prácticas de laboratorio de mecánica

DAVID MARTN NIEVAS 75137928X

PRCTICAS DE LABORATORIO DE MECNICA

GRADO EN INGENIERA ELECTRNICA INDUSTRIAL Y AUTOMTICA

UNED

1


INDICE Pg Experiencia 2.DETERMINACIN DEL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ENTRE CORREAS Y POLEAS 4

1.1-OBJETIVO DE LA PRCTICA _____________________________________________ 5

1.2.-INTRODUCCIN TERICA _____________________________________________ 5

1.3.-DESCRIPCIN DEL EQUIPO ____________________________________________ 9

1.4.-CLCULOS ________________________________________________________ 10

1.5.-RESULTADOS ______________________________________________________ 19

1.6.-CONCLUSIN ______________________________________________________ 20

Pg Experiencia 7.DETERMINACIN DEL MOMENTO DE INERCIA DE PLACAS DE ESPESOR CONSTAN. 21

2.1-OBJETIVO DE LA PRCTICA ____________________________________________ 22

2.2.-INTRODUCCIN TERICA ____________________________________________ 22

2.3.-DESCRIPCIN DEL EQUIPO ___________________________________________ 33

2.4.-CLCULOS ________________________________________________________ 34

2.5.-RESULTADOS ______________________________________________________ 49

2.6.-CONCLUSIN ______________________________________________________ 50

Pg Experiencia 3.VIBRACIONES LIBRES EN SISTEMAS LINEALES DISCRETOS CON 1GDL 51




3.4.-CLCULOS ________________________________________________________ 55

3.5.-RESULTADOS ______________________________________________________ 59

3.6.-CONCLUSIN ______________________________________________________ 59

2


Pg Experiencia 5. VIBRACIONES LIBRES EN SISTEMAS LINEALES DISCRETOS CON 2GDL 60




4.4.-CLCULOS ________________________________________________________ 63

4.5.-RESULTADOS ______________________________________________________ 66

4.6.-CONCLUSIN ______________________________________________________ 66

Pg Experiencia 4. VIBRACIONES FORZADAS EN SISTEMAS LINEALES DISCRETOS CON 1GDL Y 2GDL 67




5.4.-CLCULOS ________________________________________________________ 70

5.5.-RESULTADOS ______________________________________________________ 72

5.6.-CONCLUSIN ______________________________________________________ 72

3


Experiencia 2

DETERMINACIN DEL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ENTRE CORREAS Y POLEAS.

4


1.1 OBJETIVO DE LA PRCTICA

Como objetivo de la prctica debemos obtener el coeficiente de rozamiento (r) con un aparato que se har dos pruebas, una con una correa plana y otra con una correa en V. El rozamiento ser el deslizamiento provocado entre la correa y la polea.

1.2 INTRODUCCIN TERICA

Considerando que una correa como en la polea que se indica la siguiente figura:

Figura 1. Representacin de las componentes en la polea.

Sea T2 la fuerza de un extremo de la correa y T1 la fuerza en el otro extremo cuando la correa est a punto de deslizar.

Considerando un elemento de correa infinitesimal de anchura, unidad y longitud dS =R.d,la fuerza a la que est sometido son las de la Figura 2:

5


Figura 2. Detalle del punto de contacto.

Donde:

- T1 = T

- T2 = T+dT

- N = Relacin normal de la polea

- Fr = Fuerza de rozamiento

Descomponiendo las fuerzas en componentes horizontales y verticales tenemos para la correa plana:

COMPONENTE HORIZONTAL

F1 = T. cos d2 (1) F2 = (T + dT). cos (d2 ) (2) F1 + Fr = F2 (3) . cos

2 + = ( + ). cos

2 (4)

6


COMPONENTE VERTICAL F3 = T. sen d2 (5) F4 = (T + dT). sen d2 (6) T. sen d2 + (T + dT). sen d

2 = N (7)

Como d es muy pequeo, se puede considerar que:

2 1 y (

2) (

2)

Entonces nos queda:

COMPONENTES HORIZONTALES + = + (8) = (9) COMPONENTES VERTICALES

T. d2 + (T + dT). d

2 = N (10)

2.. d2 + dT. d

2 = N (11)

Donde dT. d2 0 entonces: . (d ) = N (12)

Cuando provoca la fuerza de rozamiento en un sistema debe darse que ., pero cuando se empezara a deslizar la cuerda sera en = ., por lo que tenemos que: = . = =

(13)

Sustituyendo (12) en (13) y reordenando:

. (d ) = .. = . = 1

(14)

7


Integrando:

1

21

. = 0 (15) [()]12 = []0 (16) (2) (1) = 0 (17) 12 = . (18) 2 1 = (.||) (19)

La ecuacin que nos relaciona el rozamiento entre la correa plana y la polea es:

2 1 = (.||)

Para una correa en forma de V, la nica diferencia es que tenemos en la

fuerza N sera sen(2

), donde es el ngulo de la seccin de la correa en forma de V. Donde la ecuacin que nos relaciona el movimiento entre la correa en forma de V y la polea es:

2 1 = .||

2

8


1.3 DESCRIPCIN DEL EQUIPO

Figura 3. Forma del aparato y sus partes.

Segn la Figura 3, tenemos:

(a) Tenemos un disco, el cual tiene una dimensin considerable y nos deja deslizarse por una gua o rail cilndrico (e), para poder tensar o destensar la correa en el disco y poder realizar las medidas adecuadas en los dinammetros (b) para estar ajustado para que cuando le demos a la manivela (c) para girar en sentido horario, llegue el momento en el que provoque el deslizamiento de la correa con la superficie apoyada del disco y seguidamente anotar las medidas en ambos puntos (b) T1y T2.

(b) Donde se encuentran los dinammetros.

(c) Manivela para hacer girar el disco.

(d) Disco o polea.

(f) La parte trasera del disco ajustamos adems de altura en el ral, el radio de superficie de la correa. Para ello, nos fijamos en diferentes puntos

9


donde podemos dejarlo fijado. Cada punto tiene una marca la cual restamos para que nos d el ngulo que est apoyando la correa, tenemos que aplicar la frmula (ANGULO=180-MARCA).

(e) El ral o gua, soporta a la polea y tambin T1 y T2 y acaba sobre la estructura que apoya en la mesa.

1.4 CLCULOS CORREA PLANA Hemos realizado 4 medidas para cada correa con diferentes angulos y recogiendo los valores de T1 y T2.

ANGULO QUE FORMA LA CORREA AL TOCAR LA SUPERFICIE DE LA POLEA

FUERZAS EXTREMOS

MARCA GRADOS() RADIANES() T1 T2 Medida 1 90 90-180=90 1,571 4,5 15 Medida 2 75 180-75=105 1,833 5,5 23,5 Medida 3 60 180-60=120 2,094 16 56,5 Medida 4 45 180-45=135 2,356 22,5 85

Tabla 1.Clculos recogidos en el laboratorio correa plana.

Clculo de coeficientes de rozamiento:

21 = 1| | 1 = 21|| = 154,51,571 = 0,766

2 = 21|| = 23,55,5 1,833 = 0,792 3 = 21|| = 56,516 2,099 = 0,6025 4 = 21|| = 8522,52,356 = 0,5641

10


Y los valores de (21

) para cada medida que se han recogido son:

1) 21 = 15

4,5 = 1,204 2) 2

1 = 23,5

5,5 = 1,452 3) 2

1 = 56,5

16 = 1,262

4) 21 = 85

22,5 = 1,329

Hemos calculado los coeficientes de rozamiento individuales de cada medida pero para acercarse a un valor aproximado al coeficiente general de la correa plana deberemos calcular la lnea de regresin con los puntos que hemos recogido. Pudiendo representarlos por una resta por regresin lineal, donde nos dar la pendiente de la recta y estimaremos el coeficiente de rozamiento a travs de ella.

Realizamos todos los mtodos en esta primera prctica para ensear que se puede realizar de diferentes maneras la recta de regresin, los mtodos seran:

- Calculando por mnimos cuadrados

Ecuacin Recta xi yi Ln(T2/T1)

x1=1,571 y1=1,204 x2=1,833 y2= 1,452 x3=2,094 y3=1,262 x4=2,356 y4=1,329

Tabla 2. Datos recogidos en el laboratorio para correa plana y calculados

Tenemos la ecuacin de la recta: = . + Corrdenadas (xi,yi)

Donde Yi=a.Xi+b

(21

)

Medida 1 1,204 Medida 2 1,452 Medida 3 1,262 Medida 4 1,329

11


En cada punto tenemos:

()2 = ( )2 = ( ) = Para que la suma de las desviaciones sea mnima:

2

= 0 2

= 2. ( ). () = 0

2

= 0 2

= 2. ( ) = 0

Se divide entre 2 ambas ecuaciones y se multiplica por -1:

. ) 2 = 0 . = 0

Despejamos en las ecuaciones a un lado los que se compongan de yi y los que sean sumatorios se igualan a A, B, C y D cada uno con cada componente, o sea:

( . ) = 2 + = + .

= 2 = = ( . ) = Entonces la ecuaciones quedaran:

. + . = . + . =

La solucin del sistema ser:

=

=

12


Siendo

=

= . 2 =

= . .

=

= . . Con los datos de la Tabla 2, sustituimos y sabiendo que el nmero de datos recogidos son n=4, entonces:

= 2 = (12 + 22 + 32 + 42)= 1,5712 + 1,8332 + 2,0942 + 2,3562 = 15,763

= = (1,571 + 1,833 + 2,094 + 2,356) = 7,854 = ( . ) = (1. 1) + (2. 2) + (3. 3) + (4. 4)= (1,891 + 2,662 + 2,643 + 3,131) = 10,327

= = (1 + 2 + 3 + 4) = 1,204 + 1,452 + 1,262 + 1,329= 5,247

Sustituimos valores en las matrices:

= 15,763 7,8547,854 4 = 15,763 . 4 7,8542 = 1,367 = 10,327 7,8545,247 4 = 10,327 . 4 5,247. 7,854 = 0,098

= 15,765 10,3277,854 5,247 = 15,765 . 5,247 7,854 .10,327 = 1,611 13


Sustituyendo para saber el valor de a y de b de la recta, tenemos:

=

= 0,0981,367 = 0,0717 =

= 1,6111,367 = 1,178

La recta a travs del clculo de mnimos cuadrados es:

= 1,178 + 0,0717 Entonces el coeficiente de rozamiento para una correa plana por este mtodo nos sale:

r= 0,0717

- Calculando con la calculadora Si la ecuacin de la recta es = + Tenemos

14


La ecuacin de la recta sale = 0,0709 + 1,173 Entonces el coeficiente de rozamiento es r=0,0709

- Clculo por EXCEL

X Y 1,571 1,204 1,833 1,452 2,094 1,262 2,356 1,329

Tabla 3. Datos del EXCEL

15


Grfica 1. Grfica de los datos recogidos por Excel en el laboratorio

para correa plana.

Por el grfico, podemos encontrarnos la ecuacin de la recta y = 0,0709x + 1,1725, donde el coeficiente de rozamiento es = 0,0709.

- Clculo A OJO

Grfica 2. Grfica de los datos recogidos para sacar la recta A OJO

del laboratorio para correa plana.

y = 0,0709x + 1,1725

1,000

1,050

1,100

1,150

1,200

1,250

1,300

1,350

1,400

1,450

1,500

1,500 1,700 1,900 2,100 2,300 2,500

Ln(T

2/T1

)

(radianes)

Grfico Excel de Lnea de Regresin lineal de correa plana

Nube de puntos

Lineal (Nube de puntos)

16


Mirando la Grfica 2, deducimos: (1) Trazando el eje de coordenadas desde el punto (0,0), se traza

una recta que pase ms o menos cerca de todos los puntos de los datos recogidos y se prolonga hasta el eje y donde cogeremos el dato A.

(2) Se traza una perpendicular del eje x desde el punto de corte a una distancia adecuada (donde recogeremos el dato x) y despus una perpendicular al eje y hasta que corte con la recta trazada en (1).

(3) Trazamos una recta paralela al eje x desde el punto que ha cortado (2) con (1), hasta que corte con las ejes de las y(donde cogemos el dato y)

Sabiendo que la frmula de la recta es

= +

Sustituimos valores cogidos A OJO y averiguamos B: A=1,17 x=1 y=1,24 1,24 = + 1,17

= 1,24 1,17 = 0,07 CORREA EN V El procedimiento de clculos ser igual que para la correa plana y calcularemos el coeficiente de rozamiento por el mtodo de EXCEL, ya que los otros mtodos para sacar la recta son ms lentos y ms inexactos.

17


ANGULO QUE FORMA LA CORREA AL TOCAR LA SUPERFICIE DE LA POLEA

FUERZAS EXTREMOS

MARCA GRADOS() RADIANES() T1 T2 Medida 1 90 90-180=90 1,571 1,45 16,5 Medida 2 75 180-75=105 1,833 3,9 48,5 Medida 3 60 180-60=120 2,094 5,9 84,5 Medida 4 45 180-45=135 2,356 10 165

Tabla 4.Clculos recogidos en el laboratorio correa en V. Calculamos

Tabla 5. Clculos del Logaritmo neperiano de T2 sobre T1

rv1 rv2 rv3 rv4 1,548 1,375 1,2711 1,189

Tabla 6. Clculo de coeficientes de rozamiento de cada valor

recogidos en el laboratorio.

Clculo de la recta de regresin por la nube de puntos de los datos recogidos para la correa en V para sacar el valor del coeficiente de rozamiento la realizaremos por medio de la grfica EXCEL con el y (

).

Ecuacin Recta X Y Ln(T2/T1)

1,571 1,204 1,833 1,452 2,094 1,262 2,356 1,329

Tabla 7. Datos recogidos y calculados del laboratorio para la

creacin de grfica de EXCEL

(

)

Medida 1 1,204 Medida 2 1,452 Medida 3 1,262 Medida 4 1,329

18


Grfica 3. Grfica de los datos recogidos por Excel en el laboratorio

para correa en V.

Por el grfico, podemos encontrarnos la ecuacin de la recta y = 0,4793x + 1,6633, donde el coeficiente de rozamiento es = sen (/2). = 602 . 0,4793 = 0,23965.

1.5 RESULTADOS Como vemos, los mtodos utilizados para demostrar que hay varios mtodos de clculo del coeficiente de rozamiento, nos pueden dar resultados similares, unos con un margen de error mayor que otros. El resultado por haberlo calculado por el mtodo de mnimos cuadrados utilizando la calculadora vamos despreciando decimales que en resultado final sale muy semejante al esperado.

y = 0,4793x + 1,6633

2,35

2,40

2,45

2,50

2,55

2,60

2,65

2,70

2,75

2,80

2,85

1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5

Ln(T

2/T1

)

(radianes)

Grfico Excel de Lnea de Regresin lineal de correa en "V"

Nube de Puntos

Lineal (Nube de Puntos)

19


El resultado por haberlo calculado por medio de la calculadora cientfica con los modos estadsticos, nos da un resultado muy bueno que es comparable con el que hace el EXCEL. Y el resultado A OJO vemos que es una aproximacin pero es mala aproximacin y ms si son valores pequeos y decimales. En definitiva, el mejor resultado para la correa plana es el que nos da la recta de la lnea de regresin del EXCEL: = 0,0709 El resultado del coeficiente de rozamiento para la correa en forma de V hemos optado por el mtodo por EXCEL y es = 0,23965

1.6 CONCLUSIONES

En definitiva, hemos realizado en la clase prctica, el funcionamiento del aparato y como calcular el coeficiente de rozamiento con una correa plana y otra en forma de V y vemos que una correa en V, el rozamiento entre polea y correa es mayor que en la correa plana, entonces para que la polea gire deslizando sobre la correa tengo que hacer bastante ms fuerza (PAR) sobre la rueda que la correa plana y por tanto, la diferencia que marca los dinammetros, en los extremos T1 y T2, es mayor en el caso de la correa en V.

En las sucesivas prcticas, tendremos que realizar el clculo de la lnea de regresin y el mtodo que utilizaremos ser EXCEL.

20


Experiencia 7

DETERMINACIN DEL MOMENTO DE INERCIA DE PLACAS DE ESPESOR CONSTANTE.

21


2.1 OBJETIVO DE LA PRCTICA Realizacin de dispositivo con muelle en espiral para realizar prcticamente el momento de inercia (I) de diferentes placas de espesor constante para luego compararlas tericamente.

2.2 INTRODUCCIN TERICA Primeramente, para la realizacin de esta prctica tendremos que averiguar la constante angular de recuperacin del muelle en espiral del dispositivo. Para ello, relacionaremos entre impulso angular a un sistema estacionario con el origen en el centro de gravedad, y el momento de la fuerza que se aplica es:d

=

Aplicacin general: = . Al coincidir con el eje Z, el momento angular , tendr una nica componente que puede expresarse como:

= . =

Donde es ngulo girado y (Momento de Inercia) respecto al eje Z)

= .

= .22

Si el cuerpo est sujeto a un muelle en espiral, el momento de la fuerza puede relacionarse con la constante de recuperacin angular del muelle en espiral K y el ngulo girado .

= . = . 22


Donde el signo menos significa que el momento es contrario al causado por la fuerza que provoca la desformacin del muelle, al igualar las dos ecuaciones anteriores, se calcula la constante de recuperacin del muelle torsional K:

= .()

Segundo, para averiguar el momento de inercia de un slido experimentalmente o prcticamente, si se igualan las expresiones

= . 22

y = ., o sea: .2

2= .

La solucin de la ecuacin diferencial ser:

() = 0. cos(. ) = 0. cos . La ecuacin que representa el movimiento peridico con pulsacin:

=

en funcin de la frecuencia f o del periodo T, como:

= 2.. = 2.

Entonces: 2.

=

4.22

= = .24.2

Si se conoce la constante de recuperacin del muelle en espiral y el periodo (se realiza en el laboratorio para cada figura que hagamos), se puede calcular el momento de inercia de diversos slidos rgidos.

23


Frmulas tericas para el clculo de momento de inercia de algunas figuras

a) Disco con eje normal pasando por el centro de gravedad

Figura 2.1. Disco con eje pasando por el centro de gravedad.

Sabiendo que = ( ) ( ) y donde:

=

( = 2) y = 2.. . Despejamos dm:

= 2 . 2.. . = 22 . .

Entonces el momento de inercia del disco por cdg es:

= 2 = 2. 22

. . = 22

. (3.)0

0

0 = 22

44

0

= 122

24


= 122

b) Disco con eje desplazado una distancia d del centro de gravedad

Figura 2.2. Disco con eje desplazado una distancia d del centro

de gravedad.

Aplicaremos el teorema de Steiner al apartado a) para un desplazamiento respecto al centro de gravedad, siendo el momento de inercia:

() = + .2 = 122 + .2

25


c) Momentos de inercia para esfera maciza que pasa por su centro de gravedad

Figura 2.3. Momentos de inercia para esfera maciza que pasa por su centro de gravedad.

Tenemos el volumen de superficie de la esfera = 4

33 y el

diferencial de volumen que es = 42, entonces:

= = 42

El momento polar en el centro de la esfera es:

= 2 = 242 Tambin sabiendo que = 4

33, entonces el momento polar

es:

= 2 = 2. (0

0242)

= 4 4 = 4.0

55

0

= 45 5= 35 . 43 ...3 .2 = 35 ..2

26


Aplicando el dimetro de la esfera tenemos el momento de inercia de la esfera por su centro de masas:

+ + = 3. = 2. = 23 . = 23 . 35 . 2= 25 . 2

= 25 . 2

d) Momento de inercia de cilindro macizo por su eje

Figura 2.4 .Momento de inercia de cilindro macizo por su eje.

Se hara igual que para el disco que pasa por su eje normal, pero se tendra en cuenta lo siguiente:

= 2 Donde = .

*Donde =

= .2.

*Donde = .2. El rea de espesor sera = . = 2.. ..

= . = .2. . 2.. ..

27


El momento de inercia de un cilindro macizo que pasa por su eje es:

= 2 = 232

= 22

3 = 1220 = 122

e) Momento de inercia de cilindro con paredes delgadas

Figura 2.5.Momento de inercia de cilindro con paredes delgadas. El momento de inercia de un cilindro con paredes delgadas es:

= 20

= 2 0

= 2[] 0 = 2 = 2

28


f) Barra gruesa. Eje perpendicular al centro de masas

Figura 2.6.Barra gruesa. Eje perpendicular al centro de masas

El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus dimetros es: 142 = 142. .2. ..2 = 4 .2 Aplicando el teorema de Steiner, se calcula el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x. 142 + 2 = 142 + 2 . .2. ..2= 142 + 2 . .

El momento de inercia de la barra gruesa con eje perpendicular al centro de masas es:

= 142 + 2 . . = 14 ..2 + 112. 2/2/2

= 14 ..2 + 112. 2 29


g) Varilla delgada maciza con eje perpendicular por centro de gravedad

Figura 2.7.Varilla delgada maciza con eje perpendicular por

centro de gravedad.

Sabiendo que dm es:

=

. Entonces el momento de inercia de una varilla es:

= 2

/2/2 = 112. 2

30


h) Varilla delgada maciza con eje perpendicular desplazado del C.D.G

Figura 2.8.Varilla delgada maciza con eje perpendicular

desplazado del C.D.G. Donde aplicamos el teorema de Steiner al momento de inercia del apartado g)

= 112. 2 + .2 i) Varilla delgada + 2 masas con eje perpendicular por centro de

gravedad (Extremos) y en medio de los lados de la varilla

Figura 2.9. Varilla delgada + 2 masas con eje perpendicular por

centro de gravedad (extremos)

31


Figura 2.10. Varilla delgada + 2 masas con eje perpendicular por centro de gravedad (pesas centro de los lados de varilla delgada) El momento de inercia est constituido por: Momento de inercia de una barra gruesa

= 14 ..2 + 112. 2 Que a su vez se aplica el teorema de Steiner de las masas en forma de barra gruesa pero con la excepcin de que tienen un orificio el cual se tendr en cuenta para su clculo de Radio. Como tenemos dos, quedara: 2. ( + 2)

Se realizara la suma de momentos de inercia de la varilla delgada con las dos masas en forma de barra gruesa con orificio:

+ = + 2. ( + 2) Finalmente, queda:

+ = 112. 2 + 2. ( 14 ..2 + 112. 2+ .2) 32



Figura 2.11. Dispositivo para medir experimentalmente el

momento de inercia.

En la figura 2.11 se compone de muelle espiral (a), el cual, tenemos que calcular su constante (K) como expondr en la figura 2.12.La ruletilla negra que sale en la figura 2.11, ser para la sujecin de la figura homognea que se va a medir el momento de inercia y est formado por tres patas o trpode para soportar el peso y estar estabilizado. Con este dispositivo, realizaremos los clculos experimentales de diferentes figuras geomtricas para saber su momento de inercia, el cual desplazaremos de su posicin de equilibrio y soltaremos para que este empiece a oscilar en un tiempo que tendremos que recoger para saber su periodo. Las figuras geomtricas se medirn su peso con bscula digital del laboratorio y distancia de radios, longitud de varillas, longitud de barras y longitud de cilindros utilizados, etc., para clculo posterior del momento de inercia terico.

33


Figura 2.12. Calcular la constante del muelle en forma de espiral. Para calcular la constante del muelle habr que recoger los datos de ngulo () que desplazaremos con el dinammetro (Figura 2.12 (A)) desde la posicin de reposo la varilla delgada (Figura 2.12 (B)), la fuerza que recoja el dinammetro en ese momento y la distancia (Figura 2.12 donde `pone d) del centro de gravedad de la varilla hasta donde est el gancho del dinammetro, con estos datos podemos calcular la constante K. Aunque tendremos que hacer varios ensayos y hacer la lnea de regresin para sacar el valor medio.

2.4 CLCULOS Realizaremos los clculos de la constante del muelle y seguidamente los clculos tericos y prcticos de los momentos de inercia de cada figura geomtrica homognea.

34


CLCULOS DE CONSTANTE K DEL MUELLE ESPIRAL Ensayo 1

Distancia d de cdm de la varilla delgada d=16 cm Fuerza (N) VUELTAS GRADOS RADIANES N.m

0,51 0,5 180 0,080 1,03 1,0 360 2 0,164 1,60 1,5 540 3 0.256

Ensayo 2


0,36 0,5 180 0,076 0,81 1,0 360 2 0,170 1,19 1,5 540 3 0.250

y = 0,000489x - 0,009333

00,05

0,10,15

0,20,25

0,3

0 100 200 300 400 500 600

MO

MEN

TO(N

.m)

GRADOS

ENSAYO 1 CONSTANTE K

ENSAYO CONSTANTE K 1

Lineal (ENSAYO CONSTANTEK 1)

y = 0,000483x - 0,008667

00,05

0,10,15

0,20,25

0,3

0 100 200 300 400 500 600

MO

MEN

TO(N

.m)

GRADOS



Lineal (ENSAYO 2CONSTANTE K)

35


Ensayo 3


0,29 0,5 180 0,070 0,63 1,0 360 2 0,151 0,94 1,5 540 3 0.226

La grfica nos saca la pendiente del Momento (N.m) respecto (GRADOS), ya que la frmula como dijimos en el apartado 2.3 es = .

= .

y para saber el valor en cada ensayo tenemos

que buscar la lnea de tendencia de la grfica que nos dar en N.m/Grados Observando los tres ensayos, vemos que los valores que nos da cada ensayo es N.m/Grados y tenemos que pasarlo a N.m/Radianes. Para ello, habr que multiplicar cada valor de N.m/Grados por 1Grado/(/180 Radianes).

ENSAYO1: 1 = 0,000489 N.mGrados

. 1Grado180

Radianes= 0,0280 N.m

Radianes


. 1Grado180


Radianes


. 1Grado180


Radianes

y = 0,000433x - 0,007000

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 100 200 300 400 500 600

MO

MEN

TO(N

.m)

GRADOS


Series1

Lineal (Series1)

36


Ahora con los tres ensayos le hacemos la media de las tres y con el valor que salga es el valor de la constante de muelle en espiral que nos quedamos.

= 1 + 2 + 33 = 0,028 + 0,0277 + 0,0253= 0,0269 N. mRadianes Sabiendo el valor de K, ya podemos pasar a la parte del experimento donde calculamos de manera terica y experimental de los momentos de inercia de una figura geomtrica homognea. CLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN DISCO CON EL EJE NORMAL PASANDO POR EL CENTRO DE GRAVEDAD.

CLCULO TERICO Dimetro: 22cm Radio: 11cm Masa: 298 gramos ----> 0,298 Kg

= 12.2 = 12 0,298. (11)2 = 18,029 . 2

37


CLCULO EXPERIMENTAL OSCILACIONES

CICLOS ENSAYO 1 ENSAYO 2 Tiempo(s) Periodo(s) Tiempo(s) Periodo(s)

10 16,2 1,62 15,40 1,54 15 23,5 1,57 23,20 1,55

Media ensayo 1: 1 = 1,595 s Media ensayo 2: 2 = 1,545 s Media ensayo 1 y 2: = 1+2

2= 1,595+1,545

2= 1,57 s

= 2. 4.2 = 2. 4.2 = (1,572 . 0,0269)4.2 = 1,6795 . 103 2= 16,795 2

CLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN DISCO CON EL EJE NORMAL DESPLAZADO d DEL CENTRO DE GRAVEDAD.

CLCULO TERICO Dimetro: 22cm Radio: 11cm Masa: 298 gramos ----> 0,298 Kg

= 12.2 = 12 0,298. (11)2 = 18,029 . 2 38


Desplazamiento d1=R/5

1 = 5 = 2,2 1 = 12.2 + .2 = 12 0,298. (11)2 + 0,298. (2,2)2 == 19,471 . 2

Desplazamiento d1=2R/5

2 = 25 = 4,4 1 = 12.2 + .2 = 12 0,298. (11)2 + 0,298. (4,4)2 == 23,798 . 2

CLCULO EXPERIMENTAL

OSCILACIONES

CICLOS d1=R/5 d2=2R/5 Tiempo(s) Periodo(s) Tiempo(s) Periodo(s)

10 16,00 1,60 17,86 1,79 10 16,11 1,61 17,66 1,76

Media d1: 1 = 1,605 s Media d2: 2 = 1,775 s

1 = 12. 4.2 = 2. 4.2 = (1,6052 . 0,0269)4.2= 1,7553 . 103 2

= 17,553 2

39


2 = 22. 4.2 = 2. 4.2 = (1,7552 . 0,0269)4.2= 2,0987 . 103 2

= 20,987 2

ESFERA MACIZA QUE PASA SU EJE POR EL CENTRO DE LA ESFERA

CLCULO TERICO Dimetro: 13,9cm Radio: 6,95cm Masa: 700 gramos ----> 0,700 Kg

= 25.2 = 25 0,700. (6,95)2 = 13,5247 . 2 CLCULO EXPERIMENTAL OSCILACIONES


10 13,0 1,30 12,9 1,29 15 19,0 1,26 19,26 1,28

40



2= 1,280+1,285

2= 1,2825 s

= 2. 4.2 = 2. 4.2 = (1,28252 . 0,0269)4.2= 1,1207 . 103 2

= 11,207 2

CILINDRO MACIZO QUE PASA SU EJE POR EL CENTRO DE SU EJE

CLCULO TERICO Dimetro: 10,2cm Radio: 5,1cm Alto: 10,2cm Masa: 371 gramos ----> 0,371 Kg

= 12.2 = 12 0,371. (5,1)2 = 4,825 . 2

41




10 7,70 0,77 7,90 0,79 15 12,00 0,80 12,05 0,80


2= 0,785+0,795

2= 0,79 s

= 2. 4.2 = 2. 4.2 = (0,792 . 0,0269)4.2 = 4,2525 . 104 2= 4,2525 2

CILINDRO HUECO PARED FINA PASA CON EJE POR CENTRO DE CILINDRO

CLCULO TERICO Dimetro medio: 9,6cm Radio: 4,8cm Alto: 10,1cm Masa: 345 gramos ----> 0,345 Kg

= .2 = 0,345. (4,8)2 = 7,95 . 2

42




10 10,40 1,04 10,50 1,05 15 15,90 1,06 16,00 1,07

Media ensayo 1: 1 = 1,05 s Media ensayo 2: 2 = 1.06 s Media ensayo 1 y 2: = 1+2

2= 1,05+1,06

2= 1,055 s

= 2. 4.2 = 2. 4.2 = (1,0552 . 0,0269)4.2 = 7,584 . 104 2= 7,584 2

BARRA GRUESA MACIZA CON EJE PERPENDICULAR POR CENTRO DE GRAVEDAD CLCULO TERICO Dimetro: 8,2cm Radio: 4,1cm Longitud: 12,1cm Masa: 133 gramos ----> 0,133 Kg

= 14 ..2 + 112. 2 = 14 . 0,133. (4,1)2 + 112 0,133. (12,1)2= 2,182 . 2

43




10 6,4 0,64 6,50 0,65 15 6,45 0,43 6,70 0,45


2= 0,53+0,55

2= 0,54 s

= 2. 4.2 = 2. 4.2 = (0,542 . 0,0269)4.2 = 1,987 . 104 2= 1,987 2

VARILLA DELGADA MACIZA CON EJE PERPENDICULAR POR CENTRO DE GRAVEDAD

CLCULO TERICO Dimetro: 0,6 cm Radio: 0,3 cm Longitud: 600cm Masa: 133 gramos ----> 0,133 Kg

44


= 112. 2 = + 112 0,133. (60)2 = 39,9 . 2 CLCULO EXPERIMENTAL OSCILACIONES


10 23,45 2,35 23,46 2,35 10 23,40 2,34 23,41 2,34


2= 2,345 +2,345

2= 2,345 s

= 2. 4.2 = 2. 4.2 = (2,3452 . 0,0269)4.2 = 3,75 . 103 2= 37,5 2

VARILLA DELGADA MACIZA CON EJE PERPENDICULAR DESPLAZADO DEL CENTRO DE GRAVEDAD CLCULO TERICO Desplazado d=L/4 d= 15 cm

= 112. 2 + .2 = 112 0,133. (60)2 + 0,133. (15)= 69,825 . 2

45


OSCILACIONES

CICLOS ENSAYO 1(d=L/4) ENSAYO 2(d=L/4) Tiempo(s) Periodo(s) Tiempo(s) Periodo(s)

10 31,1 3,11 31,00 31 10 31,04 3,1 31,05 31


2= 3,105 +3,1

2= 3,1 s

= 2. 4.2 = 2. 4.2 = (3,12 . 0,0269)4.2 = 6,548 . 103 2= 65,48 2

VARILLA DELGADA+2 MASA CON EJE PERPENDICULAR POR CENTRO DE GRAVEDAD

CLCULO TERICO

VARILLA Dimetro: 0,6 cm Radio: 0,3 cm Longitud: 600cm Masa: 133 gramos ----> 0,133 Kg

= 112. 2 = + 112 0,133. (60)2 = 39,9 . 2

CONTRAPESO DIMETRO EXTERIOR: 3cm DIMETRO INTERIOR: 0,6cm DIMETRO MEDIO: 2,4cm LONGITUD: 4cm MASA: 216 gramos----> 0,216 Kg

46


= 14 . 0,216. 2,42 + 112 0,216. 42 = 0,599 EXTREMOS DE LA VARILLA DONDE SE SITUAN LAS PESAS (d=L/2-LContr/2)

= 2 2 = 604 42 = 28

+ = 112. 2 + 2. ( 14 ..2 + 112. 2+ .2) + = 39,9 + 2. ( 0,599 + 0,216. 282) = 379,79/2

PUNTO MEDIO LADO DE VARILLA DONDE SE SITUAN LAS PESAS (d=L/4)

47


CLCULO EXPERIMENTAL

= 4 = 604 = 15

+ = 112. 2 + 2. ( 14 ..2 + 112.2+ .2) + = 39,9 + 2. ( 0,599 + 0,216. 152) = 138,30/2

Si d=15 cm OSCILACIONES


5 33,80 6,76 33,83 6,766 5 33,82 6,724 33,75 6,75

Media ensayo 1: 1 = 6,742 s Media ensayo 2: 2 = 6,758s Media ensayo 1 y 2: = 1+2

2= 6,742 +6,758

2= 6,75 s

= 2. 4.2 = 2. 4.2 = (6,752 . 0,0269)4.2 = 0,03102= 310 2

48


Si d=28 cm OSCILACIONES


5 20,90 4.18 20,90 4.18 5 20,70 4.14 20,75 4.15

Media ensayo 1: 1 = 4,16 Media ensayo 2: 2 = 4,165 Media ensayo 1 y 2: = 1+2

2= 4,16 +4,165

2= 4,1625 s

= 2. 4.2 = 2. 4.2 = (4,16252 . 0,0269)4.2 = 0,01182= 118 2

2.5 RESULTADOS Todos los resultados tericos y experimentales los englobaremos en una tabla de cada figura geomtrica calculada, pondr el resultado de los errores absolutos y relativos.

Figura Aplicacin Kg. cm2 ERROR TERICO ENSAYO Absoluto Relativo%

DISCO EJE NORMAL 18,029 16,795 1,234 6,84 DISCO d=R/5 19,471 17,553 1,918 9,85 DISCO d=2R/5 23,798 20,987 2,811 11,81

ESFERA MACIZA EJE CENTRO 13,525 11,207 2,318 17,13 CILINDRO MACIZO

EJE CDG 4,825 4,2525 0,5725 11,86

CILINDRO HUECO

EJE 7,95 7,584 0,366 4,60

BARRA GRUESA MACIZA

EJE PERPENDICULAR

CDG

2,182

1,987

0,195

8,94

VARILLA DELGADA

EJE PERPENDICULAR

CDG

39,9

37,5

2,4

6,02

VARILLA DELGADA

EXTREMO DE LA VARILLA d=L/4

69,825 65,48 4,345 6,22

VARILLA+ 2PESAS

EXTREMOS PESAS (dL/2)

379,79 310 69,79 18,38

VARILLA+ 2PESAS

DISTANCIA DESDE CDG (d=L/4)

138,3

118

20,3

14,67

49


2.6 CONCLUSIONES Finalmente, en este experimento hemos visto cmo se puede sacar el momento de inercia aproximado sabiendo la constante del muelle K y el periodo de oscilacin de la figura aplicando la frmula experimental. As hemos podido diferenciar los valores que salan tericamente el momento de inercia con el experimental.

50


Experiencia 3

Vibraciones libres en sistemas lineales discretos con un grado de libertad.

3.1 OBJETIVOS DE LA PRCTICA

La prctica se compone de separar una masa m, la cual se encontrar sin rozamiento, de su posicin de equilibrio y comunicarle una velocidad inicial, dejndola despus en libertad, suponiendo adems que el amortiguamiento es nulo. Buscaremos la constante elstica k de los resortes y determinaremos el periodo del movimiento.


Segn la Figura 3.1, nos encontramos una masa m, la cual dejamos en posicin de equilibrio y una vez en equilibrio desplazamos el carro x (distancia) y lo soltamos. Una vez

51


Figura 3.1. Vibraciones libres en sistemas lineales discretos con un grado de libertad (Un carro sobre un carril).

Primeramente, tenemos que tener en cuenta la siguiente ecuacin diferencial:

() + () + () = () Al no existir acciones exteriores f(t)=0 y al ser de un grado de libertad (), entonces quedara la ecuacin diferencial:

+ = 0 Donde k = (k2 + k3) y 2 = Dividiremos la ecuacin entre m:

+ = 0 + 2 = 0

La resolucin de la ecuacin sera la siguiente:

= 2 = () = 1 + 2

Donde C1 y C2 son constantes que pueden ser reales o complejas.

Con la relacin de Euler = cos() + ()

Donde () = cos() + (), () = sen() + () y () = 2cos() 2 ().

52


(0) = cos(0) + (0) = 0

(0) = sen(0) + (0) = 0 Como () = 0 = 0.

Quedando la ecuacin del movimiento vibratorio de la masa m con las componente x y t

= cos( + ) Donde A marca condiciones iniciales del contorno.

La solucin de las vibraciones libres no amortiguadas es una funcin

armnica de frecuencia = 1 = 12. .2+3 , que depende slo de los

parmetros fsicos del problema k2 y k3 y m, pero no del tiempo ni de las condiciones iniciales. El sistema siempre vibrar en la misma frecuencia, que por esta razn se denomina FRECUENCIA PROPIA o NATURAL. Para hallar la constante k2 y k3 de los muelles, o cualquier constante k de un muelle, deberemos realizar los siguientes clculos y procesos:

Cuando se carga un muelle reacciona siguiendo la ley de Hooke que establece la proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones. Es decir, la fuerza (F) necesaria para deformar el muelle es proporcional a la deformacin (x) Figura 3.2

= ( 0)

Donde = ( 0) Poniendo el muelle verticalmente y dejndolo en el reposo y despus aplicarle una fuerza tirando con un dinammetro, cogemos los valores x y F y hallamos K.

53


Figura 3.2.Clculo de la constante del muelle K.


Figura 3.3.Un carro sobre un carril para demostracin de vibraciones libres

en sistemas lineales discretos con un grado de libertad del laboratorio.

(a)Entrada de aire al carril. (b)Base que podemos graduar en el carril y despus fijar para dejar

el carrito a una medida deseada. (c) Argolla para enganchar el muelle. (d) Muelle. (e) Carrito que est compuesto tambin por un bandern y est

situado sobre el carril, es una parte mvil, la cual actuar en el experimento.

(f) Parte fija del carril para enganchar muelle.

54


(g)Pequeitos orificios por donde sale aire para provocar que el carrito no tenga rozamiento con el carril.

(h)Regla que nos indica y orienta para poder poner a determinada distancia del carrito entre los dos lados fijos y medir su desplazamiento del reposo.

3.4 CLCULOS

Realizaremos clculos de todos los muelles (k1,k2 y k3) que utilizaremos en este y los siguientes experimentos:

MUELLE IZQUIERDO (K1) DESPLAZAMIENTO Fuerza

Metros(m) (N) 0,335 0,24 0,345 0,27 0,385 0,35 0,415 0,41 0,445 0,48 0,455 0,51

Escogeremos k1 segn la lnea de regresin que nos saca la ecuacin de la recta, donde corresponde k1=2,1787 N.m.

y = 2,1787x - 0,4876

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

FUER

ZA(N

)

m

MUELLE (K1)

MUELLE (K1)

Lineal (MUELLE (K1))

55


MUELLE DERECHO (K2) DESPLAZAMIENTO Fuerza

Metros(m) (N) 0,325 0,18 0,355 0,25 0,385 0,31 0,405 0,36 0,425 0,41 0,445 0,45

Escogeremos k2 segn la lnea de regresin que nos saca la ecuacin de la recta, donde corresponde k2=2,2613 N.m.

MUELLE CENTRAL (K3) DESPLAZAMIENTO Fuerza

Metros(m) (N) 0,345 0,21 0,365 0,26 0,385 0,31 0,405 0,36 0,425 0,41 0,445 0,45

y = 2,2613x - 0,5552

00,05

0,10,15

0,20,25

0,30,35

0,40,45

0,5

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

FUER

ZA(N

)

m

MUELLE (K2)

MUELLE (K2)


56


Escogeremos k3 segn la lnea de regresin que nos saca la ecuacin de la recta, donde corresponde k3= 2,4286 N.m.

Una vez calculados k1, k2 y k3 vamos a realizar el ensayo de un carrito con oscilaciones libres y con un grado de libertad:

DATOS:

Masa de Carrito= Carrito+ 2 argollas + bandera pequea Carrito solo: 180 g Argolla: 10 g Bandera pequea: 5 g Bandera Grande: 10 g Masa Carrito=180g + 2 . (10g) + 5g=205g=0,205 Kg

Constante muelles k3 y k2 k2=2,2613 N.m k3=2,4286 N.m

y = 2,4286x - 0,626

00,05

0,10,15

0,20,25

0,30,35

0,40,45

0,5

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

FUER

ZA(N

)

m

MUELLE (K3)

MUELLE (K3)


57


CLCULO TERICO DE T

= 2.. 2 + 3 = 2.. 0,205 2,2613 + 2,4286 = 1,313

5 Oscilaciones con tiempo en segundos

PERIODO(Segundos) ERROR MEDIDA CALCULADO ABSOL. RELAT.%

6,30 1,26 1,313 -0,053 -4,20 5,99 1,198 -0,116 -9,68 6,12 1,224 -0,089 -7,27

6,10 1,220 -0,093 -7,62 6,22 1,244 -0,069 -5,55

Error absoluto medio = 0,053 0,116 0,089 0,093 0,0695= 0,084 Error relativo medio = 4,20 9,68 7,27 7,62 5,555 = 6,864 = = 1,26 + 1,198 + 1,224 + 1,22 + 1,2445= 1,229 Frecuencia natural medida= = 1

= 1

1,229 = 0,814 /

58


3.5 RESULTADOS

Los resultados medios del experimento 3 son:

Error medio Absoluto

Error medio Relativo

Periodo medio medido (s)

Frecuencia media

medida(ciclos/s) 0,084 6,864 1,229 0,814

3.6 CONCLUSIONES

A lo largo de esta prctica hemos observado que la oscilacin del carrito sin rozamiento hace que tenga una oscilacin constante sobre el carril al ser desplazado inicialmente de su estado de equilibrio.

59


Experiencia 5

Vibraciones libres en sistemas lineales discretos con dos grado de libertad.

60


4.1 OBJETIVOS DE LA PRCTICA

La prctica se compone de separar dos masa m, la cual se encontrarn sin rozamiento, de su posicin de equilibrio y comunicarles una velocidad inicial, dejndolas despus en libertad, suponiendo adems que el amortiguamiento es nulo. Buscaremos la constante elstica k de los resortes (Hallado en el Apartado 3.2) y determinaremos el periodo del movimiento.


Cada una de las masas est sometida a dos fuerzas diferentes, que son la fuerza principal de su resorte y la debida al resorte acoplado. La fuerza principal en m1 vendr dada por -k 1x 1 en la direccin de x 1 , y la del resorte acoplado ser k3 (x 1 x 2 ) en la misma direccin.

Figura 4.1. Vibraciones libres en sistemas lineales discretos con dos

grado de libertad (Dos carritos tres muelles).

Con esto podemos escribir la ecuacin del movimiento para la masa m1 de la forma:

11 = 11 3(1 2) Anlogamente para m2 podemos escribir

22 = 22 3(2 1)

Por tanto, las ecuaciones diferenciales que definen el sistema completo ordenando anteriores son:

11 + (1 + 3)1 32 = 0

22 + (2 + 3)2 31 = 0

61


Al resolver este sistema vamos a admitir que las dos masas se mueven con la misma frecuencia pero con distinta amplitud, es decir, probaremos soluciones del tipo:

1 = 1cos ( + ) 2 = 2cos ( + )

Sustituimos en las ecuaciones diferenciales que definen el sistema completo ordenado, y queda:

121cos ( + ) + (1 + 3)1cos ( + ) 32cos ( + ) = 0

222cos ( + ) + (2 + 3)2cos ( + ) 31cos ( + ) = 0

Entonces cos ( + ) se simplifica y queda: (1 + 3 12)1 32 = 0 31 + (2 + 3 22)2 = 0

Se trata de un sistema homogneo con dos incgnitas 1 y 2que slo tendr solucin si el determinante de los coeficientes es nulo.

1 + 3 12 3

3 2 + 3 22 = 0 (1 + 3 12)(2 + 3 22)3 = 0 Si se considera 1 = 2 = ; 3 = 1 = 2 = se convertir en:

24 2( + )2 + ( + ) 2 = 0 Dando como soluciones:

1 = 2 = + 2

62


Estas son las dos frecuencias naturales del sistema, si vibran con frecuencia 1 en el mismo sentido permitir averiguar 1 2, en este caso 1 = 2, y si vibra con 2 las masas se encontrarn con oposicin de fases 1 = 2. Las soluciones generales del sistema sern:

1 = cos(1 + 1) + cos (2 + 2) 2 = cos(1 + 1) cos (2 + 2)

A,B, 1 y2 son constantes a determinar por las condiciones iniciales de contorno.


La diferencia del apartado 3.3 es que aqu se adapta otra masa en el carril quedando en medio, todo lo dems es igual.

4.4 CLCULO

Como el clculo de las constantes de los tres muelles se ha realizado en el apartado 3.3, vamos a determinar la frecuencia natural cuando desplazamos cada carrito de su posicin de equilibrio 5 cm en el mismo sentido y otra frecuencia natural cuando desplazamos cada carrito uno opuesto del otro 5 cm.

DATOS RECOGIDOS

Masa de Carrito= Carrito+ 2 argollas + bandera pequea Carrito solo: 180 g Argolla: 10 g Bandera pequea: 5 g Bandera Grande: 10 g Masa Carrito1= Masa Carrito2=180g + 2 . (10g) + 5g=205g=0,205 Kg

Constante muelles k1,k3 y k2 k1=2,1787 N.m k2=2,2613 N.m k3=2,4286 N.m

63


Pero vamos a suponer que k1=k2=k, entonces al no ser igual valor le hacemos la media a k1 y k2 y ese ser el valor de k

= 1 + 22 = 2,1787 + 2,26132 = 2,22 . k=k3=2,4286 N.m

Sabido esto, hacemos:

Clculo de la frecuencia natural desplazado ambos carros unos 5 cm en el mismo sentido desde su posicin de equilibrio

CLCULO DEL PERIODO TERICO

1 = 2.. = 2..0,2052,22 = 1,909

Carritos mismo sentido desplazados 5 Oscilaciones con

tiempo en segundos PERIODO(Segundos) ERROR

MEDIDA CALCULADO ABSOL. RELAT.% 8,30 1,66

1,909 -0,249 -15,00 8,70 1,74 -0,169 -9,71 8,15 1,63 -0,279 -17,12 8,36 1,672 -0,237 -14,17 8,33 1,666 -0,243 -14,63

Error absoluto medio1 = 0,249 0,169 0,279 0,237 0,2435= 0,2354 Error relativo medio1 = 15,00 9,71 17,12 14,17 14,635= 14,126 64


1 = = 1,66 + 1,74 + 1,63 + 1,672 + 1,6665= 1,674 Frecuencia natural medida1=1 = 1

1= 1

1,674 = 0,598 / 1 =(en radianes/s sera) 0,598 . 360 1 . 1801 =3,757 / Clculo de la frecuencia natural desplazado ambos carros unos 5 cm en sentidos opuestos desde su posicin de equilibrio

CLCULO DEL PERIODO TERICO

2 = 2.. +2 = 2.. 0,2052,22+2.(2,4286 ) = 1,069

Carritos distinto sentido desplazados 10 Oscilaciones con tiempo en segundos

PERIODO(Segundos) ERROR MEDIDA CALCULADO ABSOL. RELAT.%

9,75 0,975 1,069 -0,094 -9,64 9,70 0,970 -0,099 -10,21 9,88 0,988 -0,081 -8,20

9,92 0,992 -0,077 -7,76 9,80 0,980 -0,089 -9,08

Error absoluto medio2 = 0,094 0,099 0,081 0,077 0,0895= 0,089 Error relativo medio2 = 9,64 10,21 8,20 7,76 9,085 = 8,98 65


1 = = 0,975 + 0,97 + 0,988 + 0,992 + 0,985 = 0,981 Frecuencia natural medida1=1 = 1

1= 1

0,981 = 1,019 / 2 = (en radianes/s sera) 1,019 . 360 1 . 1801 =6,405 /

4.5 RESULTADOS


Error medio Absoluto1

Error medio

Relativo1

Periodo medio

medido1 (s)

Frecuencia media medido1

(ciclos/s)

Frecuencia media

medido1 (radianes/s)

0,2354 14,126 1,674 0,598 3,757

Error medio Absoluto2

Error medio

Relativo2

Periodo medio

medido2 (s)

Frecuencia media medido2

(ciclos/s)

Frecuencia media

medido2 (radianes/s)

0,089 8,98 0,981 1,019 6,405

4.6 CONCLUSIONES

A lo largo de esta prctica, hemos observado que la oscilacin de los carritos sin rozamiento hace que tenga una oscilacin constante sobre el carril al ser desplazados inicialmente de sus estados de equilibrio en la misma direccin pero si son direcciones opuestas provoca una pequea variacin de tiempo de duracin, siendo este un mayor nmero de oscilaciones que cuando los carritos van en el mismo sentido, o sea un periodo ms rpido en sentidos opuestos que en el mismo sentido.

66


Experiencia 4

Vibraciones forzadas en sistemas lineales discretos con uno y dos grado de libertad.

67


5.1 OBJETIVO DE LA PRCTICA

Esta ltima parte de la prctica consiste en aplicar diferentes fuerzas desde un extremo, donde antes era fijo y realizar una serie de oscilaciones las cuales se obtendrn diferentes movimientos y comportamientos de los carritos.


Tanto en sistemas de un grado de libertad como de dos se le aplicar una fuerza F0 cost con un movimiento oscilatorio, dando lugar a una frecuencia propia para llevarlo a la resonancia.

La resonancia mecnica es un fenmeno que se produce cuando un cuerpo es capaz de vibrar es sometido a la accin de una fuerza peridica cuyo periodo de vibracin se acerca al periodo de vibracin caracterstico de dicho cuerpo, en el cual, una fuerza relativamente pequea aplicada en forma repetida hace que una amplitud de un sistema se haga grande. En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada uns de las actuaciones sucesivas de la fuerza. En teora si se considera una fuerza sobre un sistema oscilara a la misma frecuencia que la frecuencia natural del sistema se producira una oscilacin resultante con una amplitud indeterminada. Este efecto puede ser destructivo.

Vamos a realizar la experiencia para un carro y para dos para que la fuerza de oscilacin que aplicamos provoque que los carros se deslicen en un mismo sentido y tambin en sentidos opuestos.

68


Figura 5.1. Vibraciones forzadas en sistemas lineales discretos con uno grado de libertad.

Figura 5.2. Vibraciones forzadas en sistemas lineales discretos con uno grado de libertad.


Se ha dicho en el apartado 3.3 pero con diferencia que (b) se encontrar si estar fija y le aplicaremos una fuerza como las figuras 5.1 y 5.2.

69


5.4 CLCULO

PARA UN SOLO CARRITO (FRECUENCIA PROPIA)

Tiempo para 10 oscilaciones(s)

Periodo 1 oscilacin (s)

Frecuencia (ciclos/segundo)

Frecuencia (radianes/segundo)

12,30 1,230 0,813 5,108 12,31 1,231 0,812 5,102 12,34 1,234 0,810 5,089 12,28 1,228 0,814 5,114 12,30 1,230 0,813 5,108

1 = 1,230 + 1,231 + 1,234 + 1,228 + 1,2305= 1,2306 (

)= 0,813 + 0,812 + 0,810 + 0,814 + 0,8135= 0,8124 /

= 2()= 5,104 /

PARA DOS CARRITOS MOVIENDOSE AL MISMO SENTIDO (FRECUENCIA PROPIA)





17,90 1,790 0,559 3,512 17,74 1,774 0,564 3,543 17,93 1,793 0,558 3,508 17,84 1,784 0,561 3,525 17,91 1,791 0,558 3,508

70


1 = 1,790 + 1,774 + 1,793 + 1,784 + 1,7915= 1,786 (

)= 0,559 + 0,564 + 0,558 + 0,561 + 0,5585= 0,56 /

= 2()= 3,519 /

PARA DOS CARRITOS MOVIENDOSE SENTIDO OPUESTO (FRECUENCIA PROPIA)





9,96 0,996 1,004 6,308 10,05 1,005 0,995 6,252 9,93 0,993 1,007 6,327

10,03 1,003 0,997 6,264 10,06 1,006 0,994 6,245

1 = 0,996 + 1,005 + 0,993 + 1,003 + 1,0065= 1,001 (

)= 1,004 + 0,995 + 1,007 + 0,997 + 0,9945= 1,0 /

= 2()= 6,309 /

71


5.5 RESULTADOS


Periodo medio 1 oscilacin (s)

Frecuencia Propia Media

(ciclos/s)

Frecuencia Propia Media (radianes/s)

Un carrito 1,231 0,812 5,104 Dos carritos

mismo sentido 1,786 0,56 3,509

Dos carritos sentidos

contrarios

1,001

1,000

6,309

5.6 CONCLUSIN

En definitiva, en la prctica hemos podido ver como al aplicar una fuerza con una determinada oscilacin hacia delante y hacia detrs, vemos cmo podemos conseguir frecuencias similares a las vibraciones libres tanto en un carrito como cuando tenemos dos carritos para generar un movimiento de ellos en el mismo sentido o en sentidos opuestos segn la oscilacin que le demos y tambin vimos que hay otro tipo de oscilaciones que puede desestabilizar el sistema y terminar por desarmar o hacer caer los carritos.

72

prácticas de laboratorio de mecánica

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