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ALGEBRA (Ciencias) – ano 2010

PRACTICA N◦ 0

ELEMENTOS DE LOGICA

En esta practica te presentamos algunos problemas clasicos. Para resolverlos deberas determinar laveracidad o falsedad de ciertos enunciados.

1. En los siguientes dos problemas asumiremos que cada uno de los implicados siempre dice la verdado siempre miente:

a) C dice: “B siempre miente”B dice: “A y C son del mismo tipo”

(es decir, siempre mienten o siempren dicen la verdad).Pregunta: ¿De que tipo es A?

b) E dice: “F y G son del mismo tipo”Se le pregunta a G: “¿son F y G del mismo tipo?”

¿Que responde G?

2. En el bosque del olvido nos encontramos con el Leon y el Unicornio. El Leon miente los lunes,martes y miercoles y el Unicornio miente los jueves, viernes y sabados. En todas las demasocasiones, ambos animales dicen la verdad.

“Ayer me toco mentir”, dice el Leon.

“Tambien a mı me toco mentir” dice el Unicornio.

¿De que dıa de la semana se trata?

3. Un chico y una chica estan sentados en la escalera de la escuela.

“Yo soy un chico” dice la persona morena.

“Yo soy una chica” dice la persona pelirroja.

Si al menos uno de los dos ha mentido, quien es el pelirrojo y quien el moreno?

4. Supongamos que un falaz siempre miente y que un veraz siempre dice la verdad; y supongamosademas que hay personas “normales” que no son ni falaces ni veraces.

a) A dice:“B es veraz”.B dice:“ A no es veraz”.

Muestre que uno de los dos dice la verdad, pero que no es veraz.

b) C dice:“D es veraz”.D dice:“ C es falaz”.

Muestre que o bien uno de ellos dice la verdad pero no es veraz, o bien uno miente pero noes falaz.

c) E dice: “soy falaz”¿Que es E?

5. A dice:“lo que va a decir B es mentira”.

B dice:“lo que dijo A es verdad”.

¿Quien miente? ¿Quien dice la verdad?

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PRACTICA N◦ 1

ELEMENTOS DE LOGICA

1. Analizar las siguientes afirmaciones. Distinguir las proposiciones simples que las componen yescribir simbolicamente la proposicion compuesta.

a) Si la demanda se mantiene constante y los precios se incrementan, entonces habra inflacion.

b) La suma de dos numeros es par si y solo si ambos son pares o ambos son impares.

c) Si bien llueve, el gato no se moja.

d) Juan y Pedro son hermanos, en caso que ambos tengan el mismo padre y la misma madre.

2. Dadas la siguientes proposiciones, reescribirlas utilizando “necesario” y “suficiente”.

a) Un numero es par solo si es divisible por 2.

b) Un numero es par si es divisible por 2.

c) Si un numero es par, es divisible por 2.

d) Un numero es par si y solo si es divisible por 2.

e) Si 2 < 5, 2 es par.

3. Probar algunas1 de las siguientes equivalencias:

a) Doble Negacion:

p ⇔ (∼ (∼ p))

b) Leyes Conmutativas:

(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)

c) Leyes Distributivas:

((p ∨ q) ∧ r) ⇔ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))((p ∧ q) ∨ r) ⇔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r))

d) Leyes Asociativas:

(p ∧ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∧ r)(p ∨ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∨ r)

e) Leyes de De Morgan:

(∼ (p ∧ q)) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q)(∼ (p ∨ q)) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q)

f ) Implicacion directa y contrarrecıproca.

(p → q) ⇔ (∼ q → ∼ p)

4. Verificar la validez de las siguientes reglas:

a) p , (p → q) |= q (Modus Ponens)

b) (p ∧ q) |= q (Simplificacion)

c) p |= (p ∨ q) cualquiera sea q (Adicion)

d) (p → q) , (q → r) |= (p → r) (Silogismo Hipotetico)1Hacer un item de cada inciso.

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5. a) Mostrar que son tautologıas

1) (∼ p → (r∧ ∼ r)) → p

2) [(p∧ ∼ q) → (r∧ ∼ r)] → (p → q)

b) Concluir la validez de la siguiente regla:

Si p ,∼ q |= (r ∧ ∼ r) entonces p |= q.

6. Verificar la validez de las siguiente regla (prueba por el contrarecıproco):

p |= q sii ∼ q |= ∼ p.

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PRACTICA N◦ 2

ELEMENTOS DE LOGICA

1. Traducir en sımbolos:

(a) Si algunos trenes estan retrasados, entonces todos los trenes lo estan.

(b) Todo numero entero es o bien par o bien impar.

(c) Algunas personas odian a todos.

(d) Los elefantes son mas pesados que los ratones.

(e) Para todo numero natural existe un numero entero que lo divide.

(f) Existe un numero natural que divide a todos los numeros enteros.

2. Consideremos la formula : (∃x)(p(x) −→ (∀y)p(y))En cada caso pasar a lenguaje corriente e interpretar si es posible su valor de verdad:

(a) Sea I1 la interpretacion: U = ”conjunto de granos de arroz en una cacerola”, p(x): ”x estacocido”.

(b) Sea I2 la interpretacion: U=Z, p(x): ”x es par”.

Determinar, justificando, si (∃x)(p(x) −→ (∀y)p(y)) es logicamente valida.

3. Dar interpretaciones en las cuales las siguientes formulas:

(a) (∃x)p(x) → (∀x)p(x)

(b) (∀x)(p(x) → (∀y)p(y))

(c) (∀x)(∀y)((p(x) ∧ p(y) ∧ q(x, y)) → r(x, y))

resulten:

i. verdaderas

ii. falsas

4. Negar las proposiciones del ejercicio anterior y escribirlas de modo que ningun cuantificadoraparezca negado (forma prenexa).

5. Sea p(x) un enunciado que depende de una variable x, U el conjunto universal en el que tomavalores x y Q el conjunto de verdad de p(x). Analizar:

(a) ¿Como debe ser Q para que ”(∀x) p(x)” sea verdadera?

(b) ¿Como para que ”∀x p(x)” sea falsa?

(c) ¿Como para que ”∃x p(x)” sea verdadera?

(d) ¿Como para que ”∃x p(x)” sea falsa?

6. Sea U el conjunto de alumnos de esta Facultad y sean x e y variables que toman valores en elconjunto U . Considere el siguiente enunciado dependiente de las variables x e y:

p(x, y):”x sabe el numero de telefono de y”.

Analizar el significado de cada una de las siguiente proposiciones:

(a) (∀x)(∃y)p(x, y).

(b) (∃x) (∃y)p(x, y).

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PRACTICA N◦ 3

ELEMENTOS DE LOGICA

1. Demostrar utilizando el metodo directo:

a) Si a es par y b es par, entonces ab es par.

b) Sea f(x) = mx + b la funcion lineal real con m 6= 0. Mostrar que para todo x e y reales, sif(x) = f(y) entonces x = y

2. Demostrar los enunciados del ejercicio anterior utilizando el metodo del contrarrecıproco.

3. Probar por el absurdo:

a) Si x es racional e y es irracional, entonces xy es irracional.

b) Para todo par de numeros reales x e y , si x 6= 0 e y 6= 0 entonces xy 6= 0

c) Para todo numero real x, x > 0, hay un entero m > x

4. Probar:

a) Dos numeros reales a y b son raıces de la ecuacion x2 + px + q ( p, q reales fijos) si y solo sia + b = −p y ab = q

b) Existe un numero real x tal que x2 = x

c) Existe y ∈ R tal que para todo x ∈ R, x + y = x

d) Si a y b son reales positivos, entonces√

a + b 6=√

a +√

b

e) Para todo x ∈ R existe exactamente un y ∈ R tal que x + y = y + x = 0

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PRACTICA N◦ 4

ELEMENTOS DE TEORIA DE CONJUNTOS

1. Decir, justificando adecuadamente, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:(a) ∅ ∈ {∅} (b) ∅ ⊂ {∅} (c) {a} ∈ {a, b}(d) ∅ ∈ ∅ (e) {a} ⊂ {a, b} (f) {a, b} ∈ {a, {a,b}}(g) {∅} ∈ {∅} (h) {a} ∈ {{a}} (i) {a, b} ⊂ {a, {a, b}}

2. ¿Cuales de los siguientes conjuntos son el conjunto vacıo?.A = {x : x ∈ R ∧ x2 + 1 = 0} B = {x : x = −x ∧ x ∈ R}C = {∅} D = {x : x2 = 9 ∧ 2x = 4 ∧ x ∈ R}E = ∅ F = {y, y > 2 ∧ y < 2}

3. ¿Cuales de los siguientes conjuntos son iguales?A = {x : x− 2 = 0 ∧ x ∈ R} B = {x : x ∈ Z ∧ 1 < x < 3}C = {∅} D = {x : x ∈ Z ∧ 1 ≤ x ≤ 3}E = ∅ F = {x : x es un dıgito del numero 123123}G = {x : x ∈ Q ∧ 1 < x < 3}

4. En un grupo de 110 alumnos hay 63 alumnos que cursan algebra, 30 que cursan geometrıa analıticay 50 que cursan analisis. Sabiendo que hay 7 alumnos que cursan las tres materias, 30 que solocursan algebra, 13 que solo cursan geometrıa y 25 que solo cursan analisis, determinar:

(a) ¿Cuantos alumnos cursan exactamente dos de estas materias?

(b) ¿Cuantos analisis y algebra pero no geometrıa?

(c) ¿Cuantos ninguna de estas materias?

5. Sean A = {1, 3, 2}; B = {3, 4, 1, b}; C = {0, b, 2, 3}.Hallar: A ∪B, B ∪ C, C ∪A , A ∪ (C ∪B), A ∩B, A ∩ C, A ∩ (B ∩ C) y (A ∩B) ∪ C.

6. Sean A = {1,−2, 7, 3}; B = {1, {3}, 10} y C = {−2, {1, 2, 3}, 3}, y el universo U = A ∪ B ∪ C.Hallar:

(a) A ∪ (B ∩ C) (b) (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (c) B − C(d) A−B (e) (A ∪B) ∩ C (f) (B − C) ∩A

7. Sean A = {x ∈ N : x es par}, B = {x ∈ N : x es primo} y C = {x ∈ N : x es impar}, vistoscomo subconjuntos de N. Determinar:(a) A ∩B (b) A ∪ C (c) B − C (d) Ac ∪ C (e) A ∩Bc.

8. Sean A,B y C los conjuntos del ejercicio 5.Hallar A−B, A− C, A− (C −B), (A−B)− (A− C), (A−B)−A.

9. Sean A = {1, 2, 3}, B = {7}, C = {3, 6}, D = {5, 9, 10} y U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.Hallar: (Bc ∪D) ∩ C, (D ∩A) ∪Bc, (C −D)c ∪A, Ac − C.Los complementos se toman con respecto a U .

10. Hallar: P (∅) y P (P (∅)).

11. Sea A = {2, {x}, {∅}, {2, x}}, hallar P (A).

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PRACTICA N◦ 5


1. Siendo A,B y C conjuntos, demostrar que:

(a) Si A ⊂ B y B ⊂ C y C ⊂ A entonces A = B = C.

(b) Si X ⊂ ∅ entonces X = ∅.

2. Probar:a) ∅ ∪ A = A. b) A ⊂ C ∧B ⊂ C =⇒ A ∪B ⊂ C.c) A ⊂ A ∪B. d) A ∪B = ∅ =⇒ A = ∅ ∧B = ∅e) A 6= ∅ ∨B 6= ∅ =⇒ A ∪B 6= ∅.

3. Determinar cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas para conjuntos A, B, C cua-lesquiera, y cuales no. Para las que sean verdaderas dar una demostracion y para las otras uncontraejemplo:

a) A ∩ ∅ = ∅ b) C ⊂ A y C ⊂ B =⇒ C ⊂ A ∩Bc) A ∩B 6= ∅ y A ∩ C 6= ∅ =⇒ B ∩ C 6= ∅ d) A ∩B ⊂ Ae) A ∩A = A f) C ⊂ A ∪B =⇒ C ⊂ A o C ⊂ B

4. Demostrar:

(a) A ∩B = ∅ ⇐⇒ P (A) ∩ P (B) = {∅}(b) P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B)

(c) Es cierto que P (A ∪B) = P (A) ∪ P (B)? Justifique.

5. Sean A ⊂ U y B ⊂ U , siendo U un universo dado. Probar:

(a) A−B = A ∩Bc

(b) (A ∩B)c = Ac ∪Bc

6. ¿Cual o cuales de las siguientes expresiones son equivalentes a A ⊆ B?.a)A ∩Bc = ∅ b) A ∩Bc = A c) A−B = ∅d) A ∪Bc = U e) Bc ⊆ Ac f) Ac ∪B = U

7. Sean A, B, C conjuntos y U un universo donde estan definidos. Probar:a)A− (B − C) = (A−B) ∪ (A ∩ C) b) ∅ ⊂ Ac) (A−B) ∩ B = ∅ d) A− (A−B) = A ∩B

8. Determinara)

⋃n∈N

[n, n + 2)

b)⋂n∈N

[n, 2n]

Considerar intervalos reales y luego intervalos naturales.

9. Determinar

a)⋃n∈N

[1

10n, 1− 1

10n

]b)

⋂n∈N

(− 1

10n, 1 +

110n

)Considerar intervalos reales.

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PRACTICA N◦ 6


1. Sean A = {1,3}, B = {w,u,1}, C = {∅,1}, D = ∅ y U = A∪B∪C∪D. Determinar cada uno de lossiguientes conjuntos: (los complementos se toman respecto de U)

(i) A × B (ii)(A-B) × C (iii) (Bc∪C) × A(iv) (Bc∪C) × A (v) (A×B) ∩ (A×C) (vi) (A×B) − (A×C)(vii) (A∩C) × (D∪B) (viii) (A × B) × C

2. Representar A×B, en un grafico cartesiano y determinar (A×B)c siendo:

(a) A = {x ∈ N : 1 ≤ x < 5} y B = R ; UA = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y UB = R(b) A = [−2, 2] y B = {x ∈ R : x + 1 = 3}; UA = R y UB = R(c) A = [0, 1) y B = (−

√2,√

2]; UA = [0, 1] y UB = R(d) A = {2k + 1, k ∈ Z} y B = N; UA = Z y UB = Z

Nota: UA y UB son los universos sobre los cuales se toman A y B respectivamente.

3. Demostrar:

(a) X × Y = ∅ ⇐⇒ X = ∅ ∨ Y = ∅.(b) (X × Y) ∪ (Z × Y) = (X∪Z) × Y.(c) (X−Y) × Z = (X × Z) − (Y × Z).(d) X × Y = X × Z ∧ X 6= ∅ =⇒ Y = Z.(e) (A × B)∪(C × D) ⊂ (A∪C) × (B∪D). ¿Vale la igualdad?¿Por que?(f) ¿Cuando (A×B) ∩ (B ×A) 6= ∅? y, ¿cuando es ∅?

4. Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5} y las relaciones de A en B: S, T y R, definidaspor,

• xSy ⇔ x− 1 = y ∨ x + 1 = y

• T = {(1, 2), (2, 4), (3, 5)}• 1R2, 1R3, 1R4, 1R5.

(a) Obtener los graficos cartesianos y dibujar su grafo dirigido asociado, para cada una de estasrelaciones. Ademas, determinar en cada caso, dominio e imagen.

(b) Hallar: S ∩R, T c y T −1 −R−1

NOTA: Si R es una relacion de A en B, se llama Rc a (A×B)−R

5. Hallar dominio e imagen de R y determinar si se trata de una relacion total o funcional, en lossiguientes casos:

(a) E un conjunto cualquiera y R la relacion definida en P(E) por:

i) ARB ⇐⇒ A 6= B ∧B = E.ii) ARB ⇐⇒ A ∩B = ∅.iii) ARB ⇐⇒ A ∩B = ∅ y A ∪B = E

(b) En N la relacion: xRy ⇐⇒ x + 2y = 40.(c) R definida en el conjunto de rectas del plano, como: aRb ⇐⇒ a ∩ b 6= ∅.

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PRACTICA N◦ 7


1. Si f : A → B, donde A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} y f(x) = x2. Determinar:

(a) f(2) (b) f(-1) (c) f(0)(d) f({1,2}) (e) f({-1, 0, 1}) (f) f(A)(g) f−1({1,4}) (h) f−1({2, 1}) (i) f−1({0, 3, 4})

2. Dada la funcion f : R → R, definida como:

f(x) =

−1 si x ≤ 0x si 0 < x ≤ 45 si x > 4

Hallar f−1(B), siendo:

(a) B = {4}(b) B ={4, 5}(c) B = (-∞, 0]

(d) B = (0, 4] ∪ {5}

3. Sea f : A → B una funcion. Sean X ⊂ A e Y ⊂ A, probar:

(a) Y ⊂ X =⇒ f(Y ) ⊂ f(X)

(b) f(X)− f(Y ) ⊂ f(X − Y )

(c) X ⊂ f−1(f(X))

4. Establecer si son verdaderas o falsas, en caso de ser verdaderas dar una prueba, y en caso de serfalsas un contraejemplo.

(a) X = ∅ =⇒ f−1(X) = ∅(b) f−1(X) = ∅ =⇒ X = ∅ Sean A y B conjuntos arbitrarios y f : A → B una funcion.

(c) f(A ∪B) ⊆ f(A) ∪ f(B)

(d) f(A) ∪ f(B) ⊆ f(A ∪B)

(e) f(A ∩B) = f(A) ∩ f(B)

(f) f−1(A ∩B) = f−1(A) ∩ f−1(B)

(g) f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B)

5. Sea A = {a, b, c} y sea f : A → A; f = {(a, b), (b, a), (c, b)}

(a) Escribir f ◦ f y f ◦ f ◦ f como conjunto de pares ordenados.

(b) Determinar f9,f20 y f9821.

6. Sea A ⊂ R, A 6= ∅, y f : A → R la funcion tal que f(x) =√

22 x2 − x, en cada x ∈ A.

(a) Demostrar que si A ⊂ Q entonces f es inyectiva.

(b) Si A = R determinar f(A).

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7. Sea X un subconjunto de U . Se llama funcion caracterıstica de X en U a la funcion:CX : U → {0, 1}, definida por:

CX(u) ={

1 si u ∈ X0 si u /∈ X

(a) Hallar CX∪Y (a), siendo X = {3, 5, 7}, Y = {2, 1, 7}, y U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}(b) Hallar CX∩Y (a), siendo X = {3, 5, 7}, Y = {2, 1, 3, 7}, y U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}(c) Dar expresiones generales para CXc , CX∩Y y CX∪Y en terminos de CX y CY , para X, Y ⊆ U

cualesquiera.

(d) Escribamos 2U para indicar el conjunto de todas las funciones caracterısticas con dominioU . Definamos ϕ : 2U → P(U) la funcion dada por:

ϕ(α) := α−1({1})

para α ∈ 2U .

i. Mostrar que ϕ es biyectiva.ii. Usar el resultado anterior para determinar la cantidad de elementos del conjunto P(U),

cuando U es un conjunto finito de n elementos.

8. Sea E un conjunto y A un subconjunto propio1 de E. Analice inyectividad y suryectividad de lassiguientes funciones:

(a) f : P (E) → P (E) dada por f(X) = Xc.

(b) g : P (E) → P (E) dada por g(X) = A ∩X.

(c) h : P (E) → P (E) dada por h(X) = A ∪X.

9. Sean A,B dos conjuntos no vacıos y BA = {f | f : A → B es funcion}. Dado a ∈ A se defineha : BA → B en la forma

ha(f) = f(a)

Analizar inyectividad y suryectividad de ha.

10. Sean f : A → B y g : B → C funciones. Demostrar:

(a) Si (g ◦ f) es inyectiva entonces f es inyectiva.

(b) Si f y g son suryectivas entonces (g ◦ f) es suryectiva.

(c) Si (g ◦ f) es suryectiva entonces g es suryectiva.

(d) Si f y g son inyectivas entonces (g ◦ f) es inyectiva.

Si f y g son biyectivas, es (g ◦ f) biyectiva? y si (g ◦ f) es biyectiva, son f y g biyectivas?

11. Sean f : A → B y g : B → C funciones biyectivas. Probar que (g ◦ f)−1 es funcion y que(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

1A es un subconjunto propio de E si A ⊂ E, A 6= E y A 6= ∅.

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PRACTICA N◦ 8


1. Un conjunto A de dice infinito en el sentido de Dedekin o D-infinito si hay una aplicacion inyectivaf : A→ B para algun subconjuto propio de A, B. Si A no es D-infinito, diremos que es D-finito.

Mostrar que:

(a) Si A es D-infinito y A =c B, entonces B es D-infinito.

(b) Si A es D-finito, y B ⊆ A, entonces B es D-finito.

(c) Si A y B son D-finitos, entonces A ∪B lo es.

2. El hotel de HilbertEl hotel de Hilbert es un poco especial, ya que tiene infinitas habitaciones, una por cada naturalpositivo. Todas las habitaciones son individuales, por lo que no pueden coincidir dos personas enla misma habitacion. Para simplificar un poco la explicacion de cada una de las situaciones quevamos a presentar podemos suponer que las habitaciones estn dispuestas en lınea recta, una allado de otra, de izquierda a derecha. Por tanto tenemos una primera habitacion...pero no tenemosultima.Un huesped masSupongamos, que todas las habitaciones del hotel de Hilbert estan ocupadas y que en ese momentollega una persona mas al hotel buscando una habitacion. Como alhojamos a este nuevo huesped?Muy sencillo. El gerente del hotel pide a todos los huespedes que se muden a la habitacion desu derecha, es decir, el de la 1 pasa a la 2, el de la 2 a la 3, y ası sucesivamente. Como notenemos ultima habitacion todos los ocupantes del hotel siguen teniendo habitacion, quedandoademas la habitacion 1 libre. Ya tenemos donde instalar a nuestro nuevo huesped. De hechocualquier conjunto finito de nuevos huespedes seguirıa sin plantearnos problemas. Por ejemplo,podramos alojar a una excursion de 200 personas pidiendo a cada huesped actual que se mudaraa la habitacion , siendo el numero de la habitacion que ocupa.Epoca estival: infinitos nuevos huespedesEstamos ahora en epoca de vacaciones. El hotel de Hilbert esta en la ciudad de moda, razonpor la que acuden a el un numero infinito de nuevos huespedes, uno por cada natural positivo.Podremos acomodarlos ahora? Pues sı, tambien se puede. Lo unico que tenemos que hacer esmudar a cada huesped a la habitacion que se obtiene de multiplicar por 2 la que tiene en estemomento, es decir, si un huesped esta en la habitacion n lo mudamos a la habitacion 2n . Asıquedan ocupadas todas las habitaciones pares, quedando libres todas las impares. En ellas esdonde colocamos a los nuevos clientes, de la siguiente forma: los colocamos en fila, los numeramosy despues colocamos al nuevo cliente en la habitacion 2m−1 (el nuevo cliente 1 va a la habitacion1, el nuevo cliente 2 a la habitacion 3, y ası sucesivamente).

(a) Los infinitos huespedes que quieren alhojarse en el hotel han sido numerados con los numerosenteros. A que habitacion ira el huesped −20 ? Expresa la nueva asignacion para un huespedcualquiera con una funcion.

(b) Supone que nuevamente un nmero infinito de huespedes quiere alhojarse en el hotel, perolos han numerado con pares de numeros, es decir que existe el huesped (2, 1), el (1, 2), el(25, 80), etc. Idea una estrategia para poder alhojarlos.

3. Sean a, b ∈ R y a < b, probar:

(a) (a, b) =c (0, 1) Utiliza la idea de que puedes construir una recta que pase por los puntos(0, a) y (1, b)

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(b) (a, b) =c R(c) (a, b) =c [a, b]

4. Mostrar que si A =c B =c N, entonces A×B =c N.

5. Ver que Fun(N, N) >c N.

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