Introduccin Un mapa de Karnaugh es una representacin grfica de una funcin lgica a partir de una tabla de verdad. El nmero de celdas del mapa es igual al nmero de combinaciones que se pueden obtener con las variables de entrada. Los mapas se pueden utilizar para 2, 3, 4 y 5 variables.La simplificacin de expresiones lgicas mediante el mapa de Karnaugh utiliza un mtodo grfico basado en la Suma de Productos.El mapa de Karnaugh se construye a partir de la tabla de verdad de la funcin lgica. El mapa por medio de una matriz de 8 celdas, representa los ocho mintrminos posibles que se pueden obtener con tres variables, en un arreglo de una matriz de 2x4. Por tanto, la primera fila contiene el primer valor posible ("0") y la segunda fila el valor ("1").Las variables2y3se agrupan por columna y se distribuyen en las cuatro columnas de acuerdo a las combinaciones posibles para obtener los mintrminos requeridos. Sus valores son00,01,10y11. Por ejemplo, la celdam2corresponde al mintrmino2, ubicado en la fila0y la columna10. La unin de estos dos nmeros da el nmero010, cuyo equivalente es el trminoABC el decimal 2. La tabla 2.4.1. muestra el mapa de Karnaugh para 3 variables.LneaABCMintrmino mxFuncin de Salida

0000m0F(0,0,0)

1001m1F(0,0,1)

2010m2F(0,1,0)

3011m3F(0,1,1)

4100m4F(1,0,0)

5101m5F(1,0,1)

6110m6F(1,1,0)

7111m7F(1,1,1)

(a)(b)(c)

La caracterstica de ordenamiento de un mapa de Karnaugh radica en el cambio de un solo bit en los trminos de las celdas adyacentes de filas y columnas. En la tabla 2.4.1. las entradasBCse colocan secuencialmente, cambiando cada vez una sola variable, por eso resulta el orden:00,01,11y10. En la interactividad 2.4.1., la pulsacin de cada cuadro activa el mintrmino correspondiente.Por ejemplo, la variableCest negada enm4y m5no lo est, mientras queAyBno cambia. Las celdas de los bordes superior e inferior e izquierdo y derecho tambin cumplen esta condicin al agruparlas unas a otras. En el teorema 12 de la leccin 1, se demuestra que la suma de los trminos mnimos en celdas adyacentes pueden ser simplificadas en un trmino AND de dos literales. Por consiguiente, aplicando el teorema para los trminosm4ym5del mapa se tiene:m4+ m5= ABC + ABC = AB(C+C) = ABLos trminosm4ym6se pueden asociar de la misma forma:m4+ m6= ABC + ABC = AC(B+B) = ACEjemploSimplificar la funcin F1=(m3, m4, m5, m6, m7).F1=(m3, m4, m5, m6, m7) =ABC + ABC+ ABC + ABC+ ABCAplicando el teorema 6 de la leccin 1 para el trminoABC.F1=(m3, m4, m5, m6, m7) =(m4, m5, m6, m7) +(m3, m7) = [ABC+ ABC + ABC+ ABC] + [ABC + ABC].El primer trmino en la sumatoria es el grupo 1 y el segundo trmino corrresponde al grupo 2. En un mapa de karnaugh, los mintrminos de cada grupo se relacionaran a travs de lazos independientes.Desarrollando la expresin,F1= [AB(C+C) + AB(C+ C)] + [BC(A+A)]= AB(1) + AB(1) + BC(1) = A(B+B) + BC = A + BC.El mapa se construye colocando un1en las celdas correspondientes a los mintrminos presentes en la funcin de salida. Por ejemplo, para el trminoF(1,1,0)= ABC = 1se situara un1en la celda110. Para los mintrminos no presentes en la funcin se pone un 0. Por ejemplo el trminoF(0,0,1)= AB'C = 0, ser una celda con valor0en la celda001. Despus de situar los unos en el mapa, se procede con la agrupacin de1s, la determinacin del trmino producto correspondiente a cada grupo y la suma de los trminos producto obtenidos. La determinacin del trmino producto se realiza de acuerdo los siguientes criterios:1.Una celda representa un mintrmino, dando como resultado un trmino de cuatro literales.2. Dos celdas agrupadas pueden representar la asociacin de dos mintrminos, dando como resultado un trmino de dos literales.3.Cuatro celdas agrupadas pueden representar la asociacin de cuatro mintrminos, dando como resultado un trmino de un literal.4. Ocho celdas agrupadas representan un valor de funcin igual a1.EjemploSea la funcin del ejemplo anterior, simplificarla por medio del mtodo del mapa. La tabla de verdad del ejemplo anterior es la siguienteLneaABCSalida F

00000

10010

20100

30111

41001

51011

61101

71111

El mapa de Karnaugh se configura de acuerdo a los mintrminos iguales a1y las celdas se agrupan tal como en la figura

El primer grupo se forma con los mintrminosm4, m5, m6y m7y el segundo grupo con los mintrminosm3y m7.Del primer grupo resulta el trminoAya que para las cuatro columnas de la tabla existen transiciones entre las variablesByC.El segundo grupo da como resultado el trminoBCpor el cambio existente en la variableA.En total, la funcin queda reducida a la expresin:F1= A + BCMapa de Karnaugh de cuatro variablesLa construccin de un mapa de Karnaugh de 4 variables es similar al de 3 variables. La diferencia radica en el nmero de variables de entrada. El mapa por medio de una matriz de 16 celdas, representa los 16 mintrminos posibles (24) que se pueden obtener con cuatro variables de entrada, en un arreglo de 4 x 4. La disposicin de celdas en el mapa se muestra en la tabla 2.4.3.LneaABCDMintrminoMintrmino mxFuncin de Salida

00000ABCDm0F(0,0,0,0)

10001ABCDm1F(0,0,0,1)

20010ABCDm2F(0,0,1,0)

30011ABCDm3F(0,0,1,1)

40100ABCDm4F(0,1,0,0)

50101ABCDm5F(0,1,0,1)

60110ABCDm6F(0,1,1,0)

70111ABCDm7F(0,1,1,1)

81000ABCDm8F(1,0,0,0)

91001ABCDm9F(1,0,0,1)

101010ABCDm10F(1,0,1,0)

111011ABCDm11F(1,0,1,1)

121100ABCDm12F(1,1,0,0)

131101ABCDm13F(1,1,0,1)

141110ABCDm14F(1,1,1,0)

151111ABCDm15F(1,1,1,1)

(a)(b)(c)

Por ejemplo, la celdam9corresponde al mintrmino 9, ubicado en la fila 10 y la columna 01. La unin de estos dos nmeros da el nmero 1001, cuyo equivalente es el trminoABCD- el decimal 9.La minimizacin por medio de un mapa de 4 variables se puede efectuar con las celdas adyacentes entre s y las celdas de los bordes que se pueden concatenar para reducir la expresin. Por ejemplo,m13ym15son celdas adyacentes as comom0,m8, m2y m10.El mapa se construye colocando un1en las celdas correspondientes a los mintrminos presentes en la funcin de salida. Por ejemplo, para el trminoF(1,1,0,0)= ABCD = 1se situara un1en la celda1100. Para los mintrminos no presentes en la funcin se pone un 0. Por ejemplo el trminoF(1,1,1,1)= ABCD = 0, ser una celda con valor0en la celda1111.Igual que en el mapa de 3 variables, se procede con la agrupacin de 1s, la determinacin del trmino producto correspondiente a cada grupo y la suma de los trminos producto obtenidos.Las reglas para reducir trminos en un mapa de Karnaugh de 4 variables son las siguientes:1.Una celda representa un mintrmino, dando como resultado un trmino de cuatro literales.2. Dos celdas agrupadas pueden representar la asociacin de dos mintrminos, dando como resultado un trmino de tres literales.3.Cuatro celdas agrupadas pueden representar la asociacin de cuatro mintrminos, dando como resultado un trmino de dos literales.4.Ocho celdas agrupadas pueden representar la asociacin de ocho mintrminos, dando como resultado un trmino de un literal.5. Diecisis celdas agrupadas pueden representan un valor de funcin igual a1.EjemploSimplquese la funcin de BooleF2=(m1, m3, m8, m10, m12, m14)

El primer grupo se forma con los mintrminosm1y m3y el segundo grupo se forma con los mintrminosm8, m10y m12, m14.Del primer grupo resulta el trminoABDya que en la columna 1 no se presentan cambios para las variablesAyBy se presenta transicin en la variable C en las columnas 2 y 3. El segundo grupo da como resultado el trminoAD.La razn radica en la simplificacin de la variableBen la tercera y cuarta fila y en la variableCen la primera y cuarta columna.Sumando los mintrminos obtenidos se tiene la ecuacin simplificada:F2= ABD + ADMapas de Karnaugh empleando Producto de Sumas La simplificacin de expresiones lgicas mediante el mapa de Karnaugh tambin es posible mediante el mtodo de producto de sumas. En este mtodo, cada celda representa un maxtrmino.La construccin del mapa es similar a la suma de productos. La diferencia radica en que cada celda representa un maxtrmino. Por ejemplo, la celdam2corresponde al maxtrmino 2, ubicado en la fila 0 y la columna 10. La unin de estos dos nmeros da el nmero 010, cuyo equivalente es el trminoA+B+C. La figura 2.4.3. muestra el mapa de Karnaugh para 3 variables.

La representacin de la funcin lgica se hace simplemente copiando los ceros de la tabla de verdad en las celdas del mapa. Este mtodo es ms apropiado cuando en la columna de resultados de la tabla de verdad predominan los ceros.EjemploUtilizar el mapa de Karnaugh para minimizar el producto de sumas,F3= (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)Los maxtrminos se trasladan a cada una de las celdas del mapa de Karnaugh y las celdas se agrupan tal como en la figura 2.4.4.

El trmino suma para cada grupo se muestra en la figura y la suma de productos resultante es:F3= CEjemploUtilizar el mapa de Karnaugh para minimizar el producto de sumas,F4= (A+B+C+D)(A+B+C)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B'+C+D)El segundo trmino tiene que ampliarse a(A+B+C+D)(A+B+C+D).La funcin completa se pasa al mapa de karnaugh mostradoen la figura 2.4.5.

El trmino suma para cada grupo se muestra en la figura y el producto de sumas resultante es:F4= (A+C+D)(B'+D')(A'+D')Condiciones de No ImportaHasta el momento se ha asumido que la funcin es igual a0en los casos donde la funcin no es igual a1.En algunas aplicaciones esta suposicin no es siempre verdadera ya que existen combinaciones de entrada que no presentan. En un mapa de Karnaugh estas combinaciones de entrada sirven de herramienta para simplificar la funcin y su representacin se hace por medio de una X en la celda del mapa. Segn la agrupacin que convenga se asume un valor de10para laXcon el fin de obtener la expresin ms simple.EjemploSimplificar la funcin de Boole F5=(m0, m4, m7, m9) con condiciones de importa,NI=(m1, m5, m11, m14).Los mintrminos se marcan con un1, las condiciones de no importa con unaXy las celdas restantes con0.El mapa de Karnaugh de la funcinF5se muestra en la figura 2.4.6.

En suma de productos obtenemos,F5= ACD + A'BC + ABCD + AB'D