UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE QUÍMICA

LABORATORIO DE FISICA

PROFESOR JOSE LUIS AMARAL MACIEL

PRACTICA No. 5 “PÉNDULO SIMPLE”

MUNGUÍA MARTÍNEZ DIANA MELISA

ALEMÁN LÓPEZ CHRISTIAN

ESCOBAR CHAVARRIA RENE

HORARIO MARTES Y JUEVES 19:00 – 21:00 HRS.

SEMESTRE 2012-2

FECHA DE ENTREGA

OBJETIVOS

Calcular el valor en la aceleración de la gravedad (g) por medio del péndulo simple

INTRODUCCIÓN

Se denomina péndulo simple (o péndulo matemático) a un punto material suspendido de un hilo inextensible y sin peso, que puede oscilar en torno a una posición de equilibrio. La distancia del punto pesado al punto de suspensión se denomina longitud del péndulo simple.

Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos

el peso mg La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq en la dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial.

Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.

La segunda ley de Newton se escribe

man=T-mg·cosq

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la tensión T del hilo.

La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv2/l

Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es at=dv/dt.

La segunda ley de Newton se escribe

mat=-mg·senq

La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial:

(1)

Cuando el ángulo q es pequeño entonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones armónicas en torno a su posición de equilibrio cuya ecuación es

q =q0·sen(w t+j )

de frecuencia angular w2=g/l

y su periodo de oscilación alrededor de dicha posición está dado por la ecuación siguiente:

T =2Lg π

donde L representa la longitud medida desde el punto de suspensión hasta la masa puntual y g es la aceleración de la gravedad en el lugar donde se ha instalado el péndulo.

MATERIAL

1-Soporte universal 1-Marco de Pesas 1- Cronometro 1- Flexómetro 1- Cordel Pinza de tres dedos con nuez

DESARROLLO

- Armar con un soporte universal un dispositivo para colgar un hilo y dejar suspendido el péndulo con una distancia de 0,30 metros.

- Separar el péndulo de la posición vertical un ángulo pequeño (entre 6 y 10º) y dejarlo oscilar libremente, teniendo cuidado de verificar que la oscilación se produce en un plano vertical.

- Se pone en marcha el cronómetro y se cuentan 20 oscilaciones completas (una oscilación completa dura el tiempo de ida y vuelta hasta la posición donde se tomó el origen de tiempos). El periodo del péndulo es igual al tiempo medido dividido por 20.

- Se repite la medida anterior por triplicado con el mismo péndulo.

- Se realiza todo lo mencionado anteriormente pero ahora con una longitud del hilo de 0,45 metros y después de 0,60 metros y así sucesivamente hasta llegar a 1,35 metros de longitud del péndulo.

RESULTADOS

Tabla 1. Longitud del péndulo y el tiempo que tarda en recorrer veinte oscilaciones.

d (m) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t (s)0,30 22,30 22,50 22,82 22.540,45 27,86 27,94 27,67 27.820,60 31,33 31,46 31,46 31.410,75 34,87 34,99 34,91 34.920,90 37,90 37,84 37,56 37.761,05 41,12 40,88 40,94 40.981,20 44,05 43,83 44,02 43.961,35 47,00 46,59 46,47 46.68

Tabla 2. Longitud del péndulo y su periodo.

d (m) t (s) t /20 (s) t2 (s2)0,30 22.54 1.12 1.250,45 27.82 1.39 1.930,60 31.41 1.57 2.460,75 34.92 1.74 3.020,90 37.76 1.88 3.531,05 40.98 2.04 4.161,20 43.96 2.19 4.791,35 46.68 2.33 5.42

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

1

2

3

4

5

6

f(x) = 3.8968253968254 x + 0.105119047619048R² = 0.998806971700089

t^2 (s^2)

d (m)

t^2 vs distancia

d (m) t2 (s2) Yi2 (s4) Xi2 (m2) Xiyi (ms2)

Yi’ (s2)

( yi− yi ')❑ (s2)

( yi− yi ' )2 (s4)

0.3 1.25 1.56 0.09 0.37 1.27 -0.02 4x10-4

0.45 1.93 3.72 0.20 0.86 1.85 0.08 6.4x10-3

0.6 2.46 6.05 0.36 1.47 2.43 0.03 9x10-4

0.75 3.02 9.12 0.56 2.26 3.02 0 00.9 3.53 12.46 0.81 3.17 3.60 -0.07 4x10-4

1.05 4.16 17.30 1.10 4.36 4.18 -0.02 4.9x10-3

1.2 4.79 22.94 1.44 5.74 4.76 0.03 9x10-4

1.35 5.42 29.37 1.82 7.31 5.34 0.08 6.4x10-3

∑ xi=6.6

∑ yi=26.56

∑ yi2=¿102.52

∑ xi2=¿6.38

∑ xiyi=

25.54

∑ yi '= 26.45

∑ ( yi− yi ')❑

= 0.11∑ ( yi− yi ')2

= 0.020

Calculo de la gravedad experimentalmente g= 4 π2 lt 2

g (m/s2) longitud (m) t^2 (s^2)9.32466331 0.3 1.2701299.17939216 0.45 1.935344699.59954768 0.6 2.467517369.71067933 0.75 3.049098039.88036271 0.9 3.596080119.87336333 1.05 4.1984019.82969493 1.2 4.819488449.78065099 1.35 5.44911211

Ordenada al origen b=∑ yi∑ xi2−∑ xi∑ xiyi

n∑ xi2−¿¿¿

b= (26.56 s2∗6.38m2 )− (6.6m∗25.54ms2 )

8 (6.38m2 )−(6.6m )2 = 0.11 s2

Pendiente m=n∑ xiyi−∑ xiΣyi

n∑ xi2−(∑ xi)2

m =

m= (8∗25.54ms2)−(6.6m∗26.56 s2)

(8∗6.38m2 )−(6.6m)2 = 3.88 s2/m

Para sacar yi’ se sustituye:yi’ = mxi + b

Desviación típica de los datos

Sy=√∑ ( yi− yi ')2

n−2

Sy= √ 0.020 s4

8−2 = 0.05 s2

Incertidumbre de la pendiente Sm=Sy√ n

n∑ xi2− (∑ xi )2

Sm= 0.05 s2 √ 8

8 ( 6.38m2 )❑−(6.6m )2 = 0.05 s2/m

Incertidumbre de la ordenada al origen

Sb=Sy√ ∑ xi2

n∑ xi2− (∑ xi )2

Sb= 0.05 s2 √ 6.38m2

8 ( 6.38m2 )❑−(6.6m )2 = 0.046 s2

Coeficiente de correlación

r=n∑ xiyi−∑ xi∑ yi

√n∑ xi2−(∑ xi)2−n∑ yi2−¿¿¿

r = (8∗25.54ms2)−(6.6m∗26.56 s2)

√(8∗6.38m2)−¿¿¿ = 0.99

Uc2g =( 4 π2

t 2 )2 dl2 + (−8π 2l

t 3 )2 dt2

donde dl= 0,001 m

dt= 0,01 s

Uc2g 1= 0.000255976 m/s2 + 0.014938305 m/s2 = 0.015194281 m/s2

Uc2g 2= 8.84202 x10-05 m/s2 + 0.00928766 m/s2 = 0.00937608 m/s2

Uc2g3 = 5.2489 x10-05 m/s2 + 0.007022145 m/s2 = 0.007074634 m/s2

g= (g1 ± Ucg1) m/s2

g 1= (9.324663307 ± 0.123265083)m/s2

g 2=( 9.873363332 ± 0.096830162)m/s2

g 3= (9.78065099 ± 0.084110841)m/s2

CONCLUSIONES

El cálculo de la gravedad obtenido en nuestros resultados se acerca con el de la constante de la gravedad real, aunque en algunas mediciones, se observa una variación más grande respecto a otras, eso se debió a errores experimentales los cuales no salen contemplados en la incertidumbre estándar combinada

BIBLIOGRAFÍA

http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/Practicas/02_Pendulo_simple.pdf

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/pendulo/pendulo.htm