Selección de Matemática Nobeliana Sesión 13 Prof. Nilton Rodríguez

SMNSELECCIÓN DE MATEMÁTICA NOBELIANA

PROBLEMARIO RUMBO A LA ONEM 2015

PRIMERA PARTE

1. ¿Cuál es la suma de las unidades de la suma de todos los divisores postivos del número 22011?

2. El rectángulo ABCD ha sido dividido en 7 cuadrados de la siguiente forma:

Si cada uno de los cuadrados sombreados tiene perímetro A, calcula el perímetro del rectángulo ABCD.

3. En salón de clases, el 60% de los estudiantes aprobaron el examen de comunicación. Al revisar ora vez las evaluaciones, el profesor se dio cuenta que 6 estudiantes con nota desaprobatoria en realidad habían aprobado el examen. Luego de la corrección, el porcentaje de aprobados fue de 72%. ¿Cuántos estudiantes dieron el examen?

4. Sea N un número capicúa de 5 dígitos y M un número capicúa de 4 dígitos. Si N + M = 100001, halla la suma de los dígitos del número N – M.Aclaración. Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por ejemplo, los números 2332, 10001 y 70707 son capicúas.

5. Determinar el menor entero positivo n para el cual el número (2n + 1)2 no se puede expresar como la suma de dos números primos.

SEGUNDA PARTE

6. En un molino había cierta cantidad de toneladas de harina y de éstas se vendió la cuarta parte. Luego, se vendió la tercera parte del resto, quedando por vender 24 toneladas. ¿Cuántas toneladas de harina había inicialmente?

7. Un grupo de amigos desea entrar al cine y el monto total a pagar por las entradas (que tienen el mismo valor), es 200 nuevos soles. Al momento de pagar, cinco de ellos no tienen dinero para la entrada, por lo cual todos los demás deben aportar 2 nuevos soles más de lo previsto. ¿Cuánto cuesta la entrada al cine?

8. En la figura, ABCD es un cuadrado y los triángulos AED y CFD son equiláteros. Halla el valor de “x + y”.

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9. En cada casilla del siguiente tablero está escrito un número (algunos están ocultos) de tal forma que la suma de los números escritos en 3 casillas consecutivas (en la misma fila o en la misma columna) siempre es 6. Halla la suma de los números escritos en todas las casillas del tablero.

10.Sea a1, a2,…….., a100, una secuencia de 100 términos donde a1 = 4, a2 = 1, a3 = 2 y en la cual se cumple que la suma de cualesquiera cuatro términos consecutivos es igual a su producto. Halla la suma de todos los términos de la secuencia.

TERCERA PARTE

11. Sea f la función definida en el conjunto de los números enteros tal que f(1) = 1, f(3) = 2 y además:

f(x) = f(x – 1) + f(x + 1)para todo número entero x. Calcule f(2011).

12.En el siguiente tablero se debe escribir números del conjunto {1, 2, 3, 4} de tal manera que en cada fila, en cada columna y en cada uno de los cuadrados de 2x2 señalados no hayan dos números iguales (de forma similar al Sudoku). Halla la suma de todos los posibles valores de x.

13. es un ángulo para el cual tan = 3 y además:sen + tan + sec = acos + cot + csc = b

Halle el valor de a−bb+1

14.En el gráfico se cumple que BC = CD, CBA = 74°, BAD = 83° y CDE = 37°. Hallar el valor de x.

15.Se tiene un tablero de 6x6 con un grillo en cada casilla. Cuando sonó una campana, cada grillo salto a una casilla vecina (casillas vecinas son las que comparten un lado). Como resultado, algunas casillas quedaron vacías y otras contienen uno o más grillos. ¿Cuántas casillas vacías pueden quedar como máximo luego del sonido de la campana?

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