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PRÁCTICA Nº 11. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA UTILIZANDO
MATLAB. DIAGRAMA DE NICHOLS
11. DIAGRAMA DE NICHOLS. .............................................................................. 1
11.2. LA CARTA DE NICHOLS. ...................................................................... 1
11.3. EJERCICIO RESUELTO ......................................................................... 2
11.4. EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................. 6 Asignatura: Sistemas Lineales. Ingeniería en Automática y Electrónica Industrial. ESIDE. Área de Automática y Electrónica. Curso 2006-2007
Práctica Nº11. Diagrama de Nichols
11. DIAGRAMA DE NICHOLS. 11.1. OBJETIVOS
Familiarizarse con la representación del lugar geométrico de M constante en el plano magnitud-fase: la carta de Nichols.
Interpretar la carta de Nichols y relacionarlo con el desarrollo teórico. Aprender a calcular especificaciones como Margen de Ganancia (MG), Margen
de Fase (MF), Pico de resonancia, frecuencia de resonancia y ancho de banda.
11.2. LA CARTA DE NICHOLS. Una de las mayores desventajas al trabajar en coordenadas polares del diagrama de Nyquist es que la curva ya no retiene su forma original cuando una modificación simple como un cambio de ganancia se hacen en al sistema. la carta de Nichols no presenta este inconveniente. Para el trabajo de diseño que involucra MR y BW como especificaciones, es más conveniente trabajar con la traza de magnitud-fase G(jω), ya que cuando la ganancia de lazo es alterada, la curva G(jω) se corre hacia arriba o hacia abajo en forma vertical, sin distorsión. Cuando las propiedades de fase de G(jω) se cambian de forma independiente, sin afectar la ganancia, la traza de magnitud-fase se afecta solo en dirección horizontal. Por la razón anterior, el lugar geométrico de M constante en las coordenadas polares se transfiere a las coordenadas magnitud-fase, y el lugar geométrico resultante forma una carta de Nichols. Una carta de Nichols típica del lugar geométrico de M constante se muestra en la figura 1.
Laboratorio de Sistemas de Medida y Regulación 11-1
Sistemas Lineales. Cuaderno de Prácticas.
-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
6 dB3 dB
1 dB
0.5 dB0.25 dB
0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
-40 dB
figura 1
Una vez que la curva G(jω) del sistema se construye en la carta de Nichols, las intersecciones entre el lugar geométrico de M constante y la trayectoria de G(jω) dan el valor de M a las frecuencias correspondientes de G(jω). El pico de resonancia MR se encuentra al localizar el lugar geométrico más pequeño de M constante (M≥ 1) que es tangente a la curva G(jω). La frecuencia de resonancia es la frecuencia de G(jω) en el punto de tangencia. El ancho de banda del sistema en lazo cerrado es la frecuancia en la cual la curva G(jω) intercepta al lugar geométrico M = 0.707 (-3dB).
11.3. EJERCICIO RESUELTO Veamos con este ejemplo la relación entre los métodos de análisis empleando el diagrama de Bode y el diagrama de Nichols. Considere el sistema de control de posición de una aeronave. La función de transferencia de la trayectoria directa del sistema con realimentación unitaria está dada por la ecuación:
)3008)(26.400(105.1)(
7
++=
sssKxsG
11-2 ESIDE. Departamento de Automática y Electrónica Industrial
Práctica Nº11. Diagrama de Nichols
Los diagramas de Bode para G(jω) se muestran en la figura 2 para K=7.248, 14.5, 181.2 y 273.57. Los márgenes de ganancia y fase del sistema en lazo cerrado para estos valores de K son los que se determinan en la siguiente tabla.
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagrams
-50
0
50
From: U(1)
101 102 103 104
-250
-200
-150
-100
To: Y
(1)
K=14.5 K=7.248
K=181.2 K=273.57
figura 2
K MG MF 7.248 31.57 75.9º 14.5 25.55 64.25º 181.2 3.61 7.78º 273.57 0 0º El diagrama de Nichols para los mismos valores de ganancia considerados en el caso anterior viene representado en la figura 3. Estas trazas de magnitud-fase, junto con la carta de Nichols, dan información sobre el pico de resonancia MR, la frecuencia de resonancia ωR, y el ancho de banda BW. Los márgenes de ganancia y de fase se pueden obtener claramente a partir de las trazas de magnitud-fase.
Laboratorio de Sistemas de Medida y Regulación 11-3
Sistemas Lineales. Cuaderno de Prácticas.
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
Nichols Charts
-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80From: U(1)
To: Y
(1)
figura 3 La figura 4 muestra las respuestas en frecuencia en lazo cerrado. La siguiente tabla resume los resultados del análisis en el dominio de la frecuencia para los cuatro valores de K.
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Práctica Nº11. Diagrama de Nichols
Frequency (rad/sec)
Phase(deg);Magnitude(dB)
Bode Diagrams
-100
-50
0
50From: U(1)
100 101 102 103 104-300
-200
-100
0
100
200
To:Y(1)
figura 4 K MR ωR MG MF BW 7.25 1.0 1.0 31.57 75.9 119.0 14.5 1.0 43.33 25.55 64.25 270.5 181.2 7.6 900.00 3.61 7.78 1402.0 273.57 ∞ 1000.00 0 0 1661.5
Laboratorio de Sistemas de Medida y Regulación 11-5
Sistemas Lineales. Cuaderno de Prácticas.
11.4. EJERCICIOS PROPUESTOS Analizar la respuesta en frecuencia de los siguientes sistemas de control con realimentación unitaria. Dibujar los diagramas de Nyquist y de Nichols y calcular el Margen de Fase, el Margen de ganancia, ancho de banda, pico de resonancia y frecuencia de resonancia.
a) )01.01)(1(
1.01)(sss
ssG++
+=
b) )5.01)(2.01(
)1(5.0)( 2ssssssG
++++
=
c) )5.01)(2.01(
)1()(sss
ssG++
+=
d) )5.01)(1(
1)(sss
sG++
=
e) )5.01)(1(
50)( 2ssssG
++=
f) )1(
)5.01)(1(2.0)( 2
2
+++−
=sss
sssG
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