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PRACTICA 3: ESTUDIO DEL EQUILIBRADO ESTÁTICO Y DINÁMICO.

ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO.

1 . -INTRODUCCIÓN TEÓRICA

El objeto de la experiencia

será el equilibrar estática y

dinámicamente un sistema de masas

que gira con velocidad uniforme,

sirviéndonos de una máquina para

equilibrados,“BALANCING MACHINE “.

La figura representa un cuerpo

rígido cuyos puntos A y B están fijos

en el espacio mediante los soportes S

y S2.

El movimiento del sólido

rígido es entonces una rotación pura

alrededor del eje AB fijo en el espacio

y en el cuerpo mismo.

Como cualquier punto O del cuerpo rígido sobre el eje de rotación AB esta siempre

en reposo tendremos:

extMdt

Ld,0

0

( O eje rotación) (1)

Teniendo en cuenta que la relación existente entre la derivada temporal de un vector

respecto a un sistema de referencia inercial y su derivada temporal respecto a un sistema

móvil solidario al sólido rígido, se cumple:

00 IL ;

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

z

y

x

IPP

PIP

PPI

L

L

L

0

0

0

(2)

Siendo 0I el tensor de Inercia del cuerpo rígido, para el punto O, y respecto a un

sistema de referencia solidario al cuerpo rígido con origen en el punto O,{O,x,y,z} tiene por

representación matricial:

0I

zzyzx

yzyyx

xzxyx

IPP

PIP

PPI

Construyamos un sistema de referencia solidario al sólido de forma que su eje Z

coincida con el eje de rotación AB y sus ejes, x e y, sean dos rectas cualesquiera

perpendiculares, contenidas en el plano normal por el punto O, al eje de rotación AB y que

cortan en O. Como el eje de rotación está fijo en el espacio, el cuerpo rígido no tiene

movimiento de precesión alrededor del eje Z’ del sistema de referencia fijo.

2

0d

dt

(3)

Por tanto, para el ángulo de Euler se verifica en todo instante que = cte., lo cual

indica que la línea nodal permanece fija en el espacio, y además el ángulo de nutación θ =

cte.

Además, siempre podemos tomar como tercer eje del sistema fijo el de la dirección

del eje fijo, y como tercer eje del sistema móvil solidario al sólido el del eje fijo. Lo que

significa un grado de libertad cuyo parámetro es Ψ (ahora no tiene sentido el eje de nodos al

ser θ = 0).

La velocidad angular del cuerpo rígido es

dk k

dt

(4)

Supongamos que sobre el cuerpo rígido sólo actúan la fuerza de la gravedad y las

reacciones y R R de los soportes S1 y S2 , respectivamente. Entonces:

Rxx0,0 BORAOMM ext

(5)

donde 0M es el momento, respecto a O, del vector peso.

Consideremos por comodidad que el punto O A coincide con el origen del sistema

móvil y además con uno de los soportes, así xOA R O .

Llamemos a la distancia AB = OB = h

Desarrollando por componentes las ecuaciones (1) y (5) en el sistema de referencia

{O,x,y,z} móvil solidario al cuerpo rígido.

yoxyzzx RhMPP 2 (6.1)

xoyzxyz RhMPP 2 (6.2)

ozz MI (6.3)

La ecuación (6.3) es la que rige el movimiento de rotación del cuerpo rígido

alrededor del eje fijo AB. Las ecuaciones (6.1) y (6.2) determinan los momentos, respecto al

punto O, de las FUERZAS DE LIGADURA (reacciones en los soportes) necesarias para

mantener el eje fijo.

De la ecuación (6.3) se desprende que debido al momento de la fuerza de gravedad

respecto al eje de rotación, el cuerpo rígido adquiere una aceleración angular, y se pondrá en

movimiento de rotación alrededor del eje fijo AB. Se dice, que el CUERPO RIGIDO ESTA

“DESEQUILIBRADO” RESPECTO AL EJE DE ROTACION.

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Si consideramos el teorema de la cantidad de movimiento:

ext cF M a (7)

y además, tenemos en cuenta que el punto A tiene aceleración nula, al pertenecer al

eje fijo, y C es el centro de masas del sistema:

' ( ( ))ext cF R R P M a M w AC w w AC (8)

Desarrollando por componentes en el sistema de referencia móvil solidario con el

cuerpo rígido

2

c c x x xM y M y Mg R R (9.1)

2

c c y y yM x M x Mg R R (9.2)

zzz RRMg 0 (9.3)

Donde Mgx, Mgy, Mgz son las componentes del vector peso en el sistema móvil. Sin

embargo, si el centro de masas C estuviera sobre el eje de rotación AB entonces, el

momento áxico de la fuerza de gravedad respecto al eje es nulo, ya que en este caso el

vector OG sería paralelo al eje Z.

De la ecuación (6.3) Tendríamos: 0zI

De forma que es constante, ó lo que es lo mismo: 0 cte

Si en las ecuaciones (6) y (9) despejamos las reacciones, las ecuaciones obtenidas

indicarían que las reacciones de los soportes se pueden considerar compuestas de dos

componentes:

1) REACCIONES ESTATICAS. -No contienen la velocidad angular.

2) REACCIONES DINAMICAS.-Contienen la velocidad angular. Sus módulos son

proporcionales al cuadrado de la velocidad angular.

Además responden a las fuerzas que, debido al movimiento de rotación, el cuerpo

rígido ejerce sobre los soportes al querer escapar de la ligadura impuesta por los soportes,

obligándole a girar alrededor de un eje fijo. Por tanto, debido a ellas, se producen

vibraciones y un mayor desgaste de los soportes o cojinetes.

Caso de pasar el eje por el centro de masas, los momentos estáticos Mox, Moy, Moz

son nulos. Consiguientemente, cuando el centro de masas del cuerpo rígido está situado

sobre el eje de rotación fijo, y por tanto el momento áxico de la fuerza de gravedad respecto

al eje de rotación es nulo, y los momentos estáticos son nulos, se dice que el cuerpo está

ESTATICAMENTE EQUILIBRADO.

Si además los productos de inercia Pyz y Pxz son nulos, el vector momento cinético

será paralelo al vector velocidad angular; decimos que el sistema está dinámicamente

equilibrado.

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Por lo tanto las reacciones dinámicas de los soportes son entonces también nulas, lo

cual indica que el cuerpo rígido al girar no tiene entonces, debido a su rotación, tendencia

alguna a desprenderse de los soportes o cojinetes que mantienen su eje de rotación fijo. Se

dice entonces que el cuerpo rígido esta ESTATICAMENTE Y DINAMICAMENTE

EQUILIBRADO.

En esta situación de movimiento, en que el sólido está equilibrado estática y

dinámicamente las reacciones en los apoyos son las mismas que en situación estática, es

decir son independientes de su velocidad de giro. Es muy importante para evitar vibraciones

y el desgaste de los cojinetes que todo cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo esté

estáticamente y dinámicamente equilibrado, es decir, su eje de rotación fijo sea eje principal

de inercia y el centro de masas esté situado sobre el eje de rotación fijo.

El sistema que nosotros disponemos es el correspondiente a la figura:

Figura 1. Esquema de las masas.

Tenemos: Velocidad de rotación es uniforme = cte. La masa total M será M = Σmi,

siendo mi las masas que intervienen. En adelante, dichas masas se denominarán wi .Se trata

de colocar las masas, variando su coordenada z o variando su ángulo respecto al eje vertical,

de manera que el sistema esté equilibrado estática y dinámicamente. Las masas 1 y 2 tienen

su posición fijada.

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2 . - PROCEDIMIENTO

2.1 Objetos necesarios

Balancing machine; 4 bloques (masas); Regla, compás y transportador de ángulos

2.2.- Descripción del aparato

El equipo de trabajo “Balancing Machine” básicamente consiste en un eje

perfectamente paralelo, sujeto con rodamientos por los extremos a un armazón rectangular

con un motor adosado, que transmite al eje un movimiento de rotación uniforme. Un

extremo del eje va provisto de una polea sujeta a un disco provisto de dos escalas, que

usaremos como balanza y como goniómetro.

En la parte superior del armazón rectangular hay un nivel (burbuja) para comprobar

el paralelismo del eje y el resultado final del experimento. Para equilibrar estática y

dinámicamente la “balancing machine” se utilizan cuatro bloques de diferentes masas y

simétricas que se pueden sujetar sobre el eje.

2.3.- Calculo del tensor de Inercia en el punto A para una posición determinada de

las masas. Cálculo del vector momento cinético.

Antes de calcular la posición de equilibrado estático y dinámico de las masas dentro

del eje, se va a proceder a calcular, para una posición dada, la posición en x e y del centro de

masas del sistema de cuatro masas, así como el tensor de Inercia del sistema de masas en el

origen de coordenadas (Punto A). Para ello se usará la tabla 1. Dentro de la tabla, los valores

en negrita van a ser fijos para todo el experimento (valores de los wi de las masas, ángulo

girado y posición en el eje z de las masas 1 y 2).

Masa 1 Masa 2 Masa 3 Masa 4

Masas (wi) (gramos) 64 74 82 88

Ángulo girado 0º 45º 150º 230º

Distancia a A (zi) (mm) 0 165 55 110

Distancia al eje de giro

(ri)(mm) 40 40 40 40

Tabla 1. Valores iniciales de posición angular y en el eje Z de las masas.

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La posición del centro de masas en x é y vendrá dada por las siguientes expresiones:

. .

cosi i i

c m

i

w rX

w

(10.1)

. .

sini i i

c m

i

w rY

w

(10.2)

Los momentos de inercia respecto a los ejes x, y é z se calculan de forma directa:

2 2s nx i i i iI w r e z

(11.1)

2 2cosy i i i iI w r z

(11.2)

2 2

cos s nz i i i i iI w r r e (11.3)

Y para los productos de inercia respecto a los pares de planos coordenados, usamos

las ecuaciones de teoría: 2 s n cosxy i i i iP w r e (12.1)

cosxz i i i iP w z r (12.2)

s nyz i i i iP w z r e (12.3)

Finalmente vamos a considerar que tenemos una velocidad angular w k .

Calculamos el vector momento cinético en función de

2.4 Cálculo de las posiciones de equilibrio de los bloques

Suponemos que hay que encontrar las posiciones de los bloques (3) y (4) para que el

conjunto este equilibrado dinámicamente, habiendo fijado las de los bloques (1) y (2). El

procedimiento es el siguiente:

(a) Elegir las posiciones angulares y longitudinales adecuadas para los bloques (1) y (2).

Elegimos las que tenemos en la tabla 1.

(b) Determinar las posiciones angulares de los bloques (3) y (4), por cálculo gráfico

(punto 2.5).

(c) Determinar la posición longitudinal de los bloques (3) y (4), analíticamente.

(d) Montar los bloques sobre el eje en las posiciones así determinadas.

(e) Comprobar si el eje se encuentra en equilibrio estático.

(f) Colocar la correa en la polea y situar la cubierta transparente; conectar el motor y

observar si el conjunto se encuentra equilibrado.

(g) Cuando se haya logrado el equilibrio de forma satisfactoria, desplazar levemente uno

de los bloques. Observar el desequilibrio producido.

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(h) En último lugar se pide calcular el nuevo tensor de inercia para la posición de

equilibrado estático y dinámico. Además, volvemos a calcular el vector momento

cinético en función de

2.5 Cálculos

Buscamos que las coordenadas x é y del centro de masas sean cero. Vamos a ver

cómo lo podemos hacer gráficamente. Suponemos el bloque (1) situado en el punto A y con

ángulo cero, y que el bloque (2) esta situado a 165 mm y con un ángulo girado de 45°. Los

momentos de desequilibrio que se han medido son los de la Tabla 1.

z

34 2

3

4

2

2

Figura 2. Determinación de las posiciones angulares para un sistema de cuatro masas

Resolvemos gráficamente el problema dibujando de la proyección de los vectores

posición de cada una de las masas sobre el plano Oxy (obviamos la coordenada z, puesto

que el centro de masas puede estar en cualquier punto del eje), multiplicados por su masa.

Tenemos cuatro vectores, cuyo módulo viene dado por wir, y que formarán un ángulo con

la vertical (Figura 2). Para encontrar la dirección de los vectores de posición de 3 y de 4 en

el plano Oxy, dibujamos los arcos desde los extremos de los vectores de posición de 1 y 2.

Para realizar esta tarea, se usará una regla, un compás y un medidor de ángulos. Hay que

definir también una escala para dibujar los módulos de los vectores. Hay que tener en cuenta

que la distancia al eje de todas las masas es igual (Tabla 1).

Una vez obtenido el equilibrio estático, procedemos a equilibrar dinámicamente el

dispositivo, para ello vamos a imponer que los productos de inercia Pxz y Pyz sean nulos.

Como nuestro sistema de referencia ya ha sido definido en A, esto nos va a dar dos

ecuaciones analíticas, que quedan, dado que las distancias ri son iguales para todas las

masas. Usando las ecuaciones (12.2) y (12.3):

cos 0

sin 0

i i i i

i i i i

Pxz w z r

Pyz w z r

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En este sistema de dos ecuaciones, las dos incógnitas serán z3 y z4. Una vez resuelto

el sistema de ecuaciones, tendremos las posiciones de las cuatro masas a lo largo del eje z, y

procedemos a comprobar experimentalmente los cálculos en el sistema de equilibrado.

Finalmente se pide volver a calcular la posición del centro de masas y el tensor de inercia

para la posición final, y de nuevo el vector momento cinético.

RESUMEN DE ACTIVIDADES:

Cálculo, para la posición inicial (Tabla 1), de la posición del centro de masas y

del tensor de Inercia en el punto A. Cálculo del vector momento cinético para

un vector velocidad angular w.

Cálculo gráfico de la posición de equilibrado estático, fijando los ángulos de las

masas 1 y 2.

Cálculo analítico de la posición de equilibrado dinámico para los ángulos de

equilibrio estático anterior, fijando la posición en z de las masas 1 y 2.

Cálculo para esta posición final, de la posición del centro de masas y el nuevo

Tensor de Inercia. Comprobar las pequeñas desviaciones producidas por el uso

del cálculo gráfico. Finalmente calcular de nuevo el vector momento cinético.

ANEXO 1. PRÁCTICA 3. EQUILIBRADO DE MOTORES. HOJA DE ENTREGA DE RESULTADOS

Nombre: Nº Matrícula:

Práctica 3. Mecánica ETSII UPM. Curso 2019/2020

Posición del centro de para la posición incial de las masas:

X c.m. (cm)

Y c.m. (cm)

- Tensor de inercia para la posición inicial:

2

Oxyz

I Kg m

- Posición de las masas 3 y 4 en equilibrado estático y dinámico:

3 (grados) 4(grados) Z3 (cm) Z4 (cm)

-Coordenadas del centro de masas en la posición calculada de equilibrio:

X c.m. (m)

Y c.m. (m)

-Tensor de inercia para la posición final:

2

Oxyz

I Kg m

-Vector momento cinético en el punto O inicial y en equilibrio)

2

Oinicial

Kg mL

s

2

Oequilibrio

Kg mL

s