual sería el efecto de variar los parámetros de ponderación?

Estudio del efecto de los coeficientes de ponderación de errores α.

ANÁLISIS FRENTE A LA SALIDA.

Para los tres primeros casos en los cuales este parámetro es la unidad

penalizamos los errores futuros de modo que se observa que no hay error puesto que

antes de llegar a la muestra 40 se ha conseguido llevar la referencia a la salida. Con

respecto a las salidas del caso 3 y 5 podemos ver que si disminuimos el valor de α a

0.001 se obtiene un error en régimen permanente.

En la siguiente gráfica viene definida una nueva salida a rayas que hace

referencia a la salida del sistema para el siguiente caso hipotético en el cual se mantiene

todos los parámetros sin variar menos el coeficiente de ponderación del error:


1 1 40 1 1 0

6 1 40 1 0.1 0

7 1 40 1 0.05 0

8 1 40 1 0.02 0

9 1 40 1 0.005 0

10 1 40 1 0.001 0

Figura 3.1.10: Comparación entre las señales de salida al variar el factor ponderador α.

Tal y como se observa en la gráfica cada vez que disminuimos el valor de α

provocamos que la salida tarde más cada vez en llegar a la señal de referencia puesto

que cuando vamos aumentando (respectivamente, disminuyendo) el valor de α vamos

dándole más peso a la penalización de los errores futuros (respectivamente,

disminuyendo el valor de α somos más permisivos con el error futuro).

1

6 7

8 9

10



1 - 10

Estudio del efecto de los coeficientes de ponderación de esfuerzos de control λ.

Para los tres primeros casos en los cuales este parámetro es la unidad

penalizamos los errores futuros de modo que se observa que no hay error puesto que

antes de llegar a la muestra 40 se ha conseguido llevar la referencia a la salida. Con

respecto a las salidas del caso 3 y 5 podemos ver que si disminuimos el valor de α a

0.001 se obtiene un error en régimen permanente.

En la siguiente gráfica viene definida una nueva salida a rayas que hace

referencia a la salida del sistema para el siguiente caso hipotético en el cual se mantiene

todos los parámetros sin variar menos el coeficiente de ponderación del error:


1 1 40 1 1 0

6 1 40 1 0.1 0

7 1 40 1 0.05 0

8 1 40 1 0.02 0

9 1 40 1 0.005 0

10 1 40 1 0.001 0

Figura 3.1.11: Comparación de las señales de salida en cada caso.

Tal y como se observa en la gráfica cada vez que disminuimos el valor de α

provocamos que la salida tarde más cada vez en llegar a la señal de referencia puesto

que cuando vamos aumentando (respectivamente, disminuyendo) el valor de α vamos

dándole más peso a la penalización de los errores futuros (respectivamente,

disminuyendo el valor de α somos más permisivos con el error futuro).

1

6 7

8 9

10

Figura 3.1.12: Comparación de las señales de salida.

Figura 3.1.13: Comparación de las señales de acciones de control.



2 - 1

Ejercicio 2.


0000.96600.00484.0

0000.8)(

2

ss

sG

Se discretiza utilizando un periodo de 10 ms, obteniendo:

Ts=0.01;

Ac=[0.0484 0.66 9];

Bc=[8];


B =

0 0.0079 0.0075

A =

1.0000 -1.8552 0.8725

21

211

8725.08552.10000.1

0075.00079.0)(

zz

zzzG

Se va a calcular el controlador GPC para T(z-1)=1 , N1=1, N2=2, Nu=1, αi=1,

λi=0. La forma de obtenerlo con MatLab® es la siguiente:

T=[1];

param_gpc=[1, 10, 1, 1, 0, 0];


H =

3.0684

R =

0.5339

S =

83.3708 -142.0961 61.7938

TpRDelta =

1.0000 -0.4661 -0.5339



2 - 2

A continuación mostramos el resultado de simular el diagrama debroques para

este caso:

Figura 3.2.1: Salida y acción de control para T(z-1) = 1.

Vamos a suponer, según dice el enunciado, que el proceso no está identificado

correctamente y viene dado por:

9400.0545.00361.0

3000.7)(

2

0080.0*

ss

esG

s

Se va a simular ahora esta función de transferencia con el controlador calculado

anteriormente. Para ello se utiliza el siguiente esquema en simulink:

Figura 3.2.2: Esquema simulink con modelo continuo y retardo de transporte.



2 - 3

Ac=[0.0361 0.55 9.4];

Bc=[7.3];


B =

0 0.0096 0.0091

A =

1.0000 -1.8346 0.8587

[H, R, S, TpRDelta]=calcugpc(B, A, T, param_gpc)

H =

2.7306

R =

0.5301

S =

67.7175 -114.8949 49.9080

TpRDelta =

1.0000 -0.4699 -0.5301

Simulando obtenemos como resultado que el sistema es inestable:

Figura 3.2.3: Salida inestable al utilizar el sistema físico real para T(z-1) = 1.



2 - 4

Tal como se pide en el enunciado ahora diseñaremos un Controlador Predictivo

Generalizado, manteniendo los mismos parámetros de diseño, sin embargo, ahora

utilizaremos como polinomio filtro T(z-1) = 1 – 0.9z-1. Para obtener los polinomios

necesarios para la secuencia de acciones de control se implementa el siguiente código

en MatLab® y posteriormente se simula en simulink:

Ts=0.01;

B=[0 0.007889 0.007538];

A=[1 -1.855 0.8725];

param_gpc = [1 10 1 1 0 0];

T=[1 -0.9];

[H,R,S,TpRDelta]=calcugpc(B,A,T,param_gpc)

H =

3.0684

R =

1.0367

S =

19.6294 -35.1481 15.8256

TpRDelta =

1.0000 -0.8633 -0.1367

Figura 3.2.4: Salida y acción de control para T(z-1) = 1 – 0.9z-1.



2 - 5

En esta parte no se encuentran apenas diferencias. Vamos a probar que ocurre

ahora si utilizamos este último controlador para G*(s):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 3.2.5: Salida y acción de control al utilizar el sistema físico real para T(z-1) = 1 – 0.9z-1.

¿Cuál es el principal objetivo del polinomio T(z-1)?

Tal y como podemos observar, existen diferencias al utilizar un polinomio

T(z-1) = 1 y T(z-1) = 1 – 0.9z-1 ya que el polinomio sirve para evitar que se inestabilice el

sistema para los casos de una mala identificación del sistema tal y como ocurría en este

caso. Por tanto, en lugar de inestabilizarse el sistema lo mantiene estable



3 - 1

Ejercicio 3.

A continuación, realizaremos las operaciones oportunas para comprobar el

comportamiento del sistema G(s) ante una señal de perturbación. Para empezar,

confeccionaremos un diagrama de bloques tal como el siguiente:

Figura 3.3.1: Adición de un ruido estocástico a la salida.



3 - 2

Para obtener los respectivos valores del controlador introducimos el siguiente

código en Matlab:

Cuando T(z-1) = 1:

Ts=0.01;

B=[0 0.007889 0.007538];

A=[1 -1.855 0.8725];

T = 1;

param_gpc = [1 10 1 1 0 0];


H =

3.0684

R =

0.5339

S =

83.3708 -142.0961 61.7938

TpRDelta =

1.0000 -0.4661 -0.5339

Figura 3.3.2: Señales de salida y acción de control para T(z-1) = 1.



3 - 3

Cuando T(z-1) = 1 – 0.9z-1:

Ts=0.01;

B=[0 0.007889 0.007538];

A=[1 -1.855 0.8725];

T = [1 -0.9];

param_gpc = [1 10 1 1 0 0];


H =

3.0684

R =

1.0367

S =

19.6294 -35.1481 15.8256

TpRDelta =

1.0000 -0.8633 -0.1367

Figura 3.3.3: Señales de salida y acción de control para T(z-1) = 1 – 0.9z-1.



3 - 4

¿Cuál sería otro de los principales objetivos del polinomio T(z-1)?

Tal y como se puede observar en las dos siguientes gráficas, las salidas no se

diferencian mucho al utilizar un filtro o el otro. Sin embargo, las acciones de control son

bastante diferentes pues al utilizar el filtro T(z-1) = 1 – 0.9z-1 se consigue disminuir el

esfuerzo de control puesto que para T(z-1) = 1 la amplitud de pico a pico máxima que se

ha dado ha sido de 100 unids mientras que la acción de control para T(z-1) = 1 – 0.9z-1 la

amplitud máxima ha sido de 10 aproximadamente. Es una diferencia de 10 veces una

mayor que la otra por lo que la característica es bastante favorable para disminuir el

esfuerzo de control.

Figura 3.3.4: Comparación de señales de salida para ambos T(z-1).

Figura 3.3.5: Comparación de señales de acción de control para ambos T(z-1).



3 - 5

¿Qué ocurriría si el polinomio de diseño T(z-1) =se fijara a 1 – 1.1z-1?

Primero obtengamos los parámetros correspondientes a este caso:

Cuando T(z-1) = 1 – 1.1z-1:

Ts=0.01;

B=[0 0.007889 0.007538];

A=[1 -1.855 0.8725];

T = [1 -1.1];

param_gpc = [1 10 1 1 0 0];


H =

3.0684

R =

1.0367

S =

19.6294 -35.1481 15.8256

TpRDelta =

1.0000 -0.8633 -0.1367

Tal como podemos observar, el sistema se inestabilizaría. Esto se puede

demostrar numéricamente de la siguiente forma:

Si obtenemos la ecuación característica tenemos el siguiente resultado:

09.06.36.59.3235

zzz

Esta ecuación presenta las siguientes raíces que representan los polos del

sistema:

152.189.089.0

189.089.089.0

165.032.074.032.074.0

1000

5

4

3,2

1

zz

zz

iziz

zz

Tal como podemos comprobar, el sistema presenta un polo fuera del círculo

unitario por lo que el sistema es inestable (tal y como podemos observar en la figura

3.3.6). Por tanto, no conviene utilizar polinomios de diseño con raíces fuera del círculo

unidad.



3 - 6




4 - 1

Ejercicio 4.

En esta ocasión en vez de utilizar el ruido blanco, vamos a utilizar una

perturbación senoidal de frecuencia 100 rad/s y de amplitud 0.25. En este ejercicio

utilizaremos este ruido tan característico sobre los dos controladores anteriores. El

diagrama quedaría de la forma:

Figura 3.4.1: Esquema del diagrama de bloques al añadir un ruido senoidal a la salida.



4 - 2

Para obtener los respectivos valores del controlador introducimos el siguiente

código en MatLab®:

Cuando T(z-1) = 1:

Ts=0.01;

B=[0 0.007889 0.007538];

A=[1 -1.855 0.8725];

T = 1;

param_gpc = [1 10 1 1 0 0];


H =

3.0684

R =

0.5339

S =

83.3708 -142.0961 61.7938

TpRDelta =

1.0000 -0.4661 -0.5339

Figura 3.4.2: Salida y acción de control para T(z-1) = 1.



4 - 3

Cuando T(z-1) = 1 – 0.9z-1:

Ts=0.01;

B=[0 0.007889 0.007538];

A=[1 -1.855 0.8725];

T = [1 -0.9];

param_gpc = [1 10 1 1 0 0];


H =

3.0684

R =

1.0367

S =

19.6294 -35.1481 15.8256

TpRDelta =

1.0000 -0.8633 -0.1367




4 - 4

Cuando T(z-1) = (1-0.99z-1)(1-0.95z-1):

Ts=0.01;

B=[0 0.007889 0.007538];

A=[1 -1.855 0.8725];

param = [1 10 1 1 0 0];

T=[1 -1.94 0.9405];

[H,R,S,TpRDelta]=CALCUGPC(B,A,T,param)

H =

3.0684

R =

1.1835 -0.9405

S =

1.0291 -2.1401 1.1126

TpRDelta =

1.0000 -1.7565 0.7565 -0.0000

Figura 3.4.4: Señales de salida y acción de control para T(z-1) = (1-0.99z-1)(1-0.95z-1).



4 - 5

¿Cuál sería otro de los principales objetivos del polinomio T(z-1)?

De forma similar al ejercicio anterior llegamos a la conclusión que el polinomio

de diseño permite ayudar a disminuir la amplitud del esfuerzo de control sin variar con

exceso las señales de salida. Es como si no alterara la señal de salida modificando las

señales de control.

En la Figura 3.4.6 se puede observar como se tiene una situación en la cual el

segundo polinomio de diseño disminuye el esfuerzo de control, ya que como ocurría

anteriormente, las salidas son prácticamente iguales, pero la acción de control del

segundo controlador es bastante menor que la referente al primer controlador. De igual

manera, el tercer polinomio disminuye aún más las acciones de control puesto que T(z-1)

tiene un efecto de filtrado.

En definitiva, la salida es muy similar a las anteriores, pero la acción de control

es muy inferior a las obtenidas anteriormente, por lo que se ve la importancia de escoger

un determinado valor de T. Por tanto, el polinomio T filtra la salida de manera que no es

preciso una acción de control grande.

Figura 3.4.5: Comparación de señales de salida para los tres polinomios T(z-1).

Figura 3.4.6: Comparación de señales de acción de control para ambos T(z-1).



4 - 6

¿Qué ocurriría si el polinomio de diseño T(z-1) =se fijara a 1 – 1.1z-1?

Tal como podremos observar que, de forma similar al caso anterior, el sistema se

inestabilizaría. Esto se puede demostrar numéricamente de la siguiente forma:

Cuando T(z-1) = 1 – 1.1z-1:

Ts=0.01;

B=[0 0.007889 0.007538];

A=[1 -1.855 0.8725];

T = [1 -1.1];

param_gpc = [1 10 1 1 0 0];


H =

3.0684

R =

1.0367

S =

19.6294 -35.1481 15.8256

TpRDelta =

1.0000 -0.8633 -0.1367

Si obtenemos la ecuación característica tenemos el siguiente resultado:

09.06.36.59.3235

zzz

Esta ecuación presenta las siguientes raíces que representan los polos del

sistema:

152.189.089.0

189.089.089.0

165.032.074.032.074.0

1000

5

4

3,2

1

zz

zz

iziz

zz

Tal como podemos comprobar, el sistema presenta un polo fuera del círculo

unitario por lo que el sistema se caracteriza por ser inestable (tal y como podemos

observar en la figura 3.4.7). Por tanto, no conviene utilizar polinomios de diseño con

raíces fuera del círculo unidad ya que empujan al sistema hacia la inestabilidad.



4 - 7




5 - 1

Ejercicio 5.


1500.08000.0

)5000.0()(

2

5

ss

essG

s

Se discretiza para T = 0.5 segundos, utilizando la función c2dm de Matlab,

obteniendo la siguiente función de transferencia:

21

211

6703.06395.11

3616.04643.0)(

zz

zzzG

También calcularemos y simularemos un GPC, utilizando la función calcugpc

que nos proporcionó Rafael Puerto, asumiendo que no se conocen las referencias futuras

y que T(z-1) = 1, para cada uno de los siguientes casos:

Caso N1 N2 Nu αi λi

1 1 60 10 1 0

2 10 60 10 1 0

3 10 60 10 1 0ref

Tabla 5.1. Tabla de parámetros del modelo predictivo.

Figura 3.5.1: Esquema básico para la simulación.



5 - 2

El horizonte de control en ambos casos tiene valores superiores o iguales

al mínimo índice del horizonte de predicción

)/60(

)/1(

kky

kky

)10(

)(

ku

ku

)/60(

)/10(

kky

kky

)10(

)(

ku

ku

Se obtienen salidas iguales puesto que intentamos predecir salidas para

un horizonte de control que se mantiene entre ambos límites.

Puesto que el horizonte de control tiene un valor inferior al segundo

límite pero mayor o igual al primer límite N1, se producirá algo un poco

paradójico puesto que intentamos calcular acciones de control para salidas que

todavía no se han predicho. Vas a intentar controlar predicciones que aún no has

postulado.

Por tanto, hasta que el valor de la acción de control actual no adelante al

horizonte de control, no se producirá el control.

Figura 3.5.2: Esquema de la situación.

¿Cuál es el efecto, según la última simulación, de conocer las referencias

futuras?

El efecto es el de proporcionar a la señal de salida para este caso un

adelanto respecto a las dos anteriores para seguir la salida, de algún modo es

como si ésta se les adelantase a las dos anteriores. Por tanto, el efecto sería el de

proporcionar a la salida el conocimiento de las futuras referencias para que ésta

se beneficie de ello anticipándose a las otras dos señales.

1Nk uNk

2Nk



5 - 3

Figura 3.5.3: Comparación de señales.

Escuela Politécnica Superior de Elche

Ingeniería Industrial

Campus de Elche. Avda. del Ferrocarril s/n – 03202 ELCHE

EXAMEN DE CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS

Control de Mínima Varianza + Control Predictivo

JUNIO 2002

1.- (5 puntos) Dado el modelo del proceso

21

12

819.081.11)995.01()(

−−

−−

+−−=

zzzzzGp

y un modelo de la perturbación 21

21

819.081.1185.08.11

−−

−−

+−+−=

zzzz

CD , se pide:

a) (1.5 puntos) Calcular el mejor controlador de Mínima Varianza razonando la

elección b) (1.5 puntos) Calcular el factor r para reducir a la mitad la primera acción de control

respecto al caso del apartado a) c) (2 punto) Explica detalladamente los dos métodos estudiados para eliminar el error

en régimen permanente el los reguladores de mínima varianza 2.- (5 puntos) Dado el modelo del proceso

)3()21()()9.01( 11 −+=− −− kuzkyz Se pide:

a) (3 puntos) Diseñar un regulador predictivo (obtener la expresión en z) cuyo horizonte de predicción sea de 2 muestras. Suponer también que no existe acción de filtrado a la salida, que el horizonte de control es de un periodo de muestreo y que se conocen las referencias futuras.

b) (2 puntos) Explicar detalladamente en qué consiste y que ventajas aporta en el método de diseño de reguladores predictivos la estrategia del horizonte móvil.

prácticas y exámenes de control estocastico y de mínima varianza

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