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Nombre del alumno: AMALIA GUADALUPE Prez Carpio

NOMBRE DEL MAESTRO: Casimiro

GRADO Y GRUPO: 2SV

FECHA DE ENTREGA: 25/05/2015

NOMBRE DE LA MATERIA: ALGEBRA LINEAL

Unidad: 4Tema: Espacios victoriales4.1 definicin de espacios victoriales: En primer lugar, mientras que puede ser til pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cmodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definicin 1 ofrece una definicin de un espacio vectorial real. La palabra real significa que los escalares que se usan son nmeros reales. Sera igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando nmeros complejos en lugar de reales.4.2 sub espacio vectorial y sus propiedades: sean U y W subespecies de un espacio vectorial V. probemos que la interseccin UW es tambin sub espacios de V. claramente, 0U y 0W, porque U y W son sub espacios, de donde 0UW. supongamos ahora que u, vUW. entonces u, vU y u, vE y, dado que U y W son sub espacios, u, U y W para cualquier escalar k. as UW y por consiguiente UW es un sub espacio de V.El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.

Teorema: la interseccin de cualquier nmero de sub espacios de un espacio vectorial V es un sub espacio de V.

Recurdese que toda solucin de un sistema de ecuaciones lineales con n incgnitas AX=B puede verse como un punto en K n y por tanto el conjunto solucin de tal sistema es un subconjunto de K n. Supongamos que el sistema homogneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solucin. Como A0=0, el vector cero 0W adems, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y A v=0. Por esta razn, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A =a0+b0=0+0=0. De esta manera, a u + b v es tambin una solucin de AX=0 o, dicho de otro modo, a u +b vW. En consecuencia, segn el corolario, hemos demostrado:

Teorema: el conjunto solucin W de un sistema homogneo con n incgnitas AX=0 es un sub espacio de k n.

Hacemos nfasis en que el conjunto solucin de un sistema homogneo AX=B no es sub espacio de K n. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho conjunto solucin.4.3 combinacin lineal y independencia lineal:. Es decirdonde a1, a2, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2 son vectores en un espacio vectorial V, entonces {v1, v2} es un subes paci de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea v2,-1,4) y v2= (4, 1,6). Entonces H= =a1 (2,-1,4)+a2 (4, 1,6)}. Cul es la apariencia de H? si) H, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

INDEPENDENCIA LINEALEn el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta seccin se define el significado de independencia lineal y se muestra su relacin con la teora de sistemas homogneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relacin espacial entre los vectores, se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuacin de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinacin no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinacin lineal no son ambos cero). Qu tienen de especial los vectores? La respuesta a esta pregunta es ms difcil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene .

Se ha escrito el vector cero como una combinacin lineal de v1, v2, y v3. Parece que los dos vectores de la ecuacin y los tres vectores de la otra ecuacin tienen una relacin ms cercana que un par arbitrario de 2-vectores a una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes. En trminos generales, se tiene la importante definicin a continuacin presentada.

Definicin: sean v1, v2,, vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, no todos ceros tales que.

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra forma, v1, v2 son linealmente independientes si la ecuacin c1v1+c2v2++ =0 se cumple nicamente para c1=c2===0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinacin lineal de v1, v2,, con coeficientes no todos iguales a cero.

4.4 Base y dimensin de un espacio vectorial: Existen numerosos ejemplos de la base de un espacio vectorial. Imagina tres dimensiones las cuales constan de dos vectores. Imagina que estos vectores no son planos. El plano definido con la ayuda de estos dos vectores slo formar una base para los espacios tridimensionales actuales. Esto es porque si definimos una combinacin lineal con la ayuda de estos dos vectores, entonces este se encontrara definitivamente dentro el plano mismo e inversamente tambin es posible expresar un vector dentro del plano como una combinacin lineal de ambos.

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades: de una manera ms amplia, con una definicin que contiene todos los conceptos relacionados. Sea F un campo y 1) La suma de los vectores es conmutativa. Es decir, a + b = b + a para todo a, b V. (2) La suma de los vectores es asociativa. Es decir, (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c V. (3) Existe una identidad aditiva 0 V de manera que 0 + a = a para todos los a V. (4) Para todo a V, 1a = a, donde 1 es la identidad multiplicativa de F. (5) Por cada elemento v de V, hay un elemento -v tal que v + (-v) = 0. De este modo -v es un inverso aditivo de v. (6) La multiplicacin escalar es asociativa. Si r, s F y a V, entonces (r s) a = r(s a). (7) La multiplicacin escalar es distributiva. Si r, s F y a, b V, entonces r(a + b) = r a + r b, and (r + s) = r a + s a.4.6 Base orto normal, proceso deOrto normalizacin de Gram-Schmidt: Es esencial que la base est ordenada para que sea una base Sea V un producto escalar de un espacio vectorial, y si tenemos a S como la base del espacio vectorial dado que contiene los elementos de la forma v1, v2, v Ahora, que tenemos otra base S, que contiene los elementos de la forma Aqu v1 = w1, entonces,

Tambin podemos afirmar lo definido de una manera inversa diciendo que si S es un subconjunto de V que consiste en vectores no cero, entonces podemos decir que S es linealmente independiente. Si tenemos S como base para cualquier producto escalar de un espacio vectorial, entonces por cada elemento en el espacio vectorial dado tenemos,

Aqu x es un vector en el espacio vectorial dado y los coeficientes [x, ] son llamados coeficientes de Fourier. Un punto digno de mencin es que todos los productos de los espacios vectoriales que tienen tamao finito, tienen esencialmente una base.