practica de ecuaciones
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1.- Una bala se disapara perpendicularmente en una placa a una velocidad inicial de V0=100m/s tal como se muestra en la figura, la bala atravesando sale de la placa, su velocidad es V1=80m/s. Se sabe que el espesor de la placa b=0,1m, y la fuerza resistente de la placa en la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad de la bala, es decir, R=Bv2 .Determine el tiempo T que la bala toma para pasar a través de la placa.
SOL.
Sean
S = el camino recorrido;
t = tiempo en segundos
V = dsdt
= velocidad del cuerpo
La descripción matemática es:
dsdt
=ks
La solución de la ecuación diferencial es:
S=Aekt, para t=10seg. S=100mts.
Reemplazando se tiene:
100 = Ae10 k→A= 100
10k………(1)
Para t=15 seg. S = 200mts
Reemplazando se tiene 200=Ae15 k→A=200
e15 k….. (2)
Igualando (1) y (2) se tiene:
K = ln (2)5
, reemplazando en (1) o en (2) se tiene:
A=25
Luego la expresión queda: S=25.2t2
PROBLEMA
De observaciones experimentales se sabe que la temperatura superficial de un objeto cambia con rapidez proporcional a la diferencia de temperatura del objeto y su entorno. Este hecho es conocido como la ley de enfriamiento de Newton. Si la temperatura de una taza de café es de 95°C recién hervida, y al minuto se enfrió a 88°C en un cuarto que está a 20°C, ¿cuánto tiempo debe de transcurrir para que se enfríe hasta los 60°C?
Llamaremos T a la temperatura del café a lost minutos.
Entonces dTdt
=−k (T−28) es la ecuación diferencial del proceso.
Resolviendo por el método de separación de variables es:
∫ dTT−20
+∫ kdt=0
ln (T−20)+k t=ln(c)
T=ce−kt+20
Aplicando las condiciones iniciales:
t = 0 T = 95
95 = c + 20, c = 75
Y para t =1, T =80
88=75e−k+20, k=−ln 6875
Entonces T=75e(ln 6875
)t+20
Para T = 60
60−2075
=e(ln 6875 )t
ln ( 4075 )=ln ( 6875 )t
t = 6.42 minutos
3.- Resuelve las siguientes ecuaciones.
z’(0)=-14 , y’(0)=8
y’(t)+z’(t)+z(t)=0
y’(t)+2y(t)+6∫0
1
z (v )dv+2=0
Por transformaciones de Laplace
y’(t)+z’(t)+z(t)=0……………………………………………….(1)
Transformando
£(y)[S] + £(z)[S+1] – y(0) – z(0) =0
y’(t)+2y(t)+6∫0
1
z (v )dv+2=0……………………………………(2)
Transformando
£(y)[S2] + 6£(z) +2£(y)[S] –y(0)[S]=-2
Derivamos 1 y 2
y’’(t)+z’’(t)+z’(t)=0………………………………………………(4)
Transformando
£(y)[S2] +£(z)[S2 +S] – y(0)[S] – z(0)[S+1]=-6
y’’(t)+2y’(t)+6z(t)+2=0
Transformando
£(y)[S2+2s] + £(z) – y(0)[S+2]=2
AHORA HALLAMOS LAS VARIABLES:
£(y)[S] + £(z)[S+1] – y(0) – z(0) =0
£(y)[S2] + 6£(z) +2£(y)[S] –y(0)[S]=-2
£(y)[S2] +£(z)[S2 +S] – y(0)[S] – z(0)[S+1]=-6
£(y)[S2+2s] + £(z) – y(0)[S+2]=2
£(y)= 5/2 / (S2 – 3/2 S – 1)
£-1(5/2 / (S2 – 3/2 S – 1)) = y
5/2 / (S2 – 3/2 S – 1) = A / (S-2) + B/ (S+1/2)
A=1 , B=-1
£-1(5/2 / (S2 – 3/2 S – 1)) = e2t – e-t/2
y= e2t – e-t/2