11 Continutat, ca`lcul de derivades i determinacio de les ca-racterstiques del gra`fic duna funcio

11.1 Continutat

Si tenim definida una funcio f(x) i a es un valor concret (Maple accepta com a valor a elsmbol infinity) llavors

> limit(f(x),x=a);

calcula el limxa f(x). Si aquest lmit no existeix MAPLE ens torna com a resultat undefined.

En aquest cas pot ser que els lmits laterals existeixin i per demanar-li que ens els calculi espot fer:

> limit(f(x),x=a,left);> limit(f(x),x=a,right);

per a limxa

f(x) i limxa+

f(x) respectivament.

Exercici 11.1

Calculeu els lmits seguents:

(a) limx2

x 2|x 2|

(b) limx3

(x 3)2x 3

(c) limx0

exp(1/x2)x2

(d) limx1

(1

x+ 1 1|x+ 1|

)(e) lim

x0x

|x| cos(x)

(f) limx0

x

|x| sin(x)

Si la funcio f i el seu lmit depenen dun para`metre podem utilitzar la funcio assume per acalcular els resultats segons els possibles valors daquest para`metre.

Exemple 11.2

Els lmis seguents son diferents depenent del valor da:> limit(exp(a/x^2),x=0);> assume(a>0);limit(exp(a/x^2),x=0);> assume(a

14 Eines informa`tiques per a les matema`tiques

Exercici 11.3

Calculeu els lmits seguents:

(a) limx3

exp

(ax

x 3)

(b) limx2

x a|x b| (c) limx0 exp

(a+ exp(1/x2)

x2

)

Una altra manera destudiar la continutat duna funcio es amb les funcions iscont i

discont.

Exemple 11.4

> iscont(5*x/(x^2-4),x=-infinity..infinity);

Veiem que tant sols ens diu si es contnua o no a linterval que estem estudiant. Si volemtrobar els punts de discontinutat podem utilitzar discont:

Exemple 11.5

> discont(5*x/(x^2-4),x);

Exercici 11.6

Estudieu la continutat de les funcions seguents:

(a)x+ 1

x 1 + 1 (b)|x 1|x 1 (c)

1

log(x)

11.2 Derivades

Amb Maple es pot obtenir fa`cilment la derivada duna expressio expr qualsevol. Com jadeveu saber la funcio que fa aquesta feina es diff(expr,var) on expr es lexpressio que esvol derivar i var es la variable respecte la que es fara` la derivada.

Exemple 11.7

Podem fer la derivada de lexpressio x3 3x2 + 5x+ 4 respecte x amb> diff(x^3-3*x^2+5*x+4,x);

i si tenim definida una funcio f(x) tambe podrem fer el mateix> f:= x-> x^3-3*x^2+5*x+4;> diff(f(x),x);

Grau de Matema`tiques - Universitat Auto`noma de Barcelona 15

Teniu en compte, pero`, que segons com us poseu a fer els ca`lculs podeu tenir sorpreses. Po-deu preveure quin sera` el resultat de loperacio seguent despres dhaver definit la funcio f?

> diff(f,x);

Noteu que Maple necessita cone`ixer respecte quina variable sha de fer la derivada ja queen una expressio hi poden haver diferents para`metres. Per exemple, les expressions

Exemple 11.8

> diff(x^2*cos(b)-exp(y^2)*tan(x),x);> diff(x^2*cos(b)-exp(y^2)*tan(x),y);> diff(x^2*cos(b)-exp(y^2)*tan(x),b);

produeixen tres resultats diferents.

Quan treballem amb la funcio diff sovint el que ens interessa es definir una novafuncio que es la derivada duna f(x) que ja tenim definida. Com que diff treballa ambexpressions i dona com a resultat expressions, aquest proces no es tan immediat com espodria pensar. Si proveu de fer

> f:= x-> (x^3-4)/(x^2+3);> g:= x-> diff(f(x),x);> g(x);> g(1);

veureu que els resultats semblen no tenir massa lo`gica ja que sobte una expressio (correcta)per a g(x) pero` no es possible obtenir el valor de g(1).

A part del mecanisme de la funcio unapply, que ja hem vist com funciona en unapra`ctica anterior i ens permetria definir correctament la funcio g que calcula la derivadade f fent

> g:= unapply(diff(f(x),x),x);

quan tenim una funcio f que depe`n duna variable podem obtenir una nova funcio g que es laderivada de la primera amb la funcio D( ).

Exemple 11.9

Si definim la funcio f(x) = x3 4x i volem tenir la funcio g(x) = f (x) (que o`bviament hade ser g(x) = 3x2 4) es pot fer

> f:= x-> x^3-4*x;> g:= D(f);> g(x);> g(1);

Quan es te definida una funcio f que depe`n de mes duna variable es pot especificar respectequina de les variables es vol fer la derivada utilitzant D[i](f) on i es un enter que indica quees vol fer la derivada de f respecte la variable que ocupa el lloc i.

16 Eines informa`tiques per a les matema`tiques

Exemple 11.10

Si tenim definida la funcio f(x, y, b) = x2 cos(b) exp(y2) tan(x) la primera variable es lax, la segona es la y i la tercera es la b. Per tant, fent

> f:= (x,y,b)-> x^2*cos(b)-exp(y^2)*tan(x);> g1:= D[1](f);> g2:= D[2](f);> g3:= D[3](f);

obtindrem tres funcions g1, g2, g3 que son les derivades de f respecte x, y, b respectiva-ment.

Exercici 11.11

Definiu una funcio h que sigui h(x, y) = xexp(xy) sin(y2)

ln(x2 + y2 + 2)i calculeu

La funcio h1 derivada de h respecte x. La funcio h2 derivada de h respecte y. Els valors de h1 i h2 per a x=1 i y=Pi/4. La funcio h11 derivada segona de la funcio h respecte x.

Es clar que la resposta a lultim apartat de lexercici anterior pot ser

> h11:= D[1](D[1](h));

Com que aixo` no es massa pra`ctic hi ha dreceres que ens permeten fer el mateix ambmes facilitat. Una expressio de la forma x$n es equivalent a una successio de n co`pies delexpressio x. Per exemple

> x$4;

produeix x,x,x,x. Daquesta forma en les funcions diff o D podem fer> diff(sin(x)-x*(cos(x))^3,x$4);> D[1$4](cos)(x);

11.3 Estudi del comportament del gra`fic duna funcio

Un dels problemes mes cla`ssics del ca`lcul infinitessimal es el de determinar totes les carac-terstiques remarcables del comportament duna funcio (asmptotes, creixement, extrems, con-vexitat, punts dinflexio). La funcio plot, que dibuixa el gra`fic duna funcio, ajuda molt adeterminar algunes daquestes caracterstiques pero` es clar que la determinacio exacta (o ambuna bona aproximacio) dels punts remarcables no es podra` fer sense solucionar algunes equa-cions, determinar algun lmit i calcular les derivades que calgui. Amb Maple tots els ca`lculsnecessaris es podran fer sense massa problemes i en lexemple seguent podeu veure com fertot el proces duna manera sistema`tica.

Grau de Matema`tiques - Universitat Auto`noma de Barcelona 17

Exemple 11.12

Considerem la funcio f(x) =5x

x2 4 i determinem totes les caracterstiques del seu gra`fic.En primer lloc definim la funcio i les derivades primera i segona> f:=x-> (5*x)/(x^2-4);> fp:= D(f);> fpp:= D(fp);

A continuacio podem calcular els lmits de f a linfinit (encara que en aquest cas tothomhauria de poder veure el resultat sense Maple)

> limit(f(x),x=infinity);> limit(f(x), x=-infinity);

Seguidament, i tenint en compte que lexpressio amb la que estem tractant es una fraccio,veiem que hi ha asmptotes verticals ja que els lmits

> limit(f(x),x=2,right);limit(f(x),x=2,left);> limit(f(x), x=-2,right);limit(f(x), x=-2,left);

son infinits.El seguent pas consistira` en determinar els extrems locals i els intervals de creixement i

decreixement de la funcio. (Observeu que solve tambe soluciona desigualtats. Fixeu-vosamb la manera que te Maple per a designar un interval)

> solve(fp(x));> solve(fp(x)>0);> solve(fp(x) solve(fpp(x));> solve(fpp(x)>0);> solve(fpp(x)

18 Eines informa`tiques per a les matema`tiques

Exercici 11.14

Per a practicar una mica mes podeu mirar de fer una cosa semblant amb les funcions seguents:

f(x) = (x2 3x+ 2) exp(x) g(x) = x2 x

16 x2 h(x) = 2 cos2(x) x2

Fent per a cada una delles dos gra`fics de colors, un on es posi de manifest els intervals decreixement i decreixement i laltre on es mostri la convexitat.