[I.E. MX. “RAMON CASTILLA” - HUANCAVELICA] MATEMÁTICA 5

Miriam L. Taipe M. – Luis A. Miranda S. ¡El estudio y la perseverancia nos llevarán al éxito! 1

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Identidades Fundamentales:

Las identidades trigonométricas fundamentales, sirven de base para la

demostración de otras identidades más complejas.

1. Pitagóricas:

2. Por Cociente:

3. Recíprocas:

[I.E. MX. “RAMON CASTILLA” - HUANCAVELICA] MATEMÁTICA 5

– Luis A. Miranda S. ¡El estudio y la perseverancia nos llevarán al éxito! 2

También son Pitagóricas:

Identidades Auxiliares:

tgx + ctgx = secx cscx

sec2x + csc2x = sec2x csc2x

sen4x + cos4x = 1 - 2sen2x cos2x

sen6x + cos6x = 1 - 3sen2x cos2x

(1 ± Senx ± Cosx)2 2(1 ± Senx) (1 ±

Cosx)

Los ejercicios sobre identidades son de 4 tipos:

a. Demostraciones: Para demostrar una identidad, implica que el primer miembro

o viceversa ó que cada miembro por separado se pueda reducir a una misma

forma.

Ejm:

1. Demostrar que: Csc - Ctg . Cos = Sen

Resolución: (en el cuaderno)

2. Demostrar que: cos cossec

A

senA

A

senAA

1 12

Resolución: (en el cuaderno)

b. Simplificaciones: Lo que se busca es una expresión reducida de la planteada con

ayuda de las identidades fundamentales y/o auxiliares. Utilizar

transformaciones algebraicas.

Ejms.

1. Simplificar: (2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2

Resolución: (en el cuaderno)

2. Simplificar: (1 - cosx) (Cscx + Ctgx)

Resolución: (en el cuaderno)

c. Condicionales: Si la condición es complicada debemos simplificarla y así llegar a

una expresión que pueda ser la pedida o que nos permita hallar lo que nos piden.

Si la condición es sencilla se procede a encontrar la expresión pedida.

1 + Tg2 = Sec2 1 + Ctg2 = Csc2

[I.E. MX. “RAMON CASTILLA” - HUANCAVELICA] MATEMÁTICA 5

– Luis A. Miranda S. ¡El estudio y la perseverancia nos llevarán al éxito! 3

Ejms.

1. Si Sen + Csc = a.

Calcular el valor de

E = Sen2 + Csc2

Resolución: (en el cuaderno)

2. Si: senx - cosx = m .

Hallar el valor de:

D = 1 -2senxcosx

Resolución: (en el cuaderno)

d. Eliminación del Ángulo: Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas

relaciones trigonométricas debemos hallar relaciones algebraicas en la cual no aparezca

el ángulo. Nos ayudaremos de identidades como por Ejem.

Tgx.Ctgx = 1

Senx.Cscx = 1

Cosx.secx = 1

Sen²x + cos²x = 1

Sec²x - Tg²x = 1

Csc²x - Ctg²x = 1

Ejm.:

1. Eliminar “” de:

Csc = m + n …(1)

Ctg = m – n …(2)

Resolución: (en el cuaderno)

2. Eliminar “” de:

)2...(KSecbCosaSen

)1...(Ctg.SecbSenaCos

Resolución: (en el cuaderno)

Recomendación:

Cuando en un problema de identidades trigonométricas estés frente a esta expresión: E = (senx ± cosx) y se te pide “senx.cosx”, se recomienda que eleves al cuadrado ambos miembros para obtener: E² = (senx ± cosx)² = sen² ± 2senxcosx + cos²x E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx E² = 1 ± 2 SenxCosx Lo que se pide