Distribución de probabilidades binomial y de poisson

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1. COMPETENCIA

Explicar las distribuciones de probabilidades para variables discretas Binomial y de Poisson.

Calcular la distribución de probabilidad binomial para n valores y graficar las probabilidades calculadas en función de su número de éxitos mediante la aplicación Microsoft EXCEL.

Determinar el promedio, la varianza y la desviación estándar utilizando las variables de la distribución de poisson en el enunciado.

2. TEORIA

2.1 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q=1−p. La suma de p y q es igual a 1.

p+q=1 dónde: 0< p<1

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

X B(n , p)

La función de probabilidad Binomial es:

f ( x )= n!x ! (n−x ) !

px (1−p )n−x

Dónde los valores que puede tomar n son: x={0,1,2,3 ,…,n} y

Dónde:

n: es el número de pruebas o ensayos

x: Número de éxitos

p: Probabilidad de éxito

q: Probabilidad de fracaso

Propiedades de la distribución binomial:

I) ∑0

nn!

x ! (n−x) !pxqn−x=1 condición de normalización

II) μ=np valor promedioIII) σ=√npq desviación estándar

A medida que el valor promedio μ=np aumenta la gráfica se hace más simétrica.

2.2 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON.

La distribución de poisson es una distribución de probabilidad discreta con el cual podemos obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros , impredecibles o de ocurrencia aleatoria cuyo resultado lo representa una variable discreta.

P (n . p )=an e−a

n!

Donde las variables:

p(n, p) = probabilidad de que ocurran n éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es p.n: variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra.

P: probabilidad.

a: media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto.

e=2.718

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

la ditrbucion de poisson se obtine cuando N tiende a infitito y P tiende a cero , aquí observamos como es que ocurre esto.

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION DE POISSON:

F (n ,a )=an e−a

n!

1.-NORMALIZACION:

∑n=0

N

(n ,a )=1

2.-PROMEDIO, MEDIA O VALOR ESPERADO:

n=⟨n ⟩=∑n=0

N

(n ,a )=Np=a

3.- VARIANZA:

σ 2=⟨(n−n)⟩2=n2−n=Np

3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL.

3.1. Calculo de la distribución de probabilidad binomial.

La probabilidad de que los alumnos de física desaprueben el curso de electricidad y magnetismo es de p=0.8

De un grupo de 5 alumnos, calcule la probabilidad binomial P(X) para cada valor de x, el valor promedio y la desviación estándar de la tabla 1;

p=0.8 ; q=0.2 ; n=5 ; μ=np ; σ=√npq

Tabla1.

X P(X) P (X ) % P.acumulada 0 1 2 3 4 5

∑0

5

P (X )=¿¿ ∑0

5

P (X )=¿¿

Valor promedio: μ=¿ ……………Desviación estándar: σ=¿ ……………

Grafique las probabilidades P(X)% en función de los valores de x de la tabla 1

De un grupo de 15 alumnos, calcule la probabilidad p(X) para cada valor de x, el valor promedio, desviación estándar de la tabla 2

p=0.8 ; q=0.2 ; n=15

Tabla 2.

X P(X) P (X ) % P.acumulado 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

∑0

15

P (X )=¿¿ ∑0

15

P (X )%=¿¿

Valor promedio: μ=¿……………..Desviación estándar σ=¿………….....

Grafique las probabilidades P(X)% en función de los valores de x de la tabla 2

3.2 cálculo de la distribución de Poisson:

Enunciado del problema:

La probabilidad de que al administrársele un antibiótico a un ave rapaz en recuperación se le presente una reacción negativa es 0.05. Si se le va a administrar el antibiótico a 80 de estas aves, calcúlese la probabilidad de que:

Calcule:N=80P=0.05a=4σ=21. Al menos haya reacción negativa en tres de ellas.Tabla1:n P(a,n) P(a,n)*100% P(a,n) acumulado

0 0.01831564 1.83156389 0.01831564

1 0.07326256 7.32625556 0.09157819

2 0.14652511 14.6525111 0.23810331

Grafique las probabilidades P(a,n) en función de los valores de n de la tabla 1

0 1 2

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Series1

2. Como mucho haya en 25Tabla 3:n P(a,n) P(a,n)*100% P. acumulado0 0.01831564 1.83156389 0.018315641 0.07326256 7.32625556 0.091578192 0.14652511 14.6525111 0.238103313 0.19536681 19.5366815 0.433470124 0.19536681 19.5366815 0.628836945 0.15629345 15.6293452 0.785130396 0.10419563 10.4195635 0.889326027 0.05954036 5.95403626 0.948866388 0.02977018 2.97701813 0.978636579 0.01323119 1.32311917 0.9918677610 0.00529248 0.52924767 0.9971602311 0.00192454 0.1924537 0.9990847712 0.00064151 0.06415123 0.9997262813 0.00019739 0.01973884 0.9999236714 5.6397E-05 0.00563967 0.9999800715 1.5039E-05 0.00150391 0.9999951116 3.7598E-06 0.00037598 0.9999988717 8.8465E-07 8.8465E-05 0.9999997518 1.9659E-07 1.9659E-05 0.9999999519 4.1387E-08 4.1387E-06 0.9999999920 8.2775E-09 8.2775E-07 121 1.5767E-09 1.5767E-07 122 2.8667E-10 2.8667E-08 123 4.9855E-11 4.9855E-09 124 8.3091E-12 8.3091E-10 125 1.3295E-12 1.3295E-10 1

P (a .n )=∑i=0

N

(n ,a )=¿¿1P (a .n )=∑i=0

N

(n ,a )=¿100¿

Grafique las probabilidades P(a,n) en función de los valores de n de la tabla 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

00.020.040.060.08

0.10.120.140.160.18

0.2

Series1