practica 1

Profesor Sebastin Marcos LpezDepartamento de Informtica y Automtica / Universidad de Salamanca

PRACTICAS

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REGULACION AUTOMATICA

1.1. MATLAB. Software bsico y Toolboxes

1.2. El entorno de trabajo de MATLAB

1.3. Operaciones con nmeros

1.4. Variables, funciones y expresiones numricas1.5. Operaciones con polinomios1.6. Operaciones con vectores y matrices1.7. Representacin grfica de funciones en 2D y 3D

PRACTICA NPRACTICA N 1:1:

INTRODUCCION A MATLABINTRODUCCION A MATLAB


PRACTICAS

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MATLAB es el nombre abreviado de MATrix LABoratory. Descripcin de MATLAB:

1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXES1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXESCARACTERISTICASCARACTERISTICAS

Es un entorno integrado de trabajo para clculo tcnico y cientfico comercializado por Math Works Inc. (www.mathworks.com)

-20

24

68

-6-4

-20

24

6-6

-4

-2

0

2

4

6

Avin

Tiene implementadas ms de 1000 funciones matemticas, estadsticas y tcnicas de clculo numrico y simblicoMuy potente para realizar clculo numrico con matrices Permite la visualizacin de una amplia variedad de grficos en 2 y 3 dimensiones Permite desarrollar algoritmos mediante un lenguaje propio de programacin de alto nivel de sintaxis similar al lenguaje C, pero con menor esfuerzo Es abierto y extensible. Permite la integracin con C y Excel y los programas diseados se pueden reutilizar en otras aplicaciones.

Caractersticas principales de MATLAB:


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REGULACION AUTOMATICA Adems del software bsico, MATLAB dispone numerosos

toolboxes aadidos, que son libreras de ampliacin especializadas en muy diversos campos de la ciencia y la tcnica

Toolboxes:

1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXES1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXESTOOLBOXESTOOLBOXES

De matemtica general: Symbolic Math, Statistics Toolbox, Optimization Toolbox De adquisicin de datos: Data Acquisition Toolbox, Instrument Control Toolbox De procesado de seales: Signal Processing Toobox, ImageProcessing Toolbox De sistemas de control: SIMULINK (Simulacin de sistemas dinmicos), Control System Toolbox (Anlisis y diseo de sistemas de control), Fuzzy Logic Toolbox (Lgica borrosa), Neural Network Toolbox (Redes Neuronales), Robust Control Toolbox (Control Robusto), Model PredictiveControl Toolbox (Control Predictivo)

Ejemplos de Toolboxes:


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Electrnica eInformtica

ProtokolleComunicaciones Industria

BiotecnolgicaFarmacuticaQumica

Automocin

anzahl ()float zaebeginif wert > 0

begomzae = zae + 1

endend

Aeroespacial

Ventil geschlossenKlappe zu

Motor ein

Automatizacin industrial

Economa yfinanzas

ProtokolleIndustriaEnergtica

1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXES1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXESSECTORES DE APLICACIONSECTORES DE APLICACION


PRACTICAS

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1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLAB1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLABVENTANASVENTANAS

La pantalla de entrada de MATLAB constituye el marco de trabajo general del programa. Esta es la vista que aparece por defecto. Puede cambiarse con la opcin de men View/Desktop Layout. Los elementos principales de esta pantalla son:

Pantalla de Inicio en MATLAB 7 :

Ventana de comandos: Ejecuta las instrucciones y los programas MATLAB a continuacin del prompt >> Ventana del historial de comandos: Presenta los ltimos comandos introducidos en la Ventana de Comandos y permite recuperarlos y ejecutarlos Ventana de directorio actual: Muestra los ficheros del directorio o carpeta actual. Este directorio se puede cambiar desde la propia ventanaVentana de espacio de trabajo: Permite ver las variables almacenadas en memoria mostrando su tipo, tamao y clase

Ventana de comandos

Ventana del historialde comandos

Ventana de directorio actual


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Ayuda en MATLAB (I) :

1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLAB1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLABAYUDA EN MATLABAYUDA EN MATLAB

MATLAB dispone de un eficiente sistema de ayuda en lnea. La herramienta principal es el Navegador de la Ayuda, al que se accede haciendo click en el icono o bien mediante la ruta Help/MATLAB Help. En el panel de la izquierda del navegador de la ayuda se selecciona el tema, y en el panel de la derecha se presenta la ayuda relativa al tema seleccionado, siendo posible el uso de hipervnculos para navegar por su contenido.


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Ayuda en MATLAB (II) :

1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLAB1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLABAYUDA EN MATLABAYUDA EN MATLAB

En el panel izquierdo del Navegador de la Ayuda existen distintas pestaas con las principales opciones Contents (Ayuda por contenido, por defecto), Index (Ayuda por ndice alfabtico), Search (Ayuda por tema)

Otra va importante para obtener ayuda de MATLAB es utilizar sus funciones de ayuda, ejecutables desde la ventana de comandos. Las ms utilizadas son: lookfor texto: Muestra todas las funciones que contienen el texto especificado help funcin: Muestra la descripcin y sintaxis de la funcin especificada doc funcin: Muestra la descripcin y sintaxis de la funcin especificada en el Navegador


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Constantes :

1.3. OPERACIONES CON NUMEROS1.3. OPERACIONES CON NUMEROSCONSTANTES NUMCONSTANTES NUMRICASRICAS

Los elementos bsicos de MATLAB son: constantes, variables, operaciones, funciones y expresiones numricas.

Una constante numrica es cualquier nmero que se utiliza en un clculo sin que vare durante una sesin de trabajo. Pueden ser nmeros enteros, racionales, reales y complejos.

MATLAB permite las operaciones habituales de suma, resta, producto, divisin, potencia, con la jerarqua habitual entre ellas.

Nmeros enteros: -2 , 14 , 980 Nmeros reales: Se pueden escribir de 2 maneras

- Con un mximo de 16 cifras significativas y el punto decimal en cualquierposicin. Ej: 14.7958- Utilizando la notacin exponencial. Permite simplificar la escritura de constantes reales muy grandes o muy pequeas. Ej: 0.34e7(equivale a 0.34 107)

Nmeros complejos: 3+4i , 3+4*j . En Matlab, las variables i, j estn predefinidas como 1== ji

Operaciones aritmticas : + Suma- Resta

* Producto

/ Divisin

^ Potencia

+ PRIORIDAD


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Ejemplo 1.1: Calcular las siguientes expresiones aritmticas

410) +a

1.3. OPERACIONES CON NUMEROS1.3. OPERACIONES CON NUMEROSEJEMPLOSEJEMPLOS

7)25()b)24()21()

3

+c 4)21() id +


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1.3. OPERACIONES CON NUMEROS1.3. OPERACIONES CON NUMEROSFORMATOSFORMATOS

Una primera aplicacin de MATLAB es su uso como una calculadora cientfica, con la ventaja de poseer una gran precisin de clculo. El usuario puede especificar el grado de precisin que desea. A continuacin, se citan los comandos ms usuales que permiten determinar el formato de los resultados:

format short Ofrece los resultados con 4 cifras decimales. Es el formato por defecto de MATLAB

format short e Ofrece los resultados con 4 cifras decimales ms la potencia de 10 necesaria

format long Ofrece los resultados con 16 cifras significativas

format long e Ofrece los resultados con 16 cifras significativas ms la potencia de 10 necesaria

format bank Ofrece los resultados con 2 decimales

format rat Permite operar con nmeros racionales y presentar los resultados en forma racional

Tambin es posible modificar el formato numrico mediante la opcin de menFile/Preferences /Numeric format


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Ejemplo 1.2: Obtener una aproximacin numrica de con distintos formatos

1.3. OPERACIONES CON NUMEROS1.3. OPERACIONES CON NUMEROSEJEMPLOSEJEMPLOS

14167


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1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICAS1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICASVARIABLESVARIABLES

Variables :Una variable es una etiqueta que identifica una porcin de memoria; en ella se pueden guardar datos de tipo numrico o alfanumrico (caracteres) y se pueden modificar durante la vida de la variable en la sesin de trabajo.MATLAB no requiere ningn tipo de comando para declarar variables. Simplemente, se crea la variable mediante la asignacin directa de su valor.

Los nombres de las variables pueden tener hasta 31 caracteres, letras y nmeros. Slo se requiere que el primer carcter sea una letra. Para nombrar variables no pueden utilizarse caracteres especiales como + , - , * , / , ^ , < , > ,


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1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICAS1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICASVARIABLESVARIABLES

Observaciones sobre Variables en MATLAB :

MATLAB distingue entre letras maysculas y minsculas. Por tanto, una variable con maysculas es distinta de una variable con minsculas. Para conocer las variables definidas en cualquier momento de la sesin podemos utilizar el comando whos o bien observar la ventana del espacio de trabajo (Workspace) Para eliminar una variable, se utiliza el comando clear variable . Si se desean eliminar todas las variables, se utiliza el comando clear . Se borrar todo el espacio de trabajo

Existen variables predefinidas en MATLAB, algunas de las cuales se muestran en la Tabla anexa:

ans Variable utilizada por defecto para almacenar el resultado de la ltima operacin

pi Inf h (Por ejemplo 1/0)NaN Indeterminacin (Por ejemplo 0/0)

eps Nmero ms pequeo que sumado a otro crea un nuevo nmero en coma flotante. Aproximadamente es 2.2e-16

realmin / realmax Menor / mayor nmero positivo utilizable


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FUNCION SIGNIFICADO abs(x) Valor absoluto acos(x) Arcocoseno acosh(x) Arcocoseno hiperblico asin(x) Arcoseno asinh(x) Arcoseno hiperblico atan(x) Arcotangente atanh(x) Arcotangente hiperblica ceil(x) Redondeo hacia el entero superior a xconj(x) Complejo conjugado cos(x) Coseno cosh(x) Coseno hiperblico exp(x) Exponencial e =2.7183

FUNCION SIGNIFICADO abs(x) Valor absoluto acos(x) Arcocoseno acosh(x) Arcocoseno hiperblico asin(x) Arcoseno asinh(x) Arcoseno hiperblico atan(x) Arcotangente atanh(x) Arcotangente hiperblica ceil(x) Redondeo hacia el entero superior a xconj(x) Complejo conjugado cos(x) Coseno cosh(x) Coseno hiperblico exp(x) Exponencial e =2.7183

FUNCION SIGNIFICADO fix(x) Elimina la parte decimal de x floor(x) Redondeo hacia el entero inferior a x imag(x) Parte imaginaria compleja log10(x) Logaritmo comn log (x) Logaritmo neperiano rats(x) Aproxima x por una fraccin rem(x,y) Resto de la divisin (resto al dividir x/ y)round(x) Redondeo al entero ms cercano sin(x) Seno sinh(x) Seno hiperblico sqrt(x) Raiz cuadrada tan(x) Tangente tanh(x) Tangente hiperblica

FUNCION SIGNIFICADO fix(x) Elimina la parte decimal de x floor(x) Redondeo hacia el entero inferior a x imag(x) Parte imaginaria compleja log10(x) Logaritmo comn log (x) Logaritmo neperiano rats(x) Aproxima x por una fraccin rem(x,y) Resto de la divisin (resto al dividir x/ y)round(x) Redondeo al entero ms cercano sin(x) Seno sinh(x) Seno hiperblico sqrt(x) Raiz cuadrada tan(x) Tangente tanh(x) Tangente hiperblica

1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICAS1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICASFUNCIONES MATEMATICASFUNCIONES MATEMATICAS

Matlab dispone de numerosas funciones predefinidas, lo que proporciona una gran potencia a este paquete. En este apartado, veremos las funciones reales de argumento real.Matlab ofrece un conjunto completo de funciones trigonomtricas, hiperblicas, exponenciales, logartmicas y otras funciones especficas de variable numrica:

Una funcin tiene la forma: nombre nombre (argumento)(argumento)donde nombrenombre identifica la funcin a utilizar y argumentoargumento el valor donde queremos evaluarla.

Funciones :


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1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICAS1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICASEXPRESIONES NUMEXPRESIONES NUMRICASRICAS

Una expresin numrica es un conjunto de nmeros, variables y funciones previamente definidas, relacionados todos ellos por operadores aritmticos.Se permite el uso de espacios en blanco para separar las unidades bsicas de la expresin, mejorando su presentacin y lectura posterior.

Expresiones numricas :

Si una expresin es demasiado larga puede seguirse escribiendo en la lnea siguiente. Se indica por seguido por EnterEjemplo 1.3: Un termistor NTC tiene una caracterstica resistencia-temperatura representada por siendo Ro=10000 y T la temperatura en grados Celsius. Obtener el valor de la resistencia (en ohmios) para una temperatura T=20 C

TOeRR

1.0=


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1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICAS1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICASEJEMPLOSEJEMPLOS

Ejemplo 1.4: Resolver numricamente la ecuacin de segundo gradoAplicar la conocida frmula

01342 =++ xx

aacbbx

242

2,1=


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1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOS1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOSDEFINICIONDEFINICION

Un polinomio en MATLAB se representa como un vector fila con los coeficientes del polinomio ordenados en orden decreciente de la potencia de la variable entre corchetes.Todos los coeficientes que sean nulos deben incluirse.

Definicin de Polinomios :

172)( 2 ++= xxxpEjemplo 1.5: Introducir en MATLAB los polinomios y xxxq 3)( 3 +=


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1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOS1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOSCALCULO DEL VALORCALCULO DEL VALOR

Clculo del valor de un polinomio en un punto :

Para evaluar el valor de un polinomio p en un punto x se utiliza la instruccin polyval(p,x)

185)( 23 +++= xxxxpEjemplo 1.6: Calcular el valor del polinomio en el punto x = 2


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1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOS1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOSRAICESRAICES

Para calcular las races de un polinomio p se utiliza la instruccin roots(p)Raices de un polinomio :

1393)( 23 ++= xxxxpEjemplo 1.7: Calcular las races del polinomio

Para reconstruir un polinomio a partir de sus races se utiliza la instruccin polyEjemplo 1.8: Reconstruir el polinomio cuyas races son -1, 2 + 3i


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Ejemplo 1.9: Sumar y restar los polinomios y

1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOS1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOSOPERACIONESOPERACIONES

Los polinomios admiten las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisinOperaciones con polinomios :

432)(1 2 ++= xxxp

Suma y resta: Para sumar o restar polinomios deben tener el mismo grado o bien debe completarse el polinomio de menor grado con los ceros necesarios a la izquierda para que tengan el mismo nmero de coeficientes

169)(2 += xxp


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Ejemplo 1.10: Multiplicar y dividir los polinomios y

1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOS1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOSOPERACIONESOPERACIONES

Operaciones con polinomios :

12)(1 2 += xxxp

Multiplicacin y divisin: Para multiplicar los polinomios p1 y p2 se utiliza el comando conv(p1,p2)Para dividir los polinomios p1 y p2 se utiliza el comando deconv(p1,p2). Si la divisin no es exacta, podemos obtener el cociente y el resto mediante [coc, res]=deconv(p1,p2)

1)(2 += xxp


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESVECTORESVECTORES

Las matrices mn son el tipo de dato fundamental en MATLAB, de ah su nombre de MATrix LABoratory.Los vectores son tratados como un caso particular de matriz de una fila 1n (vector fila) o de una columna m1 (vector columna) .Los nmeros o variables escalares son tratados como una matriz 11 .

Tipos de datos :

Definicin de vectores :Un vector fila se define escribiendo entre corchetes sus componentes separados por blancos o comas :

>> vector_fila= [v1 v2 v3 vn]Un vector columna se define escribiendo sus componentes separados por intro o ;

>> vector_columna= [v1; v2; v3; ;vn] o bien:>> vector_columna= [v1

v2 vn]


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESEJEMPLOSEJEMPLOS

Ejemplo 1.11: Introducir en MATLAB los vectores y)432(=v

=

9864

w


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESGENERACION DE VECTORESGENERACION DE VECTORES

Existen varias formas de definir una variable vectorial sin tener que teclear por pantalla todos sus elementos. Se presentan en la siguiente tabla:

Generacin de vectores :

variable=[a:b] Define un vector fila cuyo primer elemento es a y el ltimo es b, estando los intermedios separados de uno en uno

variable=[a: p :b] Define un vector fila cuyo primer elemento es a y el ltimo es b, estando los intermedios separados por el incremento p

variable=linspace(a,b,n) Define un vector fila cuyo primer elemento es a y el ltimo es b, que tiene un total de n elementos uniformemente espaciados entre s

variable=logspace(a,b,n) Define un vector fila de n elementos logartmicamente espaciados entre 10a y 10b

La notacin : es muy utilizada en todas las aplicaciones de MATLAB

La dimensin de un vector v puede obtenerse con el comando length(v)


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Ejemplo 1.12: Se quiere observar la velocidad de un motor entre 0 y 4 segundos, con un intervalo de medio segundo. Generar el vector tiempo de anlisis

Ejemplo 1.13: Se quiere observar la respuesta de un amplificador de audio en la banda de los graves. Generar un vector de 10 frecuencias entre 100Hz y 1000Hz uniformemente espaciadas en escala logartmica


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESSELECCISELECCIN DE ELEMENTOS DE VECTORESN DE ELEMENTOS DE VECTORES

Podemos seleccionar un elemento de un vector o un subconjunto de elementos del mismo. Las reglas se presentan en la siguiente tabla:

Seleccin de componentes de vectores :

x(n) Devuelve el n-simo elemento del vector x

x(i:j) Devuelve los elementos del vector x situados entre el i-simo y el j-simo, ambos inclusive

x(i: p :j) Devuelve los elementos del vector x situados entre el i-simo y el j-simo, separados de p en p unidades

Ejemplo 1.14: Dado un vector con los nmeros naturales de 1 a 10, a) seleccionar los elementos situados entre el segundo y el octavo, b) de stos, seleccionar slo los pares


PRACTICAS

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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESOPERACIONES CON VECTORESOPERACIONES CON VECTORES

Operaciones con vectores :

v + k Suma k a cada componente de vv k Resta k a cada componente de v v * k k * v Multiplica por k cada componente de vv/k Divide por k cada componente de vv. ^ k Genera un nuevo vector donde cada componente se obtiene de elevar a k la

correspondiente componente de v

Operaciones con escalares: suma, resta, multiplicacin, divisin y exponenciacin.Dado un vector v y un nmero real k :

Operaciones entre vectores: Cuando 2 vectores v1 y v2 sean de la misma dimensin se puede realizar la suma, resta, multiplicacin, divisin y exponenciacin, entendiendo que se hace componente a componente.

v1 + v2 Suma dos vectores componente a componentev1 - v2 Resta dos vectores componente a componentev1 .* v2 Multiplica dos vectores componente a componentev1 ./ v2 Divide dos vectores componente a componentev1 .^ v2 Genera un nuevo vector cuya componente i-sima se obtiene de elevar la

componente i-sima de v1 a la componente i-sima de v2


PRACTICAS

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Ejemplo 1.15: Sea el escalar k=10 y los vectores v1=[1 2 3] y v2=[4 5 6] . Realizar las siguientes operaciones observando los resultados: a) k*v1 ; b) v1+v2 ; c) v1.*v2 ; d) v1.^v2


PRACTICAS

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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESFUNCIONES DE ARGUMENTO VECTORIALFUNCIONES DE ARGUMENTO VECTORIAL

Funciones de argumento vectorial: Todas las funciones matemticas definidas para escalares admiten como argumento un vector, dando como resultado la aplicacin de la funcin sobre cada elemento del vector Existen tambin funciones especficas de MATLAB definidas sobre vectores. Algunas de ellas se muestran en la siguiente tabla:

sum(v) Suma de los componentes de un vectorprod(v) Producto de los componentes de un vector

Transposicin de un vector. Cambia un vector fila en un vector columna y viceversa

dot(v1,v2) Producto escalar de dos vectores v1 y v2cross(v1,v2) Producto vectorial de dos vectores v1 y v2

min(v) Valor mnimo de los componentes de v

max(v) Valor mximo de los componentes de v

mean(v) Valor medio de los componentes de v

sort(v) Ordena de manera ascendente los componentes de v


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Ejemplo 1.16: a) Efectuar la operacin raz cuadrada sobre el vector x=[1 4 9 16] b) Calcular el seno del vector de ngulos theta=[0 pi/4 pi/2 pi]

Ejemplo 1.17: Dados los vectores v1=[1 2 3] y v2=[4 5 6], realizar las siguientes operaciones:a) Suma de los componentes de v1, b) Producto escalar de v1 y v2


PRACTICAS

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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESDEFINICIDEFINICIN DE MATRICES. SUBMATRICESN DE MATRICES. SUBMATRICES

Definicin de matrices:Las matrices se definen en MATLAB introduciendo sus vectores filas separados por punto y coma. Por ejemplo, una matriz 3 3

A= [a11 a12 a13 ; a21 a22 a23; a31 a32 a33] Los elementos de una matriz se identifican por 2 ndices, el primero indica la fila y el segundo la columna. As A(m,n) define el elemento (m,n) de la matriz A.

Submatrices: Para crear una submatriz podemos utilizar el comando A(i:j , k:l) que extrae las filas desde la i hasta la j y las columnas desde la k a la l.

Para extraer una fila, por ejemplo la i-sima, se utiliza el comando A(i,:) Para extraer una columna, por ejemplo la j-sima, se utiliza el comando A(:,j) Para extraer una serie de filas, por ejemplo la m y la n, se utiliza el comando A([m,n],:) Para extraer una serie de columnas, por ejemplo la m y la n, se utiliza el comando

A(:,[m,n])

La dimensin de una matriz A puede obtenerse con la instruccin size(A)


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Ejemplo 1.18: Dada la matriz A

a) Seleccionar la submatriz formadapor las tres primeras filas y columnasb) Seleccionar la primera y la cuartacolumna

=

16151413121110987654321

A


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESMATRICES ESPECIALESMATRICES ESPECIALES

Generacin de matrices especiales: Existen comandos MATLAB para generar matrices especiales.

zeros(m,n) Genera una matriz de orden mn con todos sus elementos nulosones(m,n) Genera una matriz de orden mn con todos sus elementos 1eye(m,n) Genera una matriz de orden mn con unos sobre la diagonal principal

y ceros en el resto. eye(n) Crea la matriz identidad de orden nrand(m,n) Genera un matriz de orden mn con coeficientes aleatorios entre 0 y 1

Ejemplo 1.19: a) Generar una matriz de unos de dimensin 24 ; b) Generar una matriz aleatoria de dimensin 3 4


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESOPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICES

Operaciones con matrices: Operaciones con escalares: Son vlidas todas las operaciones explicadas para vectores

A + B Suma de matrices de la misma dimensin. La matriz suma se obtiene sumando cada elemento de A con el correspondiente elemento de B

A - B Resta de matrices de la misma dimensin. La matriz suma se obtiene restando cada elemento de A con el correspondiente elemento de B

A * B Producto de matrices en el sentido habitual. El nmero de filas de la primera debe coincidir con el nmero de columnas de la segunda

A / B Divisin a derecha. Realiza la operacin A dividida por B, entendiendo esto como AB -1. La matriz B debe ser cuadrada y su dimensin igual al nmero de filas de A

A ^ k Exponenciacin. Calcula el producto de la matriz por s misma tantas veces como indique el exponente k. La matriz debe ser cuadrada

A.* B , A ./ B A .^ k

Operacin producto, divisin y exponenciacin componente a componente

A \ B Divisin a la izquierda. Realiza la operacin B dividida por A, entendiendo esto como A-1 B. La matriz A debe ser cuadrada y su dimensin igual al nmero de columnas de B

A Si la matriz A es real calcula la transpuesta cambiando filas por columnas. Si la matriz es compleja calcula la transpuesta conjugada

Operaciones entre matrices: Dados k, un nmero natural, y 2 matrices A y B


PRACTICAS

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Ejemplo 1.20: Dadas las matrices A y B

=

987654321

Aa) Realizar la suma de las matrices A y Bb) Realizar el producto de las matrices A y Bc) Multiplicar las matrices A y B componente a componented) Elevar la matriz A al cuadradoe) Elevar cada componente de A al cuadrado

=

181716151413121110

B


PRACTICAS

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Ejemplo 1.20 (sigue) :


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESRESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESRESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Determinante. Matriz inversa. Rango:

Si la matriz A es no singular, es decir, si su determinante es no nulo, entonces se puede calcular su inversa mediante el comando inv(A)

El determinante de una matriz cuadrada A puede calcularse con la instruccin det(A)

El rango de una matriz A, es decir el orden del mayor menor de determinante no nulo, se puede calcular con la instruccin rank(A)

Ejemplo 1.21: Dada la matriz

=

6104427

2186C a) Calcular su determinante

b) Calcular su matriz inversa


PRACTICAS

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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESRESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESRESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales:

La solucin clsica es por el mtodo de Cramer. MATLAB permite resolver este sistema de varias formas mucho ms rpidas:

Dado un sistema de ecuaciones lineales: 11212111 ... bxaxaxa nn =+++

...{ 22222121 ... bxaxaxa nn =+++nnnnnn bxaxaxa =+++ ...2211

Se puede poner en forma matricial comoAX=B :

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

......

...

...

21

22221

11211

=

nx

xx

...2

1

nb

bb

...2

1

X=A \ B Dadas las matrices A y B, mediante la divisin a la izquierda X=A-1 B , se resuelve el sistema AX=B

X=linsolve(A,B) Dadas las matrices A y B, resuelve el sistema AX=B[x1,x2,,xn]= solve(ec1, ec2, , ecn , x1,x2, ,xn) Resuelve n ecuaciones simultneas ec1,ec2, , ecn en

las variables x1, x2, , xn . En la instruccin se escriben las ecuaciones de manera explcita sin tenerque predefinir las matrices A y B


PRACTICAS

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Ejemplo 1.22: Resolver el sistema de ecuaciones lineales:

utilizando las posibilidades de MATLAB

36632 321 =++ xxx{ 804654 321 =++ xxx 351087 321 =++ xxx


PRACTICAS

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1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3D1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3DGRAFICOS 2DGRAFICOS 2D

Grficos en 2 dimensiones:

Existen 2 maneras bsicas para obtener representaciones con MATLAB:-A partir de instrucciones para trazar todo tipo de grficos introducidas en la ventana de comandos- Usando Herramientas de Dibujo para crear grficos interactivamente

Nos centraremos en la representacin de funciones de 1 variable en coordenadas cartesianas, coordenadas polares y coordenadas paramtricas. Curvas 2D en coordenadas cartesianas y=f(x) :

Grficas con el comando plot : Para representar curvas en el plano cartesiano, puede utilizarse la instruccin plot(x,y) , que reproduce la grfica de las componentes de un vector x frente a las componentes de otro vector y.El mtodo para graficar una funcin y=f(x) con el comando plot es el siguiente:1) Introducir el intervalo o dominio de representacin en x2) Definir la funcin a dibujar, y3) Aplicar la instruccin plot(x,y). Aparece el grfico en una ventana nueva4) Opcionalmente seleccionar los atributos de la curva: color y estilo de lnea


PRACTICAS

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Las opciones de colores y estilo de lnea son las siguientes:COLORES

y Amarillom Magentac Cyan

b Azul

r Rojog Verde

w Blancok Negro

ESTILOS. Puntoso Crculosx Marcas x

- Lnea continua

-- Lnea discontinua

+ Marcas +* Marcas *

: Lnea punteada

-. Punto y raya

Los atributos de la curva se pueden aadir entre comillas simples a lainstruccin plot (x,y,opciones) o bien se pueden aadir en la ventana grfica.

Para aadir una cuadrcula a modo de rejilla se utiliza la instruccin grid : Para aadir etiquetas de identificacin de las variables se utiliza : xlabel(texto)

para el eje x , ylabel(texto) para el eje y) Para aadir un ttulo a la grfica se utiliza la instruccin title(ttulo) Para cambiar los ejes por defecto, axis([ x0 x1 y0 y1 ]) pinta los ejes coordenados con la abcisa en el intervalo [ x0 x1 ] y la ordenada en el intervalo [ y0 y1 ]


PRACTICAS

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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.23: Representar la senoide amortiguada exponencialmente

)5(10 tseney t= en el intervalo de tiempo de 0 a 10 segundos

1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3D1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3DEJEMPLOSEJEMPLOS


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Grficas con el comando fplot : La instruccin fplot( f , [xmin xmax] )representa la funcin f en el intervalo de variacin entre xmin y xmax. Tiene la ventaja de que no es necesario crear un conjunto de datos para la variable x, sino slo hay que dar sus lmites de variacin.

Ejemplo 1.24: Utilizando fplot representar la senoide amortiguada exponencialmente del ej. 1.23)5(10 tseney t= en el intervalo de tiempo de 0 a 10 segundos

La instruccin fplot admite las mismas opciones que plot aadindolas entre comillas simples fplot(f, [xmin xmax],opciones)


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Representacin simultnea de grficas en una misma ventanaMATLAB permite representar varias funciones en la misma ventana de 2 maneras bsicas:a) Mediante el comando hold : Cuando se activa mediante hold on permite mantener y superponer todos los grficos que se realicen sobre los mismos ejes. Esta opcin se desactiva con hold off .b) Mediante los comandos plot o fplot : Las instruccionesplot(x1,y1,opciones1,x2,y2,opciones2,) yfplot( [f1 ,f2, ] , [xmin, xmax], opciones1 , opciones2 ,)grafican varias funciones sobre los mismos ejes

Representacin de varias grficas en distintas subventanasLa instruccin subplot(m,n,p) divide la ventana grfica en mn subventanas y coloca el grfico actual en la ventana p-sima, empezando a contar por la subventana superior izquierda y de izquierda a derecha

subplot 221 subplot 222

subplot 223 subplot 224


PRACTICAS

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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.25: Representar en una misma grfica las funciones )(1 tseny =

en el intervalo de [0, 4])cos(2 ty =de color rojo y trazo en crculos e de color verde y trazo continuo



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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.26: Representar en distintas subventanas las 4 funciones siguientes

tey =1en el intervalo de [0, 10]

)cos(3 teyt=


ttey =2 )cos(4 tey t=


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Curvas 2D en coordenadas paramtricas :Una curva en paramtricas viene dada por las ecuaciones x=x(t) ; y=y(t) , siendo t un parmetro. Para representar curvas en coordenadas paramtricas, puede utilizarse la instruccin plot(x,y)El mtodo para graficar una curva en paramtricas con el comando plot es el siguiente:1) Introducir el dominio de representacin del parmetro t2) Definir las ecuaciones en coordenadas paramtricas, x=x(t) ; y=y(t) 3) Aplicar la instruccin plot(x,y)4) Opcionalmente seleccionar los atributos de la curva: color y estilo de lnea

Curvas 2D en coordenadas polares =() :Una curva en polares viene dada por la ecuacin =() , siendo el radio y el ngulo. Para representar curvas en coordenadas polares, puede utilizarse la instruccin polar (, )El mtodo para graficar una curva en polares con el comando polar essimilar al utilizado con plot


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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.27: Representar una elipse de semiejes a=2 y b=1 centrada en el origen

en coordenadas paramtricas )cos( tax =


)(tsenby =


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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.28: Representar la funcin en coordenadas polares


)2cos()2( ttsen=


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Curvas 3D en coordenadas paramtricas :Una curva en paramtricas viene dada por las ecuaciones x=x(t) ; y=y(t); z=z(t) , siendo t un parmetro. Para representar curvas en coordenadas paramtricas, puede utilizarse la instruccin plot3(x,y)

El mtodo para graficar una curva en paramtricas con elcomando plot3 es el siguiente:1) Introducir el dominio de representacin del parmetro t2) Definir las ecuaciones en coordenadas paramtricas,

x=x(t) ; y=y(t); z=z(t)3) Aplicar la instruccin plot3(x,y,z)4) Opcionalmente seleccionar los atributos de la curva: color

y estilo de lnea

MATLAB permite realizar grficos en 3 dimensiones, tanto de curvas como de superficies.


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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.29: Representar una hlice de 5 vueltas alrededor del eje z

)cos( tx =


)(tseny =tz =


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Superficies 3D :Una funcin de 2 variables z=z(x,y) se representa por una superficie en el espacio. Para

representar grficamente una superficie, MATLAB construye una malla de rectngulos sobre ella; calcula una malla rectangular de su dominio en el plano xy primero y, a continuacin, las coordenadas z de los puntos correspondientes a los vrtices de esta malla.El mtodo para graficar una funcin de 2 variables en 3D es el siguiente:

xy

z1) Utilizando el comando meshgrid (intervalo en x, intervalo en y), definir la malla de puntos en el plano xy sobre los cuales se evala la funcin de 2 variables para su representacin grfica

2) Definir la superficie a representar z=z(x,y)3) Utilizar los comandos disponibles para representar superficies:

- mesh(z): Genera una grfica de la superficie z=z(x,y) en forma de rejilla transparente. El color de cada rejilla es proporcional a la altura sobre el plano xy- surf(z) : Genera una grfica de la superficie z=z(x,y) en forma de polgonos coloreados, rellenando cada placa o faceta de la rejilla con un color.

mesh

surf

xy

z


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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.30: Representar un paraboloide de revolucin

en el intervalo de x entre [-10,10] y de y entre [-10,10] utilizando mesh


22 yxz +=


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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.31: Representar un hiperboloide de 2 hojas (silla de montar)

en el intervalo de x entre [-10,10] y de y entre [-10,10] utilizando surf


22 yxz =


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1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3D1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3DHERRAMIENTAS PARA PERSONALIZACIHERRAMIENTAS PARA PERSONALIZACIN Y RETOQUE DE FIGURASN Y RETOQUE DE FIGURAS

Existen distintas barras de herramientas accesibles desde la opcin de menView de la ventana de Figura, que permiten editar la figura aadiendo flechas, texto, etc., rotar o visualizar el grfico desde diferentes posiciones, ver el valor de un punto seleccionado mediante cursor,

Creacin de subgrficas

Variables del Workspace

Herramientas de dibujo

Propiedades de la Figura

Barras de herramientas

practica 1

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